Bài giảng số 3: Hệ thức lượng trong tam giác không vuông

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác trong AD và phân giác ngoài AE.. Trên tia đối của tia HB lấy điểm D sao cho HD = HC.. b) Có đường cao rồi thì các em tính dược tất cả.[r]

1 Trung tâm luyện thi Edufly – 0987 708 400

Bài giảng số 3: Hệ thức lượng tam giác không vuông

I Lý thuyết cần nhớ

Mọi tam giác nhọn vẽ đường cao để tạo tam giác vng Mọi tam giác tù kẻ đường cao để tạo tam giác vuông tam giác vuông

Một số công thức cho tam giác khơng vng (Các kí hiệu tam giác vuông )

+S =

2bc sin A =

2ca sinB =

2ab sin C (1)

+S = p p( a p b p)(  )( c) (2) Công thức Heron; p nửa chu vi tam giác

+S = abc

R (3)

+ S = pr (4) Trong R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác, r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác

+ Nếu a2

< b2 + c2 góc A nhọn ( HS tự chứng minh điều tập ) + a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA ; b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB ; c2 = b2 + a2 – 2ba.cosC

+Chứng minh : Hệ thức (1) Vẽ thêm đường cao AH AHB có AH = c.sin B Do diện tích ABC :

S =

2 AH BC =

2 c.sinB a =

2ac sinB Hay S =

2ac.sinB Đối với góc khác tương tự

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có BC = 14 cm, đường cao AH = 12 cm, AC+ AB = 28 cm c

b c

A

2 Trung tâm luyện thi Edufly – 0987 708 400

a) Chứng minh góc B C nhọn ? b) Tính AB, AC ?

Hướng dẫn:

a) Ta có c > 12 mà c + b = 28

suy b <16  b2 < 162 = 256 = 142 +122 < a2 + c2 Hay b2 < a2 + c2 Do góc B nhọn b) Ta có b2 – c2 = HC2 – HB2

     

     

28(28 ) 14(14 ) 21

b c b c HC HB HC HB

b c b c c HC HB HC HB HB

c HB HB c

     

       

      

Ta có HB2 + AH2 = c2 2c212144c2

Giải phương trình ta có c1 = 15 , c2 = 13 Từ tính b

Ví dụ 2: Chứng minh công thức hạ bậc Công thức dung 2sina.cosa=sin2a dựng góc AOH = a

từ O dựng BOH = a (OA=OB) Kẻ AK_|_OB

tam giác OAK cân O => phân giác OH trung trực => AB = 2AH = 2OA.sinAOH = 2OA.sina

OH = OA.cosAOH = OA.cosa AK = OA.sinAOK = OA.sin2a

14cm b c 12cm

A

3 Trung tâm luyện thi Edufly – 0987 708 400

Trong tam giác OAB co OH.AB = AK.OB (=2 diện tích OAB) <=> OA.cosa*2OA.sina = OA.sin2a*OA

<=> 2sina.cosa=sin2a

II Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A, phân giác AD phân giác AE Chứng minh:

a) 1

AB AC  AD

b) 1

AB  AC  AE

Hình vẽ trên: Ta có SABC = SABD +SADC

 

0

1 1

.sin 45 sin 45

2 2

1

2

2 1

AB AC AB AD AC AD

AB AC AD AB AC AB AC

AD AB AC AB AC

  

  



   

b) Tương tự câu a SABC = SAEC – SAEB

Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC có độ dài ba cạnh a,b,c (như cách gọi thông thường ) Tính diện tích tam giác theo a,b,c ?

HD: Vẽ đường cao AH vng góc BC, gọi BH = x HC = a – x Áp dụng Pytago cho tam giác AHB AHC ta có :

2 43 1

E B D C

A

a b c

x a-x

A

4 Trung tâm luyện thi Edufly – 0987 708 400

AH2 = c2 – x2 = b2 – ( a – x )2

Trong AHB có AH2 = AB2 – HB2 2

AH c x

   (1)

Trong AHC có AH2 = AC2 – HC2  AH2 b2  a x2 (2) Từ (1) (2) ta có c2 – x2 =

b2 – a2 + 2ax – x2 suy x =

2 2

2 c a b

a  

= k

Từ có AH2 = c2 – k2 = c2 –

2 2

2 c a b

a    

 

  Do diện tích tam giác ABC

S=

2AH BC =

2

1

2 c k a Thay k vào ta có

S =  

2 2 2

4

2

a c a b c a a

  

Cách 2: Hay ta có S2 = BC

2.AH2 =  

2 2 2

4

16

a c  a  b c

Tử biến đổi tử thành (2ab)2

– ( a2 + b2 – c2)2 = ( 2ab + a2 + b2 – c2 )( 2ab – a2 – b2 +c2 )=

a b c a  b c c  a b c  a b2p( 2p – 2c) (2p – 2b )( 2p – 2a) = 16 p (p – c )( p – b )( p – a )

Vậy S2

= p(p – c)(p – b)(p – a) Trong 2p = a+ b + c Đây công thức Heron

Bài 3: Cho tam giác ABC có C B 900 , AH đường cao kẻ từ A Chứng minh

AH HB HC

HD: Ta nhận thấy góc C tù Trên tia đối tia HB lấy điểm D cho HD = HC Ta có ACD

 cân A nên A1  A2

5 Trung tâm luyện thi Edufly – 0987 708 400

0 0

1 90 90 & 90

ACB A   ACBA  ACBB 

Suy B A1  A2&DoA2 D 900 Từ ta có BAD vng A, với AH đường cao ứng với cạnh huyền , AH2 = HB HD = HB HC

+ cách : ứng dụng tam giác đồng dạng (HS tự nghiên cứu )

Hình vẽ gợi ý

Để ý HAC đồng dạng với HBA

Bài 5: Cho tam giác ABC biết a = + ,

45

B ;

60 C  a) Tính độ dài đườnh cao AH?

b) Tính  ? độ dài cạnh b, c diện tích tam giác ABC? c) Từ kết trên, tính cos 750 ?

HD:

2 1

B

A

C H D

1

B

A

6 Trung tâm luyện thi Edufly – 0987 708 400

AHB vuông cân , dễ thấy AH = BH = x (do ta đặt ) Trong AHC có

CH = xcotC = x.

3 suy a = BH + CH = x.

3

3 

3 3

3 x 

  

Do x =

b) Có đường cao em tính dược tất

ĐS: c = ; b = ; Â = 750 ; SABC = 3 3

2 

c) Do góc A nhọn áp dung công thức a2 = b2 + c2 – 2bccos A

     2 2

0

3 3 2.3 2.2 os75c

    

Từ có cos750 = 18 3

12 6

   60

45

C H

A