Bài giảng số 9: Yếu tố phụ trong giải các bài toán hình học 7 bằng sử dụng phương pháp tam giác bằng nhau

Bài giảng này sẽ giúp các em học sinh lớp 7 bước đầu làm quen với tư duy logic, rèn luyện sự sáng tạo thông qua việc vẽ thêm yếu tố phụ trong các bài toán hình học sử dụng phương pháp [r]

BÀI GIẢNG SỐ 9: Vẽ thêm yếu tố phụ

Trong toán sử dụng phương pháp "tam giác nhau" lớp

Trong tốn hình học đơi phải vẽ thêm yếu tố phụ giúp cho việc chứng minh trở nên khả thi Song phải vẽ hiệu quả, có lợi cho việc giải tốn điều khơng đơn giản đặc biệt với em học sinh lớp làm quen với hình học

Bài giảng giúp em học sinh lớp bước đầu làm quen với tư logic, rèn luyện sáng tạo thông qua việc vẽ thêm yếu tố phụ tốn hình học sử dụng phương pháp chứng minh tam giác học kì I

Lưu ý: Việc vẽ thêm yếu tố phụ việc làm tùy tiện phải tuân thủ bước dựng hình

I Tóm tắt lí thuyết

* Các tốn dựng hình (Bạn đọc tự nghiên cứu)

1 Dựng đoạn thẳng, tia, đường thẳng, đường tròn

2 Dựng giao điểm của 2 đường

3 Dựng trung điểm đoạn thẳng, dựng đoạn thẳng đoạn thẳng cho trước

4 Dựng tia phân giác góc, vẽ góc góc cho trước

5 Dựng đường thẳng vuông góc

6 Dựng đường thẳng song song

7 Dựng tam giác

* Tư việc chứng minh

- Vẽ hình xác, thể tương đối đầy đủ kí hiệu hình song cần phải đảm bảo tính khoa học, thẩm mỹ; ghi giả thiết kết luận toán

- Từ giả thiết suy luận ra những mối quan hệ mới - Phân tích kết luận để định hướng chứng minh?

- Sử dụng triệt để các dữ kiện

không? Vẽ điểm hay đường thẳng? Vẽ để kết hợp với kiện đã cho bài?

II Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Cho tam giác ABC có AB=AC Chứng minh Bˆ Cˆ

*Phân tích:

- Trong chương trình hình học 7, việc chứng minh đoạn thẳng nhau, góc đa phần sử dụng phương pháp "tam giác nhau" có nghĩa thơng qua việc chứng minh hai tam giác ta suy đẳng thức cần chứng minh (cạnh tương ứng góc tương ứng hai tam giác nhau)

- Với toán để chứng minh Bˆ Cˆ ta chứng minh hai tam giác mà có chứa góc B góc C hai góc tương ứng

- Ta có AB=AC (gt)  thiếu yếu tố để có tam giác

Vẽ thêm yếu tố phụ điểm M thỏa mãn ΔMAB = ΔMAC Từ

ΔMAB = ΔMACsuy MB=MCchọn M trung điểm BC Từ ta có lời giải tốn

*Lời giải:

GT Cho ABCcó AB=AC

Gọi M trung điểm BC Nối A với M Xét ΔMABvà ΔMACcó:

AB=AC (gt) AM cạnh chung MB=MC (cách dựng)

ΔMAB = ΔMAC(c.c.c)) Bˆ Cˆ (2 góc tương ứng)

*Lời bình

- Cũng với cách lập luận ta chọn điểm phụ M theo cách dựng khác sau: Vẽ tia phân giác Ax góc BAC Gọi M giao điểm Ax với BC (Trong trường hợp M trung điểm cạnh BC) Phần lời giải hoàn toàn tương tự (xin giành cho bạn đọc)

Bài tập Cho ABC có 

A90 , ABAC Trên nử a mă ̣t phẳng bờ BC chứa điểm A , vẽ

tia Bx vuông góc với BC , tia đó lấy điểm D cho DB = BC Trên nửa mă ̣t phẳng bờ AB chứa điểm C, vẽ tia By vng góc với BA , tia đó lấy điểm E cho BE = BA Chứ ng minh rằng DAEC

GT Cho ABCcó 

A90 , ABAC,

BxBC; DBx, DB=BC; ByBA, EBy; BA=BE

*Phân tích

- Để chứ ng minh DAEC, ta có thể sử du ̣ng tính chất từ song song song song đến vng góc, hình vẽ khơng có đường thẳng thứ có quan hệ vng góc song song Chuyển hướng chứng minh góc đường thẳng DA EC 900

- Như vậy cần phải kẻ thêm giao điểm của hai đường thẳng này Kéo dài DA cắt BC EC theo thứ tự P Q Ta phải chứng minh  o

PQC90 tức ta cần chứng minh

  o

PCQ QPC 90 

- Ta dễ dàng chứng minh đươ ̣c ΔABD = ΔEBC(c.g.c), suy BDA BCE hay BDP BCE Mặt khác ta lại có DPB QPC (2 góc đối đỉnh)

- Do     o

PCQ QPC BDP BPD 90  PQC 90o(Theo tính chất tổng ba góc tam

giác) Lời giải

Gọi giao điểm P Q giao điểm DA với BC EC Xét haiΔABDvà ΔEBC có

AB = EB (gt) BD = BC (gt)

 

ABDEBC (cùng o  90 ABC)

Mặt khác DPB QPC (2 góc đối đỉnh) Do

    o  o o o

PCQ QPC BDP BPD 180  BDP 180 90 90  PQC 90ohayDAEC Lời bình: Tại khơng thử chọn cách chứng minh cho góc   o

DCQ CDQ 90 ? - Nếu chọn cách chứng minh cho góc   o

DCQ CDQ 90 ta nối C với D nhiên

quan sát hình vẽ ta nhận thấy rất khó để tìm mối quan hệ góc DCQ CDQ

với kiện mà toán cho Ngược lại chọn cách chứng minh

  o

PCQ QPC 90  ta quan sát thấy DPB QPC (2 góc đối đỉnh) cần chứng minh cho BDP BCE tốn giải

Bài tập 3: Cho tam giác vuông ABC Gọi M trung điểm BC chứng minh

BC AM

2 

*Phân tích

- Bài cho Tam giác ABC vuông A, M trung điểm BC, yêu cầu chứng minh: BC

AM 2.AM BC

2 

   Cần tạo đoạn thẳng lần đoạn thẳng AM

chứng minh cho đoạn thẳng đoạn thẳng BC  Lấy điểm D tia AM cho

AM AD 

Lời giải

GT ABC;

 o

90

A ; MBC; MB = MC

KL AM BC

Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho: MD = MA Xét MAC MDB ta có:

MA = MD (theo cách dựng điểm D) MB = MC (theo gt)

 

AMBDMC (2 góc đối đỉnh) MAC = MDB (c.g.c)

 AB = CD (2 cạnh tương ứng) (1) MAB = D (2 góc tương ứng)

AB // CD (vì có cặp góc so le nhau)

BAC = ACD= 90  o (Hai góc phía) (2)

Ta có: AC cạnh chung (3)

từ (1); (2); (3)  ABC = CDA ( c.g.c)

BC = AD (2 cạnh tương ứng) màAM 1AD AM 1BC

2 

 

*Lời bình: Bài tập cách vẽ điểm phụ nhằm mục đích tạo đoạn thẳng với đoạn thẳng cho trước, cách làm rất có hiệu chứng minh tam giác Bài tập cho bạn đọc thấy rõ điều

Bài tập 4: Cho O là trung điểm của đoa ̣n thẳng AB Trên cùng mô ̣t nửa mă ̣t phẳng bờ AB, vẽ tia Ax By cùng vng góc với AB Gọi C mợt điểm thuộc tia Ax

*Phân tích

- Bài yêu cầu chứng minh đoạn thẳng CD tổng độ dài hai đoạn thẳng AC BD, giống tập số ta tạo đoạn thẳng với AC BD để đưa tổng AC + BD thành tổng khác chứng minh tổng CD

- Có thể lấy điểm phụ đường thẳng AC, BD đoạn thẳng CD cho hình thành đoạn thẳng với AC BD nhiên trường hợp ta ưu tiên phương án lấy điểm phụ đường thẳng AC BD để sử dụng giả thiết

Lời giải

- Lấy điểm C' tia DB cho BC'=AC (Bạn đọc lấy điểm D' tia CA cho AD'=BD)

Trên tia DB lấy Lấy C' cho BC'=AC GT

OA=OB; AxAB; ByAB;  90o

COD ; CAx; DBy KL CD = AC + BD

Xét OABvà OBC' có: BC'=AC (cách dựng)

OAOB(gt)

  90o

OACCBO (cách dựng))

OAC OBC' (c.g.c)

Suy OC=OC' AOCBOC 'COC 'COB BOC 'COB AOC180o C, O, C' thẳng hàng ODCC' hayDOC'90o

Xét OCDvà ODC' có:

'

OCOC (cmt)

 

90

DOCDOC (cmt) OC ca ̣nh chung

OCD OC D' (c.g.c), Suy CDDC' Mà DC'BD BC 'BDAC

Vâ ̣y CDACBD Lời bình

Nhờ cách dựng điểm C' ta đã làm xuất hiê ̣n các tam giác bằng , từ đó suy đoa ̣n thẳng bằng Hơn nữa, sự xuất hiê ̣n đoa ̣n thẳng trung gian là DE làm cho viê ̣c chứng minh trở nên đơn giản rất nhiều

Bạn đọc sử dụng kết toán để chứng minh CO, DO phân giác góc C góc D

Bài tập tự luyện

Bài tập 5: Cho tam giác ABC có Bˆ Cˆ Chứng minh AB=AC

HD: Tương tự tập

Bài tập 6: Cho tam giác ABC Gọi M N trung điểm cạnh AB

AC Chứng minh

2 BC MN

Bài tập Cho tam giác ABC (AB < AC) Từ trung điểm M BC kẻ đường vng góc với tia phân giác góc A cắt tia H, cắt tia AB D AC E Chứng minh BD = CE

Hướng dẫn

- Giống tập tập ta lấy điểm phụ F cho MF=ME dễ thấy BMF CME

   (c.g.c) EC=BF BF song song với AE) BFDAED (1) cần chứng minh BD=BF

Ta dễ dàng chứng minh ADH AEH(g.c.g) ADEAED (2)