skkn KHAI THÁC và mở RỘNG kết QUẢ của một số bài TOÁN

S GIO DC V O TO NG NAI TRNG THPT SễNG RAY * _ oo0oo * Mó s: SNG KIN KHAI THC V M RNG KT QU CA MT S BI TON Ngi thc hin: Ngụ Vn V Lnh vc nghiờn cu: Qun lớ giỏo dc: x Phng phỏp dy hc b mụn: Phng phỏp giỏo dc: Lnh vc khỏc: Cú ớnh kốm: Mụ hỡnh Phn mm Phim nh Nm hc: 2016 - 2017 Hin vt S LC L LCH KHOA HC I THễNG TIN CHUNG V C NHN: H v tờn: NGễ VN V Ngy, thỏng, nm sinh: Ngy 21 thỏng 03 nm 1983 Nam, n: Nam a ch: T 7, p 8, xó Xuõn Tõy, huyn Cm M, tnh ng Nai in thoi: 01688619613 Fax: Khụng cú Chc v: Giỏo viờn, Phú Bớ th on trng n v cụng tỏc: Trng THPT Sụng Ray Cm M II TRèNH O TO: - Hc v (Hoc trỡnh chuyờn mụn nghip v cao nht): C nhõn s phm - Nm nhn bng: 2008 - Chuyờn ngnh o to: S phm Toỏn hc III KINH NGHIM KHOA HC: - Lnh vc chuyờn mụn cú kinh nghim: Ging dy cỏc ni dung chuyờn ngnh - S nm cú kinh nghim: nm - Cỏc sỏng kin kinh nghim ó cú nm gn õy: 01(Khai thỏc v m rng kt qu ca mt s bi toỏn) Cm M, ngy 25 thỏng 05 nm 2017 Ngi kờ khai Ngụ Vn V Tờn sỏng kin: KHAI THC V M RNG KT QU CA MT S BI TON (Chng minh mt nh lớ Fermat - Euler) I Lí DO CHN TI S hc l mt mnh t khụ cn ca toỏn hc, mt lnh vc ớt c hc sinh u thớch Bi l, b mụn ny h thng cụng c cũn rt thụ s v hn ch ng dng ca nú vo i thng rt ớt Tuy nhiờn, s hc mang mt v p kỡ diu v mt t logic Nhm to ngun t liu, cng nh gúp phn b sung h thng tớnh cht s hc(trng thờm hoa trờn mónh t khụ cn ú) giỳp hc sinh hiu thờm v s hc núi chung, cú thờm tỡnh yờu i vi toỏn hc Rốn luyn c t logic nh lớ Fermat Euler rt ni ting, c ụng o cỏc nh lm toỏn quan tõm Nú c ng dng gii cỏc bi toỏn tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh nh lớ l mt cụng c kh dng i vi hc sinh ph thụng, nht l hc sinh i tuyn hc sinh gii Vỡ th vic tỡm hiu v tỡm thờm ng khỏc chng minh c nh lớ l vic lm rt cú ý ngha; thụng qua ú hc sinh cú cỏi nhỡn a chiu v tớch cc hn vic hc II C S Lí LUN V THC TIN V c s lý lun: Xin trớch dn bi bỏo ca ụng V.Tikhomirov thy Trn Nam Dng dch t Kvant bn dch nm 1995 Ni dung m u bi bỏo: nh lý Fermat-Euler v tng hai bỡnh phng V.Tikhomirov nh lý: iu kin cn v mt s nguyờn t cú th biu din c di dng tng ca hai bỡnh phng l s d phộp chia s y cho bng ụi chỳt v lch s nh lý Ai l ngi u tiờn phỏt hin iu ny, v no? Vo dp Noel nm 1640 (trong th ngy 25.12.1640) nh toỏn hc v i Pier Fermat (1601-1665) ó thụng bỏo cho Mersenne, bn thõn ca Descartes v l liờn lc viờn chớnh ca cỏc nh bỏc hc ng thi rng Mi s nguyờn t cú s d phộp chia cho bng u cú th biu din mt cỏch nht di dng tng ca hai bỡnh phng Thi ú cha cú cỏc toỏn hc, tin tc c trao i qua cỏc lỏ th v cỏc kt qu thụng thng ch c thụng bỏo m khụng kốm theo chng minh Thc thỡ sau gn 20 nm sau bc th ú, bc th gi cho Carcavi, c gi vo thỏng nm 1659, Fermat ó tit l ý tng ca phộp chng minh nh lý trờn ễng vit rng ý tng chớnh ca phộp chng minh l dựng phng phỏp xung thang, cho phộp t gi thit rng nh lý khụng ỳng vi p = 4k+1, suy nú khụng ỳng vi mt s nh hn cui cựng ta s i n s 5, m ú rừ rng l mõu thun Nhng cỏch chng minh u tiờn c Euler (1707-1783) tỡm khong 1742-1747 Hn na, t rừ v trớ ca Fermat, ngi m ụng ht sc kớnh trng, Euler ó tỡm phộp chng minh da theo ỳng ý tng trờn õy ca Fermat Vỡ vy, ta gi nh lý ny l nh lý Fermat-Euler V c s thc tin: T cỏch chng minh nh lớ Fermat ca Euler v ca cỏc nh toỏn hc khỏc hc sinh hiu thờm v nh lớ ú Tuy nhiờn, cỏc cỏch chng minh trờn cha a c mt thut toỏn tỡm c nghim nguyờn ca phng trỡnh x + y = p Vic tỡm c nghim ca phng trỡnh trờn vi p l s nguyờn t cho trc l mt bi toỏn khú i vi hc sinh sỏng kin kinh nghim ca tụi vit nm 2014 ó cú cp ny, nhiờn nú cha c gii quyt trit Nay tụi vit sỏng kin kinh nghim ny nhm giỳp gii ỏp bi toỏn m hc sinh ca tụi cũn vng mc quỏ trỡnh hc b mụn s hc III T CHC THC HIN CC GII PHP Gii thiu vi bn c cỏc cỏch chng minh nh lớ ny ca cỏc nh toỏn hc Lagrange, D.Tsagir v Minkowsky(t bn dch ca thy Trn Nam Dng): Cỏch chng minh ca Lagrange Cỏch chng minh ny (cú thay i ụi chỳt) hin c trỡnh by hu ht cỏc cun sỏch v lý thuyt s Nú da trờn b Wilson (1741-1793): nu p l s nguyờn t thỡ s (p-1)! + chia ht cho p khụng quỏ i sõu vo chng minh kt qu ph ny, ta ch tng minh ý tng chớnh ca phộp chng minh trờn vớ d s 13 Vi mi s nm gia v 11 (k c nhng s ny), ta tỡm mt s m tớch ca chỳng chia 13 cho d 1: (13-1)! = 12! = (2.7).(3.9) (4.10).(5.8).(6.11).12 (2.7 = 14 = 13 + 1, 3.9 = 27 = 13.2 + 1, 4.10 = 40 = 13.3 + 1, 6.11 = 66 = 13.5 + 1) T nhng ng thc ó vit suy rng s 12! Khi chia 13 s d 12, ngha l 12! + chia ht cho 13 Trng hp tng quỏt cng cú th c chng minh tng t nh vy T b Wilson, ta rỳt h qu sau: nu p = 4n + l s nguyờn t thỡ ((2n)!)2 + chia ht cho p Tht vy, bi vỡ (b Wilson) (4n)! + chia ht cho p, bng nhng phộp bin i c bn, ta thu c (4n)! + = 1.22n.(2n+1)(4n) + = 1.22n.(p-2n)(p-2n+1)(p-1) + = (2n)!(-1)2n(2n)! + pk + ((2n)!)2 + (mod p) t ú suy pcm t N = (2n)! Nh vy ta ó chng minh rng N - (mod p) Bõy gi ta s phi vt qua khú khn chớnh Xột tt c cỏc cp s nguyờn (m; s) cho m, s [ p ] ( [ p ] - phn nguyờn ca p ) S cỏc cp s nh vy bng ( [ p ] +1)2 > p Nh vy vi ớt nht hai cp s (m1; s1) v (m2; s2), s d phộp chia m1 + Ns1 v m2 + Ns2 cho p s ging nhau, ngha l s a + Nb, ú a = m m2, b = s1 s2 s chia ht cho p Nhng ú, a2 N2b2 = (a + Nb)(a-Nb) chia ht cho p, v, ngha l, chỳ ý rng N2 -1 (mod p) ta thu c a2 + b2 chia ht cho p, ngha l a2 + b2 = rp, r nguyờn dng Mt khỏc, a2 + b2 < 2p, ngha l r = v a + b2 = p nh lý c chng minh Chng minh ca D.Tsagir Phộp chng minh ca nh toỏn hc ng i D.Tsagir lm tụi hon ton bt ng: õy l mt iu k diu m kt qu thu c tng chng nh khụng t cỏi gỡ Sau õy l cỏch chng minh ú Ta hóy xột phộp bin i m mi b ba s nguyờn dng (x; y; z) c t tng ng vi ba s (x; y; z) theo quy tc: x = x + 2z, y = z , z = y x z, nu x < y z (1) x = 2y x, y = y, z = x y + z, nu y z x 2y (2) x = x 2y, y = x y + z, z = y cỏc trng hp cũn li (3) Ta ký hiu phộp bin i ny l B: B(x, y, z) = (x, y, z) Rt d dng chng minh rng phộp bin i B gi nguyờn dng x2 + 4yz Ta chng minh iu ny, chng hn cho trng hp (1) Ta cú x2 + 4yz = (x+2z)2 + 4z(y-x-z) = x2 + 4xz + 4z2 + 4zy 4zx 4z2 = x2 + 4yz Trong cỏc trng hp cũn li, vic kim tra cng n gin nh vy Cú ngha l nu nh i vi mt s p no ú ta cú ng thc x + 4yz = p, thỡ ng thc ny cng gi nguyờn sau phộp bin i B Ta kim chng rng phộp bin i B l xon, cú ngha l nu ỏp dng B hai ln, chỳng ta s quay tr li vớ trớ ban u Ta li lm iu ny cho (1) Vi x < y z, ú x = 2z + x, y = z, z = y z x, t ú x + x + 2z > 2z = 2y v ngha l phi tớnh B(x,y,z) theo cụng thc (3): x = x 2y = x+2z 2z = x; y = x y + z = x+2z z + y x z = y; z = y = z Cỏc trng hp khỏc cng tng t Bõy gi ta gi s rng p l s nguyờn t dng 4n + Khi ú, th nht, phng trỡnh x2 + 4yz = p cú ớt nht hai nghim: x = 1, y = n, z = v x = y = 1, z = n V, th hai, phng trỡnh ny cú hu hn nghim (nguyờn dng!) Nu nh gi s rng cỏc nghim ca phng trỡnh ny khụng cú nghim m y = z (nu nh cú nghim nh vy thỡ nh lý c chng minh: p = x + (2y)2), ta thu c rng phộp bin i B chia tt c cỏc nghim thnh cỏc cp ((x, y, z), B(x, y, z)), nu nh, tt nhiờn (x, y, z) B(x, y, z) Ta th tỡm xem, cú nhng cp nh vy khụng, hay, nh ngi ta thng núi, tn ti chng nhng im bt ng ca phộp bin i B Nu nhỡn vo cỏc cụng thc (1) (3) ta s d dng nhn thy rng nhng im bt ng ca B l nhng im m x = y Nhng x = y > thỡ phng trỡnh x2 + 4yz = p khụng cú nghim (vỡ p khụng chia ht cho y) Ngha l ch cú im bt ng nht (1, 1, n) T tt c cỏc lý lun trờn ta suy rng s nghim ca phng trỡnh x2 + 4yz = p l s l: cú mt im bt ng (1, 1, n), cũn tt c cỏc nghim khỏc c chia thnh tng cp Nhng, ta li cú mt phộp bin i na, ta ký hiu l J J thay i ch y v z: J(x, y, z) = (x, z, y) Phộp bin i ny, tt nhiờn, cng gi nguyờn dng x + 4yz v cng xon Ta th xem, nhng b ba s no (trong nhng nghim ca phng trỡnh x2 + 4yz = p) c J gi nguyờn, tc l nhng b (x, y, z) cho J(x, y, z) = (x, y, z) Ta ó gi s t trc l y z Nhng ú thỡ khụng th cú im bt ng! Ngha l tt c cỏc nghim c chia thnh tng cp Nh vy s cỏc nghim l chn Nhng ta va khng nh rng s nghim l l Mõu thun Ngha l, chc chn phi tn ti nghim ca phng trỡnh x + 4yz = p m y = z, nh th p l tng ca hai bỡnh phng nh lý c chng minh Cỏch chng minh th ba Cỏc chng minh cựa Minkowsky, c sa i ụi chỳt, m chỳng ta s núi n õy, s cũn lm chỳng ta ngc nhiờn gp bi ỏng tic l cỏch chng minh ny khụng s cp lm, c th l, ta cn bit th no l ellipse v cụng thc tớnh din tớch ca ellipse Tt c bt u t mt kt qu ca Minkowsky m tng chng nhng khụng cú liờn h gỡ vi nh lý Fermat-Euler nh lý: Cho a, b, v c l cỏc s nguyờn a > v ac b = Khi ú phng trỡnh ax2 + 2bxy + cy2 = cú nghim nguyờn Chng minh: Ta xột h to Descartes vuụng gúc v cho trờn ú tớch vụ hng bng cụng thc ((x, y), (x, y)) = axx + bxy + bxy + cyy Tớch vụ hng ny cho ta khang cỏch t gc to n im (x, y) d((0, 0), (x, y)) = (( x, y ), ( x, y )) = ax + 2bxy + cy Ta tỡm khang cỏch ngn nht t gc to n mt im khỏc (0, 0) no ú ca li nguyờn (m, n) (m v n l nhng s nguyờn) Ta gi khang cỏch ny l d* v t ti im (m*, n*), nh th am*2 + 2bm*n* + cn*2 = d*2 (4) Tp hp nhng im (x, y) ca mt phng tho bt ng thc ax2 + 2bxy + cy2 d*2 l mt ellipse T cỏch xõy dng ca ta suy rng nu v t ellipse ny theo t s 1/2 ri a ellipse co ny n cỏc tõm nm trờn cỏc im nguyờn (tnh tin) thỡ tt c cỏc ellipse thu c nu cú ct thỡ ch ct theo nhng im biờn D dng thy rng din tớch phn giao ca cỏc ellipse vi tam giỏc cú nh (0, 0), (1, 0) v (1, 1) bng na din tớch ca ton ellipse M din tớch ny thỡ bng a b (d *) (d *) (d *) = det (ac b ) = (ac b ) b c 4 (ch khụng s cp nht!) Nh vy, din tớch phn m cỏc ellipse chim tam giỏc bng d*2/8 v õy ch l mt phn ca din tớch tam giỏc, bng 1/2, ngha l d*2/8 < ẵ => d*2 < 4/ Nhng d*2 l s nguyờn dng Ngha l d*2 = v t ú d* = 1! nh lý Minkowsky c chng minh Nhng kt qu tuyt vi ny thỡ cú liờn quan gỡ n nh lý Fermat-Euler? Liờn quan trc tip y! p ! chia ht cho p, p ! v ỳng khụng? Bõy gi ỏp dng nh lý Minkowsky cho cỏc s a = p, b = Ta bit t b Wilson rng s b2 + 1, ú b = c = (b2+1)/a Ta thu c rng tn ti nhng s nguyờn m v n cho = am2 + 2bmn + cn2 t ú a = a2m2 + 2abmn + (b2+1)n2 = (am + bn)2 + n2 Nh th (nh li rng a = p) p = (am + bn) + n2 ngha l p l tng ca hai bỡnh phng V mt ln na nh lý c chng minh (Trn Nam Dng dch t Kvant bn dch nm 1995) Tụi xin cm n thy Trn Nam Dng ó chia s bn dch ca Kvant Tụi cng th sc mỡnh bng cỏch chng minh nh sau: nh lý: iu kin cn v mt s nguyờn t cú th biu din c di dng tng ca hai bỡnh phng l s d phộp chia s y cho bng 2 B Tỡm s nguyờn t p cho phng trỡnh x + y ( mod p ) cú nghim x, y Ơ v ( x, y) = Ta gii b Xột cỏc trng hp sau: Trng hp 1: p = Khi ú vi x, y l hai s l nguyờn t cựng thỡ ( x, y) l nghim ca phng trỡnh Vy p = tha Trng hp 2: p l s nguyờn t cú dng 4n + Khi ú, theo bi toỏn Ta cú: x + y 0(mod p) x y 0(mod p) Suy khụng cú hai s nguyờn t cựng x, y tha yờu cu bi toỏn Vy p = 4n + khụng tha Trng hp 3: p l s nguyờn t cú dng 4n + Theo nh lý Wilson: Cho p l mt s nguyờn t bt k, ta cú: ( p 1)!+ 1Mp Mt khỏc, ta cú : p i i(mod p) v Suy p 4n + = = 2n chn 2 : ( p 1)!+ 1.2 p p p (2).(1) +1 ữ ữ! + 1(mod p) p p !,1ữ l mt nghim ca phng trỡnh ! + ( mod p ) ữ x + y ( mod p ) Vy vi p = 4n + thỡ phng trỡnh x + y 0(mod p) cú nghim ( x, y ) tha iu kin x, y Ơ ,( x, y ) = B 2: Cho m v n l hai s nguyờn dng chn, u v v l hai s nguyờn dng l cho m2 n = u v > Khi ú (m2 + v ) l hp s Tụi ó chng minh c bi toỏn ú nh sau: Ta cú: m2 n2 = u v (m n).(m + n) = (u v).(u + v) t: a = m n, b = m + n, x = u v, y = u + v Khi ú a.b = x y t: k = ( a, x ) a = k a1 , x = k x1 vi a1 , x1 Ơ * , (a1 , x1 ) = Vỡ a.b = x y nờn k.a1.b = k x1 y a1.b = x1 y y Ma1 y = l.a1 (l Ơ *) a1.b = x.a1.l b = x1.l Vỡ m, n l s chn a = m n v b = m + n l s chn u, v l s l x = u v v y = u + v l s chn m= x+ y , yx a +b , a b , u= v= n= 2 2 a+b y x m +v = + = (a + b2 + 2a.b + x + y x y ) ữ ữ 2 2 = (a + b2 + x + y ) (vỡ a.b = x y ) 1 = (k a + l x12 + k x12 + l a12 ) = (k + l )(a12 + x12 ) 4 Vỡ k = ( a, x ) k l s chn v l = ( b, y ) l l s chn k l nờn m2 + v = ữ + ữ ( a12 + x12 ) Suy m2 + v l hp s B c chng minh xong 2 Chng minh phng trỡnh x2 + y = p cú nghim nguyờn Gi s (x, y) l mt nghim ca phng trỡnh x + y 0(mod p) v x + y > p Khi ú, nu ta ch c dóy cỏc nghim ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), , ( xk , yk ), tha iu kin: x + y > x12 + y12 > x2 + y2 > > xk + yk > vi xi , yi Ơ , i = 1, , k thỡ tn ti cp ( xn , yn ) cho xn + yn = p Xột cỏc trng hp sau: Nu x, y cựng chn v d = ( x, y ) thỡ , ữcng l nghim d d x y Chn ( x1 , y1 ) = , ữ d d x y x y x y ữ + d d ữ d d , Nu x, y cựng l v d = ( x, y ) thỡ l nghim ữ ữ x y x y ữ + d d ữ d d , Chn ( x1 , y1 ) = ữ ữ Nu x, y khụng cựng tớnh chn l thỡ: Vỡ x + y Mp nờn x + y l 2 x + y > p hp s Theo b 2, ta cú (u , v) tha x + y = u + v Trong tt c cỏc cp (u, v) tha iu kin, ta chn cp (u, v) cho u v l nh nht p = k.u + x1 Khi ú, t: p = k.v + y1 k l s ln nht cho x1 < u , gi s u > v 2 x1 = p k u x1 = p ( p 2k u ) + ku Kki ú: x1 + y1 0(mod p ) vỡ y1 = p k v y1 = p ( p 2k v ) + kv 2 x12 + y12 = p [ p 2k (u + v) ] + k (u + v ) Tc l ( x1 , y1 ) l nghim ca phng trỡnh trờn Ta thy: x12 + y12 < u + v = x + y Tng t nh th ta tỡm c ( x2 , y2 ), ( x3 , y3 ), Nhn xột: Nu xn < p , yn < p v xn + yn Mp thỡ xn + yn = p Bi toỏn c chng minh xong Xột bi toỏn: Gii phng trỡnh x + y = p trờn s t nhiờn Vớ d Vi p=29 Khi ú theo b ta cú: (12,1) l mt nghim ca phng trỡnh x + y 0(mod 29) (*) v (9, 8) tha: 122 + 12 = 92 + 82 , = (nh nht) Ta cú: 29 = 3.9 + 2, 29 = 3.8 + suy (5,2) cng l nghim ca (*) M 52 + 22 = 29 Vy phng trỡnh cú nghim l (5; 2) v (2; 5) Vớ d Vi p = 37 Khi ú (31,1) l nghim ca phng trỡnh 31 + 31 , = ( 16,15 ) cng l nghim ca phng trỡnh (*) , x + y 0(mod 37) (*) ữ 2 hn na ca phng trỡnh 16 15 = (nh nht ) Ta cú: 37 = 2.16 + 5, 37 = 2.15 + (7,5) cng l nghim ca phng 7+5 75 , trỡnh (*) , v + 52 = 74 Vỡ hai s v cựng l nờn ữ = ( 6,1) cng l nghim ca (*) M 62 + 12 = 37 Vy phng trỡnh cú nghim l (6; 1) v (1; 6) Vớ d Cho p = 293 Khi ú:(138,1) l nghim ca phng trỡnh x + y 0(mod 293) (*) Vic tỡm cp (u,v) tha 1382 + 12 = u + v cho u v nh nht gp khú khn Tuy nhiờn ta cú th thay nghim (138,1) bi nghim (155,1) (Chỳ ý: Nu (x, y) l nghim thỡ (p - x, y) cng l nghim) Vỡ 155 v u l s l nờn (78, 77) l nghim v 78 77 = (nh nht) Ta cú: 293 = 3.78 + 59, 293 = 3.77 + 62 suy (59, 62) cng l nghim v 59 + 62 = 7325 < 1552 + 12 = 24026 Ta cú: 293 = 4.62 + 45, 293 = 4.45 + 57 suy (45, 57) cng l nghim v 452 + 57 = 5274 < 592 + 62 = 7325 57 + 45 57 45 , ữ = ( 51, ) cng l nghim ca (*) Vỡ 51 v cựng chia ht cho nờn (17, 2) cng l nghim ca (*) Vỡ hai s 45 v 57 cựng l nờn M 17 + 22 = 293 Vy phng trỡnh cú nghim l (17; 2) v (2; 17) IV HIU QU CA SNG KIN Ngoi vic chng minh c nh lớ bng mt cỏch khỏc(cú s k tha mt s ý tng ca Euler) sỏng kin ny ch c mt cỏch tỡm c nghim nguyờn ca phng trỡnh x + y = p , cỏch lm ny ca tụi giỳp hc sinh d tip cn nh lớ To cụng c c lc hc sinh tỡm hiu v gii cỏc phng trỡnh nghim nguyờn khỏc V XUT, KHUYN NGH KH NNG P DNG i tng hng n ca ti l cỏc em hc sinh yờu thớch toỏn hc, nhng hc sinh cỏc i tuyn hc sinh gii toỏn Tụi hy vng qua bi vit ny hc sinh cú thờm tỡnh yờu, ng lc khai thỏc v m rng thờm cỏc kt qu ca nhng bi toỏn ó cú Giỳp cho nn toỏn hc ca nc nh ngy mt phỏt trin VI DANH MC TI LIU THAM KHO 1) 40 nm Olympic toỏn hc quc t - PGS.TS V Dng Thy, nh xut bn GD - Nm 2002 2) Tuyn chn cỏc bi thi vụ ch toỏn - PGS.TS Nguyn Vn Lc, nh xut bn HQGHN - Nm 2010 3) S hc - H Huy Khoỏi - nh xut bn GD - Nm 2005 4) S hc - Doón Vn Cng - nh xut bn HSP - Nm 2003 5) Tuyn chn theo chuyờn toỏn hc & tui tr, quyn - nh xut bn GD Nm 2008 6) Chuyờn s hc Ths Nguyn Vn Nho Nh xut bn HQG TP.H Chớ Minh Nm 2005 7) Trang web: www.diendantoanhoc.net Cm M, thỏng nm 2017 Ngi thc hin NGễ VN V S GD&T NG NAI TRNG THPT SễNG RAY CNG HO X HI CH NGHA VIT NAM c lp - T - Hnh phỳc Cm M, ngy 25 thỏng 05 nm 2017 PHIU NH GI, CHM IM, XP LOI SNG KIN KINH NGHIM Nm hc: 2016 - 2017 Tờn sỏng kin kinh nghim: H v tờn tỏc gi: Chc v: n v: H v tờn giỏm kho 1: Chc v: n v: S in thoi ca giỏm kho: * Nhn xột, ỏnh giỏ, cho im v xp loi sỏng kin kinh nghim: Tớnh mi im: ./6,0 Hiu qu im: ./8,0 Kh nng ỏp dng im: ./6,0 Nhn xột khỏc (nu cú): Tng s im: /20 Xp loi: GIM KHO 10 S GD&T NG NAI TRNG THPT SễNG RAY CNG HO X HI CH NGHA VIT NAM c lp - T - Hnh phỳc Cm M, ngy 25 thỏng 05 nm 2017 PHIU NH GI, CHM IM, XP LOI SNG KIN KINH NGHIM Nm hc: 2016 - 2017 Tờn sỏng kin kinh nghim: H v tờn tỏc gi: Chc v: n v: H v tờn giỏm kho 2: Chc v: n v: S in thoi ca giỏm kho: * Nhn xột, ỏnh giỏ, cho im v xp loi sỏng kin kinh nghim: Tớnh mi im: ./6,0 Hiu qu im: ./8,0 Kh nng ỏp dng im: ./6,0 Nhn xột khỏc (nu cú): Tng s im: /20 Xp loi: GIM KHO 11 S GD&T NG NAI TRNG THPT SễNG RAY CNG HO X HI CH NGHA VIT NAM c lp - T - Hnh phỳc Cm M, ngy 25 thỏng 05 nm 2017 PHIU NHN XẫT, NH GI SNG KIN KINH NGHIM Nm hc: 2016 - 2017 Tờn sỏng kin kinh nghim: KHAI THC V M RNG KT QU CA MT S BI TON H v tờn tỏc gi: Ngụ Vn V Chc v: Giỏo Viờn, phú th on trng n v: Trng THPT Sụng Ray Lnh vc: (ỏnh du X vo cỏc ụ tng ng, ghi rừ tờn b mụn hoc lnh vc khỏc) - Qun lý giỏo dc - Phng phỏp dy hc b mụn: - Phng phỏp giỏo dc - Lnh vc khỏc: Sỏng kin kinh nghim ó c trin khai ỏp dng: Ti n v Trong Ngnh Tớnh mi (ỏnh du X vo ụ di õy) - gii phỏp thay th hon ton mi, bo m tớnh khoa hc, ỳng n - gii phỏp thay th mt phn gii phỏp ó cú,bo m tớnh khoa hc, ỳng n - Gii phỏp mi gn õy ó ỏp dng n v khỏc nhng cha tng ỏp dng n v mỡnh, tỏc gi t chc thc hin v cú hiu qu cho n v Hiu qu (ỏnh du X vo ụ di õy) - Gii phỏp thay th hon ton mi, ó c thc hin ton ngnh cú hiu qu cao - Gii phỏp thay th mt phn gii phỏp ó cú, ó c thc hin ton ngnh cú hiu qu cao - Gii phỏp thay th hon ton mi, ó c thc hin ti n v cú hiu qu cao - Gii phỏp thay th mt phn gii phỏp ó cú, ó c thc hin ti n v cú hiu qu - Gii phỏp mi gn õy ó ỏp dng n v khỏc nhng cha tng ỏp dng n v mỡnh, tỏc gi t chc thc hin v cú hiu qu cho n v Kh nng ỏp dng (ỏnh du X vo ụ mi dũng di õy) - Cung cp c cỏc lun c khoa hc cho vic hoch nh ng li, chớnh sỏch: Trong T/Phũng/Ban Trong c quan, n v, c s GD&T Trong ngnh - a cỏc gii phỏp khuyn ngh cú kh nng ng dng thc tin, d thc hin v d i vo cuc sng: Trong T/Phũng/Ban Trong c quan, n v, c s GD&T Trong ngnh - ó c ỏp dng thc t t hiu qu hoc cú kh nng ỏp dng t hiu qu phm vi rng: Trong T/Phũng/Ban Trong c quan, n v, c s GD&T Trong ngnh Xp loi chung: Xut sc Khỏ t Khụng xp loi Cỏ nhõn vit sỏng kin kinh nghim cam kt khụng chộp ti liu ca ngi khỏc hoc chộp li ni dung sỏng kin kinh nghim c ca mỡnh T trng v Th trng n v xỏc nhn sỏng kin kinh nghim ny ó c t chc thc hin ti n v, c Hi ng khoa hc, sỏng kin n v xem xột, ỏnh giỏ, cho im, xp loi theo quy nh Phiu ny c ỏnh du X y cỏc ụ tng ng, cú ký tờn xỏc nhn ca tỏc gi v ngi cú thm quyn, úng du ca n v v úng kốm vo cui mi cun sỏng kin kinh nghim NGI THC HIN SKKN XC NHN CA T CHUYấN MễN 12 TH TRNG N V Ngụ V Phm Vn Tỏnh 13 Cao Th Xuyn ... Cỏc sỏng kin kinh nghim ó cú nm gn õy: 01 (Khai thỏc v m rng kt qu ca mt s bi toỏn) Cm M, ngy 25 thỏng 05 nm 2017 Ngi kờ khai Ngụ Vn V Tờn sỏng kin: KHAI THC V M RNG KT QU CA MT S BI TON (Chng... nhng hc sinh cỏc i tuyn hc sinh gii toỏn Tụi hy vng qua bi vit ny hc sinh cú thờm tỡnh yờu, ng lc khai thỏc v m rng thờm cỏc kt qu ca nhng bi toỏn ó cú Giỳp cho nn toỏn hc ca nc nh ngy mt phỏt trin... 05 nm 2017 PHIU NHN XẫT, NH GI SNG KIN KINH NGHIM Nm hc: 2016 - 2017 Tờn sỏng kin kinh nghim: KHAI THC V M RNG KT QU CA MT S BI TON H v tờn tỏc gi: Ngụ Vn V Chc v: Giỏo Viờn, phú th on trng