b) Vớ in như thế nào thì ta đạt được những chồng giấy có bề dày lớn hơn khoảng cách từ Trái Đất tới mặt trăng? (cho biết khoảng
2.2.2. Giới hạn vô cực của hàm số
Từ phân tích chương trình ta thấy, chương trình u cầu định nghĩa khái niệm giới hạn của hàm số dựa trên công cụ giới hạn dãy số. Vậy những quan điểm của khái niệm giới hạn vô cực được thể hiện trong phần khái niệm giới hạn vô cực của hàm số có gì khác so với phần khái niệm giới hạn vô cực của dãy số, trong phần này chúng tôi sẽ làm rõ.
2.2.2.1. Hoạt động tiếp cận khái niệm:
Hai sách giáo khoa hiện hành SGK.C11 và SGK.N11 không giới thiệu bất cứ hoạt động nào trước khi trình bày định nghĩa. Trong SCL chúng tơi thấy có ví dụ sau đây :
“Xét hàm số ( ) 1 1
f x x
=
giá trị lập thành một dãy số xR1R, xR2R, …, xRn, …R (xn ≠1) mà xn →1, thì các giá trị tương ứng của hàm số lập thành dãy số 1 1 1 ( ) 1 f x x = − , 2 2 1 ( ) 1 f x x = − , …, 1 ( ) 1 n n f x x = − … f x( n)→ ∞. Ta nói hàm số f(x) dần tới vô cực khi x dần tới 1.”
[SCL,tr121]
Trong ví dụ mở đầu của SCL, chúng ta thấy các dãy số được chọn là hình thức. Như vậy khơng có các hoạt động thực nghiệm số lẫn quan sát đồ thị khi giới thiệu định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số.
2.2.2.2. Định nghĩa khái niệm giới hạn vô cực của hàm số.
Bảng dưới đây trích lại ba định nghĩa trong ba bộ sách giáo khoa được quan tâm.
Bảng so sánh định nghĩa khái niệm giới hạn vô cực của hàm số.
SCL SGK.C11 SGK.N11
“Ta nói rằng hàm số f(x) dần tới vô cực khi x dần tới a, nếu mọi dãy số (xRnR) (xn ≠a)sao cho limxRnR=a thì limf(xRnR)=∞. Ta viết lim ( )
x a f x
→ = ∞
(hoặc f(x)→ ∞ khi x→a)
Chú ý: Tuy viết vậy nhưng ∞không phải là một số nên thật ra hàm số f(x) khơng có giới hạn và vì vậy khơng được áp dụng các quy tắc về các phép toán trên các giới hạn của hàm số. Nếu hàm số ( )f x → ∞khi x→amà f(x)>0 với mọi x đủ gần a thì ta kí hiệu: lim ( ) x a f x → = +∞.Còn nếu hàm số ( ) f x → ∞khi x→amà f(x)<0 với mọi x đủ gần a thì ta kí hiệu: lim ( ) x a f x → = −∞ ” [SCL. tr121] “Các định nghĩa về giới hạn +∞(hoặc −∞)được phát biểu tương tự các định nghĩa 1, 2 hay 3 ở trên. Chẳng hạn giới hạn (−∞)của hàm số y=f(x) khi x dần tới dương vô cực được định nghĩa như dưới đây: Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng ( ;a +∞)Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là −∞ khi x→ ∞+ nếu với dãy số (xRnR) bất kì, xRnR>a và xn → +∞ta có (f xn)→ −∞” [SGK.C11, tr129]
“ Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm được định nghĩa tương tự như giới hạn hữu hạn của một hàm số tại một điểm. Chẳng hạn, 0 lim ( ) x x f x → = +∞có nghĩa là với mọi dãy số (xRnR) trong tập hợp (a;b)\{xRoR} mà limxRnR=xRoR ta đều có limf(xRnR)=+∞” [SGK.N11, tr147] “Các định nghĩa lim ( ) , lim ( ) , lim ( ) , à lim ( ) o o o o x x x x x x x x f x f x f x v f x − − + + → → → → = +∞ = −∞ = +∞ = −∞
được phát biểu tương tự định nghĩa 1 và định nghĩa 2” [SGK.N11, tr157]
Các định nghĩa 1, định nghĩa 2, định nghĩa 3 được nhắc đến trong các định nghĩa trên là các định nghĩa về giới hạn hữu hạn của hàm số
-5 5 x 2 -2 y y=f(x) O 2 -2 y -5 5 x y=1/x
Theo chúng tơi thì các định nghĩa của cả ba SGK đều định nghĩa khái niệm giới hạn vô cực của hàm số trên quan điểm xấp xỉ x của khái niệm giới hạn.
Trong SGK.C11, giới hạn vô cực của hàm số được trình bày trong một mục III của bài 2: “Giới hạn của hàm số” , trước định nghĩa khơng có hoạt động tiếp cận hay ví dụ mở đầu, sau định nghĩa cũng khơng có ví dụ nào vận dụng hay minh họa.
Không giống SGK.C11, trong SGK.N11, các giới hạn vơ cực của hàm số được trình bày xen kẽ trong nhiều phần như sau:
Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểmđược trình bày trong phần giới hạn của hàm số tại một điểm, nội dung của định nghĩa như trong bảng trên, sau định nghĩa có ví dụ vận dụng định nghĩa tìm 1 2
3 lim
( 1)
x→ x− ;
Giới hạn vô cực của hàm số tại vơ cực được trình bày trong phần giới hạn của hàm số tại vô cực nhưng định nghĩa không được phát biểu tường minh mà chỉ ghi là “phát biểu tương tự” định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại vơ cực, và khơng có ví dụ nào cho trường hợp này;
Giới hạn vô cực của hàm số khi x→x0±cũng được ghi là phát biểu tương tự giới hạn hữu hạn của hàm số khi x→x0±, sau đó có hai ví dụ minh họa định nghĩa
là tính
0 0 0
1 1 1
lim , lim , lim
x→ − x= −∞ x→ + x= +∞ x→ x = +∞có hình vẽ minh họa tương ứng cho hai ví dụ như sau:
Như vậy
Trong các SGKHH, khái niệm giới hạn vô cực của hàm số được định nghĩa thông qua giới hạn của dãy số theo như đúng yêu cầu của chương trình hiện hành.
Các SGKHH chỉ đưa ra một hoạt động (thực
nghiệm số) nhằm giới thiệu khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm, SGK.C11 định
nghĩa lim ( ) x f x →+∞ = −∞, cịn SGK.N11 thì định nghĩa 0 lim ( ) x x f x → = +∞
Còn các trường hợp cịn lại của giới hạn vơ cực của hàm số (10 trường hợp giới hạn vô cực của hàm số là lim ( ) , lim ( )
o o x x f x x x+ f x → = ±∞ → = ±∞, lim ( ) , lim ( ) o x f x x x− f x →+∞ = ±∞ → = ±∞, lim ( ) x f x →−∞ = ±∞) không
được định nghĩa mà được sách giáo khoa giới thiệu tương tự các định nghĩa giới hạn hữu hạn của một hàm số tại một điểm và giới hạn hữu hạn một bên và giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực.
Chúng ta cũng thấy sự thay đổi của chương trình hiện hành so với chương trình chỉnh lý hợp nhất được các SGK thể hiện một cách trung thành. Chúng tôi chỉ nhấn mạnh điểm khác biệt sau đây giữa SCL và các SGK hiện hành :
- SCL nhấn mạnh rằng “kí hiệu ∞ khơng phải là số” nên “hàm số khơng có giới hạn” và “khơng được áp dụng các quy tắc về các phép toán trên các giới hạn của hàm số”; - Các SGK hiện hành xem như hàm số có giới hạn vơ cực và khơng có ghi chú gì liên
quan đến việc có áp dụng được hay khơng các quy tắc đại số cho giới hạn hữu hạn trong trường hợp giới hạn vô cực.
Ngồi ra,
- Chúng tơi nhận thấy các SGKHH đều đưa vào định nghĩa lim n , lim ( )
x
u f x L
→+∞
= +∞ = (L
hữu hạn hoặc vơ hạn) nhưng khơng có giải thích tường minh cho cụm từ “ "x→ +∞"hay x" → −∞". Vậy học sinh hiểu cụm các cụm từ đó như thế nào?
- SGK.C11 trình bày các thực nghiệm số giúp học sinh tiếp cận các khái niệm dãy số dần tới vô cực và giới hạn hữu hạn của hàm số. SGK.N11 cũng có một thực nghiệm số giúp học sinh tiếp cận khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số. Trong thời đại cơng nghệ thơng tin phát triển, máy tính bỏ túi đã trở nên thân thuộc với mỗi học sinh. Liệu các giáo viên có sử dụng thực nghiệm số và hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính bỏ túi để dự đốn giới hạn vô cực của hàm số hay không?
2.2.2.3. Các nhận xét và một số định lí, quy tắc đại số tính giới hạn vô cực của hàm số được nêu trong các SGK mà chúng tơi chọn để phân tích.
Một vài nhận xét, giới hạn đặc biệt và các quy tắc về giới hạn vô cực của hàm số được các SGKHH nêu như trong bảng dưới đây: