Nhằm giúp các em học sinh trang bị kiến thức để giải bài toán liên quan đến khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trong đề thi Trung học phổ thông Quốc Gia được tốt hơn, tôi xin giới thiệu chuyên đề “Tiếp tuyến của đồ thị hàm số”. Chuyên đề giới thiệu với các em các dạng toán về viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số và một số bài toán liên quan.Chuyên đề được soạn theo hướng: Cơ sở lí thuyếtPhân loại dạng toán.Phương pháp giải.Ví dụ minh hoạ.Bài tập tương tự.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT ……… Chun đề mơn Tốn TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Giáo viên thực hiện: ………… Tổ Toán – Tin - trường THPT ……… Đối tượng học sinh: Lớp 12, Ôn thi THPT Quốc Gia Số tiết dự kiến:10T lớp + 10T tự học …… MỤC LỤC A.Đặt vấn đề B.Nội dung I CƠ SỞ LÍ LUẬN Khái niệm tiếp xúc hai đồ thị hàm Ý nghĩa hình học đạo hàm II CÁC DẠNG TOÁN Dạng : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) biết tiếp điểm M0(x0 , y0) Dạng : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) biết hệ số góc tiếp tuyến k Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị y = f(x) biết tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện K Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị y = f(x) biết tiếp tuyến qua điểm M1(x1, y1) Dạng 5: Một số dạng toán khác Dựa vào đặc điểm riêng toán kiến thức liên quan đến tiếp tuyến để đưa lời giải C KẾT LUẬN D TÀI LIỆU THAM KHẢO A ĐẶT VẤN ĐỀ Nhằm giúp em học sinh trang bị kiến thức để giải toán liên quan đến khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số đề thi Trung học phổ thông Quốc Gia tốt hơn, xin giới thiệu chuyên đề “Tiếp tuyến đồ thị hàm số” Chuyên đề giới thiệu với em dạng tốn viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số số toán liên quan Chuyên đề soạn theo hướng: - Cơ sở lí thuyết - Phân loại dạng tốn - Phương pháp giải - Ví dụ minh hoạ - Bài tập tương tự Mặc dù có nhiều cố gắng biên soạn, thiếu sót điều khơng thể tránh khỏi Do tơi chân thành đón nhận đóng góp ý kiến bạn đồng nghiệp, em học sinh để chuyên đề tốt hơn, hoàn thiện B NỘI DUNG I CƠ SỞ LÍ LUẬN Các định nghĩa Định nghĩa 1: M1 • Cho đường cong (C): y = f(x) Tiếp tuyến • MO với đồ thị (C) M0 vị trí giới hạn cát tuyến M0M1 M1 dịch chuyển (C) dần tới M0 y Định nghĩa : M1 • Hai đồ thị (C): y= f(x) (C'): y= g(x) gọi tiếp xúc M O • (C') MO • (C) x M0 điểm chung hai đồ thị tiếp tuyến với hai đồ thị M0 trùng Từ định nghĩa ta có kết sau : Đường thẳng y = ax + b tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) hệ sau f ( x ) = ax + b có nghiệm f '( x) = a Ý nghĩa hình học đạo hàm Hàm số y = f(x) xác định khoảng (a; b) có đạo hàm x0 thuộc khoảng (a; b) Gọi (C) đồ thị hàm số Khi Đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến (C) M(x0; f(x0)) Từ ý nghĩa hình học đạo hàm ta có kết sau: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm M(x0; f(x0)) có dạng y = f '( x0 )( x − x0 ) + y0 (trong y0 = f ( x0 ) ) II CÁC DẠNG TOÁN Dạng : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) biết tiếp điểm M0(x0 ; y0) Cách giải: Tính f /( x0 ) Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = f /( x0 )(x - x0) + y0 Chú ý: * Thuật ngữ thường dùng toán từ “tại điểm M0(x0; y0)”, điểm M0(x0; y0) phải thuộc đồ thị y = f(x), y0 = f(x0) M0(x0 ; y0) tiếp điểm * Trong số toán cho biết tọa độ tiếp điểm ( hoành độ tung độ ) ta cần tìm tọa độ điểm M từ phương trình y0 = f(x0) Ví dụ Cho hàm số y = − x3 + 3x2 − a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M(-1;2) b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ c) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có tung độ Bài giải: Ta có y' = −3x2 + 6x ( ) a) Do y' −1 = −9 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M(-1;2) y = y'(−1)(x+ 1) + 2⇔ y = −9x − b) Ta có y0 = y(2) = 2; y’(2) = Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ y = y'(2)(x− 2) + ⇔ y = c) Gọi x0 hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến cần tìm với đồ thị hàm số 3 Ta có y(x0) = ⇔ − x0 + 3x0 − = −2 ⇔ − x0 + 3x0 = 0⇔ x0 = 0∨ x0 = • Với x0 = Phương trình tiếp tuyến cần tìm y = y'(0)(x− 0) − ⇔ y = −2 • Với x0 = Phương trình tiếp tuyến cần tìm y = y'(3)(x− 3) − 2⇔ y = −9x + 25 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm y = -2; y = -9x + 25 x + (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số x− giao điểm (C) trục Ox Ví dụ Cho hàm số y = Bài giải: Tọa độ giao điểm ( C) trục Ox nghiệm hệ phương trình x+1 x=−1 y= ⇔ x − y= y= Tọa độ giao điểm (C) trục Ox M (-1; 0) Ta có y = −2 ,∀x ≠ 1⇒ y'(−1) = − (x − 1)2 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M(-1;0) 1 y = y'(−1)(x+ 1) + ⇔ y = − x− 2 Bài tập tự luyện: < > Cho hàm số y = x3 - 3x2 + Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số a) Tại giao điểm đồ thi hàm số với trục tung b) Tại điểm có tung độ y = - < > Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số a) y=− x3 + 2x2 −3x điểm có hồnh độ nghiệm phương trình y”(x) = 3 b) y=− x4 + x2 − điểm cực tiểu đồ thị hàm số 4 c) y= 3x+ biết hoành độ tiếp điểm nghiệm phương trình x− ( 7x− 11) y'(x) = 10 Dạng : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) biết hệ số góc tiếp tuyến k Cách giải: ( C1 ) Đưa toán tìm tiếp điểm: Gọi M0 (x0; y0) tiếp điểm tiếp tuyến cần tìm với đồ thị hàm số Từ phương trình f ’(x0) = k ta tìm x0, tính y0 = f(x0) Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y = k(x - x0) + y0 ( C2 ) Sử dụng điều kiện tiếp xúc đạo hàm: Đường thẳng (d) có hệ số góc k có dạng: y = kx + b ( b ∈R) (* ) Đường thẳng (d) tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) ìï f ( x)=kx +b hệ : ïí có nghiệm Từ => b ïïỵ f '( x)=k Thay b vào (*) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm Chú ý: Hệ số góc k có cho dạng gián tiếp như: - Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b ( => k = a ) - Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = ax + b ( => k = - ) a - Tiếp tuyến tạo với chiều dương 0x góc α ( => k = tanα ) - Tiếp tuyến tạo với 0x góc α ( => k = tanα ) - Tiếp tuyến tạo với đường thẳng y = ax + b góc α ( sử dụng cơng thức góc hai đường thẳng có hệ số góc k , k : tanα = k2 − k1 => hệ số góc 1+ k2.k1 tiếp tuyến ) Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) = x − x − biết hệ số góc tiếp tuyến ( Khối D năm 2014 ) Bài giải: - Phương trình đường thẳng có hệ số góc có dạng (t) y = 9x+b x − 3x − = 9x + b (1) - Để (t) tiếp tuyến (C) hệ có nghiệm 3 x − = (2) Giải (2) x = ±2 Với x = b = -18 Phương trình tiếp tuyến cần tìm y = 9x - 18 Với x = −2 b = 14 Phương trình tiếp tuyến cần tìm y = - 9x + 14 Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x) = − x − x + biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = x − ( Khối D năm 2010 ) Bài giải: Vì tiếp tuyến cần tìm vng góc với đường thẳng y = x − nên hệ số góc tiếp tuyến - Phương trình đường thẳng (t) có hệ số góc - có dạng y = - 6x + b − x − x + = −6x + b (1) Để (t) tiếp tuyến (C) hệ có nghiệm −4 x − x = −6 (2) Giải (2) x = Với x = b = 10 Phương trình tiếp tuyến cần tìm y = −6 x + 10 Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = 3x − biết tiếp tuyến x −1 tạo với trục hồnh góc 450 Bài giải: Gọi hệ số góc tiếp tuyến k, tiếp tuyến tạo với Ox góc 450 nên có k = tan 450 = ⇒ k = ±1 Do y ' = −1 < 0, ∀x ⇒ k = −1 ( x − 1) Hoành độ tiếp điểm nghiệm phương trình y '(x) = −1 ⇔ x = ⇒ y (2) = −1 = − ⇒ x = ⇒ y (0) = ( x − 1) Phương trình tiếp tuyến x = y = −1( x − ) + hay y = − x + Phương trình tiếp tuyến x = y = −1( x − ) + hay y = − x + x+2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm 2x + số biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy A, B cho tam giác OAB cân đỉnh O Ví dụ 4: Cho hàm số y = (Khối A năm 2009) Bài giải: Tam giác OAB cân đỉnh O suy hệ số góc tiếp tuyến ±1 x +2 Nếu M x0 ; ÷, (x0 ≠ − ) tiếp điểm hệ số góc tiếp tuyến 2x + y '(x ) = − Do y '(x ) < ⇒ y '(x ) = − (2 x + 3) ⇔− = −1 ⇔ (2 x + 3) x0 + = x + = −1 ⇔ x0 = −1 x = −2 • Với x = − ⇒ y(x ) = Phương trình tiếp tuyến có dạng y = − x ( loại ) • Với x = − ⇒ y(x ) = Phương trình tiếp tuyến có dạng y = − x − Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng y = − x − Bài tập tương tự: < > Cho hàm số y = x - 3x2 + 2, viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng: 5y - 3x + = < > Cho đồ thị (C): y = x - 3x2 , viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng: y = < > Cho hàm số y = x x −3 (C), giả sử (C) cắt Ox, Oy A B Hãy viết phương 2x − trình tiếp tuyến với (C) cho tiếp tuyến vng góc với đường thẳng AB < > Cho hàm số y= x +1 (C) Tìm x- tọa độ giao điểm tiếp tuyến đồ thị hàm số ( C ) với trục hoành , biết tiếp tuyến vng góc với đường y = x + 2001 < > Cho hàm số y = x3 - 3x2 +1 (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = 9x + 2001 x+3 biết tiếp tuyến cắt 2x + Ox, Oy A, B cho đường trung trực AB qua gốc tọa độ < > Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị y = f(x) biết tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện K 10 d ( I,∆) = x0 + 3 ⇔ = 10 10 + ( x0 + 1) ⇔ ( x0 + 1) − 10 ( x0 + 1) + = x0 = ( x0 + 1) = x = − ⇔ ⇔ ( x + 1) = x0 = x0 = − 2 Với x0 = Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng ∆ : y = − 3x + Với x0 = -1 Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng ∆ : y = − 3x − 1 Với x0 = Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng ∆ : y = − x + Với x0 = -2 Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng ∆ : y = − x − Ví dụ 3: 2x −1 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) x −1 biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy A, B cho OA = 4OB Bài giải: Cho hàm số y = Ta có y ' = − > 0, ∀ x ≠ ( x − 1)2 x −1 Nếu M x0 ; ÷, (x0 ≠ 1) tiếp điểm phương trình tiếp tuyến cần tìm có x0 − dạng: y=− 2x − 1 x − x0 ) + (d ) ( x − x − ( ) Tọa độ giao tiếp tuyến ( d) với Ox A ( x0 − x0 + 1;0 ) 13 Tọa độ giao tiếp tuyến ( d) với Oy B 0; x0 − x0 + ÷ x − ( ) ÷ OA = 4OB ⇔ ( 2x − x0 + 1) = ( 2x − x0 + 1) ( x0 − 1) x0 − = ⇔ ⇔ x − = − x0 = x0 = − 1 Với x0 = - Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng y = − x + Với x0 = Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng y = − x + 13 Nhận xét: • Bài tốn còn cho dạng tìm tọa độ điểm M (C) cho tiếp tuyến M cắt Ox, Oy A, B cho OA = 4OB Với câu hỏi sau tìm x0 thay vào tọa độ M kết tốn • Cách làm còn áp dụng cho tốn tìm tọa độ điểm M đồ thị hàm số cho tiếp tuyến M thỏa mãn điều kiện cho trước Ví dụ 4: Cho hàm số y = 2x Tìm M đồ thị (C) biết tiếp tuyến với đồ thị (C) x +1 M cắt Ox, Oy A, B cho tam giác OAB có diện tích (Khối D năm 2007) Bài giải: Ta có y ' = ( x + 1)2 , ∀x ≠ −1 14 x0 Giả sử M(x0; x + 1) ∈ (C ), x0 ≠ −1 Tiếp tuyến với ( C) M có dạng y= ( x0 + 1) ( x − x0 ) + 2 x0 Khi A(− x0 ;0); B 0; x0 ÷ x0 + ( x0 + 1) Từ giả thiết tam giác OAB có diện tích ta có x0 + x0 + = x0 = − x0 1 − x0 = ⇔ ⇔ ( x0 + 1) x0 − x0 − = x0 = Có hai điểm phải tìm M − ; −2 ÷ M(1;1) Ví dụ 5: Cho hàm số y = 2x − có đồ thị (C) Tìm điểm M (C) để TT với x−2 (C) M cắt tiệm cận đứng tiệm cận ngang (C) A, B cho tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất, I giao hai tiệm cận Bài giải: Ta có y ' = − ( x − 2)2 , ∀x ≠ 2x − Giả sử M ( x0 ; x − ) ∈ (C ), x0 ≠ Tiếp tuyến với (C) M có dạng y=− ( x0 − ) ( x − x0 ) + x0 − 2x − Khi A(2; ); B(2 x0 − 2; 2) x0 − x0 − Nhận thấy M trung điểm AB, giao hai tiệm cận I(2; 2) Tam giác IAB vng I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích 15 S = π.IM = π[( x0 − 2) + ( x0 − − 2) ] = π[( x0 − 2) + ] ≥ 2π x0 − ( x0 − 2) 2 Đẳng thức xảy ( x0 − 2) = ( x − 2) ⇔ x0 = ∨ x0 = Có hai điểm phải tìm M(1;1) M(3;3) Bài tập tương tự: < > Cho hàm số y = 2x −1 có đồ thị (C) Tìm (C) điểm N cho tiếp tuyến x +1 N đường thẳng qua N giao điểm hai tiệm cận có tích hệ số góc -9 < > Cho hàm số y = 2− x có đồ thị (C) Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến x −1 M đường thẳng qua M giao điểm hai tiệm cận vng góc với < > Cho hàm số y = x3 − x + Trong tất tiếp tuyến đồ thi tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ < > Tìm phương trình tất đường thẳng tiếp xúc với đồ thị (C) hàm số y = ( x − 1)2 hai điểm phân biệt ( Đề thi HSG lớp 12 năm học 2011- 2012 – Vĩnh Phúc) < > Cho hàm số y = 2x −1 có đồ thị (C) Tìm điểm M (C) để TT với x −1 (C) M vng góc với đường thẳng IM với I giao điểm hai đường tiệm cận < > Cho hàm số y = − 2x có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết x +1 tiếp tuyến cách hai điểm A(-7;6), B(-3;10) < > Cho hàm số y = 2x +1 có đồ thị (C) Tìm điểm M (C) cho khoảng x −1 cách từ I(1;2) tới tiếp tuyến (C) M đạt giá trị lớn Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị y = f(x) biết tiếp tuyến qua điểm M1(x1; y1) 16 Chú ý: * Nhận dạng toán: Thuật ngữ thường dùng toán từ " qua '', " kẻ từ ''( khác với toán dùng từ "tại '' ) * Điểm M1(x1; y1) thuộc không thuộc đồ thị y = f(x) Cách giải: Có cách giải tốn Cách 1: Đưa về tốn tìm tiếp điểm: Gọi M0 (x0, y0) tiếp điểm : - Phương trình tiếp tuyến cần tìm : y - f(x0) = f /(x0)(x - x0) (D) - Vì (D) qua điểm M1(x1 ; y1) nên toạ độ M1 thoả mãn phương trình (D): y1 - f(x0) = f ’(x0)(x1 - x0) ( *) Đây phương trình ẩn x0 - Giải ( *) tìm x0 - Thay vào (1) phương trình tiếp tuyến cần tìm Cách : Sử dụng điều kiện tiếp xúc đạo hàm: - Đường thẳng (T) qua điểm M 1(x1 ; y1) nên phương trình tiếp tuyến có dạng: y = k(x - x1) + y1 - Đường thẳng (T) tiếp tuyến đồ thị y = f(x) ⇔ hệ f(x) = k(x-x1) + y1 có nghiệm f '( x) = k Từ việc đặt điều kiện hệ có nghiệm => k - Thay vào (* ) ta có phương trình tiếp tuyến phải tìm Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số y = (2 - x 2)2 biết tiếp tuyến qua A(0; 4) Lời giải: Cách 1: Ta có: y = (2 - x2)2 = x4 - 4x2 + y’ = 4x3 - 8x Gọi Mo (x0; y0) tiếp điểm tiếp tuyến (C) thì: y0 = x04 - x02 + tiếp tuyến cần tìm có phương trình dạng: y = y’(x0)(x - x0) + y0 ⇔ y = (4 x03 - x0)(x - x0) + x04 - x02 + (*) 17 Do tiếp tuyến lại qua A(0; 4) ⇒ = - x0 + x02 + ⇔ x02(4 - x02) = x0 = ⇔ x0 = ± Khi x0 = thay vào (*) có phương trình tiếp tuyến thứ là: ( t1 ): y = Khi x0 = −16 thay vào (*) có phương trình tiếp tuyến thứ hai là: ( t2 ): y = x+4 Khi x0 = −2 16 x+4 thay vào (*) có phương trình tiếp tuyến thứ ba là:( t3 ): y = Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x) = x − x − biết tiếp tuyến qua điểm M(2;0) Lời giải: Đường thẳng qua M(2;0) có dạng : (t) y = k ( x − 2) x3 − x − = k (x-2) (t) TT (C ) nên hệ có nghiệm 3 x − = k Giải hệ ta tìm k = 11 Phương trình tiếp tuyến cần tìm y = 11x - 22 Bài tập tương tự: x − x Viết phương trình tiếp tuyến đồ 2 thị (C) biết tiếp tuyến qua O(0; ) < > Cho đồ thị (C): y = f ( x ) = x − 3x + Viết phương trình tiếp đồ thị 2 < > Cho đồ thị (C): y = f ( x ) = (C) biết tuyến qua A(0; ) Dạng 5: Một số dạng toán khác Dựa vào đặc điểm riêng toán kiến thức liên quan đến tiếp tuyến để đưa lời giải 18 Ví dụ 1: Cho hàm số y = 1− x có đồ thị (C) Chứng minh với m đường 2x −1 thẳng y = x + m cắt (C) điểm A, B Gọi k 1, k2 hệ số góc tiếp tuyến A B Tìm m để k1 + k2 lớn (Khối A 2011) Bài gi¶i: Hồnh độ giao điểm đồ thị (C) đường thẳng y = x + m nghiệm phương 1− x = x+m 2x −1 trình ⇔ − x = ( x + m)(2 x − 1) ( x = không nghiệm) ⇔ x + 2mx − m − = 0(*) Phương trình (*) có ∆ = m2 + 2m + > 0, ∀m suy đường thẳng y = x + m cắt đồ thị (C) điểm phân biệt Gọi x1, x2 nghiệm (*), theo viét ta có x1 + x2 = −m; x1.x2 = −m − nên k1 + k2 = − 1 4(x1 + x ) − x1x − 4(x1 + x ) + − = − (2 x1 − 1) (2 x − 1) (4 x1x − 2(x1 + x ) + 1) = −4m − 8m − = −4(m + 1) − ≤ −2 Vậy k1 + k2 lớn – m = - Ví dụ 2: Xác định m để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị (C) hàm số y= x +1 hai điểm phân biệt A, B cho tiếp tuyến (C) A B song song x −1 với Bài gi¶i: Đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số cho điểm phân biệt A, B x+ = m+ 2x có nghiệm phân biệt phương trình x− ⇔ 2x2 + (m− 3)x − m− 1= có nghiêm phân biệt khác 19 −2 ≠ ⇔ ⇔ ∀m ∆ = m + m + 17 > Vậy ∀mthì đt y = m + 2x cắt đồ thị hàm số cho điểm A(x1; 2x1 +m); B(x2; 2x2 + m) Hệ số góc tiếp tuyến A y'(x1) = − (x − 1)2 Hệ số góc tiếp tuyến B y'(x2 ) = − (x − 1)2 2 Để tiếp tuyến A, B song song − (x − 1)2 = − (x − 1)2 ⇔ (x1 − 1)2 = (x2 − 1)2 ⇔ x1 + x2 = (do x1 ≠ x2 ) ⇔ m= Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3- 3x + có đồ thị (C) Tìm đường thẳng y = điểm cho từ kẻ tiếp tuyến đến (C) Bài gi¶i: Gọi M(a ; 4) là điểm thẳng y = ⇒ Phương trình đường thẳng (d) qua M có hệ số góc k là: y = k(x – a) + Đường thẳng (d) là tiếp tuyến (C) hệ: x − x + = k ( x − a ) + (1) có nghiệm 3 x − = k (2) x − x − = (3 x − 3)( x − a ) (1') ⇔ có ngiệm 3x − = k (2 ') Xét phương trình ( 1’): x3 − 3x − = (3x − 3)( x − a) ⇔ ( x − 1) ( x + 2) = (3x − 3)( x − a ) ⇔ ( x − 1) −2 x + ( 3a − ) x + 3a − = (3') Để từ M kẻ tiếp tuyến tới đồ thị hàm số (C) hệ (I) có nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (1’) có nghiệm phân biệt 20 ⇔ Phương trình −2 x + ( 3a − ) x + 3a − = có nghiệm phân biệt khác ∆ = ( 3a − ) + ( 3a − ) > a < −2 ∨ a > ⇔ ⇔ 6a − ≠ a ≠ a < −2 Vậy giá trị cần tìm a > ;a ≠1 Ví dụ 4: Cho hàm số y = x3 + 3x + mx +1 (Cm ) Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y=1 điểm C(0;1), D, E Tìm m để tiếp tuyến D, E vng góc với Bài gi¶i: Để đường thẳng y = cắt (Cm) điểm khác phương trình x + 3x + mx +1 = 1có nghiệm phân biệt Û x( x + 3x + m) = có nghiệm phân biệt ïì 9- 4m > Û Û x + 3x + m = có nghiệm phân biệt khác Û ïí ùùợ m ỡù ùù > m ( *) ớ4 ùù ùợ m ỡùù x1 + x2 =- x , x Gọi hồnh độ D, E ta có íï ïỵ x1.x2 = m Tiếp tuyến D, E vng góc y '( x1) y '( x2 ) =- 1Û ( 3x12 + 6x1) ( 3x22 + 6x2 + m) =- Û x12.x22 - m é + m2 =- (ëx1 + x2 ) -2x1x2 ù ê ú û Û 4m2 - 9m +1= Û m= 9± 65 Kết hợp điều kiện (*) ta có giá trị m cần tìm m = 9± 65 21 Ví dụ 5: Cho hàm số y = 2x +1 (C) x- a) Chứng minh tiếp tuyến đồ thị hàm số lập với hai tiệm cận tam giác có diện tích khơng đổi b) Tìm M đồ thị hàm số cho tiếp tuyến M tạo với hai tiệm cận tam giác có chu vi nhỏ Bài gi¶i: - Ta có y ' = ( x - 1)2 , " x ¹ Tiệm cận đứng (C): x =1 Tiệm cận ngang (C): y = ; Giao điểm I(1; 2) hai tiệm cận - 2a +1 Phương trình tiếp tuyến (C) M(a; y(a)) : y = (a - 1)2 ( x - a ) + a - ( a ¹ 1) Giao tiếp tuyến với tiệm cận A(1; 2a + ; IB = a - ; ); B (2a - 1; 2) ; IA = a- a- 1 a) Diện tích tam giác IAB S IAB = IA.IB = a - a - = (đpcm) b) Ta có AB = IB + IA2 ³ 2IA.IB = 12 Þ AB ³ IB + IA ³ Chu vi tam giác IAB CIAB = AB + IA + IB ³ 3+ = Chu vi tam giác IAB nhỏ IA = IB hay a = 1± , Vậy có hai điểm M (1- 3; 2- 3); M (1+ 3; 2+ 3) 22 Ví dụ 6: Cho hàm số: y = x3 + ( − 2m ) x − mx + m Tìm m để f(x) tiếp xúc với trục hoành Bài giải: Để f(x) tiếp xúc với trục hồnh hệ x3 + ( − 2m ) x − mx + m = có nghiệm x + ( − 2m ) x − mx + m ' = ( ) ( ) ìï ( x + 1) x2 - 2mx + m = ïï ïí có nghiệm / ïï é ù x + x mx + m = ) ïï ê( ú û ỵ ë ( ) ìï ( x + 1) ( x - 2mx + m) = Û ïí ïï x - 2mx + m + ( x + 1) ( 2x - 2m) = 0 có nghiệm ïỵ éìï x + = êïí êï x - 2mx + m = êïỵ Û ê Û êìï x - 2mx + m = êïí êï ( x +1) ( 2x - 2m) = ê ëïỵ éìï x =- êïï êí êïï m =- êïỵ ê êìï êï x - 2mx + m = êíï ê ëïỵ x = - 1Ú x = m é êx = - 1; m =ê ê Û êx = m = ê êx = m =1 ê ê ë Vậy m = 0; m = 1; m = − f(x) tiếp xúc với Ox Ví dụ 7: Tìm m để đường thẳng ∆ : y = −49 x + 98 tiếp xúc với đồ thị (Cm): y = x3 − ( m + 1) x − ( 2m − 3m + ) x + 2m(2m − 1) 23 Bài giải: Đường thẳng ∆ : y = −49 x + 98 tiếp xúc với đồ thị (Cm) hệ x3 − ( m + 1) x − ( 2m − 3m + ) x + 2m ( 2m − 1) = −49 x + 98 ( 1) (I) có nghiệm 2 x − ( m + 1) x − ( 2m − 3m + ) x + 2m ( 2m − 1) ' = ( −49 x + 98 ) ' ( ) Nhận xét lấy đạo hàm (2) bình thường việc đặt điều kiện để hệ (I) có nghiệm khó khăn.Ta thấy: ( 1) ⇔ ( x − ) x − ( m −1) x − m ( 2m −1) x = −49 ( x − ) ⇔ ( x − ) x − ( m −1) x − m ( 2m −1) x + 49 = Chính ta có: [ ] ( x − 2) x − ( m − 1) x − m( 2m − 1) + 49 = Hệ (I) ⇔ / ( x − 2) x − ( m − 1) x − m( 2m − 1) + 49 = ( [ [ ]) ] ( x − ) x − ( m − 1) x − m( 2m − 1) + 49 = ⇔ [ x − ( m − 1) x − m( 2m − 1) + 49] + ( x − 2) [ x − ( m − 1) ] = ⇔ x − = x − ( m − 1) x − m ( 2m −1) + 49 = x − ( m − 1) x − m ( 2m −1) + 49 = ( x − ) x − ( m − 1) = ( A) ( B) Gọi g(x) = x − ( m − 1) x − m( 2m − 1) + 49 thì: Hệ (I) có nghiệm ⇔ hệ (A) có nghiệm hệ( B) có nghiệm ⇔ g(x) có nghiệm x = g(x) có nghiệm x= m −1 24 g ( 2) = m = 5; m = − 11 2m + m − 55 = ⇔ m − 1 ⇔ ⇔ g = 3m − 2m − 65 = m = 5; m = − 13 Vậy m = 5; m = − 11 ; m = − 13 gá trị cần tìm Bài tập tương tự < > Cho hàm số y = x3 − mx − m + 1,(Cm) Tìm m cho tiếp tuyến giao điểm (Cm)với Oy chắn hai trục tọa độ tam giác có diện tích < > Cho hàm số y = x3 − ( m + 1) x + x + 2m + 1, m số thực,có đồ thị (C) Tìm m để đường thẳng (d): y = x + m + cắt đồ thị ( C) điểm phân biệt A, B, C cho tổng hệ số góc tiếp tuyến với (C) A, B, C 12 ( Đề thi HSG lớp 12 Vĩnh Phúc năm học 2012-2013) < > Cho hàm y = x3 − x + có đồ thị (C ) đường thẳng d : y = mx + m + Tìm m để d cắt (C) M(-1;3), N, P cho tiếp tuyến với (C) N, P vuông góc < > Cho hàm số y = 3x + có đồ thị (C ) đường thẳng d : y = (n + 1) x + n − Tìm x −1 n để d cắt (C) điểm phân biệt M, N cho a) Diện tích ∆ OMN b) MN nhỏ c) MN = 10 < > Cho hàm số y = x3 - 3x (C) Tìm đường thẳng y = điểm mà từ kẻ tiếp tuyến tới (C) < > Cho hàm số y = - x3+ 3x + (C) Tìm 0x điểm mà từ kẻ tiếp tuyến tới (C) < > Cho hàm số y = 2x3 + 3x2 - (C) CMR từ A(1; - 4) kẻ tiếp tuyến tới (C) < > Cho hàm số y = x3 - 6x2 + 9x - (C) Từ điểm đường thẳng x = kẻ tiếp tuyến tới (C) 25 < > Cho hàm số y = x4- x2 + (C) Tìm điểm thuộc trục tung mà từ kẻ tiếp tuyến tới (C) < 10 > Cho hàm số y = - x4 + 2x2 - (C) Tìm điểm M thuộc trục tung cho từ M kẻ tiếp tuyến tới (C) ( Thi GVG VP - 2002 - 2003) < 11 > Cho hàm số y = x3- 3x + có đồ thị (C) Tìm đường thẳng y = điểm cho từ kẻ tiếp tuyến đến (C) tiếp tuyến vng góc < 12 > Tìm tất điểm thuộc Oy cho từ kẻ hai tiếp tuyến đến x+2 đồ thị hàm số y = mà hai tiếp điểm nằm hai phía trục Ox x −1 3x − ( H ) Gọi I giao hai tiệm cận, tiếp tuyến điểm M x −1 thuộc (H) cắt hai tiệm cận A, B < 13 > Cho hàm số y = a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tam giác cân b) Chứng minh I trung điểm AB c) Chứng minh diện tích tam giác IAB khơng đổi d) Tìm vị trí điểm M (H) cho chu vi tam giác IAB nhỏ C KẾT LUẬN Trên nội dung chuyên đề “Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số” Chuyên đề dùng cho học sinh ôn thi THPT Quốc Gia (sau học xong kiến thức đạo hàm lớp 11 kiến thức chương lớp 12) Chuyên đề chủ yếu tập trung vào giải tốn viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Chun đề ngồi mục đích rèn luyện cho học sinh kỹ viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số củng cố, rèn luyện thêm kỹ giải toán tương giao hai đồ thị, giải phương trình bậc ba, bậc bốn trùng phương… Từ phát triển khả quan sát tư trừu tượng giúp học sinh tự tin học toán D TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Hạo, Đại số Gải tích 11, NXB Giáo dục 26 [2] Đề thi ĐH-CĐ từ 2007-2014 [3] Tạp chí TH&TT [4] http://math.vn/ [5] http://www.vnmath.com/ 27 ... 3x2 − a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M(-1;2) b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ c) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có tung độ Bài giải:... (a; b) Gọi (C) đồ thị hàm số Khi Đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến (C) M(x0; f(x0)) Từ ý nghĩa hình học đạo hàm ta có kết sau: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm... tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) biết hệ số góc tiếp tuyến k Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị y = f(x) biết tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện K Dạng 4: Viết phương trình tiếp