khái niệm giới hạn vô cực của hàm số được định nghĩa tương tự khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số. SGKCB định nghĩa trường hợp giới hạn (−∞)của hàm số y=f(x) khi x dần tới dương vô cực, còn SGKNC định nghĩa trường hợp
0 lim ( )
x x f x
→ = +∞ và cả hai SGKHH đều định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số theo quan điểm xấp xỉ x.
- Định nghĩa giới hạn hàm số được định nghĩa thông qua giới hạn dãy số như chương trình yêu cầu. Định nghĩa theoquan điểm xấp xỉ nhưng sau đó hầu như khơng có ví dụ áp dụ định nghĩa. - Khơng có định nghĩa các khái niệm x→ ±∞
Giới hạn vô cực của hàm số thể hiện quan điểm xấp xỉ x trong định nghĩa khái niệm tiệm cận đứng.
+ Các định lí, qui tắc :
- Các định lí, các quy tắc được đưa vào các SGKHH mà khơng chứng minh hay giải thích. - SGK hiện hành (nhất là bộ nâng cao) giới thiệu một cách có hệ thống và đầy đủ các quy tắc đại số trên khái niệm giới hạn.
+ Các tổ chức toán học :
Chúng tôi thống kê lại các KNV liên quan đến giới hạn vơ cực của hàm số có mặt trong các quyển SGK đã phân tích như sau
DANH MỤC CÁC KIỂU NHIỆM VỤ TR1R: Chứng minh dãy số có giới hạn vơ cực TR1R: Chứng minh dãy số có giới hạn vơ cực
TR2R: Tìm giới hạn của dãy số, của hàm số
TR3R: Tìm n để uRnR>M cho trước
TR4R: Quan sát đồ thị nêu nhận xét về gía trị của hàm số đã cho khi x→ ±∞, x→x1−, x→x2+, kiểm tra các nhận xét bằng cách tính các giới hạn của hàm số khi x dần tới các giá trị trên.
TR5R: Giải thích kết quả tìm được khi tính lim ( )
x ϕ d→+∞ , lim ( ) →+∞ , lim ( ) x f d ϕ − → , lim ( ) x f d ϕ +
→ trong vật lý với f là tiêu cự của thấu kính, d là khoảng cách từ vật tới quang tâm.
TR6R: Quan sát bảng giá trị của dãy số và nhận xét về giá trị của uRnRkhi n tăng lên vô hạn
TR7R: Cho đồ thị hai hàm số f(x) và g(x), từ kết quả tính
0 lim ( ), lim ( ), x f x x f x → →+∞ lim ( ), lim0 ( ) x g x x g x → →+∞ xác định
xem đường cong nào là đồ thị của hàm số nào?
TR8R: Tìm tiệm cận của hàm số.
TR9R: Tìm điểm mà hàm số khơng liên tục.
TR10R: Giải thích vì sao khơng thể dùng cách thay thế để tìm lim ( )
o x x f x
→ của các hàm số sau và tìm giới hạn đại số nếu nó tồn tại.
TR11R: Đúng hay sai: Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số và lim ( )
o x x f x
→ khơng tồn tại thì lim ( ) ( )
o
x x f x g x (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
→ không
tồn tại.
TR12R: Chọn hàm số thích hợp với bảng giá trị của hàm số trong lân cận xRoR của hàm số (xRoR là điểm mà hàm số không xác định).
Bảng thể hiện tỉ lệ các KNV liên quan đến giới hạn vô cực của dãy số, hàm số trong các SGK
Quan điểm
SGK.CB SGK.NC SGK.M
KNV NV KNV NV NV Đại số TR2R, TR8 34 82,9% TR2R, TR8 84 95,4% TR2 7 36,8% Đại số TR2R, TR8 34 82,9% TR2R, TR8 84 95,4% TR2 7 36,8% Xấp xỉ TR3R,TR4,RTR5R ,TR6R, TR7 7 17,1% TR1 4 4,6% TR8R, TR9R, TR10R, TR1R, TR12 12 63,2% Tổng cộng 7 41 100% 3 88 100% 6 19 100%
Xét trong cả hai cơ chế đối tượng nghiên cứu và công cụ nghiên cứu của khái niệm giới hạn vô cực của hàm số :SGKCB đã đưa vào 2 TCTH theo quan điểm đại số(OM1) và 5 TCTH theo quan điểm xấp xỉ (OM2) với tổng cộng 41 nhiệm vụ con. SGKNC đưa vào 2 TCTH theo quan điểm đại số (OM1) và 1 tổ chức toán học theo quan điểm xấp xỉ (OM2) với tổng cộng 88 nhiệm vụ con. Khi tìm giới hạn vơ cực, chỉ có kĩ thuật dùng các quy tắc đại số được thể chế mong đợi. Các kỹ thuật dùng đồ thị hay dùng bảng giá trị không xuất hiện trong thể chế Việt Nam nhưng có xuất hiện trong thể chế dạy học của Mỹ.
Số nhiệm vụ trong các tổ chức toán học là dấu vết của OM1( TCTH mà kĩ thuật giải thuộc quan điểm đại số) chiếm tỉ lệ gần tuyệt đối trong cả hai SGKHH. Trong khi SGK Mỹ các kỹ thuật dùng đồ thị hay dùng bảng giá trị được chú trọng và quan điểm xấp xỉ của khái niệm giới hạn lấn át quan điểm đại số.
Các SGKHH có đưa ra các bài tập dạng lim ( )
x a f x − → = −∞ và lim ( ) x a f x + → = +∞ trong đó f(x) là phân thức có mẫu là nhị thức bậc nhất
Máy tính bỏ túi khơng thể hiện vai trị gì trong việc giảng dạy khái niệm giới hạn vô cực của hàm số.
Từ những kết luận trên, chúng tôi tổng hợp các nhận xét phục vụ cho việc đưa ra các giả thuyết nghiên cứu như sau :
- Các SGK hiện hành đưa vào các khái niệm, ví dụ và bài tập về dãy số dần tới vô cực, các hàm số có giới hạn vơ cực khi x tiến tới xRoR (xRoR hữu hạn, dương vô cực hoặc âm vơ cực). Đặc biệt là SGKCB có trình bày thực nghiệm số nhằm giới thiệu khái niệm “dãy số uRnR dần tới dương vơ cực”. Chương trình phân biệt hai khái niệm +∞ và −∞. Tuy nhiên khơng có bất cứ hoạt động nào giới thiệu nghĩa của khái niệm “x dần tới âm (hoặc dương) vô cực”.
- Trong phân tích thể chế chúng tôi nhận thấy các SGKHH có đưa ra các bài tập dạng
lim ( )
x a− f x
→ = +∞ và lim ( )
x a+ f x
→ = −∞ trong đó f(x) là phân thức có mẫu là nhị thức bậc nhất vậy có thể học sinh sẽ sử dụng quy tắc hành động:
lim ( ) lim ( )
x a− f x x a+ f x
→ = − →
- Khơng có KNV mà kĩ thuật giải của nó có sử dụng định nghĩa. Vậy định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số có sống được trong thể chế dạy học hiện hành không?
- Kĩ thuật xuất hiện trong SGLM chủ yếu là đồ thị. Phần hình thành các khái niệm tiệm cận, các SGKHH cũng có dựa vào đồ thị, nhưng kĩ thuật tìm tiệm cận và kĩ thuật tìm giới hạn hàm số trong các SGKHH của Việt Nam hoàn toàn là kĩ thuật đại số. Học sinh cũng đã được ứng dụng giới hạn vào việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (phần tìm tiệm cận và giới hạn hai đầu mút). Chúng tôi tiếp tục đặt câu hỏi: Đối với học sinh Việt Nam: Mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và đồ thị của nó được hiểu như thế nào; Mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và biểu thức đại số của nó có tốt hơn mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và đồ thị của nó khơng.
- Hoạt động mở đầu giới vô cực của dãy số và giới hạn hữu hạn của hàm số, SGKCB trình bày thực nghiệm số. Như vậy có thể khi dạy giới hạn vô cực của hàm số, giáo viên cũng trình bày thực nghiệm số và cho hoc sinh dùng máy tính để hiểu khái niệm giới hạn vơ cực của hàm số và dự đốn giới hạn vơ cực của hàm số.
Từ những nhận xét trên chúng tơi muốn tìm hiểu quan niệm của học sinh về khái niệm hàm số có giới han vơ cực sau khi khái niệm này đã được giới thiệu.
Ngồi ra chúng tơi đưa ra các giả thuyết nghiên cứu như sau :
H1: Định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số không “sống” được trong thể chế dạy học hiện hành. Quan điểm đại số chiếm ưu thế hơn quan điểm xấp xỉ của giới hạn vô cực
H2:Trong học sinh tồn tại quy tắc hành động như sau: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
lim ( ) lim ( )
x a+ f x x a− f x
→ = − →
H3: Mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và đồ thị của nó mờ nhạt hơn mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và hệ thống biểu đạt đại số của hàm số đó.
H4: Máy tính bỏ túi có vai trị mờ nhạt trong việc dạy học khái niệm giới hạn của hàm số. Chúng tôi sẽ xây dựng thực nghiệm để kiểm chứng các giả thuyết trên ở chương III.
CHƯƠNG III: THỰC NGHIỆM
3.1 Mục đích thực nghiệm :
Với nhận xét trên chúng tôi xây dựng bộ câu hỏi thực nghiệm trên các học sinh sau khi đã học khái niệm giới hạn và khảo sát và vẽ đồ thị hàm số nhằm tìm hiểu quan niệm của học sinh về khái niệm hàm số có giới hạn vơ cực sau khi khái niệm này đã được giới thiệu, kiểm chứng các giả thuyết nghiên cứu đã nêu ra ở cuối chương 2 như sau:
Giả thuyết nghiên cứu
H1: Định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số không “sống” được trong thể chế dạy học hiện hành. Quan điểm đại số chiếm ưu thế hơn quan điểm xấp xỉ của giới hạn
H2: Trong học sinh tồn tại hai quy tắc hành động như sau:
lim ( ) lim ( )
x a x a
f x f x
+ −
→ = − →
H3: Mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và đồ thị của nó mờ nhạt hơn mối liên hệ giữa giới hạn hàm số và hệ thống biểu đạt đại số của hàm số đó.
H4: MTBT có vai trị mờ nhạt trong việc dạy học khái niệm giới hạn của hàm số.
Cụ thể, mục đích thực nghiệm của chúng tơi là:
- Điều tra nghĩa của cụm từ x dần đến âm vô cực (hoặc dương vô cực) - Điều tra quan điểm nào về giới hạn vô cực tồn tại chủ yếu ở học sinh.
- Định nghĩa giới hạn vơ cực của hàm số có “sống” được trong thể chế dạy học Việt Nam hay không?
- Mối liên hệ giữa đồ thị hàm số với giới hạn của hàm số và mối liên hệ giữa hàm số cho bằng công thức với giới hạn của hàm số được thể hiện như thế nào trong học sinh học chương trình hiện hành.
- Học sinh có biết sử dụng máy tính để dự đốn giới hạn của hàm số hay khơng?
3.2 Hình thức thực nghiệm: