tài liệu giúp bạn ôn thi đại học môn toán
Các bài tóan có liên quan đến nhò thưcù N ewTon. 1.Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển ( ) 2 1 n x + bằng 1024.Tìm hệ số a của số hạng 12 x trong khai triển đó? Gi ải () 22 0 1 n n kk n k x Cx = += ∑ = 01224 2 nn nn n n CCxCx Cx++++ Tổng tất cả các hệ số của khai triển là: () 01 1 1 n n nn n CC C+++=+= 2 1024 n = 10n⇒= Hệ số của 12 x 6k⇒= Vậy hệ số là: 6 10 210C = 2.Trong khai triển nhò thức 28 3 15 n xx x − ⎛ + ⎜ ⎝⎠ ⎞ ⎟ 9 ,hãy tìm số hạng không phụ thuộc x,biết (1) 12 79 nn n nn n CC C −− ++ = Gi ải (1) 12 17 nn nn CC −− ⇔+ + = 1 1 78 n n C − + ⇔= () () 1! 78 1!2! n n + ⇔= − ()() () 1! 1 156 1! nnn n −+ ⇔= − 2 156 0nn⇔+− = 13 0( ) 12 n lọai n =− < ⎡ ⇔ ⎢ = ⎣ () 12 28 28 4 12 12 3 15 15 3 12 . kk k ko x xx Cx x −− = ⎛⎞ += ⎜⎟ ⎝⎠ ∑ − = 112 16 12 55 12 0 k k k Cx −+ = ∑ Số hạng không phụ thuộc x 112 16 0 55 k⇔− + = 7k ⇔ = Vậy số hạng không phụ thuộc x là: 7 12 792C = 3.Tìm số hạng không chứa x của khai triển 17 3 4 32 1 x x ⎛⎞ + ⎜⎟ ⎝⎠ , 0 x ≠ Gi ải 17 3 4 32 1 x x ⎛⎞ + ⎜⎟ ⎝⎠ = () 2 3 17 17 3 4 17 0 . k k k k Cx x −− = ∑ = 34 17 17 312 17 0 k k k Cx −+ = ∑ số hạng không chứa x 34 17 0 312 k⇔− + = 8k ⇔ = Vậy số hạng không chứa x là: 8 17 24310C = 4.Tìm hệ số của x 10 trong khai triển 5 3 2 2 3,xx x ⎛⎞ 0 − ≠ ⎜⎟ ⎝⎠ Gi ải 5 3 2 2 3x x ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ = ()( ) 5 5 32 5 0 32 kk k k Cx x − − = − ∑ = 5 5155 5 0 3.(2) kk k k k Cx −− = − ∑ 5 10 1kk−=⇔= 14 5 .3 ( 2) 810−=− x 10 nên 15 Vậy hệ số của x 10 là C 5.Tìm hệ số của x 2 trong khai triển 10 3 1 1,xx x ⎛⎞ 0 + +≠ ⎜⎟ ⎝⎠ Gi ải 10 3 1 1 x x ⎛⎞ ++ ⎜⎟ ⎝⎠ = 10 3 10 0 1 k k k Cx x = ⎛⎞ + ⎜⎟ ⎝⎠ ∑ = () 10 3 10 00 . k ki ki k ki CCx x −− == ∑∑ i i 0 = 10 4 10 00 k kik k ki CCx −+ == ∑∑ x 2 nên 42 42ki ki−+ = ⇔ = − mà 01k≤≤ 04 210i⇔≤ −≤ 1 3 2 i⇔≤≤ , i ∈ { } 1; 2; 3i⇒= 12ik=⇒ =i 26ik=⇒=i 31ik=⇒=i 0 Vậy hệ số của x 2 là: 21 62 103 10 2 10 6 10 10 3360CC CC CC++ = 6.CMR: ( ) 02244 22212 22 2 2 3 3 3 2 2 1 nn n n nn n n CC C C − ++++ = + = 212 21 41 21 2.2 2 2 2 nn n n n − −− +=+ − 2 Gi ải Đặt A= 02244 2 22 2 2 3 3 3 nn nn n n CC C C++++ Ta có: () 2 2 2 0 1 n n kk n k x Cx = += ∑ = 01 22 22 22 2 2 nn nn n n CCxCx Cx++ ++ 3: x =i (1+3) 2n = 01 22 2 22 2 2 33 3 nn nn n n CC C C++ ++ 2 = 2 4 n ⇒ A+B (1) 3: x =−i 201 22 22 22 2 2 (1 3) 3 3 nnn nn n n CC Cx C−=− + −+ 2 (2) n ⇒− =A – B (2) (1)&(2)⇒2A= 22 4(2) nn +− ⇒ A= 2242 41 21 4(2) 22 22 22 nnnn nn − − +− + ==+ 1n− nn 1n x − n n nC ⇒ đpcm 7.CMR: 11 22 33 3 2. 3 3. 3 .4 nnn n nn n n CC C nCn −−− ++++= Gi ải Trong đó n là số tự nhiên lớn hơn hay bằng 1. Đặt f(x)=(3+x) n Ta có: (3+x) n = 0 3 n knk k n k Cx − = ∑ = 011 222333 3 3 3 nn n nn n n n CC xC xC x Cx −− − ++ + ++ f’(x) =n(3+x) n-1 = 11 22 332 3 2. 3 3. 3 nn n n nn n n CCxCxnC −− − ++ ++ f’(1)= 1 .4 n n − = 11 22 33 3 2. 3 3. 3 nnn nn n CC C −−− ++++ ⇒ đpcm 8. a)Tính () 2 0 1 n x dx+ ∫ b)CMR: 123 1 012 31 22 2 2 123 1 nn n nnn n CCC C nn ++ 1 − ++++ = + + Gi ải a) () 2 0 1 n x dx+ ∫ = () 1 1 2 0 1 n x n + + + = 1 31 1 n n + − + b)Ta có: () 0 1 n n kk n k x Cx = += ∑ = 01 22 nn nn n n CCxCx Cx++ ++ () () 22 01 22 00 1 n nn nn n n x dx C C x C x C x dx⇒+ = ++ ++ ∫∫ 23 1 012 2 0 123 1 n n nnn n xx x x CCC C n + ++++ + = = 23 1 012 22 2 2 123 1 n n nnn n CCC C n + ++++ + = 1 31 1 n n + − + ⇒ đpcm 9.Với mỗi số tự nhiên n tính tổng: S = 01 22 11 1 2 2 2 23 1 nn nn n n CC C C n ++ ++ + Gi ải Ta có: 0 (1 2 ) 2 n nkk n k k x Cx = += ∑ = 01 222 2 2 2 nnn nn n n CCxC x C x++ ++ () 11 01 222 00 (1 2 ) 2 2 2 nn nn n n nn x dx C C x C x C x dx+=++ ++ ∫∫ () 1 012223 1 1 31 1 1 1 2 2 2 0 212 2 3 1 n nnn nn n n Cx C x C x C x nn + + ⇔−=++ ++ ++ () 1 01 22 31 11 1 22 212 2 3 1 n nn nn n n CC C C nn + ⇔−=++++ ++ 2 Vaọy S = () 1 31 21 n n + + 2 10.Giaỷi phửụng trỡnh,heọ phửụng trỡnh,baỏt phửụng trỡnh: a) 43 2 11 2 5 0 4 nn n CC A = b) 2 2 153 yy xx x CC C + = = Gi i a) ẹk: 14 13 22 n n n 5;nn pt (1)! (1)! 5(2)! 0 4!( 5)! 3!( 4)! 4 ( 4)! nn n nnn = ( 1)! ( 1)! 5 ( 1)!( 2) 0 4!( 4)!( 5) 3!( 4)! 4 ( 4)! nnnn nn n n = (1)! 1 15 (2)0 (4)!24(5)64 n n nn = 115 (2)0 24( 5) 6 4 n n = 2 30 206 279 0nn+ = b) 2 2 153 yy xx x CC C + = = ẹk: 2 2 2 2 xy x xy xy x + + 2 ! 153 153 2!( 2)! x x C x = = () ( 2)!( 1) 153 2! 2 ! x xx x = 2 306 0xx = 18 17 0( ) x x loùai = = < () () 2 18! 18! !18 ! ( 2)!16 ! yy xx CC yyy y + = = + () () 11 !16!(17)(18)!(1)(2)16!yy yyyyy y = ++ 11 (17 )(18 ) ( 1)( 2)yyyy = ++ 22 306 35 3 2yy y y+=++ 8y= c) 22 3 2 16 10 2 xx x AA C x + ẹk: 0 22 3 2 3 x x x x x bpt ()() () 1(2)! ! 6 ! 10 2 2 2! 2! 3! 3! x xx xxxx + () () () 1 (2 2)!(2 1)2 ( 2)!( 1) 6 ( 3)!( 2)( 1) 10 2 2 2! 2! 3! 3! x xxx xx x xxx xxxx + 0 (21)(1) (2)(1)1 x xx xx x + 22 2 23xxxxx x+++210 3120 x + 4 x { } 34 Vaọy nghieọm cuỷa bpt laứ 3;4xx=