SKKN bài toán số phức dưới góc nhìn hình học

MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU .2 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu .2 1.5 Điểm sáng kiến king nghiệm 2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận 2.2 Thực trạng 2.3 Giải pháp 2.3.1 Một số tốn điển hình 2.3.2 Một số câu hỏi trắc nghiệm tự luyện 17 2.4 Hiệu .20 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .21 3.1 Kết luận .21 3.2 Kiến nghị 21 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Nội dung cuối chương trình Giải tích lớp 12 phần có kiến thức vơ mẻ lạ lẫm với em học sinh: Số phức Mọi quan niệm quen thuộc trước em như: bình phương số ln khơng âm, có phương trình bậc hai vơ nghiệm, khơng cịn Hầu hết em học sinh cảm thấy lúng túng, thiếu tự tin Tuy nhiên, phương pháp “quy lạ quen” Tốn học ln giải pháp đơn giản hữu hiệu cho giáo viên học sinh tiếp cận vấn đề Nhờ có tương ứng 1-1 số phức với điểm mặt phẳng tọa độ Oxy , mà có nhiều tốn số phức giải dễ dàng đưa tọa độ phẳng có nhiều tốn số phức sáng tạo từ toán quen thuộc tọa độ phẳng Đó lí mà tơi lựa chọn đề tài: “ Bài tốn số phức góc nhìn hình học ” 1.2 Mục đích nghiên cứu Trong sáng kiến này, củng cố lại kiến thức bản, nhận xét, lưu ý quan trọng, hữu ích; giới thiệu số tốn vận dụng, vận dụng cao số phức giải phương pháp hình học hệ thống tập tự luyện phong phú Các ví dụ nêu bật tầm quan trọng việc khai thác phương pháp dạng tốn từ hình học để giải toán số phức, giúp học sinh cảm thấy quen thuộc với số phức, từ có hướng phân tích tốn tư phù hợp để tìm lời giải cho tốn Mong muốn tơi giúp em học sinh phát triển tư toán: biết đưa lạ quen, biết sáng tạo, phát triển toán từ vấn đề quen thuộc; rèn kĩ giải tốn, có thêm phương pháp xử lí số câu hỏi số phức câu vận dụng, vận dụng cao đề thi THPT Quốc gia Từ em thấy vẻ đẹp Tốn học, thêm tự tin u thích môn học 1.3 Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 12 Thời gian thực hiện: tiết (tôi thực vào tiết ôn tập cuối năm) Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức số phức chương trình SGK mơn tốn lớp 12 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp “quy lạ quen” nhờ có tương ứng 1-1 số phức với điểm mặt phẳng tọa độ Oxy , mà có nhiều tốn số phức giải dễ dàng đưa tọa độ phẳng có nhiều tốn số phức sáng tạo từ toán quen thuộc tọa độ phẳng 1.5 Điểm SKKN Trong SKKN từ ví dụ nêu bật tầm quan trọng việc khai thác phương pháp dạng toán từ hình học để giải tốn số phức, giúp học sinh cảm thấy quen thuộc với số phức, từ có hướng phân tích tốn tư phù hợp để tìm lời giải cho tốn NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận Trong đề tài sử dụng kiến thức sau Các định nghĩa - Một số phức biểu thức dạng z  a  bi với a,b�� i  1, i gọi đơn vị ảo, a gọi phần thực b gọi phần ảo số phức z  a  bi � a  bi / a,b��;i  1 � Tập hợp số phức kí hiệu : Chú ý: + Khi phần ảo b  z  a số thực   + Khi phần thực a  z  bi số ảo + Số   0i vừa số thực, vừa số ảo �a  c a  bi  c  di � � v� � i a,b,c,d �� b  d � - Hai số phức nhau: - Hai số phức z1  a  bi, z2   a  bi với a,b��, gọi hai số phức đối - Số phức liên hợp z  a  bi với a,b�� a  bi kí hiệu z Rõ ràng z  z 2 - Môđun số phức z  a  bi; a, b ��là | z | a  b Ta có | z || z | Các phép toán tập số phức  a�  b� i với a,b,a�� ,b �� Cho hai số phức z  a  bi; z� � � � - Tổng hai số phức: z  z   a  a    b  b  i � � � - Hiệu hai số phức: z  z   a  a    b  b  i � - Nhân hai số phức: z.z   a.a ' b.b '    a.b ' a '.b  i Ta có z.z | z | - Chia số phức: z �0 z� z� z  z z Biểu diễn hình học số phức ý quan trọng - Trong mặt phẳng phức Oxy ( Ox trục thực, Oy trục ảo ), số phức z  a  bi với a,b�� biểu diễn điểm M  a; b y M b x O a Chú ý: + Nếu M điểm biểu diễn số phức z thì: z  OM + Nếu M , M điểm biểu diễn cho số phức z1 , z2 mặt z1  z2  M 1M số phức z1  z2 biểu diễn điểm phẳnguuphức uur u uuuu r uuuuu r M : OM  OM  OM Một số tập hợp điểm thường gặp - Cho hai số phức z1 , z2 có hai điểm biểu diễn A, B ; tập điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn z  z1  z  z2 đường trung trực đoạn thẳng AB - Cho số phức z1 có điểm biểu diễn I , tập điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn z  z1  R, ( R  cho trước) đường trịn tâm I bán kính R - Cho hai số phức z1 , z2 có hai điểm biểu diễn F1 , F2 số thực a  Xét số phức z thỏa mãn z  z1  z  z2  2a + Nếu F1F2  2c  2a tập điểm M biểu diễn cho số phức z đoạn thẳng F1F2 + Nếu F1F2  2c  2a tập điểm M biểu diễn cho số phức z Elip có trục lớn 2a , tiêu điểm F1 , F2 tiêu cự F1F2  2c; 2b độ dài trục nhỏ 2 ( với b  a  c ) Bất đẳng thức tam giác + z1  z2 �z1  z2 , dấu ‘’=’’ xẩy z1  kz2 với k �0 z1  z2 �z1  z2 , dấu ‘’=’’ xẩy z1  kz2 với k �0 + z1  z2 � z1  z2 , dấu ‘’=’’ xẩy z1  kz2 với k �0 + z1  z2 � z1  z2 , dấu ‘’=’’ xẩy z1  kz2 với k �0 + Lưu ý: Toàn phần kiến thức giáo viên cần dạy kĩ để em hiểu nắm thật vững chuyển sang tốn điển hình 2.2 Thực trạng Trước thực đề tài, khảo sát chất lượng học sinh lớp 12A4 thông qua kiểm tra trắc nghiệm gồm câu, thời gian 20’ (mỗi câu điểm) Lúc này, em học xong ba đầu chương Số phức Đề sau Câu Cho hai số phức z1 ,z2 thỏa mãn | z1 || z2 || z1  z | Tính | z1  z2 | ? A B C 3 D Câu Cho ba điểm A,B,C biểu diễn ba số phức z1 ,z2 ,z3 với z1 �z3 ,z2 �z3 Biết | z1 || z2 || z3 | z1  z2  Mệnh đề đúng? A Tam giác ABC B Tam giác ABC vuông C C Tam giác ABC cân A D Tam giác ABC cân B Câu Cho số phức z thỏa mãn | z  |  | z  | 10 Giá trị lớn giá trị nhỏ | z | là: A 10 B C D S m Câu Gọi tập hợp tất giá trị thực tham số để tồn số z i m phức z thỏa mãn z.z  Tìm số phần tử S A B C D Câu Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z   i  z   3i  17 , gọi M , m 2 z giá trị lớn nhất, nhỏ Tính M  m ? 246 247 245 248 A 17 B 17 C 17 D 17 Đáp án Câu Chọn A Cách giải: Trong mặt phẳng phức Oxy , gọi A,B,C điểm biểu diễn z1 ,z2 ,z1  z2 Ta có: OA  OB  AB  ( với O gốc tọa độ ) số uuurphức uuu r uuu r uuur uuuu r OC  OA  OB Ta có tam giác OAB cạnh OC  2OM ( với M trung điểm cạnh AB ) Do | z1  z2 | OC  OM  Câu Chọn B Cách giải: Ta có OA  OB  OC (với O gốc tọa độ) đồng thời A B đối xứng qua O Lại có C không trùng với A hay B nên C nằm đường trịn đường kính AB Do tam giác ABC vuông C Câu Chọn D Cách giải: Gọi F1  4;0  , F2  4;0  , từ giả thiết suy điểm biểu diễn cho số phức z chạy Elip có trục lớn 2a  10 , trục bé 2b  Vậy M  5, m  Câu Chọn A Cách giải: Do z.z  1�| z | nên điểm biểu diễn số phức z nằm đường tròn (C1 ) tâm O( 0; ) , bán kính R1  Do | z   i | m ,dễ thấy m  không thỏa mãn nên m  Đồng thời, điểm biểu diễn số phức z nằm đường tròn (C2 ) tâm I( ; 1 ) , bán kính R2  m Vậy để tồn số phức z hai đường trịn tiếp xúc với OI  R1  R2  m 1 �� �� OI | R1  R2 | � |1  m | � � Kết hợp với m  , ta m  m  Câu Chọn A A 1;1 , B 2; 3 Gọi N điểm biểu diễn cho số phức z , điểm    , Cách giải: � �NA  NB  17 � AB  17 theo ta có � , N chạy đoạn thẳng AB , z  ON Ta có hình chiếu O lên AB nằm đoạn AB nên M  max  OA, OB  OB  13 A x H -1 17 17 y -2 m  OH  d (O , AB )  O -1 -2 -3 B Kết sau Điểm 10 Số học sinh 23 15 Chất lượng làm học sinh thấp, kĩ giải toán phần yếu, đa phần em làm theo cách đại số thông thường nên thời gian, hết 2, câu Chưa kể số em khoanh “bừa”, yêu cầu giải thích lại khơng làm 2.3 Giải pháp 2.3.1 Một số tốn điển hình Bài tốn Bài tốn hình học gốc Cho đường thẳng  điểm A cố định, M chạy  , AM  AH ( H hình chiếu vng góc A lên  ) Cho đoạn thẳng PQ điểm A không nằm PQ , M điểm thay đổi đoạn PQ , đó:  TH1: Nếu hình chiếu H A lên PQ nằm đoạn PQthì max AM  max  AP, AQ} AM  AH ;  TH2: Nếu hình chiếu H A lên PQ nằm ngồi đoạn PQ max AM  max  AP, AQ} AM   AP, AQ} ; Cho điểm A cố định điểm M chuyển động đường trịn tâm I , bán kính R cho trước Khi đó: gmax AM  max  AM , AM   AI  R gmin AM   AM , AM   AI  R Từ ta có số toán sau: z   i  z   3i z   i Bài toán 1.1 Cho số phức z thỏa mãn , tìm 11 5 17 11 17 A B C 17 D 17 Hướng dẫn giải Chọn B z  x  yi; x, y ��, điểm M  x; y  biểu diễn cho số phức z chạy  : 2x  y   đường thẳng   ( đường trung trực đoạn thẳng BC với B( 1;1 ),C( 3;3 ) ) Giả sử A  4;1 , toán trở thành tìm giá trị nhỏ 8   MA  d (A, )   5 đoạn MA Ta có: Giả sử Bài tốn 1.2 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z   i  z   2i  , gọi z  i 2 M , m giá trị lớn nhất, nhỏ Tính M  m ? 137 B 10 157 33 C 10 D Hướng dẫn giải N  x; y  điểm biểu diễn cho số phức z , A  1;1 , B  3;2  , theo Gọi � �NA  NB  � AB  ta có � , N chạy đoạn thẳng AB �1 � z   i  IN ; I � ; 1� �2 � Ta có hình chiếu I lên AB nằm Mặt khác: 31 A đoạn AB suy m  z  y 17  i  IA  M  max z   i  IB  2 , 2 B A x 31 M  m2  Từ I z   2i  Tìm mơđun lớn số Bài tốn 1.3 Cho số phức z thỏa mãn phức z  2i A  17 B 17  C  17 Hướng dẫn giải D 17  Chọn A M  x; y  I 1; 2  , A  0;2  điểm biểu diễn cho số phức z ,  ; toán trở thành tìm giá trị lớn AM , M chạy đường trịn tâm I , bán kính R  Ta có IA  17  , điểm max MA   17 A nằm ngồi đường trịn ( I ;R ) nên Bài toán 1.4 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hai số phức z1 có điểm biểu diễn M , số phức z2 có điểm biểu diễn N thỏa mãn z1  , z2  � MON  120� Giá trị lớn 3z1  z2  3i M , giá trị nhỏ 3z1  z2   2i m0 Biết M  m0  a  b  c  d , với a, b, c, d �� Tính a  b  c  d ? A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Gọi M điểm biểu diễn số phức 3z1 , suy OM  Gọi N1 điểm biểu diễn số phức 2z2 , suy ON1  Gọi P điểm cho uuuur uuuu r uuu r OM  ON1  OP Suy tứ giác OM PN1 hình bình hành � � Do từ giả thiết MON  120� , suy M 1ON1  120� Dùng định lí cosin tam �1� M N1   36  2.3.6.� � �2� giác OM N1 ta tính ; định lí cosin tam giác OM 1P ta có OP   36  2.3.6 3 Ta có M N1  z1  z2  ; OP  z1  z2  3 +) Tìm giá trị lớn 3z1  z2  3i Đặt z1  z2  w1 � w1  3 , suy điểm biểu diễn w1 A thuộc đường tròn  C1  tâm O  0;0  bán kính R1  3 Gọi điểm Q1 biểu diễn số phức 3i AQ1  max Khi 3z1  z2  3i  AQ1 , toán trở thành tìm  biết điểm A AQ1  max  OQ1  R1   3 đường tròn  C1  Dễ thấy  3z  z2   2i  3z1  z2   1  2i  +) Tìm giá trị nhỏ Đặt z1  z2  w2 � w2  , suy điểm biểu diễn w2 B thuộc đường tròn  C2  tâm O  0;0  bán kính R1  Gọi điểm Q2 biểu diễn số phức 1  2i BQ2  3z  z2   1  2i   BQ2 Khi , tốn trở thành tìm  biết điểm B đường trịn  C2  Dễ thấy điểm Q2 nằm đường tròn  C2  nên  BQ2   R2  OQ2  7 Vậy M  m0   3   a  b  c  d  Bài tốn Bài tốn hình học gốc Cho hai điểm A, B cố định ; với điểm M mặt phẳng ta ln có :  MA  MB �AB dấu "  " xảy M thuộc đoạn thẳng AB  MA  MB �AB dấu "  " xảy M thuộc đường thẳng AB nằm đoạn thẳng AB Đây toán quen thuộc học sinh, tốn phát triển hình học tọa độ Do ta tương tự hóa thu toán số phức cách coi M , A, B điểm biểu diễn cho ba số phức z, z1, z2 ; A, B cố định ( z1 , z hai số phức cho trước khơng đổi) cịn z số phức thay đổi cho M chạy đường thẳng, đường tròn, parabol, Bài toán 2.1 Cho z số phức ảo P  z   2i  z  2i  Tìm giá trị nhỏ P z thay đổi ? 10 A 17 B 25 C D 17 Hướng dẫn giải Chọn C Xét mặt phẳng phức, theo giả thiết M điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức M �Oy y A -3 -2 -1 O -1 B1 -2 -3 x M B -4 Gọi A  2;2  , B  1; 2  ta thu toán quen thuộc với học sinh : Tìm M �Oy cho MA  MB nhỏ Do A,B nằm phía so với Oy , ta gọi B1 điểm đối xứng với B qua Oy B1 (-1 ;-2) MA  MB  MA  MB1 � 2� M� 0;  � z i Từ thu Pmin  AB1  � �hay z   i  z   5i Bài toán 2.2 Cho số phức z thỏa mãn biểu thức P  z   i  z   2i đạt giá trị lớn nhỏ M , m z1 , z2 Khi : 29 3 29 z1  z2   i z1  z2   i A B 29 29 z1  z2    i z1  z2    i C D Hướng dẫn giải Chọn D Xét mặt phẳng phức, theo giả thiết M điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức M chạy đường trung trực đoạn thẳng EF với E( 1; 1 ), F( 3; ) hay M chạy đường thẳng có phương trình 2x  y      11 Gọi A  1;1 ; B  1;2  M � : P  MA  MB toán trở thành tìm đạt max 2.1  3.1  8  2.1  3.2    Ta có :  suy A, B nằm phía so với    Do �MA  MB �AB hay �P �AB Từ suy P  M �M giao    trung trực AB , max P  AB M �M giao    AB �7 3� M1 �  ; � y z1    i � �nên , Trung trực AB có phương trình � 10 � 10 M2 � 1; � z2   i � �nên AB có phương trình x  , 29 z1  z2    i Suy z  a  bi  a, b �� z 1 i  Bài toán 2.3 Cho số phức thỏa mãn , tìm z để z  z   4i đạt giá trị nhỏ m Khi a  b  m  ? 23 23  13  13 A 13 B 13  C 13 D 13 Hướng dẫn giải Chọn B Xét mặt phẳng phức, theo giả thiết M điểm biểu diễn số phức z C I 1;1 mặt phẳng phức M chạy đường trịn   có tâm   bán kính R  A 6; 4  C Gọi  IA  49  25  nên A nằm   OI   C M � C  : MO  MA nên O nằm   Bài tốn trở thành tìm đạt Ta có MO  MA �OA nên m  OA  13 M giao điểm đoạn thẳng OA C   y I -7 -6 A -5 -4 -3 M -2 -1 -1 O x -2 -3 -4 12 Phương trình OA : x  y  , phương trình  C  :  x  1   y  1  25 , từ ta � M  3; 2  � �69 46 � � M� ; � � tìm hai giao điểm � �13 13 �vì M thuộc đoạn OA nên a  3; b  2 Vậy a  b  m  3  (2)  13  1  13 2 Bài toán 2.4 Xét hai số phức z1; z2 thỏa mãn z1  2; z2  z1  z2  Giá trị lớn z1  z2  3i A  B  C  26 Hướng dẫn giải D 26  Chọn B Gọi M điểm biểu diễn cho số phức z1 , M thuộc đường trịn tâm O bán kính � OM  Gọi N điểm biểu diễn cho số phức z2 , N thuộc đường tròn tâm O bán kính � ON  uuuur uuuu r uuur NM  OM  ON điểm biểu diễn cho z1  z2 � MN  z1  z2  Suy Gọi P điểm biểu diễn cho số phức 2z2 , P thuộc đường trịn tâm O bán kính � OP  Gọi Q điểm biểu diễn cho số phức 3i , Q  0;3 � OQ  13 uuu r uuuu r uuu r Dựng hình bình hành OMRP ta có OR  OM  OP � R điểm biểu diễn cho số OM  ON  MN 2   1 � cos MON    2.OM ON 2 10 phức z1  z2 Ta có: �  OP  OM  2.OP.OM cos MON � OR  OP  PR  2.OP.PR.cos OPR �1 � � OR  20   2.2 2.� � � 10 � uuur uuur uuu r T  z1  z2  3i  OR  OQ  QR  QR T đạt giá trị lớn QR lớn �  1800 � QR  OQ  OR   � QOR Vậy T đạt giá trị lớn  Bài toán Bài toán hình học gốc Cho hai đường trịn  I1; R1   I ; R2  ;  I1 �I  , : I1I  R1  R2 � � I I  R1  R2  �1 hai đường trịn tiếp xúc nhau, chúng có điểm chung  R1  R2  I1I  R1  R2 hai đường trịn có hai điểm chung phân biệt I1I  R1  R2 hai đường trịn Giả sử hai điểm M ,N chuyển động  I1; R1   I ; R2   Khi : max MN  I1I  R1  R2 MN  I1I  R1  R2 Bài toán 3.1 Gọi S tập hợp tất số nguyên dương m để tồn hai số � �z.z  � z   8i  m phức z đồng thời thỏa mãn � , tính số phần tử S A B C D Hướng dẫn giải Chọn A Gọi M  x; y  điểm biểu diễn cho số phức z , I  6;8  ; theo ta có : 14 � OM  � �IM  m suy M giao điểm hai đường tròn  O;3  I ; m  Do để có hai số phức z thỏa mãn hai đường tròn phải cắt hai điểm m   10 � �� �  m  13 m   10 m   OI  m  � Từ suy Vậy có giá trị m nguyên dương Bài tốn 3.2 Có số phức z thỏa mãn | z   i | |(  i) z   12 i | 15 ? A B.1 C D Vô số Hướng dẫn giải Chọn B Do | z   i | nên điểm M biểu diễn số phức z chạy đường tròn (C1 ) tâm I1 (3;6) , bán kính R1  Lại có |(  i) z   12 i | 15 �| z   i | nên điểm M biểu diễn số phức z chạy đường tròn (C ) tâm I (5;2) , bán kính R2  Dễ thấy I1I  R2  R1 nên hai đường tròn tiếp xúc với hay có số phức z thỏa mãn Bài tốn 3.3 Gọi S tập hợp tất số thực m cho m �S có z z  m  số phức z đồng thời thỏa mãn z  số ảo Tính tổng tất phần tử S A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Từ giả thiết ta có z �2 Gọi M  x; y  điểm biểu diễn cho số phức z  x  yi   ( x  2)  yi  z x  yi   z  x   yi ( x  2)2  y số ảo 2 nên x( x  2)  y  � ( x  1)  y  Vậy M điểm chung đường trịn tâm I  m;0  bán kính r1  đường trịn tâm K  1;0  bán kính r2  bỏ điểm A  2;0  TH1 : Hai đường trịn có hai điểm chung điểm A : m5 � 2m 3� � m  1 � Khi ta phải có 15 m  : IK   r1  r2 hai đường trịn có điểm chung A (loại) m  1: IK   r1  r2 hai đường trịn có điểm chung A (loại) TH2 : Hai đường trịn có điểm chung khác A Khi ta có m5 � � IK  �m   m  3 � � � � � � � IK  �m   m  1 � � m3 � suy m  �3 thỏa mãn z 1 i  Bài toán 3.4 Cho số phức z thỏa mãn , số phức w thỏa mãn w   3i  zw Tìm giá trị nhỏ A 13  B 17  C 17  D 13  Hướng dẫn giải Chọn B Gọi M  x; y  I1  1;1 C biểu diễn số phức z  x  iy(x, y ��) M thuộc đường trịn   , bán kính R1  N  x�� ;y  Ta có | w   3i | �| w   3i | nên gọi biểu diễn số phức w  x�  iy�(x', y' ��) N thuộc đường trịn  C2  có tâm I  2; 3 , bán kính R2  Giá trị nhỏ z  w giá trị nhỏ đoạn MN uuur � C C Ta có I1I   1; 4  � I1I  17  R1  R2     � MN  I1I  R1  R2  17  z  3i   iz   2i  Bài toán 3.5 Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn có tâm T  2iz1  3z2 Tìm giá trị lớn biểu thức A 313  16 B 313 C 313  Hướng dẫn giải Chọn A D 313  16 z1  3i   � 2iz1   10i  T I 6; 10  Suy điểm M biểu diễn số phức 2iz1 nằm đường trịn   có tâm  có bán kính R1  Ta có iz2   2i  � 3z2   3i  12 nên điểm biểu diễn số phức 3z2 T I 6;3 điểm N nằm đường trịn   có tâm  có bán kính R2  12 2iz1  3z2  2iz1   3 z2   MN Ta thấy MN T lớn lớn nhất, mà hai đường tròn MN  I1I  R1  R2  313  16 Vậy giá trị lớn Bài toán 3.6 Xét số phức z1 , z2 thỏa mãn z1   iz2   Giá trị lớn z1  z2  6i Mặt khác, A 2  B  C  Hướng dẫn giải D  Chọn C Đặt z3  2 z2 , suy P  z1  z2  6i  z1  (2 z2 )  6i  z1  z3  6i 1 iz2   �  iz3   �  iz3  2i  2i z   z3 2 vào v � z3  4i  Gọi A, B hai điểm biểu diễn cho hai số phức z3 , z1 gz3  4i  � A thuộc đường tròn tâm I (0; 4), R3  gz1   � B thuộc đường tròn tâm J (4;0), R1  17 � P  z1  z3  6i �z1  z3  6i  AB  �IJ  R1  R3        Vậy Pmax   Bài toán 3.7 Gọi S tập tất số thực dương m để có số phức thỏa � �z  m � z  z  z  z  z2 � � mãn hệ Tính tổng bình phương phần tử S A.12 B.17 C.19 D 22 Hướng dẫn giải Chọn A Đặt z  x  yi ( x, y �� ) � z  x  yi �x  y  m2 (1) 2 � � � �z  m �x  y m � � m2 �� � (2) 2 �x  y  zz  zz  z � �2 x  yi  x  y � � M  x; y  biểu diễn cho số phức z M điểm chung đường trịn có phương trình  1 hình vng ABCD có phương trình   Yêu cầu toán thỏa mãn hình vng đường trịn có điểm chung phân biệt hay hình trịn tiếp xúc qua đỉnh hình vng � m � �� R  OB � � m � � R  d (O; BC ) � � m2 m2 � m2 �� m  2 (Chú ý m  ) 2 � Ta có : 2.3.2 Một số câu hỏi trắc nghiệm tự luyện Câu Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để tồn số z 3i m phức z thỏa mãn z.z  Tìm số phần tử S A B C D 18 z    i   10 Câu Biết số phức z có phần ảo khác thỏa mãn z.z  25 Điểm sau biểu diễn số phức z trên? A P  4;  3 B N  3;   C M  3;  D Q  4; 3 Câu Cho z1 , z2 hai số phức z thỏa mãn điều kiện z   3i  , đồng thời z1  z2  Tập hợp điểm biểu diễn số phức w  z1  z2 mặt phẳng tọa độ Oxy đường trịn có phương trình đây? 2 � 5� � 3� 2 �x  � �y  � x  10    y    36  2 � � � � A B 2 � 5� � 3� 2 �x  � �y  � x  10  y   16     C D � � � � z  i  z   3i  z   i Câu Cho số phức z thỏa mãn Tìm giá trị lớn 10 M  z   3i B M   13 C M  D M  M ? A Câu Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z   i  z   2i  Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ z  2i Giá trị biểu 15 2 thức M  m A 25 B 35 C D 20 Câu Cho số phức z1  2  i, z2   i số phức z hay đổi thỏa mãn 2 z  z1  z  z2  16 Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ 2 z Giá trị biểu thức M  m A.15 B.7 C 11 D Câu Trong mặt phẳng phức, xét số phức z số phức liên hợp có điểm biểu diễn M , M � ; số phức z   3i  số phức liên hợp có điểm , N , N� biểu diễn N , N � Biết M , M � bốn đỉnh hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ z  4i  A B 5 C 34 D 13 Câu Trong mặt phẳng phức, xét số phức z số phức liên hợp có điểm biểu diễn M , M � ; số phức z   3i  có điểm biểu diễn N Gọi N �là điểm đối xứng với N qua đường thẳng MM � Biết tứ giác MNM � N �là hình thoi Tìm phần ảo z để z  4i  đạt giá trị nhỏ 19 96 A 25 192 B 25  96 C 25  192 D 25 z   4i  Số Câu Biết hai số phức z1 , z2 thỏa mãn phức z có phần thực a phần ảo b thỏa mãn 3a  2b  12 Giá trị nhỏ P  z  z1  z  z2  9945 Pmin  11 A B Pmin   z2   4i  C Pmin  9945 13 D Pmin   Câu 10.Gọi tập hợp điểm mặt phẳng biểu diễn số phức , ( x, y ��) thỏa mãn điểm biểu diễn số phức Tìm điểm thuộc cho có độ dài lớn �1 � M�; � 2 � M  1;1 � A B C M  1;0  D M  0;0  z  3i  z z  số Câu 11 Có số phức z thỏa mãn ảo? A.0 B vô số C.2 D.1 Câu 12 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho số phức z thỏa mãn z   2i  Trong số phức w thỏa mãn w  z   i  , gọi w1 w2 số phức có mơđun nhỏ mơđun lớn Khi w1  w2 A  2i B  2i C 6  2i D 6  2i Câu 13 Có số phức z thỏa mãn   i  z  z số ảo z  2i  A.2 B.1 C.0 D Vô số z  z  z  z  z2 z Câu 14 Cho số phức thoả mãn Giá trị lớn biểu thức P  z   2i A  B 3 C 52 D 3 �z   i �4 Câu 15 Cho số phức z thỏa mãn Gọi M giá trị lớn z   3i , m giá trị nhỏ z   2i Tính M  m A B.5 C.3 D 20 Câu 16 Xét số phức z thỏa mãn z   i  z   7i  Gọi m, M giá trị nhỏ giá trị lớn z   i Tính P  m  M A P  13  73 B C P   73 D P  73 P  73 Câu 17 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z  i   3i  z A đường thẳng x  y   B đường thẳng x  y   2 x  y  C đường tròn 2 x  y  D đường tròn Câu 18 Xét ba điểm A,B,C mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn ba số phức phân biệt z1 ,z2 ,z3 thỏa mãn | z1 || z2 || z3 | z1  z2  z3  Mệnh đề sau ? A Tam giác ABC vuông B Tam giác ABC C Tam giác ABC có góc 120 D Tam giác ABC vuông cân Câu 19 Cho số phức z thỏa mãn | z | Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w  (  i) z  i đường trịn Bán kính đường trịn : A C 20 B D 22 Câu 20 Cho z,w số phức thỏa mãn | z | 1,| z  w| Khi tập hợp điểm biểu diễn số phức w là: 2 2 A Hình trịn (C) : x  y �4 B Đường tròn (C) : x  y  C Hình tròn (C) : (x  ) Đáp án Câu ĐA A C B Câu 11 12 ĐA C A A  y �4 D Đường tròn (C) : (x  )2  y  C 14 B 15 D 16 A 17 A 18 C 19 10 A 20 B A B A B C A 2.4 Hiệu đề tài Sau thực đề tài trên, cho em học sinh lớp 12A4 làm kiểm tra sau ( thời gian 20 phút) Đề 21 Câu Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn: z1  z2  1; z1  z2  Tìm z1  z2 B A D C Câu Cho số phức z : z   z   2a  a  3 , M , m lầ lượt giá trị lớn nhất, 2 nhỏ z M  m ? A B C D 36 Câu Xét ba điểm A, B, C theo thứ tự mặt phẳng phức biểu diễn ba số phức phân biệt z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 z1  z2 z2  z3 z3 Biết z1  z2  z3  , tam giác ABC tam giác gì? A Tù Câu B Vuông C Cân D Đều Cho số phức z,w thỏa mãn | z   i || z  i | w  iz  Giá trị nhỏ biểu thức P | w| là: A B 2 C D Cho z số phức thỏa z   i  Tìm giá trị lớn biểu thức Câu 2 P  z   i  z   3i A 18 B 38  10 Đáp án Câu Đáp án C Kết sau Điểm Số học sinh C 18  10 C D 16  10 B 19 22 A B 10 Bảng so sánh kết kiểm tra trước sau thực đề tài Điểm 10 Trước thực (Số học sinh) 23 15 Sau thực (Số học sinh) 0 19 22 22 Tôi thấy kết em tốt lên nhiều quan trọng em có tâm lí tự tin hơn, khơng cịn lo ngại làm toán trắc nghiệm số phức KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Qua sáng kiến kinh nghiệm giúp em học sinh phát triển tư toán: biết đưa lạ quen, biết sáng tạo, phát triển toán từ vấn đề quen thuộc; rèn kĩ giải tốn, có thêm phương pháp xử lí số câu hỏi số phức câu vận dụng, vận dụng cao đề thi THPT Quốc gia Từ em thấy vẻ đẹp Toán học, thêm tự tin u thích mơn học 3.2 Kiến nghị Đề tài thực khoảng thời gian ngắn, khơng tránh khỏi việc khai thác cách chưa triệt để Đồng thời tuổi nghề kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều nên khơng tránh thiếu sót.Tơi mong quan tâm, xem xét , đóng góp ý kiến hội đồng khoa học cấp cho đề tài tơi để đề tài hồn thiện Tơi xin trân trọng cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh hóa, ngày 20 tháng năm 2020 CAM KẾT KHƠNG COPY Giáo viên Lê Thị Na TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Trần Văn Hạo- Vũ Tuấn- Lê Thị Thiên Hương- Nguyễn Tiến Tài- Cấn Văn Tuất, Giải tích 12, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2011 23 Đoàn Quỳnh - Nguyễn Huy Đoan - Trần Phương Dung - Nguyễn Xuân Liêm Đặng Hùng Thắng, Giải tích 12 Nâng cao, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2011 Nguyễn Huy Đoan - Trần Phương Dung - Nguyễn Xuân Liêm - Phạm Thị Bạch Ngọc - Đoàn Quỳnh - Đặng Hùng Thắng, Bài tập Giải tích 12 – nâng cao, NXB Giáo dục, 2010 Phạm Đức Tài - Nguyễn Ngọc Hải - Lại Tiến Minh , Bộ đề trắc nghiệm luyện thi THPT Quốc gia năm 2017 mơn Tốn, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2016 Một số đề thi thử THPT Quốc gia từ năm 2017-2021 đề phát triển đề minh họa năm 2021 Danh sách tên sáng kiến kinh nghiệm xếp loại cấp nghành cấp tỉnh Năm Xếp Cơ quan ban hành 24 Tên sáng kiến kinh nghiệm cấp loại Xây dựng số tập trắc nghiệm 2017 vận dụng cao số phức B định QĐ số 1112/QĐ - SGD&ĐT ngày 18/10/2017 25 ... Đây toán quen thuộc học sinh, toán phát triển hình học tọa độ Do ta tương tự hóa thu tốn số phức cách coi M , A, B điểm biểu diễn cho ba số phức z, z1, z2 ; A, B cố định ( z1 , z hai số phức. .. giải dễ dàng đưa tọa độ phẳng có nhiều toán số phức sáng tạo từ tốn quen thuộc tọa độ phẳng Đó lí mà tơi lựa chọn đề tài: “ Bài tốn số phức góc nhìn hình học ” 1.2 Mục đích nghiên cứu Trong sáng... ứng 1-1 số phức với điểm mặt phẳng tọa độ Oxy , mà có nhiều tốn số phức giải dễ dàng đưa tọa độ phẳng có nhiều tốn số phức sáng tạo từ toán quen thuộc tọa độ phẳng 1.5 Điểm SKKN Trong SKKN từ