Các phương pháp biến đổi trong chứng minh bất đẳng thức lớp 9

3.Sử dụng phương pháp đánh giá: đây là PP tương đối khó trong việc Cm BĐT,tùy từng dạng bài mà có cách đánh giá khác nhau.Cần chú ý điều kiện đề bài để có hướng đi phù hợp nhất cho bài t

Các phương pháp biến đổi trong chứng minh bất đẳng thức

1.Biến đổi tương đương : khi sử dụng phép biến dổi tương đương cần chú ý tới dấu của BĐT khi đảo chiều hay nhân thêm biểu thức

Ví dụ:Cho hai số a, b thỏa mãn điều kiện , chứng tỏ rằng :

3.Sử dụng phương pháp đánh giá: đây là PP tương đối khó trong việc Cm BĐT,tùy từng dạng bài mà có cách đánh giá khác nhau.Cần chú ý điều kiện đề bài để có hướng đi phù hợp nhất cho bài toán

Vế trái (1) là tam thức bậc 2 với

Kỹ thuật chọn điểm rơi trong các bài toán BĐT và cực trị

Tác giả: minhbka đưa lên lúc: 14:07:37 Ng y 09-11-2007ày 09-11-2007

Thời gian qua mình đã nhận được nhiều yêu cầu của các bạn hướng dẫn cách làm bài tập

về BĐT và cực trị.Đây cũng là mảng kiến thức sâu rộng và tương đối khó.Bài viết này sẽ hướng dẫn các bạn những hướng suy nghĩ và giải quyết các bài tập dạng này thông qua PP chọn "điểm rơi"-tức là những điểm ta dự đoán được để từ đó có hướng giải quyết phù hợp nhất

Ký hiệu sqrt là căn bậc 2 và cbb là căn bậc 3

Ta hãy bắt đầu từ 1 bài toán đơn giản:

Bài 1: Cho Tìm Min của:

Giải: Rõ ràng ko thể áp dụng Cosi ngay để vì dấu = xảy ra khi a=1, mâu thuẫn với đk

Ta dự đoán từ đề bài rằng P sẽ nhỏ nhất khi a=3 và đây chính là "điểm rơi" của bài

toán.Khi a=3 thì và

Ta áp dụng Cosi như sau: ta có

Khi đó kết hợp với đk ta có

Bài 2: Cho a,b,c dương và abc=1.CMR:

Giải: Dự đoán dấu đẳng thức xảyra khi a=b=c=1.Lúc này và 1+b=2.Ta áp dụng Cosi như sau:

Tương tự cho 2 BĐT còn lại.Khi đó ta có

.Tiếp tục áp dụng Cosi cho 3 số ta có Thay vào ta có

Bài 3:

Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn x+y+z=1.CMR:

P= + + >=

Giải:

Đầu tiên ta thấy trong căn có dạng nên nghĩ ngay đến sử dụng Bunhi dạng

.Ở đây dễ thấy Vậy còn a và b.Ta sẽ sử dụng

PP "điểm rơi"

Ta hãy cứ viết và dấu "=" đạt được khi Ta chú ý tiếp

đk x+y+z=1 và "dự đoán" dấu = xảy ra ở bài toán khi Khi đó ta có 9a=b.Choa=1 và b=9 ta được ngay:

Tương tự cho y và z.Cuối cùng ta sẽ có 1 bài toán đơn giản hơn rất nhiều và chỉ là TH đặc biệt của bài toán 1

Cuối cùng là 1 bài toán mình xin dành lời giải cho các bạn:

Bài 4: Cho a,b,c dương và a+b+c=3.Tìm Min:

Sử dụng hằng đẳng thức giải phương trình vô tỉ

Tác giả: boy148 đưa lên lúc: 19:00:41 Ng y 05-03-2008ày 09-11-2007

Giải (1) ta có (vô nghiệm)Giải (2) ta có:x=0.

Phương trình đã cho tương đương với:

Sau đây là một số bài tập áp dụng:

Giải phương trình:

Bài 1)

Bài 2)

Bài 3)

Bài 4)

Bài 5)

Kĩ thuật Cô-Si ngược dấu

Tác giả: boy148 đưa lên lúc: 16:57:04 Ng y 20-02-2008ày 09-11-2007

Bất đẳng thức Cô-Si là một trong những bất đẳng thức kinh điển rất quen thuộc với học sinh THPT Chuyên đề này muốn giới thiệu một phương pháp vận dụng bất đẳng thức Cô-

Si đó là kĩ thuật Cô-Si ngược dấu

Ví dụ 1) Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3.Chứng minh rằng:

Bài giải:

Ta luôn có :

Hoàn toàn tương tự ta cũng có:

(2) (3)Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta có:

(đpcm).Dấu "=" xảy ra khi và chỉkhi a=b=c=1

Trong bài này để sử dụng bất đẳng thức thì ta phải dùng tới biểu thức

Ví dụ 2)Chứng minh về mọi số dương a,b,c có a+b+c=3 thì ta có:

Ta có:

Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: nên

(1)Hoàn toàn tương tự ta cũng có:

(2)(3)Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta cũng có:

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

Nhờ kĩ thuật Cô-Si ngược dấu ta đã chứng minh được những bài toán mà nếu giải bằng các phương pháp khác sẽ rất dài thậm chí không giải được ,sau đây là một số bài tập ứng dụng:

Bài 1)Chứng minh với mọi số dương a,b,c,d ta luôn có:

Bài 2)Chứng minh rằng với a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn a+b+c+d=4 ta luôn có:

Bài 3)Cho 3 số và a+b+c=3.Chứng minh rằng:

MỘT KĨ THUẬT CHỨNG MINH BĐT CÓ ĐIỀU KIỆN

Tác giả: nhoanh2006d đưa lên lúc: 15:29:02 Ng y 18-02-2008ày 09-11-2007

Chúng ta thường gặp các dạng toán chứng minh BĐT có dạng :Cho ,chứng minh

có một kĩ thuật là ta đi chứng minh : .Nếu chứng minh được nhưthế , từ điều kiện ta suy ra được Sau đây là một số ví dụ:

tương tự 2 bài trên ta suy ra

Mong phương pháp này sẽ hỗ trợ

Cho dãy số không âm Khi đó

2 BĐT Bunhiacopski:Giả sử và là hai dãy số tùy ý

Tạm thời cứ thế đã, lúc khác post tiếp Có ai biết thêm gì thì cứ post lên nhé!

Tiếp tục đây:5.BĐT Becnuli:Cho dãy số trong đó mọi cùng dấu lớn hơn -1.Khi đó

6 BĐT Nesbit:+3 biến: Cho Khi đó

+4 biến: Khi đó

BĐT Minkowski:

Với các bạn vẫn thường gặp BĐT sau đây:

NH NGH Ĩ A GTLN,GTNN:

.M được gọi l giá trày 09-11-2007 ị lớn nhất của A nếu

.Chú ý: M l GTLN cày 09-11-2007 ủa A thì nó phải thoả 2 điều:thứ nhất l nó lày 09-11-2007 ớn hơn hoặc bằng mọi phần tử thuộc A.thú 2 phải tồn tại 1 phần tử thuộc A bằng M

Ví d ụ : (0,1) ko có giá trị lớn nhất vì;

.với Mx>M vậy M ko phải GTLN của A

.với M thì ko có phần tử n o thuày 09-11-2007 ộc (0,1) bằng M vậy M ko phải GTLN của A

Ử D Ụ NG B Đ T TH Ứ C CAUCHY : bđt thường dung nhất

*nhận xét bđt Cauchy thuộc loại bđt thuần nhất đối với những b i toán m cày 09-11-2007 ày 09-11-2007 ả hai vế có

số “phần tử “ bằng nhau v bày 09-11-2007 ậc của chúng bằng nhau thì chúng ta có thể giải bằng bđt Cauchy

Ví d ụ 1 : với mọi a,b,c>0 CMR:

.dễ thấy cả hai vế có bốn hạng tử v bày 09-11-2007 ậc bằng 4 ta dung bđt cauchy

Áp dụng bđt Cauchy cho bốn số dương ta có;

.(1)+(2)+(3) suy ra đpcm

.dấu “=” xảy ra khi v chày 09-11-2007 ỉ khi

Ví d ụ 2 :với ba số a,b,c dương.CMR:

.có thể coi hai vế đều có bậc 1,v 3 hày 09-11-2007 ạng tử ta dùng bđt cau Cauchy :

Áp dụng bđt Cauchy cho 2 số ta có

(1) v (2) suy ra ày 09-11-2007 đpcm

d âu “=’ x ảy ra khi v chày 09-11-2007 ỉ khi a=b=c

V í d ụ 3: cho x,y,z d ư ơng CMR:

.ta thấy mỗi vế có 3 hang tử v ta có th à ta có th ể coi nó cùng b “ ậc -1 ta dung b” đt Cauchy

p Á dụng bđt Cauchy cho 3 số dương ta có;

cộng lại ta suy ra dpcm

dấu = x “ ” ảy ra khi v ch à ta có th ỉ khi x=y=z.

Ví d ụ 4 : cho a,b,c dương.CMR:

ta thấy rằng đây l d à ta có th ạng đặc trưng cho pp s i b à ta có th đt Cauchy hai lần

dấu = x “ ’ ảy ra khi v ch à ta có th ỉ khi ( chú ý nếu thì

*VT l tr à ta có th ị tuyệt đối của tích vô hưóng,VP l tích à ta có th modun.

*khi ta có tổng mà ta có th thì ta áp dụng bđt n y à ta có th

Ví d ụ 1: CMR:

p dung bÁ đt BCS ta có:

Ta có : y(sin x+cos x+2)=sin x- cos x+1

Suy ra (y-1)sin x+(y+1)cos x=1-2y

diều kiện tồn tại x l à ta có th

tương đương

tương đương

vậy GTLN của y là ta có th

GTNN của y là ta có th

.PH ƯƠ NG PH P GIÁ Ả I T CH ÍCH : ( dung đạo h m à ta có th )

*vì phổ thong chỉ học đạo h m 1 à ta có th biến lên ta chỉ áp dụng pp n y khi ch à ta có th ỉ có 1 biến,hoặc nhiều biến nhưng các biến đều biểu diễn theo 1 biến duy nhất.

Ví d ụ 1 : CMR : với mọi x>0

đặt f(x)= với x>0

sra f (x)’ với mọi x>0

sra f(x) tăng với x>0

sra f(x)>f(0)=0 với mọi x>0

*chú ý bđt về tam giác,quan hệ giữa cạnh huyền v c à ta có th ạnh góc vuông ,giữa đường chéo và ta có th đường xiên,giữa cạnh v góc à ta có th đối diện.

1.cho a.b,c dương ,a+b+c =1 CMR:

dấu = x “ ” ảy ra khi n o ? à ta có th

b i 13: cho a+b à ta có th CMR ;

bai 14; cho p,q ko âm v p+q=1.CMR: à ta có th

với mọi n,m nguyên dương (*) Bai 15: tìm giá trị nhỏ nhất ;

Tuyển tập các b i toán B à ta có th ĐT có thể ra đại học :D

1 Cho 3 số thực dương sao cho: Tìm GT lớn nhất của:

Giải theo nhiều cách nha các bạn

3 Cho 3 số thực dương sao cho Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Tìm MIN VÀ MAX của

5 Tìm Min Max của

6 Cho hai số thực thỏa mãn:

9 Cho 2 số thực dương thỏa mãn Tìm Min của:

10 Cho 2 số thực không âm Tìm Max v Min cày 09-11-2007 ủa biểu thức:

11.Cho 3 số thực dương thỏa mãn =1

CMR:

12 Cho 3 số thực dương CMR:

A.BÀI TOÁN VỀ SỐ CÁC CON SỐ VÀ TỔNG CỦA CHÚNG:

ví dụ 1: Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau

GỌi:abcde là cố tự nhiên có 4 chữ số:

Bài làm

.a=! 0 suy ra có 9 cách chọn {1,2,3,4 9}

.b=!a suy ra có 9 cách chọn{0,1,2,3,4 9}\{a}

.c=!a,b suy ra có 8 cách chọn {0,1,2,3 9}|{a,b}

d=!a,b,c suy ra có 7 cách chọn {0,1,2,3 9{\{a,b,c}

Áp dụng qui tắc nhân ta có :9.9.8.7=4536 số thỏa yêu cầu bài toán

*vậy ta có 840-120=720 số thỏa yêu cầu đề bài

b*Trong số 840 số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau ( tính cả a=0)

vậy kết quả câu b là 279920-46620=2753100

Ví dụ 3: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số và chia hết cho 9

Bài làm

a.*Số tự nhiên nhỏ nhất có 4 chữ số chia hết cho 9 là

*Số tự nhiên lớn nhất có 4 chữ số chia hết cho 9 là

Các số tự nhiên chia hết cho 9 là CSC vời công ứoc d=9

theo công thức cấp số cộng:

suy ra 9999=1008+(n-1)9

suy ra (n-1)=999 suy ra n=1000

Vậy có 1000 số thỏa yêu cầu đề bài

b.theo cong thức CSC ta có tổng các số này là:

S=

Ví dụ 4:

a.Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số và chia hết cho 3

b.Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau và số hàng chục chia hết cho 3 Bài làm

Áp dung qui tắc cộng ; ta có 8064+3024=11088 số thỏa yêu cầu đề bài.

BÀI TOÁN VỀ ĐA GIÁC:

Cho giác giác n cạnh ,trong đó ko có 3 đỉnh nào thẳng hàng;

a.hỏi có bao nhiê tam giác tạo thành từ các đỉnh của da giác

b,Đa giác này có bao nhiê đừong chéo

c.Biết ko có 2 đừong chéo nào đồng qui tại 1 điểm.Hỏi có bao nhiêu giao điểm của các đừong chéo

Bài làm

a.lấy 3 trong n đỉnh cua da giác n đỉnh ( n cânh thì có n đỉnh) ta đựoc 1 tam giác suy ra có tam giác là tam giác

b.lấy 2 điểm bất kí ta đựoc 1 đừong chéo hoặc cạnh

vậy tổng số cạnh và đừong chéo là

suy ra số đừong chéo là đừong chéo

c.Cứ chọn 4 điểm trong n đỉnh của đa giác ta có 1 giao điểm của hai đường chéo

Vẩy số giao điểm của 2 đường chéo là

C.BÀI TOÁN VỀ LÀ THỨ

Cho n lá thư bỏ ngẩu nhiên vào n phong bì

a.tính xác xuất đề có đúng 1 lá thư đúng địa chỉ

b.Xác suất để đúng 2 lá thư gửi đúng địa chỉ

c.xác suất để ko lá thư nào đúng địa chỉ

b.xác suấ để có dúng 2 lá thư đúng dịa chỉ

Có n lá thư trong đó có đúng 2 lá thư đúng địa chỉ.vậy ta có cách chọn thứ tự cho các lá thư đúng địa chỉ

*mình sẽ pót bài tập ít 1 lên mọi ngừoi cùng phân tích nha

*các bạn có thể post những bài hay hoặc ko hiểu tại đây

Bài 1:Có 4 máy bay cùng ném bom 1 mục tiêu

Xác suất để các máy bay ném bom trúng mũc tiêu lần lưôt là 0,4;0,5;0,6;0,7

a.tính xac suất để có đúng 2 máy bay ném trúng mục tiêu

b.xác suất để mục tiêu bị ném bom trúng

Bài 2.Có 7 cuốn sách toán khác nhau,6 sách lý khác nhau và 5 sách văn khác nhau

a.hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sách vào kệ scáh

b.hỏi bao nhieu ccách sắp xếp sách vào kệt sao cho sách cùng môn học nằm cạnh nhauc.lấy ngẫu nhiên 2 cuốn scáh.tính xác suất để 2 cuốn sách ko cùng môn

a.Có bao nhiêu cách chọn 1 bó hoa trong đó có đúng 1 bông hồng đỏ.

b.Có bao nhiêu cách chọn bó hoa có ít nhất 2 bôn hồng vàng và ít nhất 2 bông hồng đỏ.Bài 5

Cho các số {0,1,2,4,6,8}.Từ các số này:

a.hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi 1 khác nhau

b.tính tổng các số ở câu a

c.Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số mà chia hết cho 4

d.có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi 1 khác nhau mà chia hết cho 4

Bài 6

Một nhóm bạn có 12 người ,trong đó có 8 bạn nam ,và 4 bạn nữ,rủ nhau đi chơi.Nhóm chialàm 6 cặp ,mỗi cặp đi chung 1 xe.Hỏi có bao nhiêu cách chia 12 người này làm 6 cặp sao cho:

a.Chia sao cũng được miễn thành 6 cặp thui

b.Các bạn nữ đi chung,nam di chung( tức là 4 cặp nam,2 cặp nữ)

c.Yêu tiên các bạn nữ ko phải chở ,vì vậy mỗi bạn nữ đều đi chung với 1 bạn nam

Bài 7

Sau một thời gian ế,Analtic cũng rủ được 1 bạn gái đi chơi,vì vậy buổi chiều muốn mua hoa tặng bạn gái.Nhưng Analytic lại ko muốn mua những bông hoa bó sẵn mà muốn mua các bông hoa lẻ về tự bó lại cơ.Bạn đó rất thích những bông hoa hồng gồm có ba loại:hồng

đỏ ,hồng vàng và hồng trắng mỗi loại này chị bán hàng đều còn 10 bông.Hỏi Analytic có bao nhiêu cách chọn 1 bó hoa hồng gồm 9 bông sao cho có đủ 3 loại hồng đỏ,hồng

vàng,hồng trắng và thỏa:

a.Đủ 9 bông và ba loại hoa hồng là đủ rồi

b.Bông hoa đỏ đẹp nhất lại tượng trưng cho ty nữa lên số bông hồng đỏ phải ko ít hơn 1 nửa số bông

Bài 8

Một đoàn tàu còn 3 toa trống trong đó: toa 1 còn 3 chỗ trống,toa 2 còn 4 chỗ trống,toa 3 còn 5 chỗ trống.Hỏi có bao nhiêu cách phân phối 9 người lên các toa (có 12 chỗ ngồi tất cả)tàu sao cho:

a.miễn 9 người đều lên tàu là được

b.có 1 cặp vợ chồng ,đương nhiên 2 người này phải ngồi cùng toa

Bài 9

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số sao cho:

a.Hai số đứng cạnh nhau ko bằng nhau

b.mổi số đều có số đứng trước và số đứng sau nó bằng nhau

c.Chúng xếp theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần

a.Chỉ cần lấy đủ 4 viên

b.4 viên nhưng không đủ 3 màu

c.không có viên bi đỏ nào

Từ các số{0,1,2,3,4,5}.lập đựoc bao nhêiu số có 5 chữ số sao cho

a)Ko chia hết cho 5 và là số lẻ

b)Đôi 1 khác nhau và >2000

c)Đôi 1 khác nhau và số 1 có mặt đúng 1 lần

bài 15

thầy giáo có 3 cuốn sách toán,4 cuốn sách lý và 5 cuốn sách hoá( các cuốn sách coi như đôi

1 khác nhau).Muốn phát sách cho 6 học sinh mỗi ngừoi 2 cuốn,sao cho ko học sinh nào nhận 2 cuốn sách cùng môn học.Hỏi thày giáo có bao nhiêu cách phát sách

bài 16

Trong tập các số tự nhiên có bao nhiên số có 6 chữ số tạo ra từ các số 0,1,2,3,4 ( tất các các

số này đều xuất hiện)

bài 17

Có 9 học sinh xếp hàng ngang chụp hình.Trong đó có 4 hs A,B,C,D luôn đứng cạnh

nhau.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp như vậy?

bài 18

Có 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp hành 1 hàng ngang.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp

6 hs này sao cho học sinh nam và nữ đứng xen kẽ nhau

bài 19

Cho các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 có thể lập bao nhiêu số gồm 10 chữ số trong dó số 6 có mặt đúng 3 lần các chữ số khác có mặt đúng 1 lần

Bài 20

Cho 9 chữ số từ 0 >8.Hỏi có thể lập đựoc bao nhiêu số gồm 9 chữ số sao cho số 8 luôn đứng vị trí chính giữa

Tớ có bài toán lôgic siêu khó vừa thi xong, cũng nghĩ là đề sai nhưng hỏi giám thị là Hiệu phó trường Trưng Vương Chiến bảo là đề hoàn toàn đúng, các bạn thử xem nhé!!!

Xòe bàn tay trái ra đếm lần lượt từ trái sang phải Ngón cái là số 1, các ngón tiếp theo lần lượt là 2, 3, 4, 5 Sau đó đếm ngược từ phải sang trái mà ngón đeo nhẫn là số 6 Như vậy ngón trỏ sẽ là số 9 Rồi lại đếm tiếp từ trái sang phải sao cho ngón trỏ là số 10 Cứ như vậy tiếp tục

Theo cách đếm đó thì số 100 sẽ rơi vào ngón tay nào?

(Nhiều đứa giải là ngón đeo nhấn, nhưng không bít cách làm ntn, vô lí nhất là ngón trỏ số 10)

2009 Tr

ả l ờ i: Toán lôgic siêu khó l ớ p 8 thi HS gi ỏ i TP HN

Với cách đếm như thế lần 1 sẽ dc 5, các lần sau chỉ dc 4:5,9,13,17 bắt đầu đếm từ ngón cái sang ngón út sẽ thấy rằng số lần đếm dc là chẵn thì sẽ tiếp tục dếm từ ngón cái còn ngược lại ssoos lần đếm được là lẽ thì sẽ bắt đầu đếm tiếp từ ngón út vd: kết thúc lần đếm đầu tiên ta sẽ bắt đầu đếm tiếp từ ngón út lạ,5,6,7,8,9=> kết thúc lần đếm thứ 2 ta lại bắt đầu đếm từ ngón cái là:9,10,11,12,13 cứ như thế cho tới 100 Ta xét xem phải đếm tất cả bao nhiêu lân vì lân đầu là 5 các lần sau là 4 nên ta phải tách (100-5)= 95 mỗi lần

là 4 vây ta sẽ phải đếm (95:4) = 23 lần và dư 3 như vậy đẻ đếm đến 100 ta phải đếm tất cả

là 24 lần và thêm 3 số lần đếm dc là chẵn=> ta bắt đầu từ ngón cái ngón cái sẽ là 97 ,100

sẽ là ngón nhẫn