SKKN hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài toán hình học 9

Việc bồi dưỡng học sinh học toán không đơn thuần chỉcung cấp cho các em một số kiến thức cơ bản thông qua việc làm bài tập hoặc làmcàng nhiều bài tập khó, hay mà giáo viên phải biết rèn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK PHÒNG GD & ĐT KRÔNG ANA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:

HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC

VÀ PHÁT TRIỂN MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 9

Họ và tên : Nguyễn Anh Tuấn

Đơn vị công tác: Trường THCS Buôn Trấp Trình độ chuyên môn : Đại học sư phạm Môn đào tạo : Toán

Krông Ana, tháng 1 năm 2015

Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

1

I PHẦN MỞ ĐẦU I.1 Lý do chọn đề tài :

- Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên mang tính logíc, tính trừu tượngcao Đặc biệt là với hình học nó giúp cho học sinh khả năng tính toán, suy luận logíc

và phát triển tư duy sáng tạo Việc bồi dưỡng học sinh học toán không đơn thuần chỉcung cấp cho các em một số kiến thức cơ bản thông qua việc làm bài tập hoặc làmcàng nhiều bài tập khó, hay mà giáo viên phải biết rèn luyện khả năng và thói quen suynghĩ tìm tòi lời giải của một bài toán trên cơ sở các kiến thức đã học

- Qua nhiều năm công tác và giảng dạy Toán 9 ở trường THCS Buôn Trấp tôinhận thấy việc học toán nói chung và bồi dưỡng học sinh năng lực học toán nói riêng,muốn học sinh rèn luyện được tư duy sáng tạo trong việc học và giải toán thì việc cầnlàm ở mỗi người thầy, đó là giúp học sinh khai thác đề bài toán để từ một bài toán tachỉ cần thêm bớt một số giả thiết hay kết luận ta sẽ có được bài toán phong phú hơn,vận dụng được nhiều kiến thức đã học nhằm phát huy nội lực trong giải toán nói riêng

và học toán nói chung Vì vậy tôi ra sức tìm tòi, giải và chắt lọc hệ thống lại một sốcác bài tập mà ta có thể khai thác được đề bài để học sinh có thể lĩnh hội được nhiềukiến thức trong cùng một bài toán

- Với mong muốn được góp một phần công sức nhỏ nhoi của mình trong việcbồi dưỡng năng lực học toán cho học sinh hiện nay và cũng nhằm rèn luyện khả năngsáng tạo trong học toán cho học sinh để các em có thể tự phát huy năng lực độc lậpsáng tạo của mình, nhằm góp phần vào công tác chăm lo bồi dưỡng đội ngũ học sinhgiỏi toán của ngành giáo dục Krông Ana ngày một khả quan hơn Tôi xin cung cấp và

trao đổi cùng đồng nghiệp đề tài kinh nghiệm: "Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài toán Hình học lớp 9 " Đề tài này ta có thể bồi dưỡng năng lực học

toán cho học sinh và cũng có thể dùng nó trong việc dạy chủ đề tự chọn toán 9 trong

trường THCS hiện nay Mong quý đồng nghiệp cùng tham khảo và góp ý

I.2 Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài

Đây là đề tài rộng và ẩn chứa nhiều thú vị bất ngờ thể hiện rõ vẻ đẹp của môn Hìnhhọc và đặc biệt nó giúp phát triển rất nhiều tư duy của học sinh, nếu vấn đề này tiếptục được khai thác hàng năm và được sự quan tâm góp ý của các thầy cô thì chắc hẳn

nó sẽ là kinh nghiệm quý dành cho việc dạy học sinh khá giỏi.Vì đây là đề tài rộng nêntrong kinh nghiệm này chỉ trình bày một vài chủ đề của môn Hình lớp 9, chủ yếu làphần đường tròn do chương này gần gũi với học sinh và xuất hiện nhiều trong các kỳthi Chỉ có thể thấy được sự thú vị của những bài toán này trong thực tế giảng dạy,những bài toán cơ bản nhưng cũng có thể làm cho một số học sinh khá lúng túng dochưa nắm phương pháp giải dạng toán này Khi đi sâu tìm tòi những bài toán cơ bản ấykhông những học sinh nắm sâu kiến thức mà còn tìm được vẻ đẹp của môn Hình học

Vẻ đẹp đó được thể hiện qua những cách giải khác nhau, những cách kẻ đường phụ,những ý tưởng mà chỉ có thể ở môn Hình học mới có, làm được như vậy học sinh sẽyêu thích môn Toán hơn Đó là mục đích của bất kì giáo viên dạy ở môn nào cần khêugợi được niềm vui, sự yêu thích của học sinh ở môn học đó Nhưng mục đích lớn nhấttrong việc dạy học là phát triển tư duy của học sinh và hình thành nhân cách cho họcsinh Qua mỗi bài toán học sinh có sự nhìn nhận đánh giá chính xác, sáng tạo và tự tinqua việc giải bài tập Hình đó là phẩm chất của con người mới

I.3 Đối tượng nghiên cứu

Học sinh cấp học THCS chủ yếu là học sinh khối 9 và ôn luyện thi vào 10, thi

vào các trường chuyên, cũng như trong bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi các cấp

I.4 Giới hạn phạm vi nghiên cứu.

Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

Phạm vi nghiên cứu học sinh trường THCS Buôn Trấp qua nhiều năm học Thời gian thực hiện trong các năm học 2009 - 2015.

I.5 Phương pháp nghiên cứu

Tìm hiểu thực tiễn giảng dạy, học tập, bồi dưỡng học sinh giỏi trong nhàtrường

Tra cứu tài liệu, tham khảo nghiên cứu các tài liệu trên mạng

Thực nghiệm, đối chiếu so sánh

Nhận xét

II PHẦN NỘI DUNG II.1.Cơ sở lí luận

Qua việc giảng dạy thực tế nhiều năm ở THCS tôi thấy hiện nay đa số học sinh

sợ học môn Hình học Tìm hiểu nguyên nhân tôi thấy có rất nhiều học sinh chưa thực

sự hứng thú học tập bộ môn vì chưa có phương pháp học tập phù hợp với đặc thù bộmôn, sự hứng thú với môn Hình học là hầu như ít có Có nhiều nguyên nhân, trong đó

có thể xem xét những nguyên nhân cơ bản sau:

- Đặc thù của bộ môn Hình học là mọi suy luận đều có căn cứ, để có kĩ năngnày học sinh không chỉ phải nắm vững các kiến thức cơ bản mà còn phải có kĩ năngtrình bày suy luận một cách logic Kĩ năng này đối với học sinh là tương đối khó, đặcbiệt là học sinh lớp 9 các em mới được làm quen với chứng minh Hình học Các emđang bắt đầu tập dượt suy luận có căn cứ và trình bày chứng minh Hình học hoànchỉnh Đứng trước một bài toán hình học học sinh thường không biết bắt đầu từ đâu,trình bày chứng minh như thế nào

- Trong quá trình dạy toán nhiều giáo viên còn xem nhẹ hoặc chưa chú trọngviệc nâng cao, mở rộng, phát triển các bài toán đơn giản ở SGK hoặc chưa đầu tư vàolĩnh vực này, vì thế chưa tạo được hứng thú cho học sinh qua việc phát triển vấn đềmới từ bài toán cơ bản

- Việc đưa ra một bài toán hoặc phát triển một bài toán cho phù hợp với từngđối tượng học sinh để có kết quả giáo dục tốt còn hiều hạn chế

- Học sinh THCS nói chung chưa có năng lực giải các bài toán khó, nhưng nếuđược giáo viên định hướng về phương pháp hoặc kiến thức vận dụng, hoặc gợi ý vềphạm vi tìm kiếm thì các em có thể giải quyết được vấn đề

- Ngay cả với học sinh khá giỏi cũng còn e ngại với bộ môn Hình Học do thiếu

sự tự tin và niềm đam mê

Điều kiện kinh tế xã hội ngày càng phát triển Từ đó sự quan tâm của các bậcphụ huynh học sinh ngày một nâng lên, luôn tạo điều kiện tốt nhất, trang bị đầy đủ chocon em mình các thiết bị và đồ dùng học tập.

*) Khó khăn:

Trong chương trình Toán THCS “Các bài toán về hình học” rất đa dạng, phongphú và trừu tượng, mỗi dạng toán có nhiều phương pháp giải khác nhau Học sinh khihọc toán đã khó, đối với Hình học lạ càng khó hơn bởi vì: Để làm bài toán Hình họcthì học sinh phải vận dụng tất cả các định nghĩa, tính chất , mà mình đã được họcmột cách linh hoạt Bên cạnh đó để giải một bài toán Hình học lớp trên thì học sinhphải nắm vững tất cả kiển thức, các bài toán cơ bản ở lớp dưới

Kinh tế từng gia đình không đồng đều, một số gia đình có điều kiện còn mải lolàm kinh tế, không có thời gian quan tâm đến việc học hành của con em mình, phómặc cho con cái, chỉ biết cho con em mình tiền dẫn đến các em hư hỏng

Tác động xã hội đã làm một số học sinh không làm chủ được mình nên đã đuađòi, ham chơi, không chú tâm vào học tập mà dẫn thân vào các tệ nạn xã hội như chơigame, bi da, đánh bài

b) Thành công, hạn chế

*) Thành công:

Các bài tập Hình đều phát triển dựa trên những bài toán cơ bản trong sách giáokhoa và sách bài tập nên mục đích cần hướng đến là học sinh trung bình cần phải làmtốt những bài tập này

*) Hạn chế:

Giải bài tập toán là lúc học sinh được thể hiện kĩ năng, tính sáng tạo, phát triển

óc tư duy Các bài tập Hình trong sách giáo khoa rất đa dạng nhưng làm sao để chophần lớn các học sinh khá và trung bình nhớ lâu, hiểu vấn đề đó mới là quan trọng

Do đặc điểm của môn Hình học khó, phải tư duy trừu tượng và kèm thêm việc

vẽ hình phức tạp, khi giải một bài toán hình thì học sinh phải vận dụng tất cả các địnhnghĩa, định lí, tính chất, mà mình đã được học một cách linh hoạt Nên giáo viênphải tạo cho học sinh kĩ năng vẽ hình và hướng dẫn học sinh tư duy dựa trên những bàitoán cơ bản

c) Mặt mạnh, mặt yếu

*) Mặt mạnh:

Giúp cho học sinh hiểu được một số bài toán phát triển từ bài toán cơ bản,nhưng quan trọng hơn giáo viên cần giúp cho học sinh hiểu được hướng phát triển mộtbài toán Tại sao phải làm như vậy? Làm như thế đạt được mục đích gì? Qua đó giúpcác em say mê môn Toán Cho dù là học sinh giỏi hay học sinh trung bình khi nhìnmột bài toán dưới nhiều góc độ thì học sinh đó sẽ tự tin hơn, thích thú hơn với mônhọc, yếu tố đó rất quan trọng trong quá trình tự học, nó giúp quá trình rèn luyện hìnhthành tư duy cho học sinh tốt hơn

*) Mặt yếu:

Số học sinh hiểu được một số bài toán phát triển từ bài toán cơ bản là khôngnhiều vì đây là vấn đề khó cần sự kiên trì và cố gắng của cả học sinh và giáo viên mặc

dù vậy tôi hướng đến 1/3 số học sinh đạt được điều này, có thể học sinh sẽ không tạo

ra những dạng mà thầy đã làm vì vốn kinh nghiệm của học sinh còn rất hạn chế nêngiáo viên cần phải động viên giúp các em tự tin hơn Việc sáng tạo đó không nhữngcần có kiến thức vô cùng chắc chắn mà học sinh cần có sự nhạy cảm của toán học

Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

Điều này chỉ phù hợp với học sinh giỏi nên tôi chỉ áp dụng yêu cầu này trong quá trìnhdạy học sinh giỏi

d) Các nguyên nhân, các yếu tố tác động

*) Học sinh không giải được:

- Học sinh chưa biết liên hệ giữa kiến thức cơ bản và kiến thức nâng cao.

- Chưa có tính sáng tạo trong giải toán và khả năng vận dụng kiến thức chưa linh hoạt

*) Học sinh giải được:

- Trình bày lời giải chưa chặt chẽ, mất nhiều thời gian.

- Chưa sáng tạo trong vận dụng kiến thức

Số học sinh tự học tập thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,…để nâng cao kiếnthức chưa nhiều, nên khả năng học môn Toán giữa các em trong lớp học không đồngđều Bên cạnh đó một bộ phận không nhỏ học sinh còn yếu trong kỹ năng phân tích vàvận dụng …

Một số bộ phận phụ huynh học sinh không thể hướng dẫn con em mình giải cácbài toán hình Vì vậy chất lượng làm bài tập ở nhà còn thấp

e) Phân tích đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đã đặt ra.

Trong hoạt động dạy và học Toán nói chung, đối với bộ mônhình học nói riêng thì vấn đề khai thác, nhìn nhận một bài toán cơbản dưới nhiều góc độ khác nhau nhiều khi cho ta những kết quả kháthú vị Ta biết rằng ở trường phổ thông, việc dạy toán học cho họcsinh thực chất là việc dạy các hoạt động toán học cho họ Cụ thể nhưkhi truyền thụ cho học sinh một đơn vị kiến thức thì ngoài việc chohọc sinh tiếp cận, nắm vững đơn vị kiến thức đó thì một việc khôngkém phần quan trọng là vận dụng đơn vị kiến thức đã học vào cáchoạt động toán học Đây là một hoạt động mà theo tôi, thông qua đódạy cho học sinh phương pháp tự học - Một nhiệm vụ quan trọng củangười giáo viên đứng lớp Xuất phát từ quan điểm trên, vấn đề khaithác và cùng học sinh khai thác một bài toán cơ bản trong sách giáokhoa để từ đó xây dựng được một hệ thống bài tập từ cơ bản đếnnâng cao đến bài toán khó là một hoạt động không thể thiếu đối vớingười giáo viên Từ những bài toán chuẩn kiến thức, giáo viên khôngdừng ở việc giải toán Việc khai thác một số bài toán hình học cơ bảntrong SGK không những gớp phần rèn luyện tư duy cho HS khá giỏi

mà còn tạo chất lượng, phù hợp với giờ học, gây hứng thú cho HS ởnhiều đối tượng khác nhau

+ Để giải quyết vấn đề trên trong quá trình giảng dạy cần chú trong các bài toán

ở SGK Biết phát triển các bài toán đơn giản đã gặp để tăng vốn kinh nghiệm vừa pháttriển năng lực tư duy toán học, vừa có điều kiện tăng khả năng nhìn nhận vấn đề mới

từ cái đơn giản và từ đó hình thành phẩm chất sáng tạo khi giải toán sau này

+ Việc phát triển một bài toán phù hợp với từng đối tượng học sinh là rất cầnthiết và quan trọng, nó vừa đảm bảo tính vừa sức và là giải pháp có hiệu quả cao trongviệc giải toán vì nó không tạo cho học sinh sự nhụt chí mà là động lực thúc đẩy giúp

Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

5

b a

Hình 1

O

A B

cho học sinh có sự tự tin trong quá trình học tập, bên cạnh đó còn hình thành cho các

em sự yêu thích và đam mê bộ môn hơn

- Các em phải được tập suy luận từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp

- Phát huy được khả năng sáng tạo, phát triển khả năng tự học, hình thành chohọc sinh tư duy tích cực ,độc lập và kích thích tò mò ham tìm hiểu đem lại niềm vuicho các em

II.3 Giải pháp, biện pháp

a Mục tiêu của giải pháp, biện pháp :

- Tìm tòi, tích lũy các đề toán ở nhiều dạng trên cơ sở vận dụng được các kiếnthức cơ bản đã học

- Hướng dẫn học sinh tìm hiểu đề bài

- Giải hoặc hướng dẫn học sinh cách giải

- Khai thác bài toán và giúp học sinh hướng giải bài toán đã được khai thác

- Trang bị cho các em các dạng toán cơ bản, thường gặp

- Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao

- Kỹ năng nhận dạng và đề ra phương pháp giải thích hợp trong từng trườnghợp cụ thể Giúp học sinh có tư duy linh hoạt và sáng tạo

- Kiểm tra, đánh giá mức độ nhận thức của học sinh thông qua các bài kiểm tra.Qua đó kịp thời điều chỉnh về nội dung và phương pháp giảng dạy

- Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích các dạng toán hình học, thông qua các bàitoán có tính tư duy

b Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp

Trong đề tài này tôi chỉ đưa ra một số bài toán có liên quan đến: ĐƯỜNG TRÒN VÀ TIẾP TUYẾN

I Dạng toán về đường tròn

Bài 1: Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O Trên a lấy điểm A và trên b lấy

điểm B Có bao nhiêu đường tròn đi qua ba điểm O, A, B?

Tìm hiểu đề bài

Bài này liên quan đến sự xác định một đường tròn qua ba điểm O, A, B trong

đó O là giao điểm của hai đường thẳng a, b và A và B là hai điểm bất kì thuộc a và b

Hướng dẫn cách tìm lời giải

Lưu ý A và B có thể nằm về hai phía của O, ngoài ra A và B cũng có thể trùngvới O hoặc khác O Do đó hãy xét các trường hợp sau:

- O khác A và B;

- A trùng với O nhưng B khác O hoặc ngược lại;

- Ba điểm O, B, A trùng nhau

Cách giải:

`- Trường hợp O khác A và B, như thế ba điểm O,

A, B không thẳng hàng nên bao giờ cũng có và chỉ

có một đường tròn đi qua ba điểm A, O, B

- Trường hợp A trùng với O nhưng B khác O (hoặc

B trùng với O nhưng A khác O) thì có vô số đường

tròn đi qua hai điểm O và B mà tâm của chúng nằm

trên đường trung trực của đoạn thẳng OB hoặc OA

- Trường hợp A và B trùng với O thì có vô số đường tròn qua O mà tâm là điểm tùy

ý trong mặt phẳng.( cũng có thể cho rằng đường tròn đi qua ba điểm O, A, B bây giờbiến thành một điểm O)

Khai thác bài toán:

Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

Hình 7b

A

O C

S

Với bài toán này ta có thể thêm câu hỏi sau:

+) Tính bán kính của đường tròn qua O, A, B trong các trường hợp:

1) OAB vuông tại O với OA = m; OB = n

2) OAB vuông cân tại O với OA = OB = p

3) OAB đều với cạnh bằng q

Bài 2: Cho đường tròn tâm O và một điểm A bên trong đương tròn Qua A hãy dựng

dây BC sao cho

a) BC có độ dài nhỏ nhất

b) BC nhận A làm trung điểm

Tìm hiểu đề bài:

Đây là bài toán dựng hình trong đương tròn (O) Yêu cầu

phải dựng qua điểm A cho trước bên trong (O) một dây BC

sao cho BC có độ dài nhỏ nhất, BC nhận A làm trung điểm

Hướng dẫn cách tìm lời giải

a) Hãy thay “Dây BC có độ dài nhỏ nhất” bằng “ Khoảng cách OM từ tâm O đếndây là lớn nhất”, rồi nhận xét OM OA, từ đó OM lớn nhất khi bằng OA suy ra cáchdựng BC (hình 2a)

b) Do AB phải bằng AC nên nếu nối OA thì OABC Từ đó suy ra cách dựng BC(hình 2b)

Cách giải:

a) Gọi BC là một dây bất kì qua A cách tâm O một khoảng

OM Ta thấy rằng nếu BC có độ dài nhỏ nhất thì OM có độ dài lớn

nhất

Do OM OA nên OM lớn nhất khi OM = OA tức là khi M

trùng với A

Suy ra cách dựng sau đây: qua A dựng dây B1C1 vuông góc

với OA Dây B1C1 là dây có độ dài nhỏ nhất

Bài toán có một nghiệm hình

b) Giả sử BC là dây dựng được mà A là trung điểm của nó Nối AO ta có

Suy ra cách dựng sau đây: Nối A với tâm O và dựng đường thẳng vuông góc với

OA tại A cắt (O) tại B và C Dây BC là dây cần dựng

Bài toán có một nghiệm hình

Khai thác bài toán:

Có thể đặt thêm câu hỏi sau:

Tìm trên đường tròn (O) một điểm S sao cho OSA lớn nhất

Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

7

(Hình 2a)

(Hình 2b)

Giải: Kéo dài SA cắt (O) tại T ta thấy rằng trong tam giác cân SOT có cạnh bên khôngđổi thì OSAlớn nhất khi SOT nhỏ nhất tức là dây ST nhỏ nhất ( hình 2c)

Như vậy bài toán quy về câu a ở trên: Dựng dây S1T1 có độ dài nhỏ nhất với S T1 1OA

ta được điểm S1 phải tìm

Bài 3: ( Bài tập 11 trang 104 SGK – Toán 9 tập 1)

Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB, dây CD

không cắt đường kính AB Gọi H và K theo thứ tự là chân

Xét hình thang AHKB có OA =OB = R ; OM // AH // BK (CD)

 OM là đường trung bình của hình thang  MH MK(2)

Bài 3.1: Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD cắt đường kính AB tại G Gọi H

và K lần lượt là hình chiếu của A và B trên CD Chứng minh rằng CH = DK.

Hướng dẫn giải:

Để chứng minh CH = DK ta chứng minh CD và HK có

chung trung điểm

Qua O vẽ đường thẳng song song với AH và BK cắt CD

tại I, cắt AK tại F

Lập luận để có OI là đường trung trực của đoạn CD và FI

là đường trung bình của tam giác AHK  I là trung điểm của

HK  đpc/m

Cũng bài toán 1 nhưng chúng ta có thể phát triển dưới một dạng khác phức tạphơn như sau:

Bài 3.2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính

AB Chứng minh rằng hình chiếu vuông góc của các cạnh đối

diện của tứ giác trên đường chéo CD bằng nhau ( Cách giải

hoàn toàn tương tự như bài 1)

Bài 3.3: Gọi G là điểm thuộc đoạn thẳng AB (G không trùng

với A và B) Lấy AB, AG và BG làm đường kính, dựng các

đường tròn tâm O, O 1 , O 2 Qua G vẽ cát tuyến cắt đường tròn

(O) tại C và D, cắt (O 1 ) tại H, cắt (O 2 ) tại K Chứng minh CH = DK.

Bài 3.4: Thêm vào bài tập 3 câu b như sau: Chứng minh H và

K ở bên ngoài đường tròn (O).

Giải : ( dùng phương pháp phản chứng)

Giả sử chân đường vuông góc hạ từ A đến đường thẳng

CD là H’ H’ là điểm nằm giữa hai điểm C và D

Vậy H’ phải nằm ngoài đường tròn(O) hay H nằm trong (O)

Chứng minh tương tự đối với điểm K

* Nhận xét: Từ việc vẽ OM CDta có MH = MK ta dễ nhận thấy rằng

S S S S  SOHK SAMB  HK.OM = AB.MM’(với MM'AB tại M’)

Bài 3.5: Qua nhận xét trên ta có thể thêm vào bài 3 câu c:

Chứng minh S AHKB SACBSADB

Từ đó S AHKB SACBSADB (đpc/m)

Bài 3.6: Đặc biệt khi CD không phải là một dây mà CD trở

thành tiếp tuyến của (O) như hình vẽ bên ta vẫn có SAMB SHOK

và HK OM AB MM '( lúc này M thuộc nửa đường tròn (O) nên

AB = 2OM.

Do đó ta có HK.OM = 2OM.MM’ '

2

HK MM

 tiếp xúc với AB tại M’

Từ bài 4 ta có bài tập mới

Bài 3 7 : Từ bài toán trên ta lại có bài toán quỹ tích:

a/ Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng CD khi C

(hoặc D) chạy trên đường tròn (O).

b/ Tìm quỹ điểm H và K khi C ( hoặc D) chạy trên đường

tròn O đường kính AB.

Từ bài toán 1 chúng ta có thể phát biểu bài toán đảo như sau :

Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

9

Bài 3.8 : Trên đường kính AB của đường tròn tâm (O) ta lấy hai điểm H và K sao cho

AH = KB Qua H và K kẻ hai đường thẳng song với nhau lần lượt cắt đường tròn tại hai điểm C và D ( C, D cùng thuộc nửa đường tròn tâm O) Chứng minh rằng

HCCD , KDCD

Bài 4: Cho đường tròn (O) đường kính AB M là một điểm bất kì trên nửa đường tròn

đó M A B,  Qua M vẽ tiếp tuyến xy, H và K là chân đường vuông góc hạ từ A, B xuống xy Chứng minh rằng : Đường tròn (M) đường kính HK tiếp xúc với AB ( Xác

định vị trí tương đối của (M) với đường thẳng AB khi M chạy trên (O))

Bài 5: Cho đoạn thẳng HK, qua H, K vẽ các đường thẳng d và d’ vuông góc với HK.

Một góc vuông với đỉnh là trung điểm M của HK có một cạnh cắt

d tại A, một cạnh cắt d’ tại B Chứng minh rằng Ab là tiếp tuyến

của đường tròn đường kính HK.

Bài 6: Cho tứ giác AHKB có đường tròn đường kính AB tiếp xúc

với đường thẳng HK Chứng minh rằng đường tròn đường kính

HK tiếp xúc với đường thẳng AB khi và chỉ khi AH // BK.

Giải : Gọi O và O’ lần lượt là trung điểm của AB và HK

Vẽ O D' AB, nối OO’ ta có O O' HK( OO’là đường trung bình

cua hình thang HABK) Đặt OO’ = a, O’D = b

S S  O K    ( Vì OO’ = a = OA = OB = 1

2AB)Như vậy BK // AH 

 Đường tròn đường kính HK tiếp xúc với AB tại D

Bài 7: Cho đường tròn tâm O bán kính R và hai dây bằng nhau EF và GH cắt nhau

tại M.

a) Tứ giác EGFH là hình gì?

Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

F G

H

Hình 3

I

J M

F

O G

Bài ra cho đương tròn (O; R) và hai dây EF = GH cắt

nhau tại M Yêu cầu nhận dạng tứ giác EFGH và tính khoảng

cách từ O đến mỗi dây biết độ dài hai dây

Hướng dẫn cách tim lời giải:

a) Gọi OI, OJ là khoảng cách từ O đến hai dây ta có ngay

OI = OJ Từ đó chứng minh OMI = OMJ, rồi xét hai tam giác cân đỉnh

M để suy ra EH // GF Do đó EGFH là hình thang, sau đó chứng minh thêm hình thangnày cân (hình 2)

b) Để tính khoảng cách OI và OJ ta xét một trong hai tam giác vuông bằng nhauOEI hoặc OHJ rồi áp dụng định lý Pitago để tính

(so le trong) suy ra EH // GH

Tứ giác EGFH là hình thang có hai đường chéo EF = GH nên EGFH là hình thang cân b)Xét tam giác vuông OEI theo định lí Pitago ta có:

Khai thác bài toán:

Ta có thể nêu thêm các câu hỏi sau: Nếu góc tại M vuông:

c) Tính diện tích của tứ giác OIMJ và bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác này

1 2

2 M B

E' I M' H

O

G P

D

N

E Q

Hướng dẫn cách tìm lời giải:

a) Để chứng minh BCD cân ta cần chứng minh tam giác

có hai góc ở đáy bằng nhau (B D  ) bằng cách lần lượt xét tam

giác vuông AOB và tam giác cân OAD (hình 4)

b) Trục đối xứng của AD là đường trung trực của nó, còn

trung tuyến CM là trung trực của BD Từ đó ta suy ra được điều

Vậy BCD cân tại C

b) Trục đối xứng của dây AD là trung trực của nó nên vuông góc với AD Đườngtrung tuyến CM của tam giác cân BCD vuông góc với BD nên cùng vuông góc với

AD Suy ra trục đối xứng của dây AD song song với trung tuyến CM của BCD

Khai thác bài toán:

Với bài toán 3 ta có thể nêu thêm câu hỏi như sau:

c) Chứng minh hệ thức: OA.BM = OB.CM

Thật vậy: Xét AOB CMB (g,g) ta có OA OB

CM BM

suy ra OA.BM = OB.CM (đpcm).

Bài 9: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính MN và dây DE Gọi P và Q theo thứ tự

là hình chiếu của M và N trên đường thẳng DE Đường thẳng NQ cắt nửa đường tròn tại G Goi H là trung điểm của dây DE và I là hình chiếu của H trên MN, chứng minh:

a) OH  MG

b) OH.MG = MN.HI

Tìm hiểu đề bài

Bài ra cho nửa đường tròn đường kính MON và dây

DE với H là trung điểm Hình chiếu của đường kính MN

trên đường thẳng DE là PQ Hình chiếu của H trên MN là I

Yêu cầu phải chứng minh hai đoạn thẳng vuông góc và một

hệ thức (hình 5)

Hướng dẫn tìm lời giải

Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

Hình 4

a )Trước hết chứng minh MGN  900và MG // PQ Kết hợp với H là trung điểm của

DE để suy ra điều phải chứng minh

b) Xét hai tam giác vuông đồng dạng OIH và NGM

MN MG hay OH.MG = MN.HI

Khai thác bài toán:

Với bài toán này ta hỏi thêm : Chứng minh rằng PD = EQ và diện tích tứ giác MPQN bằng tổng diện tích của hai tam giác MDN và MEN

Thật vậy: Hình thang vuông MPQN có OH là đường trung bình nên HP = HQ,

ngoài ra HD = HE Do đó HP – HD = HQ – HE hay PD = EQ

Kẻ DD’ và EE’ vuông góc với MN ta có:

S S = 1 DD'+1 EE' =MNDD'+EE'

2 HI tronghình thang vuông DD’E’E nên tổng diện tích này bằng MN.HI

Theo câu b thì MN.HI = OH.MG chính là diện tích tứ giác MPQN vì hình thang này

Bài 10: Cho đường tròn tâm O đường kính AB và dây CD cắt bán kính OA ở I Kẻ AE,

BH cùng vuông góc với CD Qua O kẻ đường kính vuông góc với CD tại G và cắt EB

ở M Chứng minh:

a) M là trung điểm của EB và G là trung điểm của EH.

b) EC = HD

Tìm hiểu đề bài:

Đề bài này có những chỗ tương tự như bài 4 nhưng yêu

cầu phải chứng minh hai trung điểm của hai đoạn thẳng và hai

đoạn thẳng bằng nhau EC = HD như PD = EQ (ở phần khai thác

bài toán trước)

Hướng dẫn tìm lời giải:

a) Hãy chứng minh OM là đường trung bình của tam giác AEB và MG là đường trungbình của tam giác EHB (hình 6)

b) Áp dụng định lý đường kính vuông góc với một dây thì chia đôi dây ấy và lưu ý G

là trung điểm của EH (theo câu a) để được đẳng thức cần chứng minh

b) Do OGCD nên G chia dây CD thành hai phần bằng nhauhay GC = GD (1) Mặt khác G lại là trung điểm của EH nên GE = GH (2)

Nguyễn Anh Tuấn – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

Cách giải

a) Ta có OM // AE vì cùng vuông góc với CD Điểm O lại là trung điểm của AB nên

OM là đường trung bình của tam giác EAB, suy ra M là trung điểm của EB

Xét tam giác EHB có MG // HB vì cùng vuông góc với CD, lại đi qua trung điểm

M của EB nên MG là đường trung bình của tam giác EHB suy ra G là trung điểm củaEH

13

Hình 6

I

M G