SKKN Giúp học sinh lớp 5 vận dụng mối quan hệ của các yếu tố trong tam giác để giải một số bài toán hình học nâng cao

GIÚP HỌC SINH LỚP 5 VẬN DỤNG MỐI QUAN HỆ CỦA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC NÂNG CAOI.. Đối tượng nghiên cứu: Mối quan hệ của các yếu tố trong hình tam giác

GIÚP HỌC SINH LỚP 5 VẬN DỤNG MỐI QUAN HỆ CỦA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC NÂNG CAO

I PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hiện nay chúng ta đang tập trung thực hiện nghiêm túc có hiệu quả Nghịquyết Hội nghị lần thứ 8 Ban chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt Namkhóa XI về đổi mới căn bản toàn diện giáo dục và đào tạo đáp ứng yêu cầu côngnghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng

xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục nhằmmục tiêu cơ bản là giáo dục con người Việt Nam phát triển toàn diện và pháthuy tốt nhất tiềm năng, khả năng sáng tạo của mỗi cá nhân

Để đạt được mục tiêu đó thì người giáo viên đóng vai trò hết sức quantrọng Trong dạy học đòi hỏi người giáo viên cần quan tâm đến tất cả các đốitượng học sinh, phải có biện pháp và hình thức dạy học tích cực, làm sao tất cảhọc sinh trong lớp phải chủ động nắm được các kiến thức cơ bản của bài học vàvận dụng các kiến thức cơ bản đó vào thực hành làm các bài tập trên lớp Đặcbiệt các em vận dụng được kiến thức đã có vào cuộc sống hàng ngày một cáchlinh hoạt

Đặc biệt đối với môn toán là một môn học giúp các em phát triển nhiều kỹnăng như: kỹ năng tư duy sáng tạo, kỹ năng phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa,khái quát hóa v v Khi đã có những kỹ năng đó thì các em sẽ say mê, tìm tòi,hứng thú trong học toán Trong thực tế dạy học môn toán, tôi thấy đối với các

em việc nắm vững kiến thức để vận dụng làm các bài tập trong sách giáo khoa làmột việc làm không khó song đối với những bài toán đòi hỏi sự tư duy cao hơnmột chút thì không phải em nào cũng làm được Còn đối với những em khá giỏi,khi làm bài kiểm tra rất sợ những bài toán có nội dung hình học Các em thườnggặp khó khăn khi giải vì không biết kẻ thêm đường phụ, không biết mối quan hệgiữa các yếu tố trong các hình ra sao, nó có liên quan đến bài giải như thế nào?

Dẫn đến kết quả bài kiểm tra rất hạn chế Chính vì lẽ đó mà bản thân tôi đã lựachọn đề tài: “Giúp học sinh lớp 5 vận dụng linh hoạt mối quan hệ của các yếu tốtrong tam giác để giải một số bài toán hình học nâng cao”

2 Đối tượng nghiên cứu:

Mối quan hệ của các yếu tố trong hình tam giác để giải một số bài toán

- Học sinh biết cách vận dụng linh hoạt một số kiến thức đã học về hình

tam giác để giải một số bài toán nâng cao về hình học

- Rèn luyện các kỹ năng: kỹ năng tư duy sáng tạo, kỹ năng phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa, khái quát hóa trong học toán

b Nhiệm vụ:

- Nghiên cứu các bài toán có nội dung về mối quan hệ của các yếu tốtrong tam giác để giúp học sinh giải một số bài toán hình học nâng cao

- Tìm ra các giải pháp nhằm nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán

- Rút ra bài học kinh nghiệm cho bản thân và vận dụng kinh nghiệm vàothực tiễn dạy học

5 Giả thiết khoa học của đề tài

Nếu đề tài được áp dụng trong thực tiễn dạy học thì sẽ giúp học sinh khágiỏi biết thêm một số kiến thức về mối quan hệ của các yếu tố trong hình tamgiác và các em sẽ vận dụng các kiến thức đó dể giải được các bài toán nâng cao

về hình học một cách dễ dàng và hiệu quả hơn

6 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp điều tra

- Phương pháp phân tích, tổng hợp, xử lý tình huống trong giảng dạy

- Phương pháp quan sát

- Phương pháp trao đổi

- Phương pháp thực nghiệm

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

7 Dự báo những đóng góp mới của đề tài

Nếu kinh nghiệm này được áp dụng một cách rộng rãi thì chắc chắn sẽgóp phần không nhỏ vào việc giúp học sinh không chỉ giải được các bài toánliên quan đến các yếu tố trong hình tam giác và còn có kỹ năng giải được tất cảcác bài toán liên quan đến hình tứ giác, hình thang, hình chữ nhật, hình vuông tạo cho các em có được sự say mê hứng thú trong học tập môn Toán

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 Cơ sở khoa học

a Cơ sở lí luận

Như chúng ta đã biết, ngay từ lớp Một, các em đã được làm quen với cáchình tam giác hình vuông, hình tròn ở dạng tổng thể Nhưng lên đến lớp 5,các em mới học các khái niệm và các yếu tố của hình tam giác như đỉnh, góc,đáy, chiều cao, học cách tính diện tích tam giác và được củng cố về cách tínhdiện tích của nó thông qua nội dung ôn tập hình học cuối cấp

Từ công thức tính diện tich hình tam giác trong sách giáo khoa

Trong đó: S là diện tích hình tam giác, h là chiều cao, a là độ dài cạnh đáy (a và h phải cùng đơn vị đo)

Thế nhưng khi vận dụng vào làm một số bài tập các em không khỏi lúng túng nhất là trường hợp đường cao nằm ngoài tam giác và một số bài toán khôngtường minh có liên quan đến tỷ số hai đáy, tỷ số chiều cao hoặc tỷ số diện tích

b Cơ sở thực tiễn

Trong thực tế giảng dạy môn toán lớp 5, nhất là đối với những bài toán cóliên quan đến hình học kể cả việc bồi dưỡng học sinh giỏi Tôi nhận thấy họcsinh rất sợ những bài toán liên quan đến hình học Có thể là do các em chưađược trang bị đầy đủ kiến thức về hình học, có thể do các em chưa quen vớinhững bài toán không tường minh Có những bài toán yêu cầu phải vẽ đườngphụ mới giải được nhưng các em không quen Đặc biệt là đối với những bài toánchứng minh hình, tìm tỷ số diện tích, tỷ số cạnh, đường cao hay tính số đo cáccạnh v.v Đối với bài toán về hình học thì rất đa dạng và phong phú, không thể

kể hết được các phương pháp giải Qua thực tế giảng dạy, tôi thấy có rất nhiềubài toán về hình học có sử dụng đến kiến thức liên quan đến diện tích hình tamgiác Mặc dầu không có phương pháp giải tổng quát nhưng bản thân tôi cũng đã

có một số kinh nghiệm hết sức khiêm tốn giúp học sinh vận dung linh hoạt một

số kiến thức cơ bản về diện tích hình tam giác để giải một số bài toán nâng cao

về hình học

2 Kết quả điều tra, khảo sát

Tôi đã điều tra, khảo sát 2 lớp do tôi phụ trách dạy bồi dưỡng học sinh giỏi,lớp đối chứng (khảo sát năm học 2011- 2012) và lớp thực nghiệm (Khảo sátnăm học 2012- 2013) Sau khi học sinh học xong phần diện tích hình tam giác,tôi đã cho các em (học sinh khá, giỏi) vận dụng làm một số bài tập như sau:

Bài 1: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 72cm2, chiều cao bằng 8 cm.Tính cạnh đáy BC

Bài 2: Cho hình thang vuông ABCD có AB = 9 cm, DC = 18cm, AD =13cm Nối D với B được hai tam giác ABD và BDC

a) Tính diện tích mỗi tam giác đó?

b) Tính tỉ số phần trăm của diện tích hình tam giác ABD và diện tích hình tamgiác BDC.

Bài 3: : Cho hình tam giác ABC có diện tích 24cm2 Nếu kéo dài đáy BCthêm một đoạn dài 2cm thì diện tích tăng thêm là bao nhiêu? Biết đáy hình tamgiác ban đầu là 8cm

Bài 4: Cho tam giác ABC, trên AB lấy M và trên AC lấy điểm N sao cho

NA = 31 AC, MA = 13AB Tính MN biết BC = 36cm; MNCB là hình thang Sau 40 phút làm bài, kết quả thu được từ học sinh qua 2 năm học như sau:Năm học Số

học sinh

Giỏi Khá Trung bình Yếu

2011- 2012 25 1 4% 7 28% 15 60% 2 8%

2013 - 2014 25 2 8% 6 24% 14 56% 3 12%

* Qua chấm bài khảo sát, kết quả cho thấy:

- Ở bài 1 và bài 2, ở cả 2 lớp các em đều vận dụng công thức để tínhđược kết quả đúng

Tuy nhiên ở bài 2, các em đều làm theo một cách đó là áp dụng công thức

để thay số và tính, không em nào biết cách dùng tỉ số hai đáy để tính như:

Diện tích tam giác ABD là: 18 x 13 : 2 = 117 ( cm2)

Diện tích tam giác ABD và BDC có chiều cao bằng nhau (bằng chiều caohình thang)

Tỷ số hai đáy AB và DC là: 9 : 18 = 12

Vậy tỷ số diện tích của hai tam giác ABD và BDC là 12

Diện tích tam giác BDC là 117 x 2 = 234 (cm 2)

Tỉ số phần trăm của diện tích hình tam giác ABD và

diện tích tam giác BDC là: 1 : 2 = 0,5

0,5 = 50%

- Ở bài tập 4, phần lớn các em tìm ra đáp số nhưng nhiều em lý luận chưachặt chẽ Cũng như ở bài 3 các em chưa biết tìm diện tích phần mở rộng bằngcách dựa vào tỉ số độ dài hai đáy.

Ta thấy trong thực tiễn dạy toán, không phải bài toán nào cũng ở dạngtường minh như bài tập 1, 2 chỉ cần dựa vào công thức là tính ngay được kếtquả Đặc biệt là trong quá trình dạy bồi dưỡng học sinh có năng khiếu mônToán, để đáp ứng được nhu cầu học tập của học sinh, giáo viên phải sưu tầm,thiết kế những bài toán nâng cao hơn, khái quát hơn thường những bài toán được

“ngụy trang” bởi những điều kiện chưa tường minh Bởi vậy sẽ không tránhkhỏi những vướng mắc, khó khăn nếu giáo viên không có phương pháp giúp họcsinh nắm vững mối quan hệ giữa các yếu tố trong một tam giác

Trong quá trình nghiên cứu và qua thực tế giảng dạy và bồi dưỡng họcsinh giỏi, tôi thấy học sinh thường gặp khó khăn khi giải các bài toán dạng Tínhdiện tích tam giác khi chưa biết độ dài cạnh đáy và chiều cao của nó Để tínhđược diện tích hình này phải dựa vào diện tích và tỉ lệ giữa độ dài đáy và chiềucao của tam giác khác Với những kinh nghiệm khiêm tốn, bản thân tôi đưa ramột số bài tập giúp học sinh khá giỏi vận dụng linh hoạt một số kiến thức đã học

để giải các bài toán dựa vào mối quan hệ các yếu tố trong trong tam giác

3 Một số giải pháp giúp học sinh vận dụng linh hoạt mối quan hệ của các yếu tố trong hình tam giác để giải một số bài toán nâng cao về hình học.

Như chúng ta đã biết, muốn nâng cao một dạng nào đó chúng ta phải củng

cố kiến thức cơ bản thật chắc Học sinh phải nắm được phương pháp giải, quytrình giải, công thức tính Để học sinh nắm sâu hơn ta phải dùng hệ thống câuhỏi để kiểm tra xem thử các em đã nắm chắc chưa hay là chỉ là làm theo côngthức và làm theo bài mẫu chứ chưa hiểu rõ vấn đề cốt lõi của nó Sau khi họcsinh đã nắm chắc kiến thức thì giáo viên dựa trên nền kiến thức cơ bản đó để mởrộng và nâng cao theo từng mạch kiến thức để từ kiến thức này phát triển lênkiến thức kia Khi đã rút ra được một số kết luận mới giáo viên phải tổng quáthóa bài toán để học sinh dễ nhớ và hiểu hơn Từ những bài toán cơ bản, giáoviên thiết kế, sáng tác thêm những bài toán có nội dung phong phú hơn, mở rộng

và nâng cao dần để các em giải Đối với những em thật sự giỏi, giáo viênkhuyến khích học sinh tự ra đề rồi giải Có như vậy mới phát huy hết năng lựctiềm ẩn ở học sinh, khơi dậy sự tò mò ham thích học tập ở các em.

Trở lại với dạng toán diện tích hình tam giác ở trên Để giúp các em vẽđược, tính được diện tích tam giác trong các trường hợp trên, cũng như giúp họcsinh hiểu sâu và vận dụng làm tốt những bài toán trong các trường hợp tương tựtôi đã sử dụng một số biện pháp sau:

- Thông qua một số hình vẽ hướng dẫn các em xác định đúng các yếu tốcủa tam giác (cụ thể là đáy và chiều cao tương ứng với đáy)

- Từ những ví dụ cụ thể giúp học sinh tìm ra mối quan hệ các yếu tố củatam giác (đáy, chiều cao tương ứng với đáy và diện tích)

Đối với học sinh có năng khiếu, bằng những ví dụ cụ thể giáo viên giúp học sinh nắm được các kiến thưc nâng cao hơn như sau:

Trong hình tam giác:

- Nếu hai hình tam giác có đáy bằng nhau thì diện tích của chúng tỉ lệ thuận với chiều cao tương ứng

- Nếu hai hình tam giác có chiều cao bằng nhau thì diện tích tỉ lệ thuận với đáy tương ứng

- Nếu diện tích tam giác không thay đổi thì đáy của chúng tỉ lệ nghịch với chiều cao tương ứng

- Vận dụng hiểu biết mối quan hệ đó để giải một số bài toán liên quan

Dạng 1: Hai tam giác có chung chiều cao hoặc chiều cao bằng nhau

Bài toán 1: Tam giác ABC có đáy BC bằng

30cm và chiều cao tương ứng với đáy là 12cm Kéo

dài đáy BC thêm một đoạn CD 5cm nữa thì diện tích

sẽ tăng thêm là bao nhiêu?

Bài toán này học sinh khá dễ dàng giải được

Cách 1: Diện tích tam giác ABC là : (30 x 12) :2 = 180 (cm 2)

Khi mở rộng đáy thêm 5cm thì phần mở rộng có dạng là một hình tamgiác và chiều cao phần mở rộng bằng chính chiều cao tam giác ban đầu ( AH)

Độ dài đoạn BD là: 30 + 5 = 35 (cm)

Diện tích tam giác ABD là: 35 x 12 : 2 = 210 (cm 2 )

Diện tích tăng thêm là: 140 – 120 = 30 (cm 2)

Ta có bài toán 2: Một thửa ruộng hình tam giác có diện tích 160m2 Người ta

mở rộng đáy thêm một đoạn bằng

4

1

đáy ban đầu thì diện tích tăng thêm là baonhiêu? Biết rằng sau khi mở rộng thì thửa ruộng vẫn là hình tam giác

Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán:

- Tỉ số đáy tam giác phần mở rộng và

đáy ban đầu là bao nhiêu? (14 )

- Tỉ số diện tích phần mở rộng và diện tích tam giác ban đầu là bao nhiêu? (

Vậy: Nếu biết đáy của thửa ruộng ban đầu và tỉ số diện tích của phần mởrộng với diện tích tam giác ban đầu ta có tính được đáy của phần mở rộngkhông?

Ta có bài toán 3: Một thửa ruộng hình tam giác có đáy dài 20m Người ta mởrộng đáy thêm một đoạn để có diện tích phần mở rộng bằng 25% diện tích banđầu Tính độ dài đáy phần mở rộng, biết rằng sau khi mở rộng thửa ruộng vẫn làhình tam giác

Phân tích bài toán:

- Tỉ số diện tích phần mở rộng và diện tích thửa

ruộng ban đầu là bao nhiêu? (25%)

- Tỉ số diện tích phần mở rộng và diện tích tam giác

ban đầu là bao nhiêu? (41 )

- Tỉ số diện tích phần mở rộng và diện tích tam giác ban đầu là baonhiêu? (14 ) Dựa vào quan hệ tỉ lệ giữa đáy và diện tích, các em sẽ dễ dàng giảiđược.Từ bài toán 3, hướng dẫn học sinh phân tích: * Nếu biết được độ dài đáyphần mở rộng và biết tỉ số diện tích tam giác của phần mở rộng và diện tích tamgiác ban đầu ta có thể tính độ dài đáy ban đầu không?

Ta có bài toán 4: Nhà bác Nam có một thửa

ruộng hình tam giác Nay do làm đường nên bị

xén vào thửa ruộng đó một phần đất hình tam

giác (hình vẽ) có đỉnh là đỉnh của thửa đất, diện tích bị xén vào bằng 51 diệntích ban đầu Tính độ dài đáy của mảnh đất còn lại, biết rằng mảnh đất bị xén đi

có đáy là 5m Từ hiểu biết về mối quan hệ giữa độ dài đáy và diện tích, các em

sẽ giải được.Phần bị xén đi và phần đất còn lại có dạng là một hình tam giác Taxem đáy tam giác đó là 5m thì chiều cao sẽ bằng chiều cao phần đất còn lại(bằng chiều cao hạ từ đỉnh A xuống BC)

Theo bài ra phần đất bị xén đi bằng 15 diện tích ban đầu hay bằng 41diện tích đất còn lại

Do đó đáy của phần đất bị xén đi bằng

4

1

đáy của phần đất còn lại

Độ dài đáy của phần đất còn lại là: 5 : 41 = 20 (m)

Đáp số: 20m

* Từ các bài toán trên ra rút ra tổng quát 1:

- Gọi diện tích hình 1 là S1; độ dài đáy hình 1 là a1

- Gọi diện tích hình 2 là S2; độ dài đáy hình 2 là a2

Khi tam giác 1 và tam giác 2 có chung chiều cao (chiều cao bằng nhau) thì:

Ta có:

2 1 2

1 S

S a

a



2

1 2 1

a

a x S

a

a x S

S 

2

1 2 1

S

S x a

a 



1

2 1 2

S

S x a

a 

Đối với dạng này, khi hai tam giác có chiều cao bằng nhau (chung chiềucao) thì diện tích và độ dài đáy có quan hệ tỉ lệ cùng tăng hoặc cùng giảm.

Dạng 2: Hai tam giác có đáy bằng nhau hoặc chung đáy

Bài toán 1: Cho tứ giác MNPQ vuông ở P và Q, có

MQ = 6cm, NP = 9cm, PQ = 8cm (xem hình vẽ)

Nối M với p, N với Q

Hãy so sánh diện tích tam giác MQP và NQP

Vận dụng công thức tính diện tích tam giác, học

sinh chắc chăn dẽ dàng giải được:

Giải: Diện tích tam giác MQP là: 6 x 8 : 2 = 24 (cm 2)

Diện tích tam giác NQP là : 9 x 8 : 2 = 36 (cm 2)

Vì 36cm2 > 24cm2 nên diện tích tam giác NQP lớn hơn diện tích tam giácMQP

Từ bài toán trên, hướng dẫn học sinh phân tích:

- Nếu xem PQ là đáy tam giác MPQ thì chiều cao tương ứng là cạnh nào?(MQ)

- Nếu xem QP là đáy tam giác NPQ thì chiều cao tương ứng là cạnh nào?(NP)

- Chiều cao NP của tam giác NPQ gấp mấy lần chiều cao MQ của tam giácMQP? (9:6 = 23 lần)

- Diện tích tam giác NPQ gấp mấy lần diện tích tam giác MQP? (36:24 =

2 3

lần)

- Vậy hai tam giác có chung đáy (đáy bằng nhau) thì diện tích và chiều cao cóquan hệ như thế nào? (quan hệ cùng tăng hoặc cùng giảm)

Rút ra kết luận 2: Hai tam giác A và B có chung đáy (đáy bằng nhau) thì:

Phân tích bài toán: