Chuyên đề được đưa nhằm giúp học sinh có được phương pháp cơ bản sử dụng kiến thức hình học để giải quyết lớp bài toán về số phức. Cụ thể như sau: a) Về kiến thức: Định nghĩa số phức và các khái niệm liên quan. Các phép toán về số phức: cộng, trừ, nhân, chia; các phép toán về liên hợp của một số phức và modun của số phức. Tri thức phương pháp giải bài toán tìm điểm biểu diễn của một số phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức thỏa mãn điều kiện cho trước và bài toán tìm GTLN –NN của biểu thức số phức nhờ công cụ hình học.
Trường THPT Bình Xuyên Th.S Đào Thùy Linh PHẦN I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Số phức nội dung quan trọng đưa vào cuối chương trình Giải tích 12 với mục đích kết thúc việc giới thiệu hệ thống tập hợp số cho học sinh: số tự nhiên, số nguyên, số thập phân, số hữu tỉ, số thực, số phức Những năm gần đây, đề thi Đại học – Cao đẳng thường có toán số phức với đủ mức độ nhận biết – thông hiểu – vận dụng vận dụng cao Do đó, việc dạy học giải tốn nội dung ôn thi THPT Quốc Gia trường THPT Tuy nhiên, thời lượng dạy học nội dung không nhiều nên đa phần giáo viên chưa quan tâm đến việc phát triển nhiều phương pháp giải toán cho học sinh Trong phương pháp giải toán số phức, tiếp cận tốn góc độ hình học ta tìm lời giải hay hiệu cho tốn Vì lí trên, tác giả chọn đề tài chuyên đề hội thảo “Giải tốn số phức góc độ Hình học” 1.2 Mục tiêu chuyên đề Chuyên đề đưa nhằm giúp học sinh có phương pháp sử dụng kiến thức hình học để giải lớp tốn số phức Cụ thể sau: a) Về kiến thức: - Định nghĩa số phức khái niệm liên quan - Các phép toán số phức: cộng, trừ, nhân, chia; phép toán liên hợp số phức modun số phức - Tri thức phương pháp giải tốn tìm điểm biểu diễn số phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức thỏa mãn điều kiện cho trước tốn tìm GTLN –NN biểu thức số phức nhờ cơng cụ hình học b) Về kĩ năng: Rèn luyện kĩ giải toán số phức gồm: - Giải toán điểm biểu diễn số phức - Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức thỏa mãn điều kiện cho trước - Giải toán – max biểu thức số phức nhờ công cụ hình học c) Về tư duy, thái độ: - Phát triển tư logic, tư sáng tạo - Tính cẩn thận, xác tính thẩm mĩ Chuyên đề hội thảo ơn thi THPTQG 2019 Trường THPT Bình Xuyên Th.S Đào Thùy Linh 1.3 Đối tượng thời lượng 1.3.1 Đối tượng: Học sinh lớp 12 học sinh học xong chương trình Tốn 12 ơn thi THPTQG 1.3.2 Thời lượng: Nội dung chuyên đề dự kiến dạy học tiết PHẦN II GIẢI BÀI TOÁN SỐ PHỨC DƯỚI GĨC ĐỘ HÌNH HỌC 2.1 Lý thuyết 2.1.1 Kiến thức bản: a) Định nghĩa số phức: + Dạng đại số: z = a + bi , ( a, b Các kết quả: Cho số phức z = a + bi , (a, b R, i2 = - 1) R), ta có: + Phần thực a, phần ảo b, đơn vị ảo i + Môđun số phức : | z| + Số phức liên hợp : z a2 b2 a bi + Điểm biểu diễn số phức mặt phẳng tọa độ (Oxy) : M(a ; b) + Hai số phức phần thực phần ảo chúng tương ứng b) Các phép toán số phức Phép cộng, trừ nhân số phức thực tương tự cộng, trừ nhân số thực với ý i2 = - Phép cộng phép trừ số phức Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa: z z z' z' ( a a ') (b b ')i ( a a ') (b b ')i Phép nhân số phức Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa: zz ' aa ' bb ' (ab ' a ' b)i Phép chia hai số phức Phép chia số phức z1 cho số phức z2 thực theo quy tắc sau : Chuyên đề hội thảo ơn thi THPTQG 2019 Trường THPT Bình Xuyên Th.S Đào Thùy Linh z1 z1 z2 z2 z2 z2 z1 z2 | z2 |2 Chú ý : Tất tính chất mà với phép tốn số thực số phức Liên hợp số phức z1 z2 z2 , z1 z2 z1 z1 z2 , z1 z2 z1 z2 c) Phương trình bậc hai với hệ số thực * Cho phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0, có =b2 – 4ac + Nếu > 0, PT có nghiệm thực phân biệt x1,2 + Nếu = 0, PT có nghiệm kép x1 = x2 = + Nếu < 0, PT có nghiệm phức x1,2 b 2a b 2a b i | | 2a * Cho phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = Khi b chẵn có b’ = b/2 ; ' =b’ – ac b' + Nếu ' > 0, PT có nghiệm thực phân biệt x1,2 + Nếu ' = 0, PT có nghiệm kép x1 = x2 = b' a + Nếu ' < 0, PT có nghiệm phức x1,2 b ' i | '| a ' a 2.1.2 Các phép toán modun số phức Cho số phức z , z ' M , N điểm biểu diễn cho z , z ' Ta có: 1) z z 2) zz z 3) z.z ' z z' Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019 Trường THPT Bình Xuyên 4) z z z' 5) z z' ,z' Th.S Đào Thùy Linh OM 6) z z ' MN 7) z z ' 2OI , với I trung điểm đoạn thẳng MN 2.2 Giải tốn số phức góc độ hình học 2.2.1 Bài tốn điểm biểu diễn số phức Cách giải: Số phức z a ) có điểm biểu diễn mặt phẳng bi ,(a, b phức M(a; b) Mức độ 1: Nhận biết Câu 1: Điểm M hình vẽ bên điểm biểu diễn số phức A z i C z i B z y M 2i D z 2i Lời giải Điểm M( 2;1) biểu diễn số phức z 2 O x i Chọn A Câu 2: Trong mặt phẳng phức gọi M điểm biểu diễn cho số phức z a bi ( a, b , ab ), M điểm biểu diễn cho số phức z Mệnh đề sau đúng? A M đối xứng với M qua Oy B M đối xứng với M qua Ox C M đối xứng với M qua đường thẳng y x D M đối xứng với M qua O Lời giải Ta có M điểm biễu diễn cho số phức z xứng với M qua Ox Đáp án B Câu 3: M (a; b) nên M đối a bi Điểm M hình vẽ bên điểm biểu diễn số phức cho số phức z Biết OM = Hỏi mệnh đề sau A z B z C zz D z y M Lời giải z OM O x nên chọn đáp án A Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019 Trường THPT Bình Xuyên Th.S Đào Thùy Linh Mức độ 2: Thơng hiểu Câu 4: Tìm tọa độ điểm biểu diễn số phức z A 1; B 1; (2 3i)(4 i) 2i C 1; D 1; Lời giải (2 3i)(4 i) 2i 14i 2i (5 14i)(3 2i) 13 52i 4i 13 13 Do điểm biểu diễn cho số phức z có tọa độ ( 1; 4) Đáp án A Ta có z Câu 5: Gọi A, B z1 2i ; z A điểm biểu diễn số phức i Tính độ dài đoạn thẳng AB 26 B Ta có: A(1; 2) , B(5; 1) AB C 25 D 37 Lời giải Đáp án B Câu 6: Cho bốn điểm M , N , P , Q điểm mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số ba điểm lại? i, i , , 4i Hỏi điểm trọng tâm tam giác tạo A M B N C P D Q Lời giải Tọa độ điểm: M(0; 1) , N(2;1) , P(5; 0) , Q(1; 4) Dễ thấy nên N trọng tâm tam giác MPQ Chọn B Câu 7: Cho M, M’ theo thứ tự điểm mặt phẳng phức biểu diễn số z z' i z Hỏi tam giác OMM’ tam giác gì? A Tam giác B Tam giác tù có góc nhỏ 600 C Tam giác nhọn D Tam giác vng cân Phân tích: Ở tốn này, đặt z = a + bi (a, b diễn cho số phức z Do z ' R) thi điểm M(a;b) biểu i z nên ta tính tọa độ M’ biểu diễn cho z’ Tuy nhiên, tính tốn đại số dài nên ta có cách sau giải toán này: Lời giải Chuyên đề hội thảo ơn thi THPTQG 2019 Trường THPT Bình Xun Th.S Đào Thùy Linh Cách 1: Ta có ; i z OM ' z ; MM ' OM z Do z nên tam giác OMM’ vuông cân M’ i z z' z z Cách 2: Làm thủ thuật trắc nghiệm Thử chọn z z' i 1 M(1; 0), M '( ; ) 2 Dễ có OMM’ vuông cân M’ Chọn D Mức độ 3: Vận dụng Câu 8: Gọi A, B, C điểm biểu diễn số phức z1 z3 , z2 4i , 4i mặt phẳng tọa độ Oxy Tính diện tích tam giác ABC A B C D Phân tích: Trong tốn này, việc gắn hình học vào tốn số phức bắt buộc cần tính yếu tố diện tích tam giác thơng qua nhận dạng tam giác Lời giải Ta có A(2; 0) , B(0; 4) , C(2; 4) suy AC (0; 4) ; BC Do tam giác ABC tam giác vuông C Suy S (2; 0) AC.BC CA.CB ABC 4.2 Đáp án D Với ý tưởng tương tự, tăng cường thêm mức độ, ta có toán sau: Câu 9: Trong mặt phẳng phức, gọi A , B , C , D điểm biểu diễn số phức z1 i , z2 A S 2i , z3 3i Gọi S diện tích tứ giác ABCD Tính S i , z4 17 B S 19 C S 23 D S 21 Lời giải Ta có z1 z4 AC 3i (3; 2) trình AC : x 1 i A( 1;1) , z2 2i B(1; 2) , z3 i C(2; 1) , D(0; 3) AC y 13 , n (2; 3) véc tơ pháp tuyến AC , phương 2x Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019 3y Trường THPT Bình Xuyên Th.S Đào Thùy Linh y B A 1 1 O x 1 C 3 D Khoảng cách từ B đến AC là: d( B; AC ) 3.2 13 S 13 ABC d( B; AC ).AC 13 13 d( D; AC ).AC 10 13 13 Khoảng cách từ D đến AC là: d( D; AC ) Vậy S S 10 13 S ABC S 13 ADC ADC 17 Đáp án A Mức độ 4: Vận dụng cao Câu 10: Cho số phức z , biết điểm biểu diễn hình học số phức z ; iz z i z tạo thành tam giác có diện tích 18 Mơ đun số phức z A B C D Phân tích: Việc dùng cơng cụ hình học tốn thể ràng buộc diện tích cho trước HS phải biết đưa ràng buộc biểu thức tính mô đun z Lời giải Gọi z a bi , a, b Ta có: iz b , z iz a bi b a b a b i Ta gọi A(a, b) , B( b, a) , C(a b, a b) nên AB( b a, a b) , AC( b, a) Vậy S AB, AC 2 a2 b2 (a b2 ) 18 a2 b2 Đáp án C Câu 11: Trong mặt phẳng phức, cho M, M’ theo thứ tự điểm biểu diễn số phức z z’ Biết tam giác OMM’ vuông cân M’ (O gốc tọa độ) Hỏi phần ảo k z' thỏa mãn tính chất sau đây? z Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019 Trường THPT Bình Xuyên A k C k Th.S Đào Thùy Linh B k D k hoăc k Phân tích: Câu hỏi tốn khiến HS khơng thực cách giải câu 10 nên mức độ tăng cao nhiều Tuy nhiên, dấu hiệu sử dụng cơng cụ hình học thể chỗ z' z OM ' OM Lời giải: Giả sử z ' nên tam giác OMM’ tam giác vuông cân M’ thì: z OM 2OM ' OM MM ' Đặt x z z z' z x y2 2 21 z z , ta có: yi x , y x2 z' y2 x y x y 2 i Chọn C 2.2.2 Tìm quỹ tích điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải bản: - Đặt z x yi x , y Khi điểm M(x;y) biểu diễn cho số phức z - Biến đổi đại số điều kiện bài, thu ràng buộc x y - Dựa vào kiến thức hình giải tích mặt phẳng để kết luận tập hợp điểm M Các loại quỹ tích bản: a) Loại 1: Quỹ tích điểm biểu diễn đường thẳng Cách giải 1: Sử dụng phương pháp giải Mức độ 1: Nhận biết Câu 1: Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z ảo là? A Tia B Parabol C Đường thẳng D Đường tròn Phân tích: Dựa vào định nghĩa số ảo, tức số phức có phần thực nên HS dễ dàng chọn đáp án C Mức độ 2: Thông hiểu Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019 Trường THPT Bình Xuyên Th.S Đào Thùy Linh Câu 2: Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn z z 2i là? A Trục hoành B Đường thẳng x = C Đường thẳng x = D Đường thẳng y = Phân tích: Trong tốn này, HS sử dụng cách giải mức độ đơn giản để tính chất điểm biểu diễn cho số phức z Lời giải Đặt z x z = x – yi, z z yi x , y 2i y Đáp án D Tăng cường bước tính tốn, ta có mức độ toán sau: Mức độ 3: Vận dụng Câu 3: Tìm quỹ tích điểm nằm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện z z A Đường tròn tâm I(-3;0), bán kính B Đường thẳng x C Hai đường thẳng D Elip Lời giải Xét hệ thức: |z + z +3|=4 (1) Đặt z x z = x – yi, yi x , y (1) |(x+yi)+(x-yi)+3|=4 |2x+3|=4 x x hai đường thẳng song song với trục tung: x = Câu 4: Vậy tập hợp tất điểm M x = Đáp án C Cho số phức z thỏa mãn (1 z)2 số thực Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là? A Hai đường thẳng C Đoạn thẳng B Parabol D Đường tròn Hướng dẫn giải Gọi z (1 z)2 x yi x , y (1 x yi)2 Khi đó, ta có ( x 1)2 y2 Do (1 z)2 số thực nên 2( x 1)y 2( x 1)yi y x Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z hai đường thẳng x y Đáp án A Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019 Trường THPT Bình Xuyên Th.S Đào Thùy Linh Mức độ 4: Vận dụng cao Câu 5: Cho S tập số thực m để phương trình z2 2z m có nghiệm phức mà điểm biểu diễn nghiệm nằm đường tròn tâm O(0;0), bán kính đơn vị Tính tổng tất phần tử S A B C 10 D Phân tích: Bài tốn trở nên khó HS phải biết phân chia trường hợp tham số để tìm phần thực, phần ảo z Lời giải Ta có: m, P m Trường hợp : 0 m Khi đó, phương trình có hai nghiệm thực: z + Với z m Suy ra: m m (nhận) + Với z m Suy ra: m m (nhận) Trường hợp : m m z m Vì phương trình hệ số thực có nên phương trình có hai nghiệm phức liên hợp Do đó: z z.z P m m (nhận) Vậy m { 3;1; 9} Chọn D Cách 2: Sử dụng phương pháp khác Dấu hiệu nhận biết: điểm biểu diễn số phức thỏa mãn tính chất z z1 z z2 tính chất đưa Cách giải: - Gọi M điểm biểu diễn số phức z Các điểm A, B, C biểu diễn cho số phức liên quan z1 , z2 , z3 - Tìm mối liên hệ M với A, B, C - Kết luận tập hợp điểm M thỏa mãn tính chất z z1 z z2 đường trung trực AB Mức độ 1: Nhận biết Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019 10 Trường THPT Bình Xuyên Th.S Đào Thùy Linh Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn Mức độ 4: Vận dụng cao Câu 6: Có số phức sau: z 10 2i z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện 14i z 10i z B Không A Hai 5? C Một D Vơ số Phân tích: Nếu câu 5, sử dụng hình học đại số có vai trò tương đương câu việc sử dụng cơng cụ hình học mang lại hiệu cao Dấu hiệu dụng hình học thể rõ kiện cho toán Hướng dẫn giải Cách 1: biến đổi đại số Từ giả thiết z 10 2i 24a 100 b 100 b (b 2)2 (a 2)2 (b 14)2 b a (a 1)2 (a 10)2 14i 32b 96 Ta có: z 10i 25 b z (b 10)2 25 ( b 5)2 b2 20b 100 25 Vậy có số phức thỏa mãn Chọn C 6,a Cách 2: sử dụng hình học giải tích z 10 thẳng 2i : 3x y 12 trung trực A(10; 2), B( 2;14) nên điểm M biểu diễn số phức z di động đường tròn ( I ; R) z 10i với I(1;10), R 14i nên điểm M biểu diễn số phức z di động đường z Do d( I ; ) nên đường thẳng ( ) tiếp xúc với đường tròn ( I ; R) I ; R Vậy có số phức thỏa mãn Câu 7: Gọi ( H ) tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa z mặt phẳng phức Tính diện tích hình ( H ) A B C D Lời giải Chọn B Đặt z Do x yi , z z x 1 yi ( x 1)2 Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019 ( x 1)2 y2 y2 ( x 1)2 y2 15 Trường THPT Bình Xuyên Th.S Đào Thùy Linh Tập hợp điểm biểu diễn số phức z hình phẳng nằm đường tròn tâm I(1; 0) bán kính R r nằm ngồi đường tròn I (1; 0) bán kính Diện tích hình phẳng S Câu 8: 22 12 Cho z1 , z2 hai số phức z thỏa mãn điều kiện z 3i đồng thời z1 z2 Tập hợp điểm biểu diễn số phức w z1 5, z2 mặt phẳng tọa độ Oxy đường tròn có phương trình đây? A x 2 y C ( x 10)2 2 ( y 6)2 B ( x 10)2 16 D x ( y 6)2 y 36 Phân tích: Trong tốn này, dấu hiệu sử dụng hình học thể rõ ràng buộc z 3i , z1 w z2 z1 z2 điểm biểu diễn cho w trung điểm đoạn thẳng nối điểm biểu diễn cho z1 , z2 Lời giải Gọi A , B , M điểm biểu diễn z1 , z2 , w Khi A , B thuộc đường tròn C : ( x 5)2 kính R IT 25 AB ( y 3)2 z1 z2 C có tâm I (5; 3) bán , gọi T trung điểm AB T trung điểm OM IA2 TA2 Gọi J điểm đối xứng O qua I suy J(10; 6) IT đường trung bình tam giác OJM , JM 2IT Vậy M thuộc đường tròn tâm J bán kính có phương trình ( x 10)2 ( y 6)2 36 c) Loại 3: Một số quỹ tích khác Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn 2|z-i|=|z- z +2i| Tập hợp điểm biểu diễn cho z đường nào? Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019 16 Trường THPT Bình Xuyên Th.S Đào Thùy Linh A Một đường thẳng B Một đường parabol C Một đường tròn D Một đường elip Lời giải Đặt z x yi , x , y z = x – yi Khi đó: (3) |x+(y-1)i| = |(x+y)i| x2+(y-1)2 = (x+y)2 x2 – 4y = y = x2 x2 Vậy tập hợp điểm M parabol y = Chọn B Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn z z Tập hợp điểm biểu diễn cho z đường nào? A Một đường thẳng B Một đường parabol C Một đường tròn D Một đường elip Lời giải Chọn D Gọi M( x; y) , F1 ( 2; 0) , F1 (2; 0) biểu diễn cho số phức z , , Ta có: MF1 MF2 Vậy M chạy Elip có trục lớn 2a , trục nhỏ 2b 25 4 2.2.3 Giải toán – max tập số phức Dấu hiệu nhận biết: điểm biểu diễn số phức thỏa mãn tính chất z z1 z z' R, R z z2 , tính chất đưa tính chất Cách giải - Gọi M điểm biểu diễn số phức z Các điểm A, B, C biểu diễn cho số phức liên quan z1 , z2 , z3 - Tìm mối liên hệ M với A, B, C - Kết luận giá trị – max nhờ sử dụng kết sau: 1) Nếu điểm M di động đường thẳng z z1 d A; 2) Nếu điểm M di động đường tròn z z1 max IA I; R z z1 IA R R Mức độ 1: Nhận biết Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019 17 Trường THPT Bình Xuyên Th.S Đào Thùy Linh Câu 1: Cho số phức z có điểm biểu diễn nằm trục hồnh Tìm giá trị nhỏ z (1 i) A.1 B.2 C D Lời giải Gọi M , A điểm biểu diễn số phức z , z1 i Khi đó: A(1;1), z (1 i) MA nên z (1 i) d ( A; Ox) Chọn A Mức độ 2: Thông hiểu Câu 2: Trong số phức z thỏa mãn z 4i là: A z i B z 2i z 2i Số phức z có mơđun nhỏ C z 2i 4i , z2 D z 2i Lời giải Cách 1: Gọi M, A, B điểm biểu diễn số phức z , z1 Ta có: z 4i AB có phương trình z 2i : x y Khi z OMmin 2i MB Tập hợp M đường trung trực MA 2 OM vng góc với d(O; ) Do tọa độ M 2; Vậy z 2i Cách 2: pp đại số Đặt z a ) Khi z 4i bi ( a , b (a 2) (b 4)i a (b 2)i (a 2)2 z 2i (b 4)2 a2 (b 2)2 b a Khi đó: a2 z b2 Đẳng thức xảy Câu 3: a2 (4 a)2 a b 2a 2 Vậy z 8a 16 2(a 2)2 2 2i Chọn C Xét số phức z thỏa điều kiện z 2i z Giá trị lớn i là? A B 15 C 10 D 20 Lời giải Chọn A Gọi M , I(3; 2), A( 1;1) điểm biểu diễn số phức z , z1 Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019 2i , z2 i 18 Trường THPT Bình Xuyên Th.S Đào Thùy Linh Ta có z 2i kính R Khi z i Tập hợp điểm M đường tròn tâm I, bán MI MA nên z i max IA 10 Chọn C R Mức độ 3: Vận dụng Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn 2z 4i 10 Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ z Khi M m bằng: A B 15 C 10 D 20 Phân tích: Mức độ biến đổi toán tăng cường đưa kiện cho 2z 4i 10 z z' R, R Lời giải Chọn C Ta có: 2z 4i thỏa đề đường tròn tâm I m IO R M IO R Khi đó: z 10 2i Tập hợp điểm biểu diễn số phức ; , bán kính R M m 2R 10 Mức độ 4: Vận dụng cao Câu 5: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 5, z2 3i z2 6i Giá trị nhỏ z1 z2 là: A B C D Phân tích: Các giả thiết toán yêu cầu HS có nhìn tồn diện sử dụng cơng cụ hình học nhờ dấu hiệu z z1 z z2 , z z' R, R tính z1 z2 Lời giải Chọn A Giả sử z1 a1 b1i a1 , b1 , z2 a2 b2 i a2 , b2 Ta có z1 5 nên tập hợp điểm A biểu diễn cho số phức z1 đường tròn C có tâm điểm I( 5; 0) bán kính R z2 3i đường thẳng z2 6i nên tập hợp điểm B biểu diễn cho số phức z2 : 8x y 35 Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019 19 Trường THPT Bình Xuyên Th.S Đào Thùy Linh Khi đó, ta có z1 z2 Suy z1 z2 AB d( I ; ) R ABmin Vậy giá trị nhỏ z1 z2 6.0 35 82 62 5 Tăng cường biến đổi ràng buộc, ta có toán sau: Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn z 2i biểu thức P z 4i z 3i Giá trị lớn là: z A 13 B 10 C 13 D 10 Lời giải Chọn C Gọi M x; y điểm biểu diễn số phức z ta có: z 2i x2 z 4i ( y 2)2 ; z 3i y x2 ( y 4)2 điểm M nằm đường tròn tâm I(3; 3) bán kính Biểu thức P z AM A(2; 0) , theo hình vẽ giá trị lớn P M Câu 7: z đạt (4; 3) nên max P AM 13 Cho số phức z thỏa mãn z i , số phức w thỏa mãn w 3i Tìm giá trị nhỏ z w A 13 B 17 C 17 D 13 3 Lời giải Chọn B Gọi M( x; y) biểu diễn số phức z tâm I1 (1;1) , bán kính R1 iy M thuộc đường tròn (C1 ) có N( x ; y ) biểu diễn số phức w I (2; 3) , bán kính R2 x x iy N thuộc đường tròn (C2 ) có tâm Giá trị nhỏ z w giá trị nhỏ đoạn MN Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019 20 Trường THPT Bình Xuyên Ta có I1I 1; MNmin Câu 8: Th.S Đào Thùy Linh I1 I R1 I1 I 17 R2 17 R1 Cho số phức z w thỏa mãn z w biểu thức T 4i z w 176 C max T Tìm giá trị lớn w z A max T (C1 ) (C2 ) R2 B max T 14 D max T Phân tích: Nếu xử lý kiện z w 106 4i thành trung điểm đoạn thẳng nối điểm biểu diễn z , w điểm cố định cách giải hiệu nhiều Lời giải Cách 1: Số phức z w có điểm biểu diễn A, B I trung điểm AB Ta có: z w Khi T z 4i w I ; z w OA OB 2(OA2 yi , x , y Do z w AB OB2 ) AB2 ) 4(OI 106 Chọn D Cách 2: Đặt z x Mặt khác z w z w x2 (2 y 4)2 6x y x2 4y2 28 (1) Suy T 12x 16 y z " xảy Từ (1) (2) ta có T 2.(28 x2 y2 2(2x2 (3 x)2 25) 106 x2 w Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có T Dấu " (3 x) (4 y)i nên (2x 3)2 2y2 4i nên w T 25 y2 2y2 (4 (3 x)2 6x y (4 y)2 25) (2) y)2 106 Vậy MaxT 106 Câu 9: Xét số phức z thỏa mãn z 2i Giá trị nhỏ biểu thức P z i z 2i bằng: A 10 B C 17 D Lời giải Chọn C Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019 21 Trường THPT Bình Xuyên Th.S Đào Thùy Linh Gọi M ( x; y) điểm biểu diễn số phức z Do z 2i nên tập hợp điểm M đường tròn (C ) : ( x 2)2 ( y 2)2 Các điểm A(1;1) , B(5; 2) điểm biểu diễn số phức i 2i Khi đó, P MA MB Nhận thấy, điểm A nằm đường tròn (C ) điểm B nằm ngồi đường tròn (C ) , mà MA MB AB 17 Đẳng thức xảy M giao điểm đoạn AB với (C ) Ta có, phương trình đường thẳng AB : x y Tọa độ giao điểm đường thẳng AB đường tròn (C ) nghiệm hệ với y : ( x 2)2 ( y 2) (4 y 5) ( y 2) x y x y 22 59 N y 17 2 Ta có (4 y 5) ( y 2) 17 y 44 y 25 22 59 L y 17 Vậy P 17 z 37 59 22 59 i 17 17 2.3 Bài tập tự luyện Dạng 1: Bài toán điểm biểu diễn số phức Câu 1: Câu 2: Gọi z1 nghiệm phức có phần ảo dương phương trình z 6z 13 Tìm tọa độ điểm M biểu diễn số phức w i 1 z1 A M 5; 1 B M 5;1 C M 1; 5 D M 1;5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , Gọi A , B , C điểm biểu diễn số phức 1 2i , 4i , 3i Số phức biểu diễn trọng tâm tam giác ABC A 1 3i B 3i C 3 9i D 9i Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019 22 Trường THPT Bình Xuyên Câu 3: Th.S Đào Thùy Linh Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi M , N , P điểm biểu diễn số phức z1 i , z2 i , z3 3i Khẳng định sau đúng? A Tam giác MNP cân B Tam giác MNP C Tam giác MNP vuông D Tam giác MNP vuông cân Câu 4: Cho số phức z Gọi A , B điểm mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức z 1 i z Tính z biết diện tích tam giác OAB A z 2 C z B z D z Câu 5: Điểm hình vẽ điểm biểu diễn số phức z (1 i)(2 i) ? A P B M C N D Q HD: Chọn D Dạng 2: Tìm quỹ tích điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn z i z 2i Tập hợp điểm biểu diễn số phức w z 2i mặt phẳng tọa độ đường thẳng Phương trình đường thẳng là: A x y B x y C x y D x y Câu 2: Cho số phức z thoả mãn z 4i Biết tập hợp điểm mặt phẳng toạ độ biểu diễn số phức z đường tròn Tìm toạ độ tâm I bán kính R đường tròn A I(3; 4) , R C I(3; 4) , R HD: Chọn D Đặt z x yi , x , y B I( 3; 4) , R D I( 3; 4) , R Khi z 4i 5 (x 3)2 ( y 4)2 Vậy tập điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I( 3; 4) , bán kính R Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019 25 23 Trường THPT Bình Xuyên Th.S Đào Thùy Linh Câu 3: Xét số phức z thỏa điều kiện z 2i Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức w z i là? A Đường tròn tâm I(4; 3) , bán kính R B Đường tròn tâm I( 4; 3) , bán kính R C Đường tròn tâm I(3; 2) , bán kính R D Đường tròn tâm I( 2;1) , bán kính R Câu 4: Có số phức z thỏa mãn z A z 5 1? z B C D Câu 5: Có số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: z 10 2i z 14i z 10i ? B Không A Hai C Một D Vơ số Dạng 3: Bài tốn – max tập số phức Câu 1: Cho w số phức thay đổi thỏa mãn w Câu 2: Giá trị nhỏ w 4i bao nhiêu? A B C Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 i D iz1 Tìm giá trị lớn z2 m biểu thức z1 z2 A m 2 B m Câu 3: Cho số phức z thỏa mãn A 10 z z 2i i B 10 z1 A C z3 2 Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn z A z z2 z3 2i bằng: D 10 Tính giá trị biểu z2 z3 z2 2 z1 z3 D m C 10 Câu 4: Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z12 z2 2 Giá trị nhỏ z z1 thức T C m B D 6 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 31 z Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019 24 Trường THPT Bình Xuyên Th.S Đào Thùy Linh A B C S Câu 6: Cho số phức z thoả mãn z 4i giá trị nhỏ biểu thức P w M D S Gọi M m giá trị lớn z 2 z i Tính mơđun số phức mi A w 1258 B w 1258 C w 314 D w 309 Hướng dẫn – đáp số: Câu 2: Gọi z1 Chọn A x yi , ( x , y ), theo giả thiết đề ta có z2 Khi z1 i Vì tồn t để x Do z1 z2 ( x 1)2 12 2( x2 12 sin t 4(sin t cos t) Do m x) (y 2 xi 2sin t y y )2 (x ( y 1)2 y cos t y2 ) 12 2 Câu 5: Chọn A Gọi M, N, P điểm biểu diễn cho số z, -1, Vì z MN , z Ta có: A MN MP MP nên A = MN + 3MP MP NP MP NP Dấu xảy MP = hay z Suy A Câu 6: Giả sử z a z 4i P z bi ( a, b z i (a Từ (1) (2) ta có 20a2 (b 4)2 2)2 b2 (64 8P)a Phương trình (*) có nghiệm 13 P 33 w ) (a 3)2 2 (1) a2 (b 1)2 P2 4P2 4a 22P 137 2b (2) (*) 184P 1716 1258 Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019 25 Trường THPT Bình Xuyên Th.S Đào Thùy Linh 2.4 Kiểm tra, đánh giá Quá trình kiểm tra đánh giá nhằm đưa kết việc dạy học chuyên đề Đề kiểm tra theo hình thức tự luận trắc nghiệm với thời lượng 25 phút 2.4.1 Ma trận đề NB TN TL Bài toán điểm biểu diễn số phức TH TN VD TL TN TL TN TL 2,0 1,0 Tổng VDC 1,0 4,0 Tìm quỹ tích điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước 1,5 Bài toán – max tập số phức Tổng 1,0 2,5 1,0 1,0 4,5 1,5 3,5 1,0 1,0 3,5 10 2.4.2 Đề kiểm tra A/ PHẦN TRẮC NGHIỆM (6đ) Câu 1: Cho số phức z 2018 2017 i Điểm M biểu diễn số phức liên hợp z A M( 2018; 2017) B M(2018; 2017) C M( 2018; 2017) D M(2018; 2017) Câu Cho số phức z thỏa z Trong số phức w thỏa w (3 i) z i số phức w có mơ đun lớn A w 2i Câu 3: B w 6 2i C w 2 6i D w 2 6i Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm A , B hình vẽ bên Trung điểm đoạn thẳng AB biểu diễn số phức Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019 26 Trường THPT Bình Xuyên Th.S Đào Thùy Linh y A 2 A Câu 4: B B x Cho số phức z a A 10 a B x C i bi với b i D nằm đường thẳng C y ) thỏa mãn z bi ,(a, b giá trị biểu thức P O 2i Điểm biểu diễn số phức z có phương trình là: A y Câu 5: 2i B x 5i D y z.z x 82 Tính b C 35 D Gọi M x; y điểm biểu diễn số phức z, biết z = 10 phần ảo z lần phần thực Tính x y A B C 12 D 10 B/ PHẦN TỰ LUẬN (4đ) 7) Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z 4i 8) Cho số phức z thỏa mãn z 2i 9) Cho số phức z1 z z1 z z2 2 Tìm giá trị lớn nhỏ z i , z2 i số phức z thay đổi thỏa mãn 16 Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ z Giá trị biểu thức M m2 2.4.3 Đáp án A/ PHẦN TRẮC NGHIỆM (6đ) Mỗi câu điểm 1.D 2.C 3.A 4.B 5.B 6.C B/ PHẦN TỰ LUẬN (4đ) 7) tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I(-2;-4), bán kính đơn vị 8) Gọi M A điểm biểu diễn số phức z - 2i Ta có: z 2i MA Vậy tập hợp M đường tròn (C) tâm A, bán kính Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019 27 Trường THPT Bình Xuyên Th.S Đào Thùy Linh đơn vị (0,5đ) Lại có z OM nên: *) z z z OM1 2 *) z max z OA OM2 4 1 1)sin(450 ) x O i x i(2 -1 OA 9) Giả sử z 2 1)cos(450 ) (2 y 2 M1 -2 A M2 i (1,0đ) yi x , y Ta có: z z1 x2 z z2 16 x yi i x yi i 16 (0,5đ) ( y 1)2 y Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm số phức I(0;1) bán kính R Do m 1, M Vậy M m2 (0,5đ) I 2 x O 1 2.4.3 Kết đánh giá Thực nghiệm chuyên đề dạy học xây dựng phần II giáo án có nội dung tương ứng không sử dụng phương pháp hình học Kết sau: Đồ thị phân phối tần suất mức điểm kiểm tra Số % kiểm tra đạt theo mức điểm 60 50 40 TN ĐC 30 20 10 Giỏi Khá TB Yếu Kém Mức điểm Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019 28 Trường THPT Bình Xuyên Th.S Đào Thùy Linh Kết lớp thực nghiệm cao so với lớp đối chứng Lớp thực nghiệm nhanh nhạy việc tìm lời giải tốn số phức, trình bày lời giải logic chặt chẽ hơn, có cách giải tốn đa dạng hơn, sáng tạo lớp đối chứng Điều cho thấy lực giải tập số phức chủ động, tích cực em học tập mơn Tốn tăng lên đáng kể sau q trình thực nghiệm Phần III Kết luận Chuyên đề trình bày nội dung sau: 1) Kiến thức số phức, phép toán số phức 2) Phương pháp giải dạng toán số phức góc độ Hình học bao gồm: Bài tốn điểm biểu diễn số phức; Tìm quỹ tích điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước; Bài toán – max tập số phức 3) Đề đáp án kiểm tra kết đề tài Mặc dù có nhiều cố gắng, song chuyên đề khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận đóng góp ý kiến thầy, cô giáo em học sinh Tôi xin chân thành cảm ơn! Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019 29 ... MN 2.2 Giải toán số phức góc độ hình học 2.2.1 Bài tốn điểm biểu diễn số phức Cách giải: Số phức z a ) có điểm biểu diễn mặt phẳng bi ,(a, b phức M(a; b) Mức độ 1: Nhận biết Câu 1: Điểm M hình. .. Phần III Kết luận Chuyên đề trình bày nội dung sau: 1) Kiến thức số phức, phép toán số phức 2) Phương pháp giải dạng tốn số phức góc độ Hình học bao gồm: Bài tốn điểm biểu diễn số phức; Tìm quỹ tích... Đối tượng: Học sinh lớp 12 học sinh học xong chương trình Tốn 12 ôn thi THPTQG 1.3.2 Thời lượng: Nội dung chuyên đề dự kiến dạy học tiết PHẦN II GIẢI BÀI TỐN SỐ PHỨC DƯỚI GĨC ĐỘ HÌNH HỌC 2.1 Lý