Chuyên đề: Giải bài toán số phức dưới góc độ Hình học

Chuyên đề được đưa nhằm giúp học sinh có được phương pháp cơ bản sử dụng kiến thức hình học để giải quyết lớp bài toán về số phức. Cụ thể như sau: a) Về kiến thức: Định nghĩa số phức và các khái niệm liên quan. Các phép toán về số phức: cộng, trừ, nhân, chia; các phép toán về liên hợp của một số phức và modun của số phức. Tri thức phương pháp giải bài toán tìm điểm biểu diễn của một số phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức thỏa mãn điều kiện cho trước và bài toán tìm GTLN –NN của biểu thức số phức nhờ công cụ hình học.

PHẦN I MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Số phức là một nội dung quan trọng được đưa vào cuối chương trình Giải tích

12 với mục đích kết thúc việc giới thiệu hệ thống các tập hợp số cho học sinh: số tự nhiên, số nguyên, số thập phân, số hữu tỉ, số thực, số phức Những năm gần đây, đề thi Đại học – Cao đẳng thường có những bài toán số phức với đủ các mức độ nhận biết – thông hiểu – vận dụng và vận dụng cao Do đó, việc dạy học giải bài toán này cũng là một trong những nội dung ôn thi THPT Quốc Gia của các trường THPT Tuy nhiên, do thời lượng dạy học nội dung này không nhiều nên đa phần giáo viên chưa quan tâm đến việc phát triển nhiều phương pháp giải toán cho học sinh Trong các phương pháp giải toán số phức, nếu tiếp cận bài toán dưới góc độ hình học ta có thể tìm được những lời giải hay và hiệu quả cho bài toán đó

Vì những lí do trên, tác giả chọn đề tài chuyên đề hội thảo là “Giải bài toán số phức dưới góc độ Hình học”

1.2 Mục tiêu của chuyên đề

Chuyên đề được đưa nhằm giúp học sinh có được phương pháp cơ bản sử dụng kiến thức hình học để giải quyết lớp bài toán về số phức Cụ thể như sau:

a) Về kiến thức:

- Định nghĩa số phức và các khái niệm liên quan

- Các phép toán về số phức: cộng, trừ, nhân, chia; các phép toán về liên hợp của một

số phức và modun của số phức

- Tri thức phương pháp giải bài toán tìm điểm biểu diễn của một số phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức thỏa mãn điều kiện cho trước và bài toán tìm GTLN –NN của biểu thức số phức nhờ công cụ hình học

b) Về kĩ năng:

Rèn luyện kĩ năng giải toán số phức gồm:

- Giải bài toán điểm biểu diễn của một số phức

- Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức thỏa mãn điều kiện cho trước

- Giải bài toán min – max biểu thức số phức nhờ công cụ hình học

c) Về tư duy, thái độ:

- Phát triển tư duy logic, tư duy sáng tạo

- Tính cẩn thận, chính xác và tính thẩm mĩ

1.3 Đối tượng và thời lượng

1.3.1 Đối tượng: Học sinh lớp 12 hoặc học sinh học xong chương trình Toán 12 ôn

thi THPTQG

1.3.2 Thời lượng: Nội dung chuyên đề dự kiến được dạy học trong 6 tiết

PHẦN II GIẢI BÀI TOÁN SỐ PHỨC DƯỚI GÓC ĐỘ HÌNH HỌC

2.1 Lý thuyết

2.1.1 Kiến thức cơ bản:

a) Định nghĩa số phức:

+ Dạng đại số: z = a + bi , ( a, b R, i2 = - 1)

Các kết quả: Cho số phức z = a + bi , (a, b R), ta có:

+ Phần thực là a, phần ảo là b, đơn vị ảo là i

+ Môđun của số phức : 2 2

| |z a b

+ Số phức liên hợp : z a bi

+ Điểm biểu diễn số phức trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) là : M(a ; b)

+ Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau

b) Các phép toán đối với số phức

Phép cộng, trừ và nhân các số phức được thực hiện tương tự như cộng, trừ và nhân

1 1 2 1 2

2 2

2 2 2

| |

z z z z z

z

z z z Chú ý : Tất cả các tính chất mà đúng với phép toán trên các số thực thì cũng đúng trên các số phức

c) Phương trình bậc hai với hệ số thực

* Cho phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0, có =b2 – 4ac

+ Nếu > 0, PT có 2 nghiệm thực phân biệt 1,2

2

b x

2.1.2 Các phép toán về modun của số phức

Cho các số phức z z, ' và M N, lần lượt là các điểm biểu diễn cho z z, ' Ta có: 1) z z

2) zz z2

3) z z ' z z '

7) z z' 2OI , với I là trung điểm của đoạn thẳng MN

2.2 Giải bài toán số phức dưới góc độ hình học

2.2.1 Bài toán về điểm biểu diễn số phức

Cách giải: Số phức z a bi a b ,( , ) có điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức là M a b( ; ).

Câu 2: Trong mặt phẳng phức gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z a bi

(a b, , ab 0), M là điểm biểu diễn cho số phức z Mệnh đề nào sau đây đúng?

A M đối xứng với M qua Oy

B M đối xứng với M qua Ox

C M đối xứng với M qua đường thẳng y x

D M đối xứng với M qua O

Lời giải

Ta có M là điểm biễu diễn cho số phức z a bi M a( ; b) nên M đối xứng với M qua Ox Đáp án B

Câu 3: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức cho số phức z Biết

OM = 5 Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng

A z 5 B z2 5

C zz 5 D z 5

Lời giải 5

(5 14 )(3 2 ) 13

13

i

1 4i

Do đó điểm biểu diễn cho số phức z có tọa độ ( 1; 4) Đáp án A

Câu 5: Gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức

Dễ thấy

0 5 1

23

1 0 4

13

nên N là trọng tâm của tam giác MPQ Chọn B

Câu 7: Cho M, M’ theo thứ tự là các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số z 0 và 1

'

2

i

z z Hỏi tam giác OMM’ là tam giác gì?

A Tam giác đều B Tam giác tù có góc nhỏ hơn 600

C Tam giác nhọn D Tam giác vuông cân

Phân tích: Ở bài toán này, nếu đặt z = a + bi (a, b R) thi điểm M(a;b) biểu diễn cho số phức z Do ' 1

2

i

z z nên ta tính được tọa độ M’ biểu diễn cho z’ Tuy

nhiên, tính toán đại số như vậy rất dài nên ta có các cách sau giải bài toán này:

Lời giải

S CA CB 1.4.2 4

Đáp án D

Với ý tưởng tương tự, tăng cường thêm mức độ, ta có bài toán sau:

Câu 9: Trong mặt phẳng phức, gọi A,B,C,Dlần lượt là các điểm biểu diễn số phức

Câu 10: Cho số phức z, biết rằng các điểm biểu diễn hình học của các số phức

z;izvàz i ztạo thành một tam giác có diện tích bằng 18 Mô đun của số phức z bằng

Phân tích: Việc dùng công cụ hình học ở bài toán này thể hiện ở ràng buộc

diện tích cho trước HS phải biết đưa ràng buộc đó về biểu thức tính mô đun của z

Lời giải Gọi z a bi, a b,

Câu 11: Trong mặt phẳng phức, cho M, M’ theo thứ tự là các điểm biểu diễn số

phứcz 0 và z’ Biết rằng tam giác OMM’ vuông cân tại M’ (O là gốc tọa độ) Hỏi phần ảo k của z'

z thỏa mãn tính chất nào sau đây?

x

i y

Chọn C

2.2.2 Tìm quỹ tích điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải cơ bản:

- Đặt z x yi x y, Khi đó điểm M(x;y) biểu diễn cho số phức z

- Biến đổi đại số các điều kiện ở từng bài, thu được ràng buộc giữa x và y

- Dựa vào kiến thức hình giải tích trong mặt phẳng để kết luận về tập hợp điểm M

Các loại quỹ tích cơ bản:

a) Loại 1: Quỹ tích điểm biểu diễn là đường thẳng

Cách giải 1: Sử dụng phương pháp giải cơ bản trên

Mức độ 1: Nhận biết

Câu 1: Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thuần ảo là?

A Tia B Parabol C Đường thẳng D Đường tròn Phân tích: Dựa vào định nghĩa số thuần ảo, tức là số phức có phần thực bằng 0 nên HS dễ dàng chọn đáp án C

Mức độ 2: Thông hiểu

Câu 2: Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn z z 2i là?

A Trục hoành B Đường thẳng x = 1

C Đường thẳng x = 2 D Đường thẳng y = 1

Phân tích: Trong bài toán này, HS sử dụng cách giải cơ bản ở mức độ đơn giản

để chỉ ra tính chất của điểm biểu diễn cho số phức z

Lời giải Đặt z x yi x y, z = x – yi, do đó z z 2i y 1 Đáp án D

Tăng cường các bước tính toán, ta có mức độ 3 của bài toán này như sau:

Khi đó, phương trình có hai nghiệm thực: z 1 m hoặc z 1 m

+ Với z 1 m Suy ra: 1 m 2 m 1 (nhận)

+ Với z 1 m Suy ra: 1 m 2 m 9 (nhận)

- Tìm mối liên hệ giữa M với A, B, C

- Kết luận về tập hợp điểm M thỏa mãn tính chất z z1 z z2 là đường trung

trực của AB

Mức độ 1: Nhận biết

Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn z i z 2 Tập hợp các điểm M biểu diễn số

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z Các điểm A, B biểu diễn cho các số phức

1 1, 2 2 3

z z i Ta có:

z z i AM BM Suy ra tập hợp M là đường trung trực của AB

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình

Từ z x yi x y, , z x yi.

Do đó x yi 2 i x yi 3i (x 2) (y 1)i x (y 3)i

2 2 2 2(x 2) (y 1) x (y 3) 4x 2y 5 6y 9 y x 1

Phân tích: Để giải được bài toán này, nếu biến đổi đại số thông thường, học

sinh sẽ khó đưa được từng ràng buộc về để tìm số lượng số phức z Do đó, HS cần biết

các phép toán về mô đun của số phức để đưa các dữ kiện đó về dạng z z1 z z2

Lời giải

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z Các điểm A(1; 0), (0;1), (0; 3), (0; 1)B C D

biểu diễn cho các số phức z1 1,z2 i z, 3 3 ,i z4 i Ta có:

Vậy có 1 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán Chọn B

Ý tưởng tương tự, ta có bài toán sau:

Câu 5: Cho số phức z a bi , a b, thỏa mãn 1

1

z

z i và

31

z i z 3i z i a (b 3)i a (b 1)i b 1 (2)

Từ (1) và (2) ta có 1

1

a

b Vậy P 2 Chọn D

b) Loại 2: Quỹ tích điểm biểu diễn là đường tròn

Dấu hiệu nhận biết: điểm biểu diễn số phức thỏa mãn tính chất

- Tìm mối liên hệ giữa M với A, B, C

- Kết luận về tập hợp điểm M thỏa mãn z z' R, R 0 là đường tròn tâm I, bán kính R, I là điểm biểu diễn cho số phức z’

Tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z là đường tròn tâm I(3; 4), bán kính R 5

Mức độ 2: Thông hiểu

Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 5 và M x y( ; ) là điểm biểu diễn số phức

z Quỹ tích M là đường tròn có phương trình nào sau đây?

Câu 3: Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức zthỏa mãn: z 2 i 4 là

đường tròn có tâmI và bán kính R lần lượt là:

A I( 2; 1);R 4 B I( 2; 1);R 2

C I(2; 1);R 4 D I(2; 1);R 2

Phân tích: Bài toán này có dấu hiệu đưa về ràng buộc z z' R, R 0thông qua biến đổi mô đun của số phức

Lời giải Chọn A

Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 3 Tập

hợp các điểm biểu diễn cho số phức w z(1 i) là đường tròn

(x 3) (y 1) 18 I(3; 1), R 18 3 2 Chọn A

Câu 5: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z 3

z i là đường nào?

A Một đường thẳng B Một đường parabol

C Một đường tròn D Một đường elip

Lời giải Chọn C

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn

Mức độ 4: Vận dụng cao

Câu 6: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện

sau: z 10 2i z 2 14i và z 1 10i 5?

Phân tích: Nếu như ở câu 5, sử dụng hình học và đại số có vai trò tương đương thì ở câu 6 này việc sử dụng công cụ hình học mang lại hiệu quả cao hơn Dấu hiệu sự dụng hình học thể hiện rõ ở 2 dữ kiện đã cho của bài toán

Hướng dẫn giải Cách 1: biến đổi đại số

Đặt z x yi, z 1 x 1 yi (x 1)2 y2

Do đó 1 z 1 2 1 (x 1)2 y2 2 1 (x 1)2 y2 4

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là hình

phẳng nằm trong đường tròn tâm I(1; 0) bán kính

Câu 8: Cho z1, z2 là hai trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 5 3i 5,

đồng thời z1 z2 8 Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w z1 z2

trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình nào dưới đây?

Lời giải Gọi A, B, M là các điểm biểu diễn của z1, z2, w Khi đó A, B thuộc đường tròn C : (x 5)2 (y 3)2 25 và AB z1 z2 8 C có tâm I(5; 3) và bán kính R 5, gọi T là trung điểm của AB khi đó T là trung điểm của OM và

A Một đường thẳng B Một đường parabol

C Một đường tròn D Một đường elip

Lời giải Đặt z x yi x y, , z = x – yi Khi đó: (3)  |x+(y-1)i| = |(x+y)i|

 x2+(y-1)2 = (x+y)2 x2 – 4y = 0  y =

24

A Một đường thẳng B Một đường parabol

C Một đường tròn D Một đường elip

Lời giải Chọn D

Gọi M x y( ; ), F1( 2; 0) , F1(2; 0) biểu diễn cho số phức z, 2,2

2.2.3 Giải bài toán min – max trên tập số phức

Dấu hiệu nhận biết: điểm biểu diễn số phức thỏa mãn tính chất z z1 z z2 , ' , 0

z z R R hoặc những tính chất đưa được về các tính chất đó

Cách giải

- Gọi M là điểm biểu diễn số phức z Các điểm A, B, C lần lượt biểu diễn cho

các số phức liên quan z z z1, 2, 3

- Tìm mối liên hệ giữa M với A, B, C

- Kết luận về giá trị min – max nhờ sử dụng các kết quả sau:

1) Nếu điểm M di động trên đường thẳng thì z z1 min d A;

2) Nếu điểm M di động trên đường tròn I R; thì

Câu 1: Cho số phức z có điểm biểu diễn nằm trên trục hoành Tìm giá trị nhỏ nhất của (1 )

 

z i

A.1 B.2 C 2 D 0

Lời giải Gọi M A, là điểm biểu diễn số phức z z, 1 1 i Khi đó:

Gọi M, A, B là điểm biểu diễn số phức z z, 1 2 4 ,i z2 2i

Ta có: z 2 4i z 2i MA MB Tập hợp M là đường trung trực của

Gọi M I, (3; 2), ( 1;1)A là điểm biểu diễn số phức z z, 3 2 ,i z 1 i

Ta có z 3 2i 5 MI 5 Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I, bán

Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn 2z 3 4i 10 Gọi M và m lần lượt là giá trị

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z Khi đó M m bằng:

Phân tích: Mức độ biến đổi ở bài toán này tăng cường hơn khi đưa dữ kiện cho là 2z 3 4i 10 về z z' R, R 0

Lời giải Chọn C

Ta có: 2z 3 4i 10 3 2 5

2

z i Tập hợp điểm biểu diễn số phức

thỏa đề là đường tròn tâm 3

; 22

z z R R và tính z1 z2

Lời giải Chọn A

2 Tăng cường biến đổi các ràng buộc, ta có các bài toán sau:

Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn z 2i z 4i và z 3 3i 1 Giá trị lớn nhất

của biểu thức P z 2 là:

Lời giải Chọn C

Gọi M x y; là điểm biểu diễn số phức z ta có:

Gọi M x y( ; ) biểu diễn số phức z x iy thì M thuộc đường tròn (C1) có tâm I1(1;1), bán kính R1 1

Số phức z và w có các điểm biểu diễn là A B, và I là trung điểm AB

Gọi M x y( ; ) là điểm biểu diễn số phức z

Do z 2 2i 2 nên tập hợp điểm M là đường

( ) : (C x 2)  (y 2)  4 Các điểm A(1;1), B(5; 2) là điểm biểu diễn các

số phức 1 i và 5 2i Khi đó, PMA MB

Nhận thấy, điểm A nằm trong đường tròn ( )C còn điểm B nằm ngoài đường tròn ( )C , mà MA MB  AB 17 Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của đoạn AB với ( )C

22 59 17

Dạng 1: Bài toán về điểm biểu diễn số phức

Câu 1: Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 2

6 13 0

z  z  Tìm tọa độ điểm M biểu diễn số phức w i 1z1

A M  5; 1 B M 5;1

C M  1; 5 D M 1;5

Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độOxy, Gọi A, B,C lần lượt là các điểm biểu diễn số

phức  1 2i, 4 4i , 3i Số phức biểu diễn trọng tâm tam giác ABC là

A  1 3i B 1 3i C  3 9i D 3 9i

Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M , N, P lần lượt là các điểm biểu diễn

các số phức z1  1 i, z2   8 i, z3  1 3i Khẳng định nào sau đây đúng?

A Tam giác MNP cân B Tam giác MNP đều

C Tam giác MNP vuông D Tam giác MNP vuông cân Câu 4: Cho số phức z Gọi A, B lần lượt là các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu

diễn các số phức z và 1 i z  Tính z biết diện tích tam giác OAB bằng 8

A z 2 2 B z 4 2 C z 2 D z 4 Câu 5: Điểm nào trong hình vẽ dưới đây là điểm biểu diễn của số phức

(1 )(2 )

z i i ?

HD: Chọn D

Dạng 2: Tìm quỹ tích điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước

Câu 1: Cho các số phức z thỏa mãn z i   z 1 2i Tập hợp các điểm biểu diễn

các số phức w z 2i trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng Phương trình đường thẳng đó là:

A x 4y  3 0 B x 3y  4 0

C  x 3y 4 0 D x3y 4 0

Câu 2: Cho số phức z thoả mãn z 3 4i 5 Biết rằng tập hợp điểm trong mặt

phẳng toạ độ biểu diễn các số phức z là một đường tròn Tìm toạ độ tâm I

Câu 3: Xét các số phức z thỏa điều kiện z 3 2i 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,

tập hợp các điểm biểu diễn số phức w z 1 i là?

Dạng 3: Bài toán min – max trên tập số phức

Câu 1: Cho w là số phức thay đổi thỏa mãn w 2 Giá trị nhỏ nhất của w 3 4i

13

2.4 Kiểm tra, đánh giá

Quá trình kiểm tra đánh giá nhằm đưa ra được kết quả của việc dạy học chuyên đề này Đề kiểm tra theo hình thức tự luận và trắc nghiệm với thời lượng 25 phút

1 1,5

1

1,0 3,5