Bài giảng số 4: Các bài toán liên quan đến vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn

 Ý nghĩa: Phương tích của điểm M cho biết vị trí tương đối của điểm đó với đường tròn. Trong trường hợp ta biết tiếp điểm ta có thể dùng phương trình tách tọa độ để tìm tiếp tuyếnnhư[r]

(1)

http://edufly.vn Khóa học: Hình học phẳng ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com

Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY – Hotline: 0987.708.400

Bài giảng số 4: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

 Phương tích

 Định nghĩa: Cho đường tròn   2

: 2

C x y  Ax ByC Khi PM/ C MA MB  không

phụ thuộc vào phương cát tuyến MAB đường tròn mà phụ thuộc vào vị trí điểm M Cụ thể điểm M x y 0; 0 PM/ C x02y022Ax02By0C 0

 Ý nghĩa: Phương tích điểm M cho biết vị trí tương đối điểm với đường trịn Nếu PM/ C 0 điểm M nằm bên đường tròn

Nếu PM/ C 0 điểm M nằm đường trịn

Nếu PM/ C 0 điểm M nằm ngồi đường trịn

 Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn

Giả sử ta có đường thẳng   đường trịn  C tâm I, bán kính R Kí hiệu d d I ;

Vị trí Không cắt Tiếp xúc Cắt

Điều kiện d R dR dR

Hình vẽ

Trường hợp đường thẳng tiếp tuyến đường trịn, ta tìm tiếp tuyến nhờ điều kiện d R Trong trường hợp ta biết tiếp điểm ta dùng phương trình tách tọa độ để tìm tiếp tuyếnnhư sau:

2

0

x x xx x v x   x x x x

Nếu  C :x2y22Ax2ByC0 phương trình tiếp tuyến là:

   

0 0

x x y y A xx B yy C

Nếu   C : x a 2y b 2 R2 phương trình tiếp tuyến là:

     

0

xa x a  yb y b R

(2)

http://edufly.vn Khóa học: Hình học phẳng ơn thi đại học

 Tiếp tuyến điểm A x y 0; 0 phương trình đường thẳng qua A có véc toe pháp tuyến

 ;  IA x a y b 

nên có phương trình: x0axx0  y0byy00

 Tiếp tuyến đường tròn qua điểm P x y 0; 0 nằm ngồi đường trịn đường thẳng qua P

và cách I a b ;  khoảng bán kính R

B CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1: Cho đường thẳng  d : 2xy 4 0 đường tròn   2

: 2

C x y  x y 

a) Chứng minh  d cắt  C điểm phân biệt A B ,

b) Viết phương trình đường trịn  C1 qua điểm A B có bán kính , R 5

c) Viết phương trình đường trịn  C2 qua điểm A B có tâm thuộc đường thẳng ,   : 3x4y 2 0

Lời giải: a) Cách 1: Đường trịn  C có tâm I 1;1 , bán kính R 1

Ta có:  

2

2.1

;

5

d I d      R



Vậy  d cắt  C điểm phân biệt

Cách 2: Tọa độ giao điểm  d  C nghiệm hệ phương trình:

    2

2

2 2

x y

x y x y

   

 

    

 

Từ  1 ta có: y 4 2x vào  2 ta được:

 2  

2

4 2

x   x  x  x   5x214x 

1

9

5

x y

  

  

   



1; , 2; 5

A B 

  

 

Vậy  d cắt  C điểm phân biệt A B ,

b) Do  C1 qua giao điểm  C  d nên phương trình  C1 có dạng:

 

2

2 2

x y  x y m xy  2    

2 2

x y m x m y m

        

2

1 ;

2 m

I m  

   

 ,    

2 2

2 4

1

2

m m m

R m      m   

 

Theo giả thiết: R 5

2

5 4

5

m  m

(3)

5m 4m 96

   

4

24 m

m    

   

Với m 4: Phương trình  C1 là: x2y22x2y 

Với 24

5

m   : Phương trình  C1 là: 2 2 19

5

x y  x y 

c) Do  C2 qua giao điểm  C  d nên phương trình  C2 có dạng:

 

2

2 2

x y  x y m xy  2    

2 2

x y m x m y m

        

2

1 ;

2 m

I m  

   

 

Do điểm I    nên ta có: 1  2

m

m   

    

    3 m0 m 3 Thay vào ta phương trình  C2 là: x2y28x5y13

Ví dụ 2: Cho đường tròn  C :x2y22x4y 4 0 đường thẳng  d : 4x3y110 a) Tìm tâm bán kính đường trịn

b) Viết phương trình tiếp tuyến với  C điểm

4 ; 5 M  

 

c) Viết phương trình tiếp tuyến với  C song song với đường thẳng  d

d) Viết phương trình tiếp tuyến với  C vng góc với đường thẳng  d Tìm tọa độ tiếp điểm

e) Viết phương trình tiếp tuyến với  C qua điểm A4;1

f) Gọi T T tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ điểm 1, 2 B2;3 với  C Viết phương trình đường thẳng

1 T T

Lời giải: a) Tâm I1; 2 , bán kính R 3

b) Phương trình tiếp tuyến với  C điểm 0 2; 5 M  

  là:

4

5 5

x y x   y  

      

9 12 12

0 5x y

     3x4y 

c) Ta có      d   : 4x3ym0

(4)

Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY – Hotline: 0987.708.400  , 

d I  R  

 2

4.1

3 m        10 15 m

  

25 m m       

Thay vào phương trình   ta đường thẳng thỏa mãn là:  1 : 4x3y 5

2: 4x3y250

d) Ta có: n d 4; 3  ud 3; 4 Vì      d n  ud 3; 4

Từ phương trình   có dạng: 3x4ym

Do   tiếp tuyến  C nên ta có: d I ,  R  

2 3.1

3 m       15 m

   20

10 m m       

Thay vào phương trình   ta đường thẳng thỏa mãn là:

 1 : 3x4y200 2: 3x4y100

Khi tiếp điểm là: 4; 28

5       , 14 ; 5       e) Gọi   :ax by  c

Do A    nên ta có: 4a  b c c 4a b

Do   tiếp tuyến  C nên ta có: d I ,  R

2 2

3

a b c

a b

 

 



2

a b a b a b

     

2 3a 3b a b

    2ab0

0 b a       +) Với b 0: Chọn a 1 c 4  1 :x 4

+) Với a 0: Chọn b   1 c 1  2:y 1

f)

Cách 1: Ta có BI  26, theo định lý pitago ta có

2

1 17

BT BT  BI R  Đường trịn tâm B bán kính BT1 có dạng

 2  2 2 2

2 17 ( ')

x  y  x y  x y  C

Khi đường thẳng qua T T giao hai đường trịn (C) (C’) có dạng 1, 2

2 2

2 4

5

x y x y x y x y

x y

        

(5)

Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY – Hotline: 0987.708.400 Cách 2: Gọi T x y1 1; 1, T2x y2; 2

1

BT tiếp tuyến với  C T nên ta có phương trình 1 BT là: 1

   

1 1

x xy y xx  yy  

Do B2;3BT12x13y1 2 x1 6 2y1 4 x15y1 

Tương tự với điểm T ta hệ thức: 2 x25y2 

Do T T thuộc đường thẳng 1, 2 x5y

Vậy phương trình T T là: 1 x5y

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2x - 2my + m2 - 24 = có tâm I đường thẳng : mx + 4y = Tìm m biết đường thẳng  cắt đường tròn (C) hai điểm phân biệt A,B thỏa mãn diện tích tam giác IAB 12

Lời giải:

Đường trịn (C) có tâm (1;I m R ),

Điều kiện để đường thẳng  cắt (C) hai điểm phân biệt

A, B

2

( ; ) 16

16

m

d I R

m

     



(Đúng với m)

Giả sử IH đường cao tam giác IAB, ta có ( ; )

IH d I 

Theo giả thiết

2

5

12 24

2 16

5

2 24

16

IAB

m

S IH AB AH

m m

R IH

m

    



  



:m x+4y=0

H A

I

B

4

2

5 20

12 337 2304

16 16

16 3 m

m m

m

     

 

    

(6)

Ví dụ 4: (ĐH-A 2008) Trong mặt phẳng toạ độ cho đường tròn (C) có phương trình (x – 4)2 + y2 = điểm E(4; 1) Tìm toạ độ điểm M trục tung cho từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường

tròn (C ) A, B tiếp điểm đường thẳng AB qua E

Lời giải:

Gọi M(0; m) thuộc trục tung Oy Goi I(4; 0) tâm ( C ) R =

Ta có 2 2 2 2

16 12

MI MA R MA MI R  m  m 

Vậy

12

MAMB m 

Khi đường trịn tâm M bán kính MA có dạng:

 2

2 2 '

12 12 ( )

x  ym m   x y  my  C

Vậy phương trình đường thẳng AB giao ( C ) ( C’) có dạng

2 2

8 12 12 12

x y  x x y  my  xmy  (d)

Vì điểm E(4; 1) thuộc (d) nên suy : 16m120m4

Vậy điểm M(0; 4) điểm cần tìm

Ví dụ 5: Cho đường trịn   C : x12y12 25 Lập phương trình đường thẳng d qua M7;3 cắt

 C hai điểm A ,B phân biệt cho MA3MB

Lời giải

Gọi H trung điểm BC, MA = 3MB nên suy MB = AH = HB

Tâm đường tròn I(1; -1) Xét tam giác vuông

IHM

 H, ta có

2 2

2

52 4( )

52 100

IM MH IH

IM BH IH

R IH IH

IH

 

  

   

  

Suy IH =

B

I

(7)

Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY – Hotline: 0987.708.400 Gọi véc tơ pháp tuyến đường thẳng cần lập (a; b), phương trình tổng qt có dạng

( 7) ( 3)

7 ( )

a x b y

ax by a b d

   

    

Vậy 2

2

7

( , ( )) a b a b 2

IH d I d a b a b

a b

  

     



2 0,

5 12

12,

a b

a ab

a b

 



    

  



TH1: Nếu a = 0, b = đường thẳng cần lập có dạng: y – =0

TH2: Nếu a = 12, b = -5 đường thẳng cần lập có dạng: 12x – 5y - 69 =

Ví dụ 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vng A, B(1; 1) phương trình đường

thẳng AC: 4x3y320. Tia BC chứa điểm M cho BM.BC=75 Tìm tọa độ điểm C biết bán kính

đường trịn ngoại tiếp tam giác AMC 5

Lời giải

Ta có

2 32

( , )

3

BAd B AC     

Theo tính chất cát tuyến kẻ từ B, ta có

75 BM BC 15

BE BA BM BC BE

BA

    

Suy AE 10, theo định lý pitago ta có

 2

2 2

5 10 25

AC CE AE    AC

Cũng theo pitago tam giác ABC, ta có

5 BC 

Đường trịn tâm B đường kính BC có dạng

 2  2

1 50

x  y  (C)

I A

B

E

C

(8)

Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY – Hotline: 0987.708.400 Vậy tọa độ điểm C nghiệm hệ

 2  2

4 32 (2; 8)

(8; 0)

1 50

x y C

C

x y

  

 





 

    

 

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1:

a) Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn x32y12 25 điểm nằm đường trịn có

hồnh độ 1 ĐS: 4x3y100; 4x3y16

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn   2

:

C x y  x y  giao điểm đường

tròn với trục Ox ĐS: 3x  y 0; 3x y 15 Bài 2:

a) Viết phương trình tiếp tuyến với đường trịn x2y2 2 biết tiếp tuyến có hệ số góc ĐS: y  x

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đường trịn x2y12 25 biết tiếp tuyến vng góc với đường

thẳng 3x4y  ĐS: 4x3y220; 4x3y28

Bài 3: Cho đường tròn  C :x2y22x4y 5

a) Viết phương trình tiếp tuyến  C vng góc với đường thẳng 3xy

ĐS: x3y150; x3y 

b) Viết phương trình tiếp tuyến với  C qua điểm A3; 2  Gọi T T tiếp điểm Viết phương 1,

trình đường thẳng T T viết phương trình đường trịn ngoại tiếp 1 2 AT T1 2

ĐS: x2y  ; 2

4

x y  x  Bài 4: Lập phương trình đường trịn:

a) Qua điểm A1; 2 tiếp xúc với trục tọa độ ĐS:

2

10 10 25

x y x y

     



    



b) Tiếp xúc hai đường thẳng song song  1 : 2xy 3 2: 2xy 5 có tâm nằm

Oy ĐS: 2 11

5

x y  y 

c) Tiếp xúc với đường thẳng   : 2xy 5 điểm T2;1 có bán kính

ĐS:

2

4 15

12 25

x y x y

     



    

 d) Tiếp xúc hai đường thẳng x2y  x2y  qua gốc tọa độ

ĐS:

2

4

x y x y

    



   

(9)

Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường tròn   C : x12y22  đường thẳng  d : 3x4ym0 Tìm m để  d có điểm P mà từ kẻ hai tiếp tuyến

,

PA PB tới  C , với A B tiếp điểm, cho , PAB

ĐS: m19;m 41

Bài 6: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường tròn  C :x2 y22x6y 6 điểm  3;1

M  Gọi T 1 T tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ 2 M đến  C Viết phương trình đường

thẳng T T 1 2 ĐS: T T1 2: 2xy 3

Bài 7: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho hai điểm A2; 0 B6; 4 Viết phương trình đường trịn  C tiếp xúc với trục hoành điểm A khoảng cách từ tâm  C đến điểm B

ĐS:    

   

2

2 1

2 49

x y

    



    



Bài 8: Cho đường tròn   C : x12 y22 9 Lập phương trình đường thẳng d qua M4;3 cắt  C

tại hai điểm A ,B phân biệt cho MA2MB

Đáp số:

Bài 9: Cho đường tròn  C :x2y22x4y11 0 điểm M3; 1 .Viết phương trình đường thẳng

d qua M cắt  C theo dây cung ngắn

Đáp số:d: 2x3y 9 0

Bài 10: Cho hai đường tròn  C :x2y12 4  C : (x1)2y2  Viết phương trình đường

thẳng d tiếp xúc với ( )C cắt  C hai điểm phân biết A, B cho ' AB 2

Đáp số: :d x   2 d y  : 0

Bài 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C1) :x2(y1)2 4; (C2) : (x1)2y2 2 Viết

phương trình đường thẳng , biết  tiếp xúc với (C 1)  cắt (C2) điểm phân biệt A B