Bài toán số phức dưới góc nhìn hình học

MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU .2 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu .2 1.5 Điểm sáng kiến king nghiệm 2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận 2.2 Thực trạng 2.3 Giải pháp 2.3.1 Một số tốn điển hình 2.3.2 Một số câu hỏi trắc nghiệm tự luyện 17 2.4 Hiệu .20 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .21 3.1 Kết luận .21 3.2 Kiến nghị 21 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Nội dung cuối chương trình Giải tích lớp 12 phần có kiến thức vơ mẻ lạ lẫm với em học sinh: Số phức Mọi quan niệm quen thuộc trước em như: bình phương số ln khơng âm, có phương trình bậc hai vơ nghiệm, khơng cịn Hầu hết em học sinh cảm thấy lúng túng, thiếu tự tin Tuy nhiên, phương pháp “quy lạ quen” Tốn học ln giải pháp đơn giản hữu hiệu cho giáo viên học sinh tiếp cận vấn đề Nhờ có Oxy tương ứng 1-1 số phức với điểm mặt phẳng tọa độ , mà có nhiều tốn số phức giải dễ dàng đưa tọa độ phẳng có nhiều tốn số phức sáng tạo từ toán quen thuộc tọa độ phẳng Đó lí mà tơi lựa chọn đề tài: “ Bài tốn số phức góc nhìn hình học ” 1.2 Mục đích nghiên cứu Trong sáng kiến này, củng cố lại kiến thức bản, nhận xét, lưu ý quan trọng, hữu ích; giới thiệu số tốn vận dụng, vận dụng cao số phức giải phương pháp hình học hệ thống tập tự luyện phong phú Các ví dụ nêu bật tầm quan trọng việc khai thác phương pháp dạng tốn từ hình học để giải toán số phức, giúp học sinh cảm thấy quen thuộc với số phức, từ có hướng phân tích tốn tư phù hợp để tìm lời giải cho tốn Mong muốn tơi giúp em học sinh phát triển tư toán: biết đưa lạ quen, biết sáng tạo, phát triển toán từ vấn đề quen thuộc; rèn kĩ giải tốn, có thêm phương pháp xử lí số câu hỏi số phức câu vận dụng, vận dụng cao đề thi THPT Quốc gia Từ em thấy vẻ đẹp Tốn học, thêm tự tin u thích môn học 1.3 Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 12 Thời gian thực hiện: tiết (tôi thực vào tiết ôn tập cuối năm) Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức số phức chương trình SGK mơn tốn lớp 12 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp “quy lạ quen” nhờ có tương ứng 1-1 số phức Oxy với điểm mặt phẳng tọa độ , mà có nhiều tốn số phức giải dễ dàng đưa tọa độ phẳng có nhiều tốn số phức sáng tạo từ toán quen thuộc tọa độ phẳng 1.5 Điểm SKKN Trong SKKN từ ví dụ nêu bật tầm quan trọng việc khai thác phương pháp dạng toán từ hình học để giải tốn số phức, giúp học sinh cảm thấy quen thuộc với số phức, từ có hướng phân tích tốn tư phù hợp để tìm lời giải cho tốn NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận Trong đề tài sử dụng kiến thức sau Các định nghĩa z = a + bi a,b∈ ¡ i = −1 i , - Một số phức biểu thức dạng với b a gọi đơn vị ảo, gọi phần thực gọi phần ảo số z = a + bi phức £ = a + bi / a,b∈ ¡ ;i = −1 £ Tập hợp số phức kí hiệu : Chú ý: b=0 z=a + Khi phần ảo số thực a=0 z = bi + Khi phần thực số ảo = + 0i + Số vừa số thực, vừa số ảo a= c a + bi = c + di ⇔  vớ i a,b,c,d ∈ ¡ b = d  - Hai số phức nhau: z1 = a + bi, z2 = − a − bi a,b∈ ¡ - Hai số phức với , gọi hai số phức đối a,b∈ ¡ z = a + bi a − bi z - Số phức liên hợp với kí hiệu { Rõ ràng z=z } - Môđun số phức z = a + bi; a, b ∈ ¡ | z |= a + b Ta có | z |=| z | Các phép toán tập số phức Cho hai số phức z = a + bi; z′ = a′ + b′i - Tổng hai số phức: - Hiệu hai số phức: - Nhân hai số phức: a,b,a′,b′ ∈ ¡ với z + z′ = ( a + a′ ) + ( b + b′ ) i z − z′ = ( a − a′ ) + ( b − b′ ) i z.z′ = ( a.a '− b.b ' ) + ( a.b '+ a '.b ) i Ta có z.z =| z |2 - Chia số phức: z≠0 z′ z′.z = z z Biểu diễn hình học số phức ý quan trọng - Trong mặt phẳng phức Oxy ( Ox trục thực, Oy trục ảo ), số phức M ( a; b) z = a + bi a,b∈ ¡ với biểu diễn điểm y M b x O a Chú ý: + Nếu + Nếu M điểm biểu diễn số phức M1, M z z = OM thì: điểm biểu diễn cho số phức z1 − z2 = M 1M phẳnguuphức uur u uuuu r uuuuu r M : OM + OM = OM số phức z1 + z2 z1 , z2 mặt biểu diễn điểm Một số tập hợp điểm thường gặp - Cho hai số phức z1 , z2 A, B có hai điểm biểu diễn ; tập điểm z − z1 = z − z2 z M biểu diễn cho số phức thỏa mãn đường trung trực đoạn AB thẳng z1 I M - Cho số phức có điểm biểu diễn , tập điểm biểu diễn z − z1 = R, ( R > z I cho số phức thỏa mãn cho trước) đường trịn tâm bán kính R z1 , z2 F1 , F2 a>0 - Cho hai số phức có hai điểm biểu diễn số thực Xét z − z1 + z − z2 = 2a z số phức thỏa mãn + Nếu F1F2 thẳng F1F2 = 2c = 2a tập điểm M biểu diễn cho số phức z đoạn F1F2 = 2c < 2a z M tập điểm biểu diễn cho số phức F1 , F2 F1F2 = 2c; 2b 2a Elip có trục lớn , tiêu điểm tiêu cự độ dài trục nhỏ b = a2 − c2 ( với ) + Nếu Bất đẳng thức tam giác + z1 + z2 ≤ z1 + z2 , dấu ‘’=’’ xẩy z1 − z2 ≤ z1 + z2 , z1 = kz2 với k ≥ z1 = kz2 k ≤ dấu ‘’=’’ xẩy với z1 + z2 ≥ z1 − z2 , z1 = kz2 k ≤ + dấu ‘’=’’ xẩy với z1 − z2 ≥ z1 − z2 , z1 = kz2 k ≥ + dấu ‘’=’’ xẩy với Lưu ý: Toàn phần kiến thức giáo viên cần dạy kĩ để em hiểu nắm thật vững chuyển sang tốn điển hình 2.2 Thực trạng Trước thực đề tài, khảo sát chất lượng học sinh lớp 12A4 thông qua kiểm tra trắc nghiệm gồm câu, thời gian 20’ (mỗi câu điểm) Lúc này, em học xong ba đầu chương Số phức Đề sau z1 ,z2 | z1 |=| z2 |=| z1 − z |= | z1 + z2 | Câu Cho hai số phức thỏa mãn Tính ? + B A A,B,C C D z1 ,z2 ,z3 Câu Cho ba điểm biểu diễn ba số phức với z1 ≠ z3 ,z2 ≠ z3 | z1 |=| z2 |=| z3 | z1 + z2 = Biết Mệnh đề đúng? ABC ABC C A Tam giác B Tam giác vuông ABC ABC A B C Tam giác cân D Tam giác cân | z − | + | z + |= 10 z Câu Cho số phức thỏa mãn Giá trị lớn giá trị nhỏ |z| là: A 10 B C D S m Câu Gọi tập hợp tất giá trị thực tham số để tồn số z− 3+i =m z.z = S z phức thỏa mãn Tìm số phần tử A B C D z − − i + z − + 3i = 17 M ,m z Câu Cho số phức thỏa mãn điều kiện , gọi z M + m2 giá trị lớn nhất, nhỏ Tính ? 246 247 245 248 17 17 17 17 A B C D Đáp án Câu Chọn A Oxy A,B,C Cách giải: Trong mặt phẳng phức , gọi điểm biểu diễn z1 ,z2 ,z1 + z2 OA = OB = AB = O số Ta có: ( với gốc uuurphức uuu r uuu r uuurtọa độ uuu)u rvà OAB OC = OA + OB OC = 2OM M Ta có tam giác cạnh ( với | z1 + z2 |= OC = OM = AB trung điểm cạnh ) Do Câu Chọn B A OA = OB = OC O B Cách giải: Ta có (với gốc tọa độ) đồng thời đối xứng O C C A B qua Lại có khơng trùng với hay nên nằm đường trịn ABC C AB đường kính Do tam giác vuông Câu Chọn D F1 ( 4;0 ) , F2 ( −4;0 ) z Cách giải: Gọi , từ giả thiết suy điểm biểu diễn cho số phức M = 5, m = 2a = 10 2b = chạy Elip có trục lớn , trục bé Vậy Câu Chọn A z.z = 1⇒| z |= z Cách giải: Do nên điểm biểu diễn số phức nằm đường O( 0; ) (C1 ) R1 = trịn tâm , bán kính Do | z − + i |= m ,dễ thấy m=0 m > không thỏa mãn nên Đồng thời, điểm (C2 ) I( ; −1 ) R2 = m z biểu diễn số phức nằm đường tròn tâm , bán kính z Vậy để tồn số phức hai đường trịn tiếp xúc với OI = R1 + R2 ⇔ ⇔ 2 = m + OI =| R1 − R2 |  =|1 − m | m>0 Kết hợp với , ta Câu Chọn A Cách giải: Gọi N m=3 z điểm biểu diễn cho số phức , điểm theo ta có z = ON Ta có hình chiếu m =1 O  NA + NB = 17   AB = 17 lên AB N , nằm đoạn chạy đoạn thẳng AB M = max { OA, OB} = OB = 13 A ( 1;1) , B ( 2; −3) AB m = OH = d (O , AB ) = nên , , 17 17 y A x H -2 -1 O -1 -2 -3 B Kết sau Điểm 10 Số học sinh 23 15 Chất lượng làm học sinh thấp, kĩ giải toán phần yếu, đa phần em làm theo cách đại số thông thường nên thời gian, hết 2, câu Chưa kể số em khoanh “bừa”, yêu cầu giải thích lại không làm 2.3 Giải pháp 2.3.1 Một số tốn điển hình Bài tốn Bài tốn hình học gốc ∆ M ∆ Cho đường thẳng điểm A cố định, chạy , AM = AH H A ∆ ( hình chiếu vng góc lên ) PQ PQ M A Cho đoạn thẳng điểm không nằm , PQ điểm thay đổi đoạn , đó: PQ H A • TH1: Nếu hình chiếu lên nằm đoạn max AM = max { AP, AQ} AM = AH PQthì ; PQ PQ H A • TH2: Nếu hình chiếu lên nằm đoạn max AM = max { AP, AQ} AM = { AP, AQ} ; kính R Cho điểm A cố định điểm M I chuyển động đường tròn tâm , bán cho trước Khi đó: gmax AM = max { AM , AM } = AI + R gmin AM = { AM , AM } = AI − R Từ ta có số toán sau: Bài toán 1.1 Cho số phức 11 5 A z z − − i = z + − 3i thỏa mãn B Chọn B z = x + yi; x, y ∈ ¡ z + − i , tìm C Hướng dẫn giải 17 17 D 11 17 17 M ( x; y ) z , điểm biểu diễn cho số phức chạy ( ∆) : 2x − y + = BC đường thẳng ( đường trung trực đoạn thẳng với A ( −4;1) B( 1;1 ),C( −3; ) ) Giả sử , toán trở thành tìm giá trị nhỏ −8 − + MA = d (A,∆ ) = = 5 MA đoạn Ta có: Giả sử Bài toán 1.2 Cho số phức z z − − i + z − − 2i = thỏa mãn điều kiện , gọi z− +i M ,m M + m2 giá trị lớn nhất, nhỏ Tính ? 137 157 31 33 10 10 2 A B C D Hướng dẫn giải N ( x; y ) z A ( 1;1) , B ( 3;2 ) điểm biểu diễn cho số phức , , theo Gọi  NA + NB =   AB = N AB chạy đoạn thẳng 1  z − + i = IN ; I  ; −1÷ 2  I AB Ta có hình chiếu lên nằm Mặt khác: 17 m = z − + i = IA = M = max z − + i = IB = 2 2 AB đoạn suy , ta có , y B A x M + m2 = Từ 31 A I Bài toán 1.3 Cho số phức z − 2i phức + 17 B z z − + 2i = thỏa mãn Tìm môđun lớn số + 17 17 − C Hướng dẫn giải 17 − D Chọn A M ( x; y ) z I ( 1; −2 ) , A ( 0;2 ) điểm biểu diễn cho số phức , ; toán trở thành tìm R=3 AM M I giá trị lớn , chạy đường trịn tâm , bán kính I ;R IA = 17 > A Ta có , điểm nằm ngồi đường trịn ( ) nên max MA = + 17 Bài toán 1.4 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ biểu diễn M , số phức · MON = 120° z2 Oxy , cho hai số phức có điểm biểu diễn Giá trị lớn 3z1 − z2 + − 2i m0 N z1 có điểm z1 = z2 = thỏa mãn , 3z1 + z2 − 3i M0 , giá trị nhỏ M + m0 = a + b + c + d Biết a , b, c , d ∈ ¢ a +b+c+d với Tính ? A B C , D Hướng dẫn giải Chọn B 10 Gọi M điểm biểu diễn cho số phức ⇒ OM = O bán kính Suy z1 , M thuộc đường trịn tâm O bán kính Gọi N điểm biểu diễn cho số phức z2 , N thuộc đường tròn tâm ⇒ ON = uuuur uuuu r uuur NM = OM − ON điểm biểu diễn cho Gọi P điểm biểu diễn cho số phức ⇒ OP = 2z2 z1 − z2 ⇒ MN = z1 − z2 = , P thuộc đường trịn tâm O bán kính 3i Q ( 0;3) ⇒ OQ = Gọi Q điểm biểu diễn cho số phức , uuu r uuuu r uuu r OMRP OR = OM + OP ⇒ Dựng hình bình hành ta có R điểm biểu diễn cho số phức z1 + z2 Ta có: OM + ON − MN 2 + − −1 · cos MON = = = 2.OM ON 2 10 · · OR = OP + PR − 2.OP.PR.cos OPR = OP + OM + 2.OP.OM cos MON 16  −1  ⇒ OR = 20 + + 2.2 2. ÷= 10   uuu r uuur uuu r T = z1 + z2 − 3i = OR − OQ = QR = QR T đạt giá trị lớn QR lớn · ⇔ QOR = 1800 ⇒ QR = OQ + OR = + Vậy T đạt giá trị lớn 3+3 Bài toán Bài tốn hình học gốc ( I1; R1 ) ( I ; R2 ) ; ( I1 ≠ I ) Cho hai đường tròn , :  I1I = R1 + R2   I1I = R1 − R2 • hai đường trịn tiếp xúc nhau, chúng có điểm chung R1 − R2 < I1I < R1 + R2 • hai đường trịn có hai điểm chung phân biệt M ,N I1I > R1 + R2 • hai đường trịn ngồi Giả sử hai điểm lần ( I1; R1 ) ( I ; R2 ) lượt chuyển động max MN = I1I + R1 + R2 MN = I1I − R1 − R2 Khi : S m Bài toán 3.1 Gọi tập hợp tất số nguyên dương để tồn hai số  z.z =   z − − 8i = m S z phức đồng thời thỏa mãn , tính số phần tử A B C D Hướng dẫn giải Chọn A M ( x; y ) z I ( 6;8 ) Gọi điểm biểu diễn cho số phức , ; theo ta có : 17 OM =   IM = m suy M có hai số phức z giao điểm hai đường tròn ( O;3) ( I ; m) Do để thỏa mãn hai đường trịn phải cắt hai điểm m + > 10 ⇔ ⇔ < m < 13 m − < OI < m +  m − < 10 Từ suy Vậy có giá trị m nguyên dương | z − − i |= z Bài tốn 3.2 Có số phức thỏa mãn |( + i) z − − 12 i |= 15 ? A B C D Vô số Hướng dẫn giải Chọn B | z − − i |= z M Do nên điểm biểu diễn số phức chạy đường tròn (C1 ) I1 (3;6) R1 = tâm , bán kính |( + i) z − − 12 i |= 15 ⇔| z − − i |= M Lại có nên điểm biểu diễn số (C ) I (5;2) R2 = z phức chạy đường trịn tâm , bán kính I1I = R2 − R1 Dễ thấy nên hai đường tròn tiếp xúc với hay có z số phức thỏa mãn S m m∈S Bài toán 3.3 Gọi tập hợp tất số thực cho có z z−m =3 z−2 z số phức đồng thời thỏa mãn số ảo Tính tổng tất S phần tử A B C D Hướng dẫn giải Chọn B M ( x; y ) z≠2 z Từ giả thiết ta có Gọi điểm biểu diễn cho số phức 18 [ x + yi ] [ ( x − 2) − yi ] z x + yi = = ( x − 2)2 + y z − x − + yi x( x − 2) + y = ⇔ ( x − 1) + y = nên Vậy M số ảo I ( m;0 ) r1 = điểm chung đường trịn tâm bán kính đường K ( 1;0 ) A ( 2;0 ) r2 = trịn tâm bán kính bỏ điểm A TH1 : Hai đường tròn có hai điểm chung điểm : m = 2−m =3⇔   m = −1 Khi ta phải có m = : IK = = r1 + r2 A hai đường tròn có điểm chung (loại) m = −1: IK = = r1 − r2 A hai đường tròn có điểm chung (loại) A TH2 : Hai đường trịn có điểm chung khác Khi ta có m =  m = −3  IK =  m − = ⇔  IK = ⇔   m = −1   m − =  m = m = ±3 suy thỏa mãn z −1− i = w z Bài toán 3.4 Cho số phức thỏa mãn , số phức thỏa mãn w − − 3i = z−w Tìm giá trị nhỏ 13 − 17 − 17 + 13 + A B C D Hướng dẫn giải Chọn B 19 Gọi M ( x; y ) có tâm Ta có I1 ( 1;1) biểu diễn số phức z = x + iy(x, y ∈ ¡ ) thuộc đường tròn ( C1 ) R1 = , bán kính | w − − 3i |= ⇔| w − + 3i |= w = x′ + iy′ (x', y' ∈ ¡ ) M nên gọi N ( x′; y′ ) ( C2 ) N biểu diễn số phức I ( 2; −3) có tâm , bán kính thuộc đường trịn z−w R2 = MN uuGiá trị nhỏ giá trị nhỏ đoạn ur I1I = ( 1; −4 ) ⇒ I1I = 17 > R1 + R2 ⇒ ( C1 ) ( C2 ) Ta có ngồi ⇒ MN = I1I − R1 − R2 = 17 − z1 − 3i + = iz2 − + 2i = z1 z2 Bài toán 3.5 Cho hai số phức ; thỏa mãn T = 2iz1 + z2 Tìm giá trị lớn biểu thức 313 + 16 313 313 + 313 + A B C D Hướng dẫn giải Chọn A Ta có z1 − 3i + = ⇒ 2iz1 + + 10i = Suy điểm M 2iz1 ( T1 ) I1 ( −6; −10 ) biểu diễn số phức nằm đường trịn có tâm R1 = có bán kính iz2 − + 2i = ⇒ −3z2 − − 3i = 12 −3z2 Mặt khác, nên điểm biểu diễn số phức I ( 6;3) ( T2 ) R2 = 12 N điểm nằm đường trịn có tâm có bán kính 2iz1 + 3z2 = 2iz1 − ( −3z2 ) = MN Ta thấy MN T lớn lớn nhất, mà hai đường trịn ngồi 20 Vậy giá trị lớn MN = I1I + R1 + R2 = 313 + 16 z1 − = iz2 − = z1 z2 Bài toán 3.6 Xét số phức , thỏa mãn Giá trị lớn A z1 + z2 − 6i 2−2 B 4− C Hướng dẫn giải +9 D +3 Chọn C z3 = − z , Đặt suy P = z1 + z2 − 6i = z1 − (−2 z2 ) − 6i = z1 − z3 − 6i z2 = − z3 v vào ⇔ z3 − 4i = 1 iz2 − = ⇔ − iz3 − = ⇔ − iz3 − 2i = 2i 2 A, B Gọi hai điểm biểu diễn cho hai số phức gz3 − 4i = ⇒ A I (0; 4), R3 = thuộc đường tròn tâm gz1 − = ⇒ B J (4;0), R1 = thuộc đường tròn tâm z3 , z1 ⇒ P = z1 − z3 − 6i ≤ z1 − z3 + −6i = AB + ≤ IJ + R1 + R3 + = + + + = + Vậy Pmax = + S m Bài toán 3.7 Gọi tập tất số thực dương để có số phức thỏa  z =m  z + z + z − z = z2   S mãn hệ Tính tổng bình phương phần tử 21 A 12 B 17 19 C Hướng dẫn giải D 22 Chọn A z = x + yi x, y ∈ ¡ ⇒ z = x − yi Đặt ( )  x + y = m (1)    x + y = m z =m ⇔  m2 ⇔  x + y = (2) 2  z+z + z−z = z   x + yi = x + y   M ( x; y ) z M biểu diễn cho số phức điểm chung đường trịn có phương ( 1) ( 2) ABCD trình hình vng có phương trình u cầu tốn thỏa mãn hình vng đường trịn có điểm chung phân biệt hay hình trịn tiếp xúc qua đỉnh hình vng  m = ⇔  R = OB   R = d (O; BC ) m =   m2 m = m2 ⇔ 2 m = 2 Ta có : 2.3.2 Một số câu hỏi trắc nghiệm tự luyện (Chú ý m>0 ) S m tập hợp tất giá trị thực tham số để tồn số z− +i =m z.z = S z phức thỏa mãn Tìm số phần tử A B C D Câu Gọi 22 Câu Biết số phức z có phần ảo khác thỏa mãn z − ( + i ) = 10 z Điểm sau biểu diễn số phức trên? P ( 4; − 3) N ( 3; − ) A B z1 z2 C z M ( 3; ) z.z = 25 Q ( 4; 3) D z − − 3i = Câu Cho , hai số phức thỏa mãn điều kiện , z1 − z2 = w = z1 + z2 đồng thời Tập hợp điểm biểu diễn số phức mặt phẳng tọa độ Oxy đường trịn có phương trình đây? 5  3  2 x− ÷ + y− ÷ = ( x − 10 ) + ( y − ) = 36 2  2  A B 2 5  3  x− ÷ + y− ÷ =9 2  ( x − 10 ) + ( y − ) = 16 2  2  C D z − i = z + − 3i + z − + i z Câu Cho số phức thỏa mãn Tìm giá trị lớn 10 M = z − + 3i M = + 13 M =4 M =9 M ? A B .C D z z − − i + z − − 2i = Câu Cho số phức thỏa mãn điều kiện Gọi z + 2i M ,m giá trị lớn giá trị nhỏ Giá trị biểu 15 2 M +m 25 35 20 thức A B C D z1 = −2 − i, z2 = + i z Câu Cho số phức số phức hay đổi thỏa mãn 2 z − z1 + z − z2 = 16 M ,m Gọi giá trị lớn giá trị nhỏ 2 z M −m Giá trị biểu thức A.15 B.7 C 11 D z Câu Trong mặt phẳng phức, xét số phức số phức liên hợp có điểm z ( + 3i ) M ,M ′ biểu diễn ; số phức số phức liên hợp có điểm 23 biểu diễn N, N′ Biết z + 4i − Tìm giá trị nhỏ A B M , M ′, N , N ′ z bốn đỉnh hình chữ nhật C 34 D 13 Câu Trong mặt phẳng phức, xét số phức số phức liên hợp có z ( + 3i ) M ,M′ N điểm biểu diễn ; số phức có điểm biểu diễn N′ N MM ′ Gọi điểm đối xứng với qua đường thẳng Biết tứ giác z + 4i − MNM ′N ′ z hình thoi Tìm phần ảo để đạt giá trị nhỏ 96 192 96 192 − − 25 25 25 25 A B C D z2 − − 4i = z − − i = z1 z2 Câu Biết hai số phức , thỏa mãn Số a b a − b = 12 z phức có phần thực phần ảo thỏa mãn Giá trị nhỏ P = z − z1 + z − z2 + 9945 Pmin = Pmin = − 11 A B 9945 Pmin = Pmin = + 13 C D (C) z = x − + yi Câu 10.Gọi tập hợp điểm mặt phẳng biểu diễn số phức , z =1 ( x, y ∈ ¡ ) z0 = − i N M thỏa mãn điểm biểu diễn số phức Tìm điểm thuộc (C) cho A MN M ( 1;1) có độ dài lớn 1 3 M ; ÷ 2  B Câu 11 Có số phức ảo? A.0 B vô số C.2 z C M ( 1;0 ) z − 3i = thỏa mãn D.1 D z z−4 M ( 0;0 ) số 24 Oxy z z − + 2i = Câu 12 Trong mặt phẳng tọa độ , cho số phức thỏa mãn w = z(1+ i) w1 w2 w Trong số phức thỏa mãn , gọi số phức w1 + w2 có mơđun nhỏ mơđun lớn Khi − 2i + 2i −6 − 2i −6 + 2i A B C D (1+ i) z + z z Câu 13 Có số phức thỏa mãn số ảo z − 2i = A.2 B.1 C.0 D Vô số z + z + z − z = z2 z Câu 14 Cho số phức thoả mãn Giá trị lớn biểu P = z − − 2i thức +5 +3 5+2 +3 A B C D z 1≤ z − + i ≤ M Câu 15 Cho số phức thỏa mãn Gọi giá trị lớn z − + 3i m z + − 2i M +m , giá trị nhỏ Tính A B.5 C.3 D z + − i + z − − 7i = m, M z Câu 16 Xét số phức thỏa mãn Gọi z −1+ i P = m + M giá trị nhỏ giá trị lớn Tính + 73 P= P = 13 + 73 A B + 73 P= P = + 73 C D Oxy Câu 17 Trong mặt phẳng tọa độ z − i = − 3i − z A đường thẳng x − 2y − = , tập hợp điểm biểu diễn số phức B đường thẳng z thỏa mãn x + y +1 = 25 C đường tròn x2 + y2 = D đường tròn x2 + y2 = A,B,C Câu 18 Xét ba điểm mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn ba số z1 ,z2 ,z3 | z1 |=| z2 |=| z3 | z1 + z2 + z3 = phức phân biệt thỏa mãn Mệnh đề sau ? ABC ABC A Tam giác vuông B Tam giác ABC 120 ABC C Tam giác có góc D Tam giác vuông cân | z |= z Câu 19 Cho số phức thỏa mãn Biết tập hợp điểm biểu diễn w = ( + i) z + i số phức đường trịn Bán kính đường trịn : 20 22 A B C D | z |= 1,| z − w|= z,w Câu 20 Cho số phức thỏa mãn Khi tập hợp w điểm biểu diễn số phức là: (C) : x + y ≤ (C) : x + y = A Hình trịn B Đường trịn 2 (C) : (x − ) + y ≤ (C) : (x − ) + y = C Hình trịn D Đường trịn Đáp án Câu 10 ĐA A C B C B D A A C A Câu 11 12 14 15 16 17 18 19 20 ĐA C A A B A B A B C A 2.4 Hiệu đề tài Sau thực đề tài trên, cho em học sinh lớp 12A4 làm kiểm tra sau ( thời gian 20 phút) Đề Câu Cho hai số phức A z1 , z2 thỏa mãn: B z1 = z2 = 1; z1 + z2 = C Tìm D z1 − z 26 z : z − + z + = 2a ( a > ) Câu Cho số phức z M − m2 nhỏ ? M ,m , A B lầ lượt giá trị lớn nhất, 36 C D A, B, C Câu Xét ba điểm theo thứ tự mặt phẳng phức biểu diễn ba số phức z1 , z2 , z3 z1 z1 + z2 z2 = z3 z3 z1 + z2 + z3 = ABC phân biệt thỏa mãn Biết , tam giác tam giác gì? A Tù B Vng C Cân D Đều | z + − i |=| z − i | z,w w = iz + Cho số phức thỏa mãn Giá trị Câu nhỏ biểu thức P =| w| là: A 2 2 B C D z −1+ i = z Cho số phức thỏa Câu 2 P = z + − i + z − − 3i Tìm giá trị lớn biểu thức A 18 B 38 + 10 Đáp án Câu Đáp án C Kết sau Điểm Số học sinh C 18 + 10 C D B 19 22 16 + 10 A B 10 Bảng so sánh kết kiểm tra trước sau thực đề tài Điểm 10 Trước thực (Số học sinh) 23 15 Sau thực (Số học sinh) 0 19 22 27 Tôi thấy kết em tốt lên nhiều quan trọng em có tâm lí tự tin hơn, khơng cịn lo ngại làm tốn trắc nghiệm số phức KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Qua sáng kiến kinh nghiệm giúp em học sinh phát triển tư toán: biết đưa lạ quen, biết sáng tạo, phát triển toán từ vấn đề quen thuộc; rèn kĩ giải tốn, có thêm phương pháp xử lí số câu hỏi số phức câu vận dụng, vận dụng cao đề thi THPT Quốc gia Từ em thấy vẻ đẹp Tốn học, thêm tự tin u thích mơn học 3.2 Kiến nghị Đề tài thực khoảng thời gian ngắn, khơng tránh khỏi việc khai thác cách chưa triệt để Đồng thời tuổi nghề kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều nên khơng tránh thiếu sót.Tơi mong quan tâm, xem xét , đóng góp ý kiến hội đồng khoa học cấp cho đề tài tơi để đề tài hồn thiện Tơi xin trân trọng cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh hóa, ngày 20 tháng năm 2020 CAM KẾT KHÔNG COPY Giáo viên Lê Thị Na TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Trần Văn Hạo- Vũ Tuấn- Lê Thị Thiên Hương- Nguyễn Tiến Tài- Cấn Văn Tuất, Giải tích 12, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2011 28 Đoàn Quỳnh - Nguyễn Huy Đoan - Trần Phương Dung - Nguyễn Xuân Liêm Đặng Hùng Thắng, Giải tích 12 Nâng cao, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2011 Nguyễn Huy Đoan - Trần Phương Dung - Nguyễn Xuân Liêm - Phạm Thị Bạch Ngọc - Đoàn Quỳnh - Đặng Hùng Thắng, Bài tập Giải tích 12 – nâng cao, NXB Giáo dục, 2010 Phạm Đức Tài - Nguyễn Ngọc Hải - Lại Tiến Minh , Bộ đề trắc nghiệm luyện thi THPT Quốc gia năm 2017 môn Toán, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2016 Một số đề thi thử THPT Quốc gia từ năm 2017-2021 đề phát triển đề minh họa năm 2021 Danh sách tên sáng kiến kinh nghiệm xếp loại cấp nghành cấp tỉnh Tên sáng kiến kinh nghiệm Năm Xếp Cơ quan ban hành 29 cấp loại Xây dựng số tập trắc nghiệm 2017 vận dụng cao số phức B định QĐ số 1112/QĐ - SGD&ĐT ngày 18/10/2017 30 ... Đây toán quen thuộc học sinh, tốn phát triển hình học tọa độ Do ta tương tự hóa thu toán số z, z1, z2 M , A, B phức cách coi điểm biểu diễn cho ba số phức ; z1 , z A, B z cố định ( hai số phức. .. phần thực số ảo = + 0i + Số vừa số thực, vừa số ảo a= c a + bi = c + di ⇔  vớ i a,b,c,d ∈ ¡ b = d  - Hai số phức nhau: z1 = a + bi, z2 = − a − bi a,b∈ ¡ - Hai số phức với , gọi hai số phức đối... giải dễ dàng đưa tọa độ phẳng có nhiều toán số phức sáng tạo từ tốn quen thuộc tọa độ phẳng Đó lí mà tơi lựa chọn đề tài: “ Bài tốn số phức góc nhìn hình học ” 1.2 Mục đích nghiên cứu Trong sáng