Hình 10 chương 2 tích vô hướng và hệ thức lượng

Chương 2: TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VEC-TƠ VÀ ỨNG DỤNG §1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC BẤT KỲ TỪ 0◦ ĐẾN 180◦ A TĨM TẮT LÍ THUYẾT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0◦ ĐẾN 180◦ Định nghĩa Với góc α (0◦ ≤ α ≤ 180◦ ), ta xác định điểm M nửa ’ = α giả sử điểm M có tọa độ đường trịn đơn vị cho xOM M x0 ; y0 Khi ta định nghĩa: y M y0 • sin góc α y0 , ký hiệu sin α = y0 ; • cơ-sin góc α x0 , ký hiệu cos α = x0 ; y0 y0 • tang góc α (x0 = 0), ký hiệu tan α = ; −1 x0 x0 x0 x0 x0 • cơ-tang góc α (y0 = 0), ký hiệu cot α = y0 y0 Các số sin α, cos α, tan α, cot α gọi giá trị lượng giác góc α ! α O x • Nếu α góc tù cos α < 0, tan α < 0, cot α < • tan α xác định α = 90◦ • cot α xác định α = 0◦ α = 180◦ Tính chất Về dấu giá trị lượng giác • sin α > với 0◦ < α < 180◦ • cos α > với 0◦ < α < 90◦ cos α < với 90◦ < α < 180◦ • tan α > với 0◦ < α < 90◦ tan α < với 90◦ < α < 180◦ • cot α > với 0◦ < α < 90◦ cot α < với 90◦ < α < 180◦ Như vậy, cos α, tan α, cot α dấu với 0◦ < α < 90◦ 90◦ < α < 180◦ Tính chất Mối quan hệ hai góc bù • sin α = sin(180◦ − α) • cos α = − cos(180◦ − α) • tan α = − tan(180◦ − α) với α = 90◦ • cot α = − cot(180◦ − α) với α = 0◦ , 180◦ HDedu - Page Tính chất Mối quan hệ hai góc phụ (với 0◦ ≤ α ≤ 90◦ ) • sin(90◦ − α) = cos α • cos(90◦ − α) = sin α • tan(90◦ − α) = cot α với α = 0◦ • cot(90◦ − α) = tan α với α = 90◦ Tính chất Các cơng thức sin α cos α • tan α = • cot α = cos α sin α • sin2 α + cos2 α = • + tan2 α = cos2 α • tan α cot α = 1 • + cot2 α = sin2 α GÓC GIỮA HAI VEC-TƠ Định nghĩa #» #» Cho hai vec-tơ #» a b khác vec-tơ Từ điểm O bất kỳ, ta vẽ #» # » # » ’ với số đo từ 0◦ đến 180◦ gọi góc OA = #» a OB = b Góc AOB #» #» #» hai vec-tơ #» a b Ta ký hiệu góc hai vec-tơ #» a b #» a, b #» #» Nếu #» a , b = 90◦ ta nói #» a b vng góc với nhau, ký hiệu #» #» #» a ⊥ b b ⊥ #» a ! #» b B #» a #» a #» b A O #» #» a a , b = b , #» Từ định nghĩa ta có #» #» a b hướng Tính chất Nếu #» #» a b ngược hướng Tính chất Nếu #» #» #» a , b = 0◦ #» #» a , b = 180◦ HDedu - Page B CÁC DẠNG TỐN Dạng Tính giá trị lượng giác Sử dụng công thức phần lý thuyết để tính giá trị lượng giác ! Cần ý dấu giá trị lượng giác tính ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Cho sin α = Tính cos α, tan α, cot α biết 0◦ < α < 90◦ Ví dụ Cho cos α = − Tính giá trị lượng giác cịn lại góc α Ví dụ Cho tan x = Tính giá trị lượng giác cịn lại góc x Ví dụ Cho cot x = −3 Tính giá trị lượng giác cịn lại góc x Dạng Tính giá trị biểu thức lượng giác Từ giả thiết đề cho (thường giá trị góc hay giá trị lượng giác) định hướng biến đổi biểu thức dạng xuất giá trị cho giả thiết để tính ! Cần ý điều kiện áp dụng (nếu có) ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Tính A = a cos 60◦ + 2a tan 45◦ − 3a sin 30◦ Ví dụ Cho x = 30◦ Tính A = sin 2x − cos x Ví dụ Cho cos x = Tính giá trị biểu thức P = sin2 x + cos2 x = Ví dụ Cho tan x = Tính A = sin x + cos x sin x − cos x cot x − tan x Ví dụ Cho sin x = Tính B = cot x + tan x HDedu - Page Dạng Chứng minh đẳng thức lượng giác Sử dụng linh hoạt công thức cở bản, phép biến đổi đại số sử dụng đẳng thức đáng nhớ để rút gọn chứng minh ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ   a = sin x   Ví dụ Cho b = cos x sin x Chứng minh a2 + b2 + c2 =    c = cos x cos y Ví dụ Chứng minh đẳng thức sau: a) sin4 x + cos4 x = − sin2 x cos2 x b) cos4 x − sin4 x = cos2 x − sin2 x = − sin2 x = cos2 x − c) tan2 x − sin2 x = tan2 x sin2 x 1 d) + = 1 + tan x + cot x Ví dụ Cho A, B, C góc tam giác Chứng minh đẳng thức sau: a) sin (A + B) = sin C b) cos (A + B) + cos C = A+B C c) sin = cos 2 d) tan (A − B + C) = − tan 2B Ví dụ Chứng minh biểu thức sau có giá trị không phụ thuộc vào x a) A = sin8 x + sin6 x cos2 x + sin4 x cos2 x + sin2 x cos2 x + cos2 x − sin6 x tan2 x b) B = − cos6 x cos2 x Ví dụ Tìm m để biểu thức P = sin6 x + cos6 x − m sin4 x + cos4 x có giá trị khơng phụ thuộc vào x Ví dụ Cho a, b số dương thỏa mãn hệ thức sin2018 x cos2012 x + = 1008 1008 a b (a + b)1008 sin4 x cos4 x + = Chứng minh a b a+b HDedu - Page §2 TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐỊNH NGHĨA #» #» #» Định nghĩa Cho hai véc-tơ #» a b khác Tích vơ hướng #» a b số, kí hiệu #» #» a b , xác định công thức sau: #» #» #» #» a b = | #» a |.| b | cos( #» a , b ) #» #» #» Trường hợp hai véc-tơ #» a b véc-tơ ta quy ước #» a b = ! #» #» #» b khác véc-tơ #» a ta có #» a b = ⇔ #» a⊥ b #» b tích vơ hướng #» a #» a kí hiệu #» a số gọi bình phương vơ hướng véc-tơ #» a #» Ta có: a = | #» a |.| #» a | cos 0◦ = | #» a |2 a) Với #» a b) Khi #» a = CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VƠ HƯỚNG #» Tính chất Với ba véc-tơ #» a , b , #» c số k ta có: #» #» #» #» • a b = b a (tính chất giao hốn); #» #» • #» a ( b + #» c ) = #» a b + #» a #» c (tính chất phân phối); #» #» #» #» #» #» • (k a ) b = k( a a ) = a (k b ); #» • #» a ≥ 0, #» a = ⇔ #» a = Nhận xét: Từ tính chất tích vơ hướng hai véc-tơ ta suy #» #» • ( #» a + #» a )2 = #» a + #» a b + b 2; #» #» #» • ( #» a − b )2 = #» a − #» a b + b 2; #» #» #» • ( #» a + b ).( #» a − b ) = #» a2 − b BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VƠ HƯỚNG #» #» #» Trong mặt phẳng tọa độ (O; i ; j ), cho hai véc-tơ #» a = (a1 ; a2 ), b = (b1 ; b2 ) Khi tích vơ hướng #» #» hai véc-tơ #» a b là: #» a b = a b + a b 1 2 Nhận xét: #» #» Hai véc-tơ #» a = (a1 ; a2 ), b = (b1 ; b2 ) khác véc-tơ vng góc với a1 b1 +a2 b2 = HDedu - Page ỨNG DỤNG a) Độ dài véc-tơ: Độ dài véc-tơ #» a = (a1 ; a2 ) xác định công thức: | #» a| = #» #» a b a1 b + a2 b #» #» b) Góc hai véc-tơ: cos( a , b ) = #» #» = a1 + a22 b21 + b22 | a |.| b | c) Khoảng cách hai điểm: a21 + a22 Khoảng cách hai điểm A(xA ; yA ) B(xB ; yB ) tính theo cơng thức: » AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 Dạng Các tốn tính tích vơ hướng hai véc-tơ Ä #»ä #» #» • Áp dụng công thức định nghĩa: #» a b = #» a b cos #» a, b Ä #» ä #» • Sử dụng tính chất phân phối: #» a b + #» c = #» a b + #» a #» c #» #» #» #» • Hai vec-tơ a ⊥ b ⇔ a b = ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ √ # »# » Ví dụ Cho hình vng ABCD cạnh 2a Tính tích vơ hướng AB.AC √ Ví dụ Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a 2, AD = 2a Gọi K trung điểm cạnh AD # » # » # » # » a) Phân tích BK, AC theo AB AD # »# » b) Tính tích vơ hướng BK.AC #» #» #» Ví dụ Cho hai vec-tơ #» a b có #» a = 5, b = 12 #» a + b = 13 Tính cosin góc #» hai vec-tơ #» a #» a + b Ví dụ Cho hình vng ABCD có M trung điểm đoạn thẳng AB N điểm thuộc đoạn AC cho AN = 3N C # » # » # » # » a) Phân tích DN , M N theo vec-tơ AB AD b) Chứng minh DN ⊥ M N Ví dụ Cho tam giác ABC cạnh 3a Lấy M, N, P nằm ba cạnh BC, CA, AB cho BM = a, CN = 2a, AP = x(x > 0) # » # » # » # » a) Phân tích AM , N P theo vec-tơ AB AC b) Tìm x để AM vng góc với N P HDedu - Page Dạng Tính góc hai véc-tơ -góc hai đường thẳng-điều kiện vng góc Để tính góc hai vectơ, ta sử dụng định nghĩa tích vơ hướng kết hợp kĩ thuật tính tích vơ hướng Để tính góc hai đường thẳng, ta tính góc hai véc-tơ có giá hai đường thẳng cho suy góc hai đường thẳng Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ta chứng minh góc hai đường thẳng 90◦ ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ #» #» #» #» #» #» Ví dụ Cho véc-tơ #» a = − i + j , b = i + j Tìm góc hai véc-tơ #» a b # »# » Ví dụ Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = Tính AB.AC cos A Ví dụ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 3) B(3; −1) Tính góc đường thẳng OA AB √ #» #» Ví dụ Cho hai véc-tơ #» a b vuông góc với nhau, | #» a | = 1, | b | = Chứng minh hai #» #» véc-tơ #» a − b #» a + b vng góc với Ví dụ Cho hình vng ABCD có M trung điểm AB N trung điểm BC Chứng minh DM ⊥ AN HDedu - Page Dạng Chứng minh đẳng thức tích vơ hướng độ dài Liên quan đến đẳng thức tích vơ hướng độ dài ta có hai tốn tiêu biểu: • Bài tốn 1: Chứng minh đẳng thức tích vô hướng độ dài Đối với dạng ta thường sử dụng tính chất tích vơ hướng, tính chất véc tơ để biến đổi tương đương đẳng thức cần chứng minh đẳng thức biến đổi vế thành vế biến đổi vế biểu thức trung gian • Bài tốn 2: Tìm điểm tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức véc tơ độ dài Thông thường ta biến đổi đẳng thức ban đầu dạng IM = R I cố định, R không # » đổi IM #» u = I cố định #» u véc tơ xác định ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Cho bốn điểm A, B, C, D Chứng minh rằng: # »# » # »# » # »# » DA.BC + DB.CA + DC.AB = Ví dụ Cho tam giác ABC có diện tích S Chứng minh rằng: … Ä # » # »ä2 S= AB AC − AB.AC Ví dụ Cho tam giác ABC có trực tâm H trung điểm cạnh BC M Chứng minh # »# » M H.M A = BC Ví dụ Cho tam giác ABC cạnh a Tìm tập hợp tất điểm M cho # » # » # » # » # » # » a2 M A.M B + M B.M C + M C.M A = Ví dụ Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn M A2 −M B +CA2 −CB = HDedu - Page Dạng Ứng dụng biểu thức toạ độ tích vơ hướng vào tìm điểm thoả mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải, kinh nghiệm: Phương pháp chung dạng toạ độ hoá điểm thay vào điều kiện để tìm điểm Đa số cần thay toạ độ áp dụng công thức tính được, nhiên số có tính chất đặc biệt mà nhờ nó, ta giảm đáng kể lượng công việc ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Cho ba điểm A(2; 3), B(1; 4), C(5; 2) Chứng minh ba điểm tạo thành tam giác Ví dụ Cho A(3; 1), B(7; 2), tìm C(x; y) thuộc trục Ox cho C thuộc đường trịn đường kính AB Ví dụ Cho điểm A(0, 2) điểm B(x; y) ∈ (d) : y = 2x − có hồnh độ x = Tìm (d) điểm C cho ABC cân A HDedu - Page Dạng Tìm tọa độ điểm đặc biệt tam giác - tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm lên đường thẳng • Trực tâm tam giác • Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác • Tâm đường trịn nội tiếp tam giác • Hình chiếu vng góc điểm lên đường thẳng ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(xA , yA ); B(xB , yB ) C(xC , yC ) a) Tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC Gọi tọa độ H(x, y) Khi # »# » AH.BC = # »# » BH.AC = Ta thu hệ phương trình ẩn x, y Giải hệ ta tọa độ điểm H b) Tìm tọa độ tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi I(x, y) tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Khi IA = IB IA = IC Do đó, ta có (x − xA )2 + (y − yA )2 = (x − xB )2 + (y − yB )2 = (x − xA )2 + (y − yA )2 = (x − xC )2 + (y − yC )2 = Giải hệ phương trình ta tọa độ điểm I c) Tìm tọa độ tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC A J B D C * Cách 1: +) Gọi tọa độ điểm D(x, y) Ta tính độ dài cạnh AB AC DB DC DB AB Ta có = , suy = := k AB DC AC # » AC# » Do DB = −k DC, ta hệ phương trình ẩn x, y, giải hệ ta tọa độ điểm D +) Gọi tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC J(x, y) Tính độ dài đoạn BD JD JA JD BD Ta có = suy = := l BD AB JA AB # » #» Do JD = −lJA, ta hệ phương trình ẩn x, y, giải hệ ta tọa độ điểm J * Cách 2: Áp dụng đẳng thức sau với AB = c, BC = a, AC = b #» # » # » #» aJA + bJB + cJC = HDedu - Page 10 Định lí Trong tam giác bất kỳ, bình phương cạnh tổng bình phương hai cạnh cịn lại trừ hai lần tích chúng với cosin góc xen hai cạnh Nếu ký hiệu a, b, c độ dài cạnh BC, CA, AB tam giác ABC ta có:   a2 = b2 + c2 − 2bc cos A   b2 = c2 + a2 − 2ca cos B    c = a2 + b2 − 2ab cos C Từ định lý hàm số cosin ta suy cơng thức tính cosin góc tam giác theo độ dài cạnh tam giác sau:  b + c − a2   cos A =    2bc   c + a2 − b cos B =  2ca     a + b2 − c   cos C = 2ab Mặt khác, sử dụng định lý hàm số cosin giúp ta tìm độ dài đường trung tuyến theo ba cạnh tam giác Cụ thể, ký hiệu ma , mb , mc độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A, B, C thì:  2  m2 = (b + c ) − a  a     2 (c + a2 ) − b2 m = b      (a + b2 ) − c  m2c = ĐỊNH LÝ SIN Định lí Cho tam giác ABC, gọi R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Đặt AB = c, BC = a, CA = b Ta có a b c = = = 2R sin A sin B sin C CÁC CƠNG THỨC DIỆN TÍCH TAM GIÁC Diện tích S tam giác ABC tính công thức 1 S = a.ha = b.hb = c.hc 2 1 = bc sin A = ca sin B = ab sin C 2 abc = 4R =pr » = p(p − a)(p − b)(p − c) HDedu - Page 13 Dạng Một số tập giúp nắm vững lý thuyết Mục đưa số tập mà việc giải dùng đến kiến thức tích vơ hướng hai véc-tơ trước, chưa dùng đến công thức hệ thức lượng Kết tập dùng vào việc giới thiệu công thức hệ thức lượng tam giác ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Cho tam giác ABC # » # » # » a) Tính BC theo AB AC # »# » # »# » b) Tính BC.BC từ tính tích vơ hướng AB.AC theo độ dài cạnh tam giác AB + AC − BC c) Chứng minh cos A = 2.AB.AC Ví dụ Cho tam giác ABC có AM trung tuyến # » # » # » a) Tính BC theo AB AC # »# » b) Tính tích vơ hướng AB.AC theo độ dài cạnh tam giác # » # » # » c) Tính AM theo AB AC 2AB + 2AC − BC d) Chứng minh AM = Ví dụ Cho tam giác ABC, đặt AB = c, CA = b, BC = a Gọi , hb , hc độ dài đường cao kẻ từ A, B, C tam giác ABC a) Chứng minh = b sin C = c sin B; hb = c sin A = a sin C; hc = a sin B = b sin A b) Gọi S diện tích tam giác ABC, chứng minh 1 S = ab sin C = bc sin A = ca sin B 2 Ví dụ Chứng minh diện tích tam giác ABC tính cơng thức S = abc 4R Ví dụ Cho đường trịn tâm I bán kính r nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, BC, CA tam giác K, L, M Gọi p nửa chu vi tam giác ABC Chứng minh S = p.r HDedu - Page 14 Ví dụ Cho tam giác ABC diện tích S Chứng minh … Ä # » # »ä2 S= AB AC − AB.AC Ví dụ Chứng minh cơng thức tính diện tích sau (công thức Hê-rông) » S = p(p − a)(p − b)(p − c) với p nửa chu vi tam giác, a = BC, b = AC, c = AB độ dài cạnh Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai véc-tơ a = (a1 ; a2 ), b = (b1 ; b2 ) Chứng minh » #» #» Q = | #» a |2 | b |2 − ( #» a b )2 = |a1 b2 − a2 b1 | Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(xA ; yA ), B(xB ; yB ), C(xC ; yC ) Chứng minh diện tích tam giác ABC S= (xB − xA ) (xC − xA ) (yB − yA ) (yC − yA ) đó, người ta đặt a b c d = (xB − xA )(yC − yA ) − (xC − xA )(yB − yA ) = ad − bc (định thức cấp 2) Ví dụ 10 Cho tam giác ABC, gọi la độ dài đường phân giác kẻ từ đỉnh A tam bc sin A giác ABC Chứng minh la = (b + c) sin A2 Ví dụ 11 Cho tam giác ABC có AB < AC (hay c < b), gọi la độ dài đường phân kẻ bc sin A từ đỉnh A tam giác ABC Chứng minh la = (b − c) cos A2 HDedu - Page 15 Dạng Xác định yếu tố lại tam giác biết số yếu tố cạnh góc tam giác Ở dạng tốn này, áp dụng trực tiếp định lý hàm số cosin hệ định lý hàm số cosin để tìm yếu tố lại tam giác cho ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Cho tam giác ABC có b = 5, c = cos A = Tính cạnh a cosin góc cịn lại tam giác Ví dụ Một người đứng hải đăng A bờ biển quan sát hai tàu hai điểm B C Khoảng cách từ người tới tàu điểm B C km km Góc tạo hai hướng nhìn AB AC 60◦ Tính khoảng cách d hai tàu   a = x2 + x +   Ví dụ Cho x số thực lớn b = 2x + Chứng minh a, b, c độ dài ba    c = x2 − cạnh tam giác tính số đo góc đối diện với cạnh a Ví dụ Cho ∆ABC có cạnh BC = a, CA = b, AB = c Biết tồn số tự nhiên n > cho an = bn + cn Chứng minh A góc có số đo lớn tam giác, từ suy ∆ABC có góc nhọn √ c Chứng minh rằng: √ ma + mb + mc = (a + b + c) Ví dụ Cho tam giác ABC có mc = HDedu - Page 16 Dạng Diện tích tam giác Dạng thường sử dụng cơng thức diện tích sau 1 S = a.ha = b.hb = c.hc 2 1 = bc sin A = ca sin B = ab sin C 2 abc = 4R =pr » = p(p − a)(p − b)(p − c) ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Bài Cho A(1, 5); B(4, −1); C(−4, −5) Tính diện tích tam giác ABC “ = β ◦ Bài Tính diện tích tam giác ABC, biết chu vi tam giác 2p, góc A = α◦ , B Bài Cho ∆ABC có A = 90◦ , bán kính đường trịn ngoại tiếp R = bán kính đường trịn nội tiếp r = Tính diện tích S tam giác Dạng Chứng minh hệ thức liên quan yếu tố tam giác - Dùng hệ thức để biến đổi vế thành vế chứng minh hai vế hệ thức biết - Khi chứng minh cần khai thác giả thiết kết luận để tìm hệ thức thích hợp làm trung gian cho q trình biến đổi ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Cho ∆ABC có AB = c, BC = a, CA = b p nửa chu vi tam giác Chứng minh rằng: abc (cos A + cos B + cos C) = a2 (p − a) + b2 (p − b) + c2 (p − c) ÷ Ví dụ Cho ∆ABC có trung tuyến AM , AM B = α, AC = b, AB = c, S diện tích ∆ABC 2 b −c Với < α < 90◦ Chứng minh: cot α = 4S HDedu - Page 17 ’ = α, GBC ’ = β, GCA ’ = γ Đặt AB = c, Ví dụ Cho ∆ABC có trọng tâm G GAB BC = a, CA = b S diện tích ∆ABC.Chứng minh: cot α + cot β + cot γ = (a2 + b2 + c2 ) 4S Dạng Nhận dạng tam giác vuông Sử dụng phép biến đổi tương đương hệ để biến đổi “Điều kiện cho trước” đến đẳng thức mà từ ta dể dàng kết luận tính chất tam giác ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện sin 2A + sin 2B = sin 2A sin 2B cos A cos B Chứng minh tam giác ABC vng Ví dụ Cho ABC có sin 2A cos 2A + sin 2B cos 2B + sin 2C cos 2C = Chứng minh ABC vuông Ví dụ Cho ABC có sin2 A + sin2 B = √ 2017 sin C góc A, B nhọn Chứng minh tam giác ABC vuông HDedu - Page 18 Dạng Nhận dạng tam giác cân Sử dụng phép biến đổi tương đương hệ để biến đổi “Điều kiện cho trước” đến đẳng thức mà từ ta dể dàng kết luận tính chất tam giác ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Chứng tỏ tam giác ABC cân tan B + tan C = tan Ví dụ Cho ABC thỏa mãn hệ thức: sin B+C B C C B cos3 = sin cos3 Chứng minh tam giác 2 2 ABC cân Dạng Nhận dạng tam giác Sử dụng phép biến đổi tương đương hệ để biến đổi “Điều kiện cho trước” đến đẳng thức mà từ ta dể dàng kết luận tính chất tam giác Ngồi bất đẳng thức đối xứng với ba góc A, B, C ba cạnh a, b, c xảy dấu trạng thái A = B = C = 60◦ a = b = c để chứng minh tam giác ABC ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Cho tam giác ABC có:    sin B sin C = 3 a − b − c  a2 = a−b−c Chứng minh tam giác ABC Ví dụ Cho ABC có: cot2 A B C + cot2 + cot2 = Chứng minh 2 ABC HDedu - Page 19 Dạng Ứng dụng giải tam giác vào đo đạc Sử dụng định lý sin định lý cos để giải ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Tính khoảng cách từ điểm bờ sông đến gốc cù lao sơng Ví dụ Trong buổi gặp cuối tuần nghệ sĩ hài Xuân Bắc đặt tình giáo sư Cù Trọng Xoay sau: “Một người có chiều cao từ chân đến mắt lm Với hai dụng cụ đo thước dây giác kế, người muốn đo chiều cao cao Vậy làm để đo chiều cao cây” Nếu vị trí giáo sư Cù Trọng Xoay em làm cách để đo chiều cao cây? Hãy minh họa kết cụ thể Ví dụ Muốn đo chiều cao tháp Chàm Por Klong Garai D Ninh Thuận người ta lấy hai điểm A, B mặt đất có khoảng cách AB = 12m thẳng hàng với chân C tháp để đặt hai giác kế Chân giác kế có chiều cao h = 1, 3m Gọi D đỉnh tháp hai điểm A , B thẳng hàng với điểm C thuộc chiều cao CD tháp ÷ ÷ Người ta đo góc DA C = 49◦ góc DB C = 35◦ Hãy tính chiều cao CD = C D + C C tháp C C 49◦ 35◦ A B A B HDedu - Page 20 HDedu - Page 21 HDedu - Page 22 HDedu - Page 23 HDedu - Page 24 HDedu - Page 25 HDedu - Page 26 HDedu - Page 27 ... a2 + b2 + c2 =    c = cos x cos y Ví dụ Chứng minh đẳng thức sau: a) sin4 x + cos4 x = − sin2 x cos2 x b) cos4 x − sin4 x = cos2 x − sin2 x = − sin2 x = cos2 x − c) tan2 x − sin2 x = tan2... a 22 b21 + b 22 | a |.| b | c) Khoảng cách hai điểm: a21 + a 22 Khoảng cách hai điểm A(xA ; yA ) B(xB ; yB ) tính theo cơng thức: » AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 Dạng Các tốn tính tích vơ hướng. .. a2 = b2 + c2 − 2bc cos A   b2 = c2 + a2 − 2ca cos B    c = a2 + b2 − 2ab cos C Từ định lý hàm số cosin ta suy cơng thức tính cosin góc tam giác theo độ dài cạnh tam giác sau:  b + c − a2