Chuyên đề: Các bài toán hình phẳng về đường tròn vô địch toán các nước

10.4 ( Anh, 77) Cho tam giác ABC đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với BC tại D. Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp tam giác đó nằm trên đường thẳng đi qua trung điểm của BC và[r]

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page Chun đề: ĐƯỜNG TRỊN VÀ HÌNH TRỊN

10.1 ( CHDC Đức, 73) Cho tứ giác lồi ABCD, AB = AD CD = CD

Chứng minh

a) Có thể vẽ đường tròn nội tiếp tứ giác;

b) Có thể vẽ đường trịn ngoại tiếp tứ giác AB vng góc với BC;

c) Nếu AB vng góc với BC bình phương khoảng cách tâm đường tròn nội tiếp ( bán

kính r) tâm đường trịn ngoại tiếp ( bán kính R) bằng: 2 2

4 R r r r  R

10.2 ( Rumani, 78) Chứng minh bốn đỉnh hình vng khơng xếp tương ứng đường trịn đồng tâm mà bán kính lập thành cấp số cộng

10.3 ( Nam Tư, 83) Trên cung AB đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD, người ta lấy điểm M khác A B Gọi P, Q, R S hình chiếu điểm M đường thẳng AD, AB, BC CD Chứng minh đường thẳng PQ RS vng góc với giao điểm chúng nằm hai đường chéo hình chữ nhật

10.4 ( Anh, 77) Cho tam giác ABC đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với BC D Chứng minh tâm đường tròn nội tiếp tam giác nằm đường thẳng qua trung điểm BC AD

10.5 ( Áo, 72) Cho hai đường tròn tiếp xúc Ở đường tròn lớn vẽ tam giác nội tiếp Từ đỉnh tam giác trên, kẻ tiếp tuyến với đường tròn nhỏ Chứng minh độ dài tiếp tuyến tổng độ dài hai tiếp tuyến lại

10.6 ( Mỹ, 79) Từ điểm P cung BC đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, người ta kẻ đường PK, PL, PM vng góc với đường thẳng BC, AC AB ( K, I, M chân

đường vng góc) Chứng minh rằng: BC AC AB PK  PL PM

10.7 ( CHDC Đức, 70; Nam Tư, 72)

a) Giả sử O tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, D giao điểm AO với đường tròn ngoại tiếp tam gaics ABC Chứng minh rằng: DB = DC = DO

b) Chứng minh ABCD tứ giác nội tiếp tâm A B C D1, 1, 1, 1 đường tròn nội tiếp tam giác BCD, CDA, DAB, ABC đỉnh hình chữ nhật

10.8* ( Ban Căng, 84) Chứng minh tứ giác A A A A1 2 3 4 nội tiếp đường tròn tứ giác

1

H H H H mà đỉnh giao điểm đường cao tam giác:

2 4,

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 10.9 a) ( Mỹ, 82) Đường chéo tứ giác nội tiếp đường trịn chia thành hai tam giác Chứng minh tổng bán kính đường trịn nội tiếp hai tam giác không phụ thuộc vào cách chọn đường chéo

b) ( Bungari, 78) Chứng minh đường cao lớn tam giác không tù khơng bé tổng bán kính đường trịn nội tiếp ngoại tiếp tam giác Khi đẳng thức xác định

10 10 ( Nam Tư, 77) Trên mặt phẳng có 100 điểm xếp Chứng minh tồn tai tập hợp hữu hạn hình tròn thỏa mãn điều kiện sau:

1) Bất kỳ điểm cho trước năm trong hình trịn

2) điểm hình trịn khác có khoảng cách lớn 1;

3) Tổng đường kính tất hình trịn bé 100

10.11 ( Bắc Kinh, 63) Trên mặt phẳng có 2n + điểm xếp, khơng có điểm thẳng hàng khơng có điểm nằm đường trịn Tồn hay khơng đường trịn qua điểm số chứa điểm lại?

10.12 ( Bungari, 78) Chứng minh rằng, đa giác lồi tìm ba đỉnh liên tiếp cho đường trịn qua chúng bị giới hạn hình trịn bao phủ tồn đa giác

10.13 ( Phần Lan, 80) Trong n > 1, cặp cạnh đối diện 2n – giác nội tiếp đường tròn, người ta chọn n – cặp cạnh song song với Hãy tìm tất giá trị n để cạnh cặp lại thiết phải song song với nhau,

10.14 ( Bungari, 82) Trên mặt phẳng có n đường trịn khác có bán kính xếp khác Chứng minh có số chứa cung, khơng cắt với đường trịn số đường trịn cịn lại có độ dài khơng nhỏ 2P/n

HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

10.1

a) Theo giả thiết ta có: AB + CD = AD + BC

Điều chứng tỏ vẽ đường trịn nội tiếp tứ giác

b) Vì AB = CD, BC = AD, AC chung nên ABC ADC ADC1v

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page c)Giả sử đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD có tâm N, tiếp xúc với cạnh AB BC N1 N2 M tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác ABCD hình chiếu cạnh AB BC

1

M M2 Dễ dàng chứng minh N, M nằm AC

Ta ký hiệu AB = x, BC = y, từ tam giác AN, N đồng dạng với tam giác ABC ta có:

1

1

AN

x AB x r y BC N N r



  

Nghĩa là: xyr x y

Mặt khác: x2y2  AB2BC2  AC2 4R2

Nhưng  2 2  

2

xy x  xyy  R  r xy

 2   2

2

x y r x y R

     

2

4

x y r r R

    

Xét tam giác vuông MIN ta có: MN2 NI2MI2

Hay 2

1 2

MN N M N M

2 2

1

2 2

AB BC x y

BN BN r r

       

           

       

   

2 2

2 2

2

4

x y R

r x y x r r R r r



        

2 2

4 R r r R r

    (đpcm)

10.2Nếu đỉnh hình vng xếp đường trịn đồng tâm có bán kính theo thứ tự

, , ,

a a d a  d a d, theo định lý 79, có đẳng thức sau đúng:

     

     

   

2 2

2

2 2

2

2

2

2

2

( )

a a d a d a d

a a d a d a d

a d a d a d a

     

     

     

Ta thấy đẳng thức khơng đúng, với a, d > vế trái nhỏ vế phải Vậy khơng thể xếp đỉnh hình vng vòng tròn đồng tâm cho

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page RSMSMRQL QB

   

PQAQMQ   

Theo định lý 71 ta được: RSMSMRQL QB    

PQAQ QLMQ QBMQ QLAQ QBa bc d         

ở ký hiệu: MQ = a, QL = b, AQ = c, Qb = d

Điều chứng tỏ rằng: PQRS

Giả sử đường thẳng RS cắt đường thẳng PQ BD điểm tương ứng T E, F giao điểm đường thẳng BD QR Khi từ cặp tam giác đồng dạng phân biệt ta có:

 

d b a

BQ AD QF

BA c d



 



( tam giác BQF đồng dạng với tam giác BAD)

  d b a  c b a 

FS QS QF b a

c d c d

 

     

 

 

 

~ EF RE RB a c d

RBE S

ES FS c b a



    



~

RPT RSM RT RS RM RP

   

~

RSM QST TS RS QS MS

   

 

   

ES

d c d a c d

RS RM RP RE

TS QS MS b b a c b a

 

    

  (

b a

d  c )

Chứng tỏ rằng: TE Vậy PQ.RS BD cắt điểm

10 Giả sử đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB AC điểm E F, đường tròn bàng tiếp tiếp xúc với cạnh CB điểm L phần kéo dài AB AC M N Khi ta có:

2DBDB BE CB CD ABAECBAB CF AFCBABAC

2CLCL CN CB LB ANACCB BM AMACCBABAC

Suy

2

CB AB AC

DB   CL nghĩa trung điểm đoạn BC trùng với trung điểm đoạn LD

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page Để ý phép vị tự tâm A, biến đường tròn bàng tiếp thành đường tròn nội tiếp Nhờ phép vị tự điểm L biến thành D’ Suy điểm L, D’, A nằm đường thẳng, trung điểm đoạn thẳng LD, D’D AD nằm đường thẳng đường trung bình tam giác ADL ( song song với BL) Nghĩa tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nằm đoạn thẳng nối trung điểm BC AD

10.5 Giả sử D điểm tiếp xúc hai đường tròn, ABC tam giác nội tiếp đường trịn lớn Khơng tính tổng qt thử điểm D nằm cung AB ( hình 32) Ta chứng minh DC = DA + DB

Trên CD ta lấy điểm M cho AD = DM ( để ý DCBCABAD) tam giác ADM tam giác cân có : ADM  ABC60 Dẫn đến quay xung quanh điểm A góc 60, điểm D chuyển đến điểm M, điểm B chuyển đến điểm C, BD = MC DC = DM + MC = AD + DB

Giả sử R r bán kính đường trịn lớn đường trịn nhỏ IA,IB,IClà độ dài ba tiếp tuyến kẻ tới đường tròn nhỏ từ đỉnh A, B, C A’ điểm khác D ( Nếu A khác D, trường hợp ngược lại A’ = D) giao điểm đường thẳng AD với đường tròn nhỏ Điểm A’ nhận từ điểm A qua phép vị

tự tâm D tỉ số r

R

 ( hai đường trịn tiếp xúc ngồi tỉ số lấy dấu - , hai đường tròn

tiếp xúc tỉ số lấy dấu +) Bởi vậy: AA ' AD AD' AD r R

 

     

 

Và theo định lý tiếp tuyến cát tuyến ta có: IA AD.AA ' AD r R

  

Chứng minh tương tự: IB BD r; R

  IC CD r ; R

 

Vậy: IA IB IC

10.6 Trên đoạn BC tồn điểm N , cho: PNBPCA ( PCBPCA180PBA180PBC )

Khi có BPN ~APC CPN~APB

Bởi vì: PBCPAC PBCPAB PNC ; 180PNBPBA

Với PK đường cao tam giác BPN, CPN, PL PM hai đường cao hai tam giác

đồng dạng PC APB ta được: AC BN;

PL  PK ;

AN CN

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page Suy ra: AC AB BN CN BC

PL PM PK PK



   ( đpcm)

10.7a) Ta ký hiệu BAC;ABC;BAC

khi có:  

DABDAC suy BD = DC (1)

Do:     

2

OCDOCBBCD ACBBAD 

Nên  180 

2 2

OCD               COD DODC (2)

Từ (1) (2) ta có: BD = DO = DC

b)Ta ký hiệu AD2 ; AB2 ; BC2 ; CD2

Còn trung điểm cung BC CD hai điểm tương ứng M N Khi điểm D1 vàB1 nằm

trên đoạn tương ứng AM AN1, A1 giao điểm đoạn thẳng BN DM

Dễ dàng chứng minh được: MD1MBMCMA1

Bởi tam giác D MA1 cân, suy ra:

Chứng minh tương tự ta được: 1 1 180  90

2

D A M   AMD 

 

 



1 90

2

B A N 

Do 1 1

2

DA N BA M   nên D A B1 1 180 DA M1 B A N 1 DA N1

 

    

 



180 90 90 90

2 2

          

   

        

   

   

Chứng minh tương tự ta ba góc tứ giácA B C D1 1 vuông

10.8Trước hết ta chứng minh trung điểm đoạn thẳng A H1 A H2 trùng Thật vạy,

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page đường thẳng với đường tròn ngoại tiếp tứ giác A A A A1 2 3 4 Khi đó: A H2 1 song song KA3 (

2

A H A A ) A H3 1 song song với KA2 A H3 1 A A2 4 KA A2 4 90 KA4là đường kính

Bởi tứ giác KA H A2 hình bình hành, suy ra: A H2 1A H1

 

A H A H1 1; 2là đường chéo

hình bình hành A H H A1 2, nghĩa trung điểm hai đoạn thẳng A H A H1 1; 2 trùng

Bằng cách chứng minh tương tự, ta chứng minh cho trung điểm đoạn thẳng A H2 2trùng với trung

điểm đoạn A H3 A H3 trùng với trung điểm đoạn A H4 Từ dẫn đến tứ giác A A A A1

có điểm đối xứng trung điểm đoạn thẳng A H A H1 1; 2 2;A H A H3 3; 4 4 Đến toán chứng minh xong

10.9a) Giả sử tứ giácA A A A1 2 3 4 nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R, cịn hình chiếu điểm O

các dây cung A A A A A A A A A A1 3, 1 2, 2 3, 3 4, 4 1 H H H Ho, 2, 3, 4chính trung điểm dây cung

Kí hiệu h1OH i1 0, , 4

Giả sử s s1, p p1, diện tích nửa chu vi tam giác A A A1 A A A3 , r r1, bán

kính đường trịn nội tiếp chúng

Ta xét tam giác có chứa điểm O ( tồn có nghĩa điểm O nằm tứ giác ban đầu) Giả sử điểm O xác định nằm tam giác A A A1 Sử dụng định lý Ptoleme ( định lý 69) đối

với tứ giác nội tiếp A H OH3 o 2,A H OH1 1 o,A H OH2 2 1 từ yếu tố H H H H H Ho 2, o 1, 1 2 đường trung bình tam giác A A A1 2 3 ta có:

Suy (Rr p1) 1RH Ho 2RH Ho 1RH H1 2s1

 3  1 1  2 2  1 3 1

1

o o o o o

h H A h H A h H A h H A h H A h H A h A A h A A

       

h1 h2 h p3

  

Suy R   r1 h1 h2 h3

Bây ta xét trường hớp tâm đường trịn ngoại tiếp nằm ngồi tam giác Trong trường hợp có số đỉnh với điểm O nằm nửa mặt phẳng khác có bờ cạnh đối Giả sử đỉnh A4 tam giác A A A3 4 1 Khi tứ giác

1 o , 3 o , 4

A H H O A H H O A H OH nội tiếp,

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page

 4 1 3 3  4 4  3 4 1 3

1

( )

2

o o o o o o o

h H A h H A h H A h H A h H A h H A h A A h A A h A A

        

h3 h4 hop2 R r2 h3 h4 ho

        (2)

Từ (1) (2) ta có: r1     r2 h1 h2 h3 h4 2R

Trong trường hợp tổng quát bán kính đường trịn nối tiếp phải tìm tổng giá trị

1, 2, 3, 4,

h h h h R, phụ thuộc vào cách xác định điểm O tứ giác A A A A1 2 3 4 dẫn đến tổng

không phụ thuộc vào cách dựng đường chéo

b) Giả sử tam giácA A A1 2 3 khơng tù, cịn k k k1, 2, 3 độ dài đường cao hạ từ đỉnh A A A1, 2, 3xuống cạnh đối diện tất kí hiệu yếu tố lại tham số tam giác

1, 2,

A A A bảo tồn Khơng giảm tính tổng qt, giả thử k1k2 k3 thì: k A A1 2 3 k A A2 1 2 2S1

Nên A A2 A A1 3 A A1

Như có:

2 2 2 1

1

3

1 2

2 o o

o h A A h A A h A A h A A h A A

S

k h h h R r

A A A A A A

  

       

( Đằng thức cuối xác lập phần a)

Như ta chứng minh bất đẳng thức cần thiết Với trường hợp tam giác A A A1 nhọn,

điểm O nằm O nằm nó, suy h2> 0, đẳng thức xảy k1k3nghĩa tam

giác Nếu tam giác A A A1 2 3 mà vng, A190 ; h2 0,h10 đẳng thức xảy k2 k3, nghĩa tam giác vuông cân

10.10Ta xét quy trình sau đây, kết thúc thực số bước Ở bước thứ

mỗi số điểm cho trước phủ hình trịn đường kính

1200 Giả sử sau k bước kN cách khoảng không lớn 1, ta ký hiệu O O1, 2là tâm đường tròn

1, 2, 3,

A A A A giao điểm đường thẳng O O1 2 với đường trịn bị giới hạn hình trịn (

điểm A2và A3nằm hai điểm A1và A4, A A2 31 Khi bước k + kết thúc hai hình trịn

được nêu thay hình trịn dựng đoạn A A1 4 đường kính Quy trình mơ tả tiếp tục

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page Bởi sau bước thứ số hình trịn có 100, cịn bước số hình trịn giảm nên số bước không thay vược 100 Bởi quy trình thứ thiết kết thúc, điều kiện 1) Thực bước thực cuối quy trình Vì sau bước thứ tổng cách đường

kính 100 0,

200  , bước tăng them khơng lớn 1, nên kết tổng đường kính khơng vượt số 0,5 + 99 < 100 nghĩa điều kiện 3) thỏa mãn

10.11 Lấy đường thẳng cho tất điểm nằm nửa mặt phẳng dịch chuyển song song gặp điểm thứ A1 Sau quay đường thẳng nhận quanh điểm

1

A chừng gặp điểm thứ hai khác A2 Khi tất điểm lại nằm nửa mặt

phẳng có bờ đường thẳng A A1 Ta đánh số điểm A3 A2n3 cho bất đẳng thức sau thỏa

mãn:

 

1 i

A A A  A A A với I = 3,…,2n+2

Đẳng thức A A A1 A A A1 i1 xảy với giá trị I ( điểm A A A1, i, i1,A2khơng

nằm đường trịn.) Bởi bất đẳng thức A A A1 2 3 A A A1 i1 2 xảy với n điểm

4

i n n

A A A  mà điểm ( chúng) nằm hình trịn bị giới hạn đường tròn qua điểm A A1, n3,A3

10.12Trong số tất đường tròn qua đỉnh đa giác cho trước, có hai đỉnh kề

nhau,còn cạnh nối hai đỉnh nhìn từ đỉnh thứ ba góc khơng q 90( tập hợp

ba đỉnh khác rỗng, chứa ba đỉnh liên tiếp đa giác, đồng thời AA1A2 90 

Giả sử có đỉnh B đa giác cho trước nằm ngồi đường trịn giới hạn đường trịn G Vì đỉnh

B đỉnh A nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng A A1 2nên

 

1 AA1 90

A BA  A  và ( theo định lý hàm số sin) bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác A A B1 2 lớn R, điều trái

việc chọn đường tròn G Như đường tròn chọn giới hạn hình trịn phủ tồn đa giác Ta chứng minh đỉnh A, kế với đỉnh A2và khác A1 nằm đường tròn chọn Giả

sử không vậy, nghĩa điểm A3  A nằm hình viên phấn hình trịn ứng với dây cung

2

A A Khi A A A2 180 A A A2 90

 và ( theo định lý hàm số sin) lại có bán kính đường trịn ngoại

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 10 10.13Ta chứng minh giá trị n tìm tất số lẻ n > Giả sử n lẻ 2n – giác A1 A2n, tất cặp cạnh đối diện song song với nhau, trừ nhiều cặp, chẳng hạn

cặp A A1 2n,A An n1 Nếu A A A1 2 n1180

Thì A A2 n1An2 A A A2 n n1An1An2

  

1 2n n n n 360 n 180

A A A A A A A A 

     

( A A1 2 song song

1

n n

AA )

Chứng minh tương tự ta được: A A3 n2An3180   A An n1A2n

 

180 n  180      

Bởi vậy: A A A1 2 n 180  A An n1An1An2A2n

Suy ra: A An n1 song song A A1 2 n

Bây ta chứng minh giá trị n (lẻ) tồn 2( n – ) – giác, cho điều kiện tốn khơng thỏa mãn Lấy 2n – giác A1 A2bât kỳ cho cạnh đối song song với

1 n 180

A A A   Để làm điều này, cần A A1 n1180 chia thành n cung điểm A2 An vẽ dây cung liên tiếp An1An2 song song A A1 2, A2n1A2n song song An1An sau heo chứng minh ta có A A2n 1 song song A An n1 thêm

  

2 n n 2 n 2n n 180

A A A A A A A A A  

Bởi A A A2 nA A2n 2n1An2 A A2 n1An2 A A2n n1An

 

2 n n 360 2n n

A A A   A A A 

   

 



Nghĩa đoạn thẳngA A2 2n A An n2không song song ( n – ) – giác có n – cặp cạnh

đối diện song song

10.14Với n = độ dài đường trịn đơn vị cung có độ dài 2

n



  nghĩa khẳng định toán

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 11 góc với đưởng thẳng trên, qua tâm chọn, cắt đường trịn cung có độ dài 2

n



  cung

khơng cắt đường tròn lại Bây xét trường hợp tâm đường tròn lại Bây xét trường hợp tâm đường trịn khơng nằm đường thẳng Từ tất đa giác lồi với đỉnh tâm ( tập hợp đa giác thể khơng rỗng) chứa tam giác Ta chọn đa giác mà bên ngồi có số tâm bé Ta chứng minh rẳng ngồi đa giác chọn khơng cịn tâm số tâm

Thật vậy, có tâm O nằm ngồi đa giác chọn, vẽ qua đường thẳng khơng cắt đa giác quay đường thẳng quanh điểm O gặp đỉnh thứ A sau gặp đỉnh cuối B đa giác ( có vài điểm chọn điểm cách xa O nhất) Cuối tất đỉnh đa giác nằm tam giác AOB thay ba đỉnh A, O, B lúc bên đa giác nhận có số điểm ngồi đa giác chọn

Mâu thuẫn có nghĩa tồn k – giác lồi k n với đỉnh tâm, mà chứa tất tâm Bởi tổng góc ngồi k – giác 360 , nên tìm góc ngồi khơng bé

360 360

k  n

 

Giả sử góc ngồi B OA1 góc O k – giác Khi đường thẳng OL

OM vng góc với cạnh tương ứng OB OA cắt đường trịn tâm O thành cung LM có độ dài

không bé

n



Bởi LOMB OA1 Ta chứng minh cung khơng cắt đường trịn

khác Thật giả sử N điểm tùy ý cung LM, NOA90 NOB90

Nên đường trịn với tâm N bán kính I có với k – giác điểm chung O Điều nghĩa tâm đường tròn qua điểm N phải trùng với tâm O, khẳng định chứng minh

Trích từ “ CÁC ĐỀ THI VƠ ĐỊCH TỐN 19 NƯỚC TRONG ĐĨ CĨ VIỆT NAM”- NXB Trẻ Tài liệu tham khảo cho học sinh giỏi Tốn thi vơ địch Tốn quốc gia & quốc tế ( Tập 1)