ĐỀ TÀI : TÌM LỜI GIẢI, KHAI THÁC VÀ MỞ RỘNG MỘT VÀI DẠNG TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CÓ ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC A/- ĐẶT VẤN ĐỀ: 1.. Lý do chọn đề tài: - Khi gặp bài toán dạng chứng minh b
Trang 1ĐỀ TÀI : TÌM LỜI GIẢI, KHAI THÁC VÀ MỞ RỘNG MỘT VÀI DẠNG TOÁN
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CÓ ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
A/- ĐẶT VẤN ĐỀ:
1 Lý do chọn đề tài:
- Khi gặp bài toán dạng chứng minh bất đẳng thức với điều kiện ràng buộc cho trước đa số HS lớp 8, 9, kể cả những HS khá giỏi cũng đều gặp lúng túng và khó khăn trong việc tìm lời giải, đặc biệt những dạng toán này thường gặp trong các kì thi HSG lớp 8, lớp 9 và thi vào trường chuyên lớp chọn bậc THPT, vì vậy điều khiển cho HS tìm lời giải gọn và đẹp, đồng thời khai thác và mở rộng bài toán là điều hết sức quan trọng cho các em
- Qua thực tiển giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi tôi đã đưa vào áp dụng và thấy được hiệu quả rất tốt
2 Mục đích nghiên cứu:
- Tìm lời giải, khai thác và mở rộng một vài dạng toán chứng minh bất đẳng thức có điều kiện cho trước nhằm tạo tính hứng thú cho các em học sinh khá và giỏi ở bậc THCS
để từ đó các em không bị lúng túng khi gặp dạng toán này
3 Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Đề ra phương pháp giải một vài dạng toán chứng minh bất đẳng thức có điều kiện ràng buộc ở bậc THCS theo hướng phát hiện và giải quyết vấn đề
4 Giả thuyết khoa học:
- Nếu vận dụng tốt phương pháp dạy học giải quyết vấn đề vào việc phát hiện, tìm lời giải một số dạng toán chứng minh bất đẳng thức có điều kiện ràng buộc sẽ góp phần phát huy tính tích cực, độc lập sáng tạo, hình thành cho học sinh năng lực tự giải quyết vấn đề, nâng cao chất lượng dạy và học toán
5 Phương pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu SGK, toán tuổi thơ, thế giới trong ta, báo tài liệu liên quan,…
- Điều tra tổng kết kinh nghiệm
- Thực nghiệm sư phạm
Trang 2B/- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
VÍ DỤ 1:
BÀI TOÁN 1.1:
Chứng minh rằng nếu a + b ≥ 1 thì a2 + b2
2
1
≥
LỜI GIẢI:
(a2 + b2
2
1
2
1 2
1 )
4
1 (
) 4
1 (
2 2
2
− +
−
= +
− + +
a
Mà 1 −a−b≤ 0 ( vì a + b ≥ 1) Do đó a 2 + b 2 0
2
1
≥
− => a 2 + b 2
2
1
≥
Bài toán trên có thể mở rộng như sau:
BÀI TOÁN 1.2:
Chứng minh rằng nếu :
a + b +c ≥ 1 thì a2 + b2 + c2
4
1
≥
( Bài giải cho bài toán này cũng tương tự như lời giải bài toán 1)
LỜI GIẢI:
Ta có: (a2 + b2 + c2
4
1
− ) + (1- a - b - c) = =
0 2
1 2
1 2
1 4
1 (
) 4
1 (
) 4
1 (
2 2
2 2
2
− +
− +
−
= +
− + +
− + +
a
Mà 1 −a−b−c≤ 0 ( vì a + b+c ≥ 1)
Do đó a 2 + b 2 + c 2 0
4
1
≥
− => a 2 + b 2 + c 2
4
1
Có thể mở rộng thêm bài toán mới có cách giải tương tự như sau:
BÀI TOÁN 1.3: Cho a + b + c + d = 2 Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ 1
LỜI GIẢI:
Trang 3Ta có: (a2 + b2 + c2+ d2 - 1) + (2- a - b – c - d) = =
0 2
1 2
1 2
1 2
1 )
4
1 (
) 4
1 (
) 4
1 (
)
4
1
(
2 2
2 2
2 2
2
− +
− +
− +
−
=
−
− + +
− + +
− +
+
a
Mà 1 −a−b−c−d = 0 ( vì a + b+c+d = 1)
Do đó a 2 + b 2 + c 2 +d2 − 1 ≥ 0 => a 2 + b 2 + c 2 +d 2 ≥ 1 (Đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d =
2 1
Phương pháp giải trên cũng có thể áp dụng gọn gàng và hiệu quả cho bài toán sau:
BÀI TOÁN 1.4:
a - b = 1 với a2 + b2
2
1
≥ ( Đề thi HSG lớp 8 Huyện Đức Thọ năm học 2006 – 2007)
LỜI GIẢI:
(a2 + b2
2
1
2
1 2
1 )
4
1 (
) 4
1 (
2 2
2
+ +
−
= + + + +
a
Mà 1 −a+b= 0 ( vì a - b = 1) Do đó a 2 + b 2 0
2
1 ≥
− => a 2 + b 2
2
1
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a =
2
1
; b = -
2 1
VÍ DỤ 2:
BÀI TOÁN 2.1: Chứng minh rằng nếu a+b≥ 2 thì a4 +b4 ≥ a 3 + b 3
(Đề thi HSG toán 9, quận 1, TP HCM,2001 – 2002)
LỜI GIẢI:
Ta có: (a 4 +b 4 – a 3 – b 3 ) + ( 2- a- b) = a 4 – a 3 – a + 1 + b 4 – b 3 – b + 1=
= a 3 (a-1) – (a-1) + b 3 (b-1) – (b-1) = (a- 1)(a 3 -1) +(b- 1)(b 3 -1) =
= (a- 1) 2 (a 2 + a + 1) +(b- 1) 2 (b 2 + b + 1) = (a – 1) 2
+
+
4
3 2
1 2
a
+
+
4
3 2
1 2
b
0
≥
Mà 2 – a – b ≤ 0( vì a+b≥ 2) Do đó a4 +b4- a3 – b3 ≥ 0 => a4 +b4 ≥ a 3 + b 3
BÀI TOÁN 2.2:: Chứng minh rằng nếu: a+b+c≥ 3 thì a 3 + b 3 +c 3 ≤a4 +b4+c 4
(Đề thi chọn đội tuyển HSG 9 Trường THCS Lê Quý Đôn, Quận 3,
Trang 4TP HCM, 2005 – 2006)
LỜI GIẢI:
Ta có: (a 4 +b 4 + c 4 – a 3 – b 3 – c 3 ) + ( 3 – a - b – c ) =
a 4 – a 3 – a + 1 + b 4 – b 3 – b + 1 + c 4 – c 3 – c + 1 =
= a 3 (a-1) – (a-1) + b 3 (b-1) – (b-1) + c 3 (c-1) – (c-1) =
=(a- 1)(a 3 -1) +(b- 1)(b 3 -1) +(c- 1)(c 3 -1) =
= (a- 1) 2 (a 2 + a + 1) +(b- 1) 2 (b 2 + b + 1) + (c- 1) 2 (c 2 + c + 1)=
+
+
4
3 2
1 2
a
+
+
4
3 2
1 2
b
+
+
4
3 2
1 2
c
0
≥
Mà 2 – a – b - c ≤ 0( vì a+b+ ≥ 3) Do đó a4 +b4+c 4 - a 3 – b 3 - c 3 ≥ 0
=> a 3 + b 3 +c 3≤a4 +b4+c 4 (Đpcm)
Khai thác và mở rộng từ bài toán trên, ta được bài toán tổng quát sau:
BÀI TOÁN 2.3
Cho k số a 1; a2; ; ak có a1+ a2+ + ak ≥ k
CMR: a1 4 + a2 4 + + ak 4 ≥ a1 3 + a2 3 + + ak 3
Việc chứng minh bài toán trên ta cũng áp dụng phương pháp trình bày như các bài toán
cụ thể trên:
LỜI GIẢI :
Ta có: a 1 4 +a2 4 +…+ ak 4 - a1 3 - a2 3 - ….- ak 3 + ( k – a1 - a2 –… - ak ) =
(a14 – a13 – a1 +1) +(a2 4 – a23 – a2 +1 )+…+( a k 4 – a k 3 – ak +1) = a13 (a1 - 1) – (a1 - 1) + a23 (a2-1) – (a2-1) +…+ a k 3 (ak-1) – (ak-1) =
=(a1- 1)(a13 -1) +(a2- 1)(a23 -1) +…+(ak- 1)(ak 3 -1) =
= (a1- 1) 2 (a1 2 + a1 + 1) +(a2- 1) 2 (a2 2 + a2 + 1) +…+ (ak- 1) 2 (ak 2 + ak + 1) =
+
+
4
3 2
1 2
1
a
+
+
4
3 2
1 2
2
a
+
+
4
3 2
1 2
k
a
0
≥
Trang 5Do đó a1 4 +a2 4 +…+ ak 4 - a1 3 - a2 3 - …- ak 3 ≥ 0
Suy ra: a1 4 + a2 4 + + ak 4 ≥ a1 3 + a2 3 + + ak 3 (Đpcm)
Từ bài toán 2.3 ta có thể đề xuất và mở rộng thêm bài toán sau:
BÀI TOÁN 2.4
Cho k số dương a 1; a2; ; ak có a1+ a2+ + ak ≥ k
CMR: a 1 n + a2 n + + ak n ≥ a1 m + a2 m + + ak m (*) ∀m ; n ∈ N ; n > m.
LỜI GIẢI
Vì n > m Giả sử a m = a n-1 , theo điều kiện của bài toán ta sẽ chứng minh:
a1 n + a2 n + + ak n ≥ a1 n-1 + a2 n-1 + + ak n-1 ∀m ; n ∈ N
Ta có: a1 n + a2 n + + ak n - a1 n-1 - a2 n-1 - - ak n-1 +k – a1 – a2 - …- ak =
=(a1 n – a1 n-1 - a1 +1) +(a2 n – a2 n-1 - a2 +1)+…+ (ak n – ak n-1 - ak +1) =
= (a1-1) (a1 n-1 - 1) +(a2-1) (a2 n-1 - 1)+….+ (ak-1) (ak n-1 - 1) =
=(a1-1) 2 (a1 n-2 +a1 n-3 +…+ 1) +(a2-1) 2 (a2 n-2 +a2 n-3 +….+1) +….+
+ (ak-1) 2 (ak n-2 +ak n-3 +…+ 1) ≥ 0 (**)
Do n− 1 − 1 = 0
i
0 1
3 1
2
1n− +a n− + + =
Vậy 3 1 0
1
2
1n− +a n− + + >
Nên (**) đúng ⇒ (*) đúng.
Trong bài toán 2.4 nếu bỏ điều kiện ai dương( i =1;2;3;…;k), ta có bài toán sau:
BÀI TOÁN 2.5: Cho k số a 1; a2; ; ak có a1 + a2+ + ak ≥ k
k
n n n
k
n
1
2 2
1
2 1
2
+ + + ≥ − + − + + − ∀ ∈n N*(***) Việc chứng minh bài toán 2.5 hoàn toàn tương tự giống như bài toán 2.4
LỜI GIẢI
Trang 6Ta có: a 1 2n + a2 2n + + ak 2n - a1 2n-1 - a2 2n-1 - - ak 2n-1 +k – a1 – a2 - …- ak =
=(a1 2n – a1 2n-1 - a1 +1) +(a2 2n – a2 2n-1 - a2 +1)+…+ (ak 2n – ak 2n-1 - ak +1) =
= (a1-1) (a1 2n-1 - 1) +(a2-1) (a2 2n-1 - 1)+….+ (ak-1) (ak 2n-1 - 1) =
=(a1-1) 2 (a1 2n-2 +a1 2n-3 +…+ 1) +(a2-1) 2 (a2 2n-2 +a2 2n-3 +….+1) +….+
+ (ak-1) 2 (ak 2n-2 +ak 2n-3 +…+ 1) ≥ 0 (****)
Do 2n− 1 − 1 = 0
i
0 1
3 2 2
2 − + n− + + =
i
n
i a
Vậy 2 − 2 + 2n− 3 + + 1 > 0
i
n
i a
Nên (****) đúng ⇒ (***) đúng.
C/- MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ GIẢI:
1 Cho a + b + c + d +e = 2 Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 + d 2 +e 2
4
3
≥
2 Cho a 1 + a2 + a3 +a4 +a5 +a6 +a7+a8 = 3 Chứng minh rằng
Cho a1 2 + a2 2 + a3 2 +a4 2 +a5 2 +a6 2 +a7 2 +a8 2 ≥ 1
3 Cho a + b + c + d + e = 5 chứng minh rằng:
a 4 + b 4 + c 4 + d 4 + e 4 ≥ a 3 + b 3 + c 3 + d 3 + e 3 ( Đề thi HSG Huyện Vũ Quang năm học 2003 – 2004)
4 Cho x, y là các số dương thoã mãn: x 3 + y 4 ≤x2 + y3
Chứng minh rằng: a) x 3 + y 3 ≤ x2 +y2
b) x 2 + y 3 ≤x + y2
5 Cho hai số dương x, y thoã mãn x 3 + y 3 = x – y Chứng minh rằng: x 2 + y 2 < 1
D/- KẾT LUẬN :
Trang 7- Trên đây chỉ là một vài dạng toán chứng minh bất đẳng thức với điều kiện ràng buộc cho trước thường gặp trong các kì thi HSG lớp 8, 9 và các kì thi tuyển vào trường chuyên lớp chọn THPT
- Song khi tiếp cận tuỳ thuộc vào từng dạng toán mà GV phải hướng dẩn đồng thời khai thác và mở rộng để các em học sinh tiếp thu một cách chủ động, sáng tạo và biết
vận dụng linh hoạt vào các kì thi (nếu gặp)
- Trong quá trình vận dụng vào giảng dạy, tôi thấy học sinh phần lớn nắm được bài, tự tin hơn khi gặp dạng toán nêu trên và vận dụng vào giải một cách nhanh chóng, hiệu quả được nâng lên rõ rệt
- Trong bài viết này chỉ là một phần nhỏ trong nhiều dạng toán chứng minh bất đẳng thức với điều kiện ràng buộc cho trước, không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong các đồng nghiệp góp ý và xây dựng để khai thác và mở rộng một cách chuyên sâu và tổng quát hơn nhằm giúp cho các em học sinh thấu hiểu một cách sâu sắc Tôi xin chân thành cảm ơn./