Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề giúp cho học sinh có cái nhìn tổng quan hơn, nắm được các dạng bài toán và phương pháp giải về tiếp tuyến và tương giao đồng thời rèn luyện được các kỹ năng cho học sinh giải các dạng toán này một cách tốt hơn. Mặt khác, chuyên đề cũng là tài liệu để các thầy cô giáo có thể tham khảo và áp dụng cho đối tượng học sinh lớp 12.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO …………… TRƯỜNG THPT ………………… CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA Tên chuyên đề: CÁC BÀI TỐN VỀ TIẾP TUYẾN VÀ TƯƠNG GIAO Mơn: Toán A PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Khảo sát hàm số phần quan trọng đề thi tốt nghiệp, cao đẳng đại học hàng năm, hợp thành kì thi THPT quốc gia, toán tiếp tuyến tương giao chủ đề liên quan đến khảo sát hàm số điển hình Trong trình dạy học ôn thi tốt nghiệp, ôn thi đại học hay bồi dưỡng học sinh giỏi nhiều năm trường, tơi nhận thấy học sinh trường tơi gặp nhiều khó khăn giải tốn tiếp tuyến tương giao Học sinh giải tập Các tập mức độ vận dụng nâng cao không định hướng phương pháp giải Do cần đưa cho học sinh phương pháp chung ví dụ cụ thể minh họa để học sinh vận dụng cách linh hoạt thơng minh Vì vậy, tơi viết chuyên đề: " Các toán tiếp tuyến tương giao" để hệ thống cho em dạng toán phương pháp tốn Mục đích đề tài Chun đề giúp cho học sinh có nhìn tổng quan hơn, nắm dạng toán phương pháp giải tiếp tuyến tương giao đồng thời rèn luyện kỹ cho học sinh giải dạng toán cách tốt Mặt khác, chuyên đề tài liệu để thầy giáo tham khảo áp dụng cho đối tượng học sinh lớp 12 Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu toán tiếp tuyến tương giao với phương pháp giải tập vận dụng để giúp học sinh học tốt hình thành kiến thức, kĩ mới, vận dụng cách linh hoạt, sáng tạo nhất, thông minh việc học tốn sống Trong khn khổ thời gian có hạn, tơi áp dụng học sinh lớp 12a1 trường THPT DTNT Vĩnh Phúc năm học 2015-2016 Thời gian triển khai chuyên đề: - Thực dạy chuyên đề cho học sinh thời gian 10 tiết B PHẦN NỘI DUNG Chủ đề 1: BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN 1.1 Dạng 1: Tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M( x0 , y0 ) �(C ) : y f ( x) 1.1.1 Cách giải: * Tính y ' f ' ( x) ; tính k f ' ( x0 ) (hệ số góc tiếp tuyến) * Tiếp tuyến đồ thị hàm số y f ( x) điểm M x0 ; y0 có phương trình y y0 f ' ( x0 ) x x0 với y0 f ( x0 ) 1.1.2 Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho hàm số y x 3x (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C): a) Tại điểm A (-1; 7) b) Tại điểm có hồnh độ x = c) Tại điểm có tung độ y =5 Giải: a) Phương trình tiếp tuyến (C) điểm M ( x0 ; y0 ) có dạng: y y0 f '( x0 )( x x0 ) Ta có y ' x � y '(1) Do phương trình tiếp tuyến (C) điểm A(-1; 7) là: y hay y = b) Từ x � y y’(2) = Do phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hoành độ x = là: y 9( x 2) � y x 18 � y x 11 x0 � � 3 x c) Ta có: y � x x � x x � � � x � +) Phương trình tiếp tuyến (C) điểm (0; 5) Ta có y’(0) = -3 Do phương trình tiếp tuyến là: y 3( x 0) hay y = -3x +5 +) Phương trình tiếp tuyến (C) điểm ( 3;5) y '( 3) 3( 3) Do phương trình tiếp tuyến là: y 6( x 3) hay y x +) Tương tự phương trình tiếp tuyến (C) ( 3;5) là: y x Ví dụ 2: Cho đồ thị (C) hàm số y x3 x x a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) với trục hồnh b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) với trục tung c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm x0 thỏa mãn y”(x0) = Giải: Ta có y ' 3x x Gọi M x0 ; y0 tiếp điểm tiếp tuyến có phương trình: y y0 y '( x0 )( x x0 ) � y y '( x0 )( x x0 ) y0 (1) a) Khi M (C ) I Ox y0 = x0 nghiệm phương trình: x x x � x ; y’(2) = 6, thay giá trị biết vào (1) ta phương trình tiếp tuyến: y 6( x 2) b) Khi M (C ) I Oy x0 = � y0 y (0) 4 y '( x0 ) y '(0) , thay giá trị biết vào (1) ta phương trình tiếp tuyến: y x c) Khi x0 nghiệm phương trình y”= Ta có: y” = 6x – �2 � 88 �2 � y” = � x � x x0 � y0 y � � ; y '( x0 ) y ' � � �3 � 27 �3 � 100 Thay giá trị biết vào (1) ta phương trình tiếp tuyến: y x 27 x2 Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y giao điểm (C) với x 1 đường thẳng (d): y x + Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (C): x2 x � x (3 x 2)( x 1) (x = khơng phải nghiệm phương trình) x 1 � 3x x � x ( y 2) �x ( y 4) Vậy có hai giao điểm là: M1(0; -2) M2(2; 4) 3 + Ta có: y ' ( x 1) + Tại tiếp điểm M1(0; -2) y’(0) = -3 nên tiếp tuyến có phương trình: y 3x + Tại tiếp điểm M2(2; 4) y’(2) = -3 nên tiếp tuyến có phương trình: y 3x 10 Tóm lại có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán là: y 3x y 3x 10 * Nhận xét: - Trong ví dụ 1: Phần a) dạng tốn cho trước tiếp điểm, phần b) c) cho yếu tố tiếp điểm (hoành độ tiếp điểm) cần tìm thêm yếu tố lại - Trong ví dụ 2, 3: Mức độ cao hơn, tiếp điểm ẩn qua giả thiết khác (giao điểm, nghiệm PT) phải tìm yếu tố tiếp điểm Ví dụ 4: Cho hàm số y x 3x (C ) điểm A( x0 , y0 ) �(C), tiếp tuyến đồ thị (C) điểm A cắt (C) điểm B khác điểm A tìm hồnh độ điểm B theo x0 Lời giải: Vì điểm A( x0 , y0 ) �(C) � y0 x03 x0 , y ' x � y ' ( x0 ) x02 Tiếp tuyến đồ thị hàm có dạng: y y ' ( x0 )( x x0 ) y0 � y (3 x02 3)( x x0 ) x03 x0 � y (3 x02 3)( x x0 ) x03 (d ) Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (C): x 3x (3x02 3)( x x0 ) x03 � x3 x02 x x03 � ( x x0 ) ( x x0 ) � ( x x0 ) �۹� x x0 � x x0 � ( x0 � x 2 x0 � 0) Vậy điểm B có hồnh độ xB 2 x0 Ví dụ 5: Cho hàm số y x3 x 3x (C) Viết phương trình tiếp tuyến d đồ thị (C) điểm có hồnh độ x0 thỏa mãn y '' ( x0 ) chứng minh d tiếp tuyến (C) có hệ số góc nhỏ Giải Ta có y ' x x � y '' x y ''( x0 ) � x0 � x0 � M (2; ) ' Khi tiếp tuyến M có hệ số góc k0 y ( x0 ) y ' (2) 1 � 2� 2; �có phương trình y y0 f ' ( x0 ) x x0 Vậy tiếp tuyến d đồ thị (C) điểm M � � 3� suy y 1 x hay y x 3 Tiếp tuyến d có hệ số góc k0 -1 Mặt khác tiếp tuyến đồ thi (C) điểm kỳ (C) có hệ số góc k y ' ( x) x x x �1 k0 � 2� 2; � Dấu “=” xảy � x nên tọa độ tiếp điểm trùng với M � � 3� � 2� 2; �có hệ số góc nhỏ Vậy tiếp tuyến d (C) điểm M � � 3� Nhận xét: Trong ví dụ 5, tiếp điểm khái quát qua hoành độ x0, cần hướng dẫn học sinh viết PTTT dạng tổng quát để đạt mục đích tốn m Ví dụ 6: Cho hàm số y x3 x (Cm) Gọi M điểm thuộc đồ thị (Cm) có hồnh độ 3 -1 Tìm m để tiếp tuyến với (Cm) M song song với đường thẳng d: 5x-y=0 Giải Ta có y ' x mx Đường thẳng d: 5x-y=0 có hệ số góc bẳng 5, nên để tiếp tuyến M song song với đường thẳng d trước hết ta cần có y ' (1) � m � m 1 Khi m ta có hàm số y x3 x ta có x0 1 y0 2 3 ' Phương trình tiếp tuyến có dạng y y ( x0 )( x x0 ) y0 � y 5( x 1) � y x Rõ ràng tiếp tuyến song song với đường thẳng d Vậy m giá trị cần tìm Ví dụ 7: Cho hàm số y x 3x m (1) Tìm m để tiếp tuyến đồ thị (1) điểm có hồnh độ cắt trục Ox, Oy điểm A B cho diện tích tam giác OAB Giải Với x0 � y0 m � M(1 ; m – 2) - Tiếp tuyến M d: y (3 x02 x0 )( x x0 ) m � d: y = -3x + m + m2 �m � � A� ; 0� �3 � - d cắt trục Oy B: yB m � B(0 ; m 2) - d cắt trục Ox A: 3 x A m � x A - SOAB 3 m2 � | OA || OB | �| OA || OB | � m � (m 2) 2 m23 m 1 � � �� �� m 3 m 5 � � Vậy m = m = - Nhận xét: Phan tích hướng dẫn học sinh xác định rõ cách giải tốn: Phải tìm tọa độ điểm A va B 1.2 Dạng 2: Viết tiếp tuyến đồ thị hàm số y f ( x) (C) biết trước hệ số góc 1.2.1 Cách giải: + Gọi M ( x0 , y0 ) tiếp điểm, giải phương trình f ' ( x0 ) k � x x0 , y0 f ( x0 ) + Đến trở dạng 1,ta dễ dàng lập tiếp tuyến đồ thị: y k ( x x0 ) y0 Lưu ý: Các dạng biểu diễn hệ số góc k: *) Cho trực tiếp: Ví dụ: k 5; k �1; k � 3; k � *) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = ax + b Khi hệ số góc k = a 1 *) Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d): y = ax + b � ka 1 � k a � 0 2 � 15 ;30 ;45 ; ; � *) Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục Ox góc , với �� 3 � Khi hệ số góc k = tan k a tan *) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d): y = ax + b góc Khi đó, ka 1.2.2 Các ví dụ: Ví dụ 8: Cho hàm số y x3 x (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết hệ số góc tiếp tuyến k = -3 Giải: Ta có: y ' x x Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm � Tiếp tuyến M có hệ số góc k f ' ( x0 ) 3x02 x0 Theo giả thiết, hệ số góc tiếp tuyến k = - nên: x02 x0 3 � x02 x0 � x0 Vì x0 � y0 2 � M (1; 2) Phương trình tiếp tuyến cần tìm y 3( x 1) � y 3 x Ví dụ 9: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x3 3x (C) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + Giải: Ta có: y ' x x Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm � Tiếp tuyến M có hệ số góc k f ' ( x0 ) 3x02 x0 Theo giả thiết, tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + +6 � tiếp tuyến có hệ số x0 1 � M (1; 3) � 2 góc k = � 3x0 x0 � x0 x0 � � x0 � M (3;1) � Phương trình tiếp tuyến (C) M(-1;-3) là: y 9( x 1) � y x (loại) Phương trình tiếp tuyến (C) M(3;1) là: y 9( x 3) � y x 26 Ví dụ 10: Cho hàm số y x 3x (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y 1 x Giải: Ta có y ' x Do tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng 1 x nên hệ số góc tiếp tuyến k = 9 Do y ' k � x � x � x �2 +) Với x = � y Pttt điểm có hoành độ x = là: y 9( x 2) � y x 14 +) Với x 2 � y Pttt điểm có hồnh độ x = - là: y 9( x 2) � y x 18 y Vậy có hai tiếp tuyến củả (C) vng góc với đường thẳng y 1 x là: y =9x - 14 y = 9x + 18 Ví dụ 11: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số: y x x , biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d): x y 2010 Giải: 1 (d) có phương trình: y x 402 nên (d) có hệ số góc - 5 Gọi tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k k 1 � k (do (d )) Ta có: y ' x x nên hoành độ tiếp điểm nghiệm phương trình: x x � x3 x � ( x 1)( x x 5) � x � x � y �9� 1; � Vậy tiếp điểm M có tọa độ M � � 4� 11 Tiếp tuyến có phương trình: y 5( x 1) � y x 4 11 Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình: y x x2 Ví dụ 12: Cho hàm số y (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến 2x tạo với trục hoành góc 450 Giải 1 ' Ta có: y (2 x 3)2 Vì tiếp tuyến tạo với Ox góc 450 nên hệ số góc là: k �1 Khi gọi M x0 ; y0 tiếp điểm tiếp tuyến với đồ thị (C) ta có y ' ( x0 ) �1 � x0 2 � 1 �1 � � x0 1 (2 x0 3) � Với x0 1 y0 lúc tiếp tuyến có dạng y x Với x0 2 y0 4 lúc tiếp tuyến có dạng y x Vậy tiếp tuyến cần tìm y x y x 2x 1 Ví dụ 13: Cho hàm số y = có đồ thị (C) x 1 Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) cho tiếp tuyến cắt trục O x, Oy điểm A B thỏa mãn OA = 4OB Giải Giả sử tiếp tuyến d (C) M ( x0 ; y0 ) �(C ) cắt Ox A, Oy B cho OA 4OB OB 1 Hệ số góc d Do OAB vng O nên tan A OA 4 � x ( y ) 0 � 1 ( x0 ) 0� � Hệ số góc d y � ( x0 1) ( x0 1)2 � x0 ( y0 ) � � � y ( x 1) y x � �� 4 � Khi có tiếp tuyến thỏa mãn là: � 13 � � y ( x 3) y x � � 4 1.3 Dạng 3: Tiếp tuyến qua điểm Cho đồ thị (C): y = f(x) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua điểm A( ; ) 1.3.1 Cách giải: + Tiếp tuyến có phương trình dạng: y f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 ) , (với x0 hoành độ tiếp điểm) + Tiếp tuyến qua A( ; ) nên f ( x0 ) f '( x0 )( x0 ) (*) + Giải phương trình (*) để tìm x0 suy phương trình tiếp tuyến 1.3.2 Các ví dụ: Ví dụ 14: Cho đồ thị (C): y x3 3x , viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(-2; -1) Giải: Ta có: y ' x 3 Gọi M x0 ; x0 x0 1 tiếp điểm Hệ số góc tiếp tuyến y '( x0 ) x02 Phương trình tiếp tuyến với (C) M : y x0 3x0 1 (3x0 3)( x x0 ) qua A(-2;-1) nên ta có: 1 x0 x0 1 (3x0 3)(2 x0 ) � x03 3x02 x0 � y0 1 � � ( x0 1)( x02 x0 4) � � x0 2 � y0 1 � Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: : y 1; : y x 17 1.4 Dạng Các dạng tập khác tiếp tuyến Ví dụ 15: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) hàm số: y x 3x cho tiếp tuyến (C) A B song song với độ dài đoạn AB = Giải: Gọi A(a; a 3a 2) , B(b; b3 3b 2) , a �b hai điểm phân biệt (C) Ta có: y ' 3x nên tiếp tuyến với (C) A B có hệ số góc là: y '(a) 3a y '(b) 3b Tiếp tuyến A B song song với khi: y '(a) y '(b) � 3a 3b � (a b)(a b) � a b (vì a �b � a b �0) AB � AB 32 � (a b) � ( a3 3a 2) (b3 3b 2) � � � 32 2 � ( a b) � (a b3 ) 3( a b) � ( a b)(a ab b ) 3(a b) � � � 32 � (a b) � � � 32 � (a b) ( a b) � (a ab b ) 3� � � 32 , thay a = -b ta được: 4b 4b b 3 32 � b b b 3 � b 6b 10b 2 b � a 2 � � (b 4)(b 2b 2) � b � � b 2 � a � - Với a 2 b � A(2;0) , B(2;4) Với a b 2 � A(2;4) , B( 2;0) - Tóm lại cặp điểm A, B cần tìm có tọa độ là: (2; 0) (2; 4) Ví dụ 16: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) hàm số: y 2x 1 cho tiếp tuyến x 1 (C) A B song song với độ dài đoạn AB = 10 Giải: Hàm số viết lại: y x 1 � � � � a;2 , B� b;2 Gọi A � � �là cặp điểm đồ thị (C) thỏa mãn yêu cầu toán a 1� � b 1� � Với điều kiện: a �b, a �1, b �1 Ta có: y ' y '(a) nên hệ số góc tiếp tuyến với (C) A B là: ( x 1) 3 y '(b) (a 1) (b 1) Tiếp tuyến A B song song khi: y '(a) y '(b) � 3 (a 1) (b 1)2 a 1 b 1 ab � � �� �� � a b (1) (do a �b ) a b a b � � � �3 AB 10 � AB 40 � (a b) � � 40 �b a � 2 2 � �3 �6 � � (2b 2) � � 40 � 4(b 1) � � 40 ( thay a (1) ) �b b � �b � � (b 1) b �b 1 � � (b 1) 10(b 1) � � �� b �b 3 (b 1) � � 10 Mặt khác I(2; 2) IAB vuông I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích � �2 x0 �� � � ( x0 2) � �� � ( x0 2)2 �2 S = IM � � x ( x 2) � � �0 �� � � � x0 � �� Dấu “=” xảy ( x0 2) x0 ( x0 2) � Do điểm M cần tìm M(1; 1) M(3; 3) 2x 1 Tìm tọa độ điểm M cho khoảng cách từ điểm I (1; 2) tới x 1 tiếp tuyến (C) M lớn Giải Ví dụ 23: Cho hàm số y � � �(C ) tiếp tuyến M có phương trình Nếu M �x0 ; � x0 � � y2 3 ( x x0 ) hay x0 ( x0 1) 3( x x0 ) ( x0 1) ( y 2) 3( x0 1) Khoảng cách từ I (1;2) tới tiếp tuyến d 3(1 x0 ) 3( x0 1) x0 1 Theo bất đẳng thức Côsi x0 ( x0 1)4 ( x0 1) 2 ( x0 1) ( x0 1) �2 , vây d � ( x0 1) Khoảng cách d lớn ( x0 1) � x0 1 � x0 1 � ( x0 1) Vậy có hai điểm M: M 1 3;2 M 1 3; 2x Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp x 1 tuyến cách hai điểm A(2; 4), B(4; 2) Ví dụ 24: Cho hàm số y Giải Gọi x0 hoành độ tiếp điểm ( x0 �1 ) 2x ( x x0 ) PTTT (d) y x ( x0 1) y x02 x0 ( x0 1) x0 Ta có: d ( A, d ) d ( B, d ) 4( x0 1) x02 x0 4 2( x0 1) x02 x0 x0 �x0 �x0 2 14 x ; y x 1; y x 4 Chú ý: Bài toán giải cách sau: Tiếp tuyến cách A, B nên có khả năng: Tiếp tuyến song song (trùng) AB tiếp tuyến qua trung điểm AB 2x (C ) tìm điểm M �(C ) cho tiếp tuyến đồ thị hàm số Ví dụ 25: Cho hàm số y x 1 Vậy có ba phương trình tiếp tuyến: y M cắt hai trục tọa độ A, B cho tam giác OAB có diện tích Giải: Gọi M ( x0 , y0 ) ή (C ) y0 x0 , x0 y' ( x 1) Tiếp tuyến M có dạng: 2 x0 2 x02 y y '( x0 )( x x0 ) y0 � y ( x x0 ) �y x (d ) ( x0 1) x0 ( x0 1) ( x0 1) Gọi A (d ) �ox � tọa độ điểm A nghiệm hệ: � x02 y x � ( x0 1) � ( x0 1) �y � �x x02 �� � A( x02 ,0) �y Gọi B (d ) �oy � tọa độ điểm B nghiệm hệ: � x02 x �y ( x0 1) � ( x0 1) �x � �x x02 x02 �� � B (0, ) ( x0 1) �y ( x0 1) 2 Tam giác OAB vuông O ; OA = x0 x0 ; OB = Diện tích tam giác OAB: x02 x02 ( x0 1) ( x0 1)2 x04 1 S = OA.OB = 2 ( x0 1) � � � x02 x0 x02 x0 x � y0 2 � x ( x0 1) � � �� �� � x0 x0 � x0 1x0 (vn) � x0 � y0 � Vậy tìm hai điểm M thỏa mãn yêu cầu toán: M ( ; 2) ; M (1,1) Bài tập tự luyện Bài Cho hàm số y x 3x x (C ) Viết phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ x = 15 Bài Cho hàm số y x x , viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vng góc 3 với đường thẳng y x (d ) 3 Bài Cho hàm số y x3 3x x (C ) tất tiếp tuyến (C ) tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ 4x Bài Cho hàm số: y (C) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C), trục Oy x 1 tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ x = Bài Cho hàm số y x x Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d: y x 1 Bài Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số y 2x Biết tiếp tuyến x 1 qua điểm A(-1; 3) Bài Cho hàm số: y = x2 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm x2 A(-6,5) Bài Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y = 2x + 3x2 - 12x - kẻ từ �23 � điểm A � ; 2 � �9 � 2x có đồ thị (C) x2 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) b) Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến M (C) cắt hai tiệm cận (C) A, B cho AB ngắn x 1 Bài 10 Cho hàm số: y CMR: x 1 a) Nếu tiếp tuyến đồ thị cắt hai đường tiệm cận A B tiếp điểm trung điểm AB b) Mọi tiếp tuyến đồ thị tạo với hai đường tiệm cận tam giác có diện tích khơng đổi c) Tìm tất điểm thuộc đồ thị hàm số cho tiếp tuyến tạo với hai đường tiệm cận tam giác có chu vi nhỏ Bài 11 Cho hàm số y x3 m( x 1) (Cm ) Tìm m để tiếp tuyến (Cm ) giao điểm với trục tung tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích x 1 Bài 12 Cho hàm số: y 2( x 1) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Bài Cho hàm số y 16 b) Tìm điểm M (C) cho tiếp tuyến với (C) M tạo với hai trục tọa độ tam giác có trọng tâm nằm đường thẳng 4x + y = Chủ đề 2: BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO 2.1 Kiến thức 2.1.1 Bài toán tương giao tổng quát: Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) y = g(x,m) Hoành độ giao điểm hai đồ thị nghiệm phương trình : f(x, m) = g(x,m) (1) * Nhận xét: Số nghiệm (1) số giao điểm hai đồ thị hàm số Sau lập phương trình tương giao d (C) 2.1.2 Bài toán bản: Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) d: y =ax+b Hoành độ giao điểm hai đồ thị nghiệm phương trình f(x,m) = ax+b (1) Chú ý: + Nếu đường thẳng d qua điểm M(x 0; y0) có hệ số góc k phương trình d có Dạng: y – y0 = k(x – x0) + Khai thác tọa độ giao điểm ( M ( xM ; yM ) (C) d, ta cần ý: xM nghiệm (1); M thuộc d nên yM axM b + Nếu (1) dẫn đến phương trình bậc hai, ta sử dụng định lý Viet * Phương pháp nhẩm nghiệm hữu tỷ Cho phương trình: f ( x ) an x n an1x n1 a1 x a0 Nếu phương trình có nghiệm hữu tỷ x p (p, q)=1 q \ an p \ a0 q * Phương pháp hàm số Chuyển phương trình hồnh độ tương giao về: g(x) = m Khi số nghiệm số giao điểm đồ thị y = g(x) đường thẳng y = m 2.2 Các ví dụ: Ví dụ Cho hàm số y x 3x a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình x x m Giải a) Học sinh tự làm 17 Đồ thị: CĐ(2; 3), CT(0; -1) b) Phương trình x3 - 3x2 + m = � - x3 + 3x2 - = m - Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y x 3x với đường thẳng y = m – Vậy: m � m : Phương trình có nghiệm m � m : Phương trình có nghiệm m 1 � m : Phương trình có nghiệm m 1 � m : Phương trình có nghiệm m 1 � m : Phương trình có nghiệm Ví du 2: Cho hàm số y x 1 có đồ thị (C) x 1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị C hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x 1 m x 1 Giải a) Học sinh tự làm: Đồ thị: b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x 1 m x 1 1 18 Lập luận để suy từ đồ thị (C) sang đồ thị y x 1 x 1 C ' x 1 đường thẳng y = m x 1 Suy đáp số: m 1; m 1: phương trình có nghiệm phân biệt m 1: phương trình có nghiệm 1 �m 1: phương trình vơ nghiệm Số nghiệm pt (1) số giao điểm đthị y Ví dụ 3: Cho hàm số y x 3x có đồ thị (C) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) b) Dựa vào đồ thị (C) tìm m để phương trình x 3x m có nghiệm phân biệt Giải a) Học sinh tự làm Đồ thị: yCD 13 ; yCT b) Phương trình x 3x m � x x m Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị (C) với đường thẳng y=m+1 13 Dựa vào đồ thị, phương trình có nghiệm phân biệt � m � m 4 2x 1 có đồ thị (C) x2 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) b) Chứng minh với giá trị m, đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt Giải Ví dụ 4: Cho hàm số y 19 a) HS tự trình bày b) Đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt phương trình 2x 1 x m có hai nghiệm phân biệt x2 2x 1 x m ( x �2) Xét phương trình: x2 � x ( x m)( x 2) � x x mx 2m � x (4 m) x 2m Có (4 m) 4(1 2m) m 8m 16 8m m 12 m Vậy với m đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt Ví dụ 5: Cho hàm số y x 3x C Gọi d đường thẳng qua điểm A(- 1; 0) với hệ số góc k ( k thuộc R) Tìm k để đường thẳng d cắt (C) ba điểm phân biệt hai giao điểm B, C (B, C khác A ) với gốc tọa độ O tạo thành tam giác có diện tích Giải Đường thẳng d qua A(-1; 0) với hệ số góc k, có phương trình là: y = k(x+1) hay y = kx+ k Nếu d cắt (C) ba điểm phân biệt phương trình: x3 – 3x2 + = kx + k � x3 – 3x2 – kx + – k = � (x + 1)( x2 – 4x + – k ) = x 1 � có ba nghiệm phân biệt � g(x) = x2 – 4x + – k = có hai �� g ( x) x x k � ' k0 � � �� � k �9 (*) nghiệm phân biệt khác - � � k �0 �g (1) �0 � Với điều kiện: (*) d cắt (C) ba điểm phân biệt A, B, C.Với A(-1;0), B,C có hồnh độ hai nghiệm phương trình g(x) = Gọi B x1; y1 ; C x2 ; y2 với x1; x2 hai nghiệm phương trình: x x k Còn y1 kx1 k ; y2 kx2 k uuur Ta có: BC x2 x1; k x2 x1 � BC Khoảng cách từ O đến đường thẳng d: h x2 x1 1 k x 2 x1 1 k k 1 k2 Vậy theo giả thiết: S 1 k 1 h.BC k 1 k2 k3 1 � k3 � k3 � k 2 1 k 4 20 Ví dụ 6: Cho hàm số y 2x C Tìm tham số m để đường thẳng d: y = - 2x + m cắt đồ thị x 1 hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác OAB Giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm d (C): 2x 2 x m ( x �1) � g ( x) x (m 4) x m (1) x 1 D cắt (C) điểm phân biệt � (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1 � �m (m 4) 8(1 m) �� �� � m � m �R �g (1) �0 �g (1) 1 �0 Chứng tỏ với m d cắt (C) hai điểm phân biệt A, B Gọi A x1; 2 x1 m ; B x2 ; 2 x2 m Với: x1 , x2 hai nghiệm phương trình (1) uuu r 2 Ta có AB x2 x1 ;2 x1 x2 � AB x2 x1 x2 x1 x2 x1 Gọi H hình chiếu vng góc O d, khoảng cách từ O đến d h: m m �h 22 1 x2 x1 5 m2 Theo giả thiết: S AB.h 2 2 m 42.3 � m2 42.3 � m2 40 � m 10 Vậy: (*) Với m thỏa mãn điều kiện (*) d cắt (C) A, B thỏa mãn yêu cầu toán Ví dụ 7: Cho hàm số y x 2mx m 3 x (1) Tìm m để đường thẳng d: y = x + cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt A, B, C cho tam giác MBC có diện tích (Điểm B, C có hồnh độ khác khơng ; M(1;3) ) Giải Đồ thị (1) cắt d ba điểm A, B, C có hồnh độ nghiệm phương trình: x0 � � � x3 2mx m 3 x x 4; � x � x mx m � � � � x 2mx m � � ' m2 m � m 1 �m (*) Với m thỏa mãn (*) d cắt (1) ba điểm A(0; 4), hai điểm B,C có hồnh độ hai nghiệm phương trình: � ' m2 m � x 2mx m � � � m 1 �m 2; m �2 m �0 � uuur - Ta có B x1; x1 ; C x2 ; x2 � BC x2 x1; x2 x1 � BC x2 x1 x2 x1 x2 x1 2 -Gọi H hình chiếu vng góc M d h khoảng cách từ M đến d thì: 21 �h 1 �S 1 BC.h x2 x1 2 2 x2 x1 - Theo giả thiết: S = � x2 x1 4; � ' 4; � m m � m m Kết luận: với m thỏa mãn: m 2 �m � m (chọn) Ví dụ 8: Gọi Cm đồ thị hàm số y x m 1 x 2m Tìm m để đường thẳng y cắt Cm bốn điểm phân biệt A, B, C, D cho OA OB OC OD 2 Giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm x m 1 x 2m � x m 1 x 2m 2 Đặt t x t �0 , ta có phương trình t m 1 t 2m 0, * Để có giao điểm phân biệt phương trình (*) phải có nghiệm dương phân biệt � � 0 � m 1 2m 1 �m �0 � � � � �P � � 2m �� m �S � m 1 � � � � Với điều kiện phương trình (*) có hai nghiệm dương t1 , t2 Theo Vi-et ta có, t1 t2 m 1 , t1t2 2m Từ t1 x � x � t1 ; t2 x � x � t2 Đặt x A t1 , xB t1 , xC t2 , xD t2 �A t1 ;1 , B t1 ;1 , C t1 ;1 , D t ;1 � OA OB OC OD t1 t1 Theo đề � t1 t2 2 � t1 t2 � t1 t2 64 � t1 t2 t1t2 t1 t2 � m 1 2m m 1 � 4m 2 m � 2 m �0 � m �1 2 � � �� � m 1 � � m 2 3 2 m5 4m 2 m � � � � Vậy điều kiện phải tìm m Ví dụ 9: Cho hàm số y x m 1 x 2m có đồ thị Cm Định m để đồ thị Cm cắt trục hồnh điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng 22 Giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm: x m 1 x 2m (1) Đặt t x , t �0 (1) trở thành: f (t ) t m 1 t 2m Để (Cm) cắt Ox điểm phân biệt f (t ) phải có nghiệm dương phân biệt � ' m2 � m � � � �S m 1 � � (*) �P 2m � m �0 � � Với (*), gọi t1 t2 nghiệm f (t ) , hồnh độ giao điểm (Cm) với Ox là: x1 t2 ; x2 t1 ; x3 t1 ; x4 t2 x1 , x2 , x3 , x4 lập thành cấp số cộng � x2 x1 x3 x2 x4 x3 � t2 9t1 m4 � 5m 4m � � m m m m � m m 1 � � �� � m m m � � � 4� 4; � Vậy m � � Ví dụ 10: Tìm m để đường thẳng y 1 cắt đồ thị (Cm) điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ Giải Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm) đường thẳng y 1 : x �1 � x – (3m 2) x 3m 1 x – (3m 2) x 3m �2 x 3m (*) � Đường thẳng y 1 cắt (Cm) điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 nhỏ �1 3m � m 1 � � � �3 3m �1 � � m �0 � Bài tập tự luyện Bài Cho hàm số y x 3(m 1) x 3mx đường thẳng d : y x Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt a) có hồnh độ dương b) có hồnh độ lớn c) có hồnh độ x1 ; x2 ; x3 thỏa mãn x12 x22 x32 21 Bài Cho hàm số y x 3mx 3x 3m đường thẳng d : y x Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt a) có hồnh độ lớn –1 23 b) có hồnh độ x1 ; x2 ; x3 thỏa mãn x12 x22 x32 15 Bài Cho hàm số y x 3mx (m 1) x m đường thẳng d : y x m Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt có hồnh độ lớn Bài Cho hàm số y x 3mx 3(m 1) x (m 1) Tìm m để đồ thị (C) cắt Ox ba điểm phân biệt có hồnh độ dương Bài Cho hàm số y = 2x3 – 3x2 – 1, có đồ thị (C) Gọi (dk) đường thẳng qua A(0; –1) có hệ số góc k Tìm k để đường thẳng dk cắt (C) a) điểm phân biệt b) điểm phân biệt, hai điểm có hồnh độ dương Bài Cho hàm số y = x3 + 2mx2 + (m + 3)x + 4, có đồ thị (Cm) a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = b) Cho d đường thẳng có phương trình y = x + điểm K(1 ; 3) Tìm m để d cắt (Cm) ba điểm phân biệt A(0 ; 4), B, Csao cho tam giác KBC có diện tích Bài Cho hàm số y x 2mx 3(m 1) x (1), m tham số thực a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng : y x điểm phân biệt A(0;2) ; B; C cho tam giác MBC có diện tích 2 , với M (3;1) Bài Cho hàm số y x3 x x có đồ thị (C) hai điểm A(1;3), B(1; 1) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Tìm điểm M thuộc (C) cho tam giác ABM cân M Bài Cho hàm số: y x3 3x a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Viết phương trình đường thẳng d cắt (C) điểm phân biệt A, M, N cho x A MN 2 Bài 10 Cho hàm số y x x a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b) Gọi A, B hai điểm cực trị đồ thị (C) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) cho tam giác MAB cân M 1 Bài 11 Cho hàm số: y x3 x 3x 3 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Tìm m để đường thẳng : y mx cắt (C) ba điểm phân biệt A, B, C cho A cố định diện tích tam giác OBC gấp hai lần diện tích tam giác OAB Bài 12 Cho hàm số y x 2mx (m 3) x có đồ thị (Cm).Tìm m để đường thẳng (d): y = x + cắt (Cm) ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C cho S BCD 2 với D(1; 3) 24 Bài 13 Cho hàm số y x 3x m 1 x 1 1 có đồ thị Cm với m tham số a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m 1 b) Tìm m để đường thẳng d : y x cắt đồ thị Cm điểm phân biệt P 0,1 , M , N cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN với O 0;0 Bài 14 Cho hàm số: y x 3mx (3m 1) x 6m (C) a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) m=1 b) Tìm m để đồ thị hàm số (C) cắt trục hồnh ba điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn điều kiện x12 x22 x32 x1 x2 x3 20 Bài 15 Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + có đồ thị (Cm); (m tham số) Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = ba điểm phân biệt C(0;1), D, E cho tiếp tuyến (Cm) D E vng góc với Bài 16 Cho hàm số y = x3- (m+1)x2 + (m - 1)x + 1Chứng tỏ với giá trị khác m, đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm phân biệt A, B, C B, C có hồnh độ phụ thuộc tham số m Tìm giá trị m để tiếp tuyến B, C song song với Bài 17 Cho hàm số y x m 1 x 2m có đồ thị (Cm), m tham số a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = b) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ Bài 18 Cho y =x4 -2(m+1)x2 +2m+1Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng 2x Bài 19 Cho hàm số: y có đồ thị ( C ) x2 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C ) b) Xác định m để đường thẳng (d): y x m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB có diện tích (với O gốc tọa độ) 2x 1 Bài 20 Cho hàm số: y = x 1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C ) b) Tìm m để đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB có diện tích (O gốc tọa độ) 2x C 1 x a) Khảo sát hàm số b) Gọi (d) đường thẳng qua A( 1; ) có hệ số góc k Tìm k cho (d) cắt ( C ) Bài 21 Cho hàm số y hai điểm M, N MN 10 2x 1 Bài 22 Cho hàm số y có đồ thị (C) x 1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 25 b) Tìm m để đường thẳng y x m cắt (C) hai điểm A, B cho AB 2x Bài 23 Cho hàm số y có đồ thị (C) Chứng minh đường thẳng d: y = -x + m x2 cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ 2x Bài 24 Cho hàm số y có đồ thị (C) x 1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Tìm m để đường thẳng (d): y = mx+3 cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB vuông O x2 Bài 25 Cho hàm số y (C) 2x 1 a) Khảo sát vẽ đồ thị ( C ) hàm số b) Tìm m để (dm) cắt (C) hai điểm phân biệt thuộc nhánh (C) 2x Bài 26 Cho hàm số y = (1) Tìm m để đường thẳng dm: y = mx + - 2m cắt đồ thị x2 hàm số (1) hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh khác x2 Bài 27 Cho hàm số: y x2 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) b) Chứng minh với giá trị m (C) ln có cặp điểm A, B nằm hai �x A y A m nhánh (C) thỏa mãn � �xB yB m x2 (C) đường thẳng d: y = x+m cắt đồ thị C điểm A x 1 B cho tam giác IAB nhận điểm H 4; 2 làm trực tâm Với I giao điểm hai Bài 28 Cho hàm số y = đường tiệm cận y Bài 29 Cho hàm số d : 2x y 1 x m x2 (C) Tìm số thực dương m để đường thẳng cắt (C) hai điểm A B cho tam giác OAB có diện tích O gốc tọa độ Bài 30 Cho hàm số y 2 x Tìm điểm (C) cho tiếp tuyến với (C) điểm x 1 tạo với hai trục tọa độ tam giác có trọng tâm cách trục hoành khoảng 2x (1).Gọi I giao điểm hai tiệm cận (C), đường thẳng x 1 (d ) : x y cắt (C ) hai điểm A, B với A có hồnh độ dương Viết phương trình tiếp tuyến (C ) vng góc với IA Bài 31 Cho hàm số y 26 2x 1 (C) x 1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Tìm m để đường thẳng d: y x m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho OAB vuông O Bài 32 Cho hàm số y x 1 Tìm a b để đường thẳng (d): y ax b cắt (C) hai điểm x 1 phân biệt đối xứng qua đường thẳng ( ): x y Bài 33 Cho hàm số y Bài 34 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số: y = x3 – 3x2 + m b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x x x 1 Bài 35 Cho hàm số: y x3 x a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x = m x 3x Bài 36 Cho hàm số y = (x+1)2(x-2) (C) a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x ( x 1) m C PHẦN KẾT LUẬN Từ nhận thức thân sở thực tiễn chọn đề tài biện pháp triển khai đề tài, qua khảo sát thực tế việc tiếp thu học sinh, thấy đạt số kết cụ thể sau: Với việc trình bày tốn bản, với ví dụ minh họa sau đó, giúp tăng cường giảng cho thầy, cô giáo với em học sinh dễ hiểu biết cách trình bày bài, học sinh biết vận dụng thành thạo kiến thức học làm sở cho việc tiếp thu cách thuận lợi, vững Đặc biệt nội dung phần bình luận sau vài tập ví dụ giúp em học sinh củng cố hiểu biết chưa thật thấu đáo, với cách nhìn nhận vấn đề đặt cho em học sinh, để trả lời cách thỏa đáng câu hỏi “ Tại lại nghĩ làm vậy?” Luyện tập cho học sinh thói quen suy nghĩ, quan sát, lập luận để học sinh phát huy trí thơng minh, óc sáng tạo, khả phân tích, tổng hợp, tư độc lập thông qua việc thảo luận, tranh luận mà học sinh phát triển khả nói lưu lốt, biết lí luận chặt chẽ giải tốn Học sinh biết vận dụng kiến thức đơn lẻ để giải toán tổng hợp nhiều kiến thức 27 Ngồi có nhiều tốn giải nhiều cách khác giúp em học sinh trở nên linh hoạt việc lựa chọn phương pháp giải Với phong cách trình bày vậy, tài liệu nhằm giúp cho em học sinh rèn luyện lực vận dụng lý thuyết học Tạo khơng khí sơi nổi, niềm say mê hứng thú cho học sinh toán sinh động, hấp dẫn thực biến học, lớp học ln khơng gian tốn học cho học sinh Cuối cùng, cho dù cố gắng việc tham khảo lượng lớn tài liệu sách để vừa viết, vừa mang giảng dạy cho em học sinh từ kiểm nghiệm bổ sung thiếu sót, với việc tiếp thu có chọn lọc ý kiến bạn đồng nghiệp để dần hồn thiện chun đề này, khó tránh khỏi thiếu sót hiểu biết kinh nghiệm hạn chế, mong nhận đóng góp q báu q thầy giáo, giáo, bạn đồng nghiệp bạn đọc gần xa Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám Hiệu nhà trường thầy giáo tổ Tốn-Lý-Tin giúp đỡ, góp ý, bổ sung để tơi hồn thành chuyên đề Vĩnh Yên, ngày 28 tháng 10 năm 2015 Người viết Đặng Thị Kim Chung 28 ... đề thi tốt nghiệp, cao đẳng đại học hàng năm, hợp thành kì thi THPT quốc gia, toán tiếp tuyến tương giao chủ đề liên quan đến khảo sát hàm số điển hình Trong trình dạy học ôn thi tốt nghiệp, ôn. .. tiếp tuyến tương giao" để hệ thống cho em dạng toán phương pháp toán Mục đích đề tài Chuyên đề giúp cho học sinh có nhìn tổng quan hơn, nắm dạng toán phương pháp giải tiếp tuyến tương giao đồng... 1: BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN 1.1 Dạng 1: Tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M( x0 , y0 ) �(C ) : y f ( x) 1.1.1 Cách giải: * Tính y ' f ' ( x) ; tính k f ' ( x0 ) (hệ số góc tiếp tuyến) * Tiếp tuyến