Một số ứng dụng của đồng dư thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRỊNH THỊ KIỀU VÂN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỒNG DƯ THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRỊNH THỊ KIỀU VÂN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỒNG DƯ THỨC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN VĂN HOÀNG THÁI NGUYÊN - NĂM 2015 i Mục lục Lời cảm ơn Danh sách hình vẽ Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Kiến thức đồng dư thức 1.2 Một vài áp dụng phổ biến đồng dư thức số học 1.2.1 Nghiên cứu dấu hiệu chia hết 1.2.2 Tìm số dư phép chia Một số ứng dụng đồng dư thức 2.1 Thiết kế mơ hình 2.2 Kiểm tra mã số sách ISBN 2.3 Trò chơi xếp p quân hậu (tùy chọn) 2.4 Giải đấu vịng trịn lượt (tùy chọn) 2.5 Tìm ngày, tháng, năm lịch vạn niên ii iii 3 11 16 16 22 30 33 38 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 ii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình Tiến sĩ Nguyễn Văn Hồng Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc trân trọng công lao, quan tâm, động viên tận tình bảo, hướng dẫn thầy suốt trình tác giả thực luận văn Trong trình học tập làm luận văn, từ giảng giáo sư, tiến sĩ cơng tác Viện tốn học, Trường Đại học Khoa học tự nhiên, trường Đại học sư phạm Hà Nội, trường Đại học Thái Nguyên, tác giả trau dồi thêm nhiều kiến thức để nâng cao trình độ Từ đáy lịng mình, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới tất thầy, cô Tác giả xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học Quan hệ quốc tế, khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập, thực hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè gia đình tạo điều kiện giúp đỡ, động viên tác giả hoàn thành luận văn iii Danh sách hình vẽ Stt Tên hình Trang Hình 16 Hình 17 Hình 18 Hình 18 Hình 19 Hình 19 Hình 20 Hình 20 Hình 21 10 Hình 10 21 11 Hình 11 23 12 Hình 12 24 13 Hình 13 26 14 Hình 14 28 15 Hình 15 31 16 Hình 16 33 17 Hình 17 34 18 Hình 18 37 Mở đầu Karl Friedrich Gauss (1777-1855) mệnh danh "Ơng vua tốn học", ơng có đóng góp lớn đại số, hình học, vật lý, thiên văn học Disquisitiones Arithmeticae ơng đặt móng cho lý thuyết số đại Gauss nói rằng, số học thống soái toán học Một mối quan hệ đáng ý lý thuyết số quan hệ đồng dư, việc phát minh kí hiệu đặc biệt ≡ Gauss ví dụ bật lợi mà bắt nguồn từ ký hiệu thích hợp Lý thuyết đồng dư Gauss đưa giải cách có hệ thống chặt chẽ ứng dụng rộng rãi toán học Đồng dư thức phương pháp có tính chất kỹ thuật giúp bổ sung giải quyêt số vấn đề số học như: Chia hết vành số nguyên, tìm dư phép chia, Đặc biệt đồng dư thức ứng dụng to lớn đời sống thực tế như: Trong lĩnh vực truyền thông phát sửa lỗi thông điệp truyền Kiểm tra chữ số thường sử dụng để phát sai sót chuỗi chữ số thập phân kiểm tra serial tờ tiền giấy ngân hàng, nhà xuất sách, thư viện, công ty Với cơng lao, đóng góp lớn Gauss, tờ tiền Mark Đức in hình ảnh nhà toán học Gauss đường cong chuẩn tắc tiếng ông Chúng ta thường không nhận thấy quan hệ đồng dư sống hàng ngày Qua luận văn ngồi ứng dụng biết tơi muốn nêu thêm số ứng dụng đồng dư thức thực tiễn đời sống Nội dung luận văn chia thành chương đề cập đến vấn đề sau đây: Chương 1: Trình bày kiến thức đồng dư thức vài áp dụng đồng dư thức số học như: Nghiên cứu dấu hiệu chia hết, tìm số dư phép chia Chương nghiên cứu mối quan hệ đồng dư Các mối quan hệ đồng dư có liên quan chặt chẽ, sử dụng xuyên suốt lý thuyết số Chương 2: Một số ứng dụng đồng dư thức thực tiễn đời sống Các ứng dụng đồng dư thức, phần sống hàng ngày: Ứng dụng thiết kế mơ hình, kiểm tra mã số sách ISBN, chò chơi xếp p quân hậu bàn cờ pxp, lịch giải đấu vịng trịn lượt, tìm ngày, tháng, năm lịch vạn niên Thái Nguyên, tháng năm 2015 Tác giả Trịnh Thị Kiều Vân Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Kiến thức đồng dư thức Trong chương này, ta quy ước tất chữ "a, b, c, x, y, z " biểu thị số nguyên tất môđun "m, n, " số nguyên dương Định nghĩa 1.1.1 (Định nghĩa đồng dư thức) Cho m số nguyên Số nguyên a đồng dư với số ngun b theo mơđun m m|(a − b) Kí hiệu a ≡ b (mod m) Trường hợp ngược lại ta kí hiệu a ≡ b (mod m) Tiếp theo ta nhắc lại số tính chất đồng dư thức Tính chất 1.1.2 (i) a ≡ b (mod m) tồn k ∈ Z để a = b + km (ii) a ≡ b (mod m) a b chia cho m số dư (iii) a ≡ a (mod m) (Tính chất phản xạ) (iv) Nếu a ≡ b (mod m), b ≡ a (mod m).(Tính chất đối xứng) (v) Nếu a ≡ b (mod m) b ≡ c (mod m) a ≡ c (mod m) (Tính chất bắc cầu) Tính chất 1.1.3 Nếu a ≡ b (mod m) c ≡ d (mod m) a + c ≡ b + d (mod m) ac ≡ bd (mod m) Hệ 1.1.4 (i) Nếu a ≡ b (mod m) c ≡ d (mod m) a − c ≡ b − d (mod m) (ii) Nếu a ≡ b (mod m) c số nguyên bất kỳ, a + c ≡ b + c (mod m), ac ≡ bc (mod m), a − c ≡ b − c (mod m), a2 ≡ b2 (mod m) (iii) Nếu a ≡ b (mod m), an ≡ bn (mod m) với n số nguyên dương Tính chất 1.1.5 (i) Nếu ac ≡ bc (mod m) (c, m) = 1, a ≡ b (mod m) (ii) Nếu ac ≡ bc (mod m) (c, m) = d, a ≡ b (mod m d ) Chứng minh (ii) Giả sử ac ≡ bc (mod m), có (c, m) = d Ta có m|(ac − bc), ac − bc = km (k ∈ Z) nên c(a − b) = km Chia hai vế cho d ta dc (a − b) = k md Biết ( dc , md ) = 1, md |(a − b) Vậy a ≡ b (mod m) Tính chất 1.1.6 Nếu a ≡ b (mod m1 ), a ≡ b (mod m2 ), , a ≡ b (mod mk ), a ≡ b (mod [m1 , m2 , , mk ]) Hệ 1.1.7 Nếu a ≡ b (mod m1 ), a ≡ b (mod m2 ), , a ≡ b (mod mk ), với m1 , m2 , , mk đơi ngun tố Khi a ≡ b (mod m1 m2 mk ) Hệ 1.1.8 Mỗi số ngun có 0, 1, 2, , (m − 1) đồng dư theo môđun m Ví dụ 1.1.9 (Tìm số thứ sáu ngày mười ba năm) Đồng dư sử dụng để tìm số thứ Sáu ngày mười ba năm cho Dù có hay khơng thứ Sáu ngày mười ba xảy tháng định phụ thuộc vào hai yếu tố: Thứ mà có ngày mười ba tháng trước số ngày tháng trước Giả sử năm khơng nhuận ta muốn tìm số ngày thứ Sáu năm này, giả sử ta biết ngày mười ba xảy vào tháng mười hai năm ngoái Lấy Mi số tháng từ tháng mười hai năm ngoái đến tháng mười năm nay, lấy Di số ngày tháng Mi Các giá trị Di tương ứng 31, 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30 Ta đặt tên cho ngày từ Chủ nhật đến thứ Bảy tương ứng số từ đến 6; Do thứ Sáu Ta có Di ≡ di (mod 7), ≤ di < Các giá trị tương ứng di 3, 3, 0, 3, 2, 3, 2, 3, 3, 2, 3, Mỗi giá trị di biểu diễn số mười ba tháng Mi phải cộng vào để tìm ngày mười ba rơi vào tháng Mi+1 Chẳng hạn ngày 13 tháng 12 năm 2000, ngày thứ Tư Vì vậy, ngày 13 tháng năm 2001 vào (3 + 3) = ngày 6, tức ngày thứ Bảy i dj (mod 7), ≤ i ≤ 12 Khi đó, ti biểu diễn cho tổng Lấy ti = j=1 số 13 tháng mười hai phải di chuyển để xác định ngày thứ mười ba tháng Mi Chẳng hạn, t3 ≡ d1 + d2 + d3 = + + ≡ (mod 7) Vì vậy, ngày 13 tháng 12 năm 2000 (thứ Tư), phải cộng thêm sáu ngày để xác định ngày 13 tháng ba năm 2001; Đó ngày (3 + 6) = ngày = ngày thứ Ba Chú ý nhiều giá trị khác ti theo môđun 3, 6, 6, 2, 4, 0, 2, 5, 1, 3, 6,và 1; Chúng bao gồm thặng dư nhỏ theo môđun Biết ngày 13 tháng 12, sử dụng thặng dư nhỏ để xác định ngày mười ba tháng Mi năm khơng nhuận Bảng tóm tắt tương ứng với lựa chọn ngày 13 tháng tháng năm không nhuận, tương ứng với lựa chọn ngày 13 tháng 12 năm trước Từ bảng ta thấy có nhiều ba ngày thứ Sáu ngày 13 năm không nhuận Đối với năm nhuận, nhiều giá trị khác di 3, 3, 1, 3, 2, 3, 2, 3, 3, 2, 3, 2; Các giá trị tương ứng ti 3, 6, 0, 3, 5, 1, 3, 6, 2, 4, 0, Từ xây dựng bảng tương tự cho năm nhuận 32 Giả sử có hai quân hậu vị trí (i1 , j1 ) (i2 , j2 ) Khi j1 ≡ f (i1 ) ≡ p+1 i1 (mod p) j2 ≡ f (i2 ) ≡ p+1 i2 (mod p) p+3 với i1 + j1 = k = i2 + j2 Khi i1 + j1 ≡ i1 (mod p) Tức p+3 p+3 i1 (mod p) Tương tự, ta có k ≡ i2 (mod p) Suy k ≡ 2 (p+3)i1 /2 ≡ (p+3)i2 /2 (mod p), i1 ≡ i2 (mod p) (vì (p, (p+3)/2) = 1) Vì i1 = i2 , suy j1 = j2 , điều mâu thuẫn Để chứng tỏ khơng có hai qn hậu đường chéo (hướng đường chéo chính), ta ý đường chéo ln có i − j số l, với − p ≤ l ≤ p − Ta giả sử l = − p l = p − Giả sử có hai qn hậu vị trí (i1 , j1 ) (i2 , j2 ) Khi j1 ≡ f (i1 ) ≡ p+1 i1 (mod p) j2 ≡ f (i2 ) ≡ p+1 i2 (mod p) 1−p p+1 Suy l = i1 − j1 ≡ i1 (mod p) ≡ i1 (mod p) Tương tự , 2 p+1 ta có l ≡ i2 (mod p) Do i1 = i2 (vì (p, (p + 1)/2) = i1 , i2 thặng dư nhỏ môđun p), suy j1 = j2 , điều mâu thuẫn Vậy, hai quân hậu bàn cờ cơng Thuật tốn xếp p qn hậu bàn cờ p × p Định nghĩa đệ quy f cho ta thuật tốn để xếp dịng cho quân hậu dòng bàn cờ p × p: • Xếp quân hậu thứ vào cột (p + 1)/2 Trong dòng kế tiếp, theo chu kì tiến sang phải (p + 1)/2 đặt quân hậu vào ô kết quả, tiếp tục đến quân hậu xếp vào dòng 33 2.4 Giải đấu vòng tròn lượt (tùy chọn) Trong giải đấu vòng tròn lượt, đội thi đấu với đội khác lần Giả sử ta có n đội, đánh số từ đến n Sau đó, giải đấu biểu đa giác với n đỉnh cặp đỉnh nối với nhau; Mỗi đỉnh biểu diễn đội cạnh nối i j biểu diễn trận đấu đội i đội j (Một biểu đồ gọi đồ thị đầy đủ với n đỉnh) Ví dụ, hình vẽ sau giải đấu vòng tròn lượt với đội chơi Hình 16 Đồ thị đầy đủ đỉnh Lấy gn kí hiệu cho số trận đấu n đội chơi giải đấu vòng tròn lượt Khi xác định quy tắc đệ quy sau: g1 = gn = gn−1 + (n − 1), n ≥ Giải quy tắc đệ quy ta thu công thức gn = n(n − 1) n = Ví dụ, đội chơi 10 trận Đồng dư thức sử dụng để lập lịch trình giải đấu vịng trịn lượt Nếu n chẵn, đội ghép cặp với đội khác; Nhưng n lẻ, khơng phải đội ghép cặp, có đội nhận vé vịng Vì thế, n lẻ, ta thêm đội giả X , đội đấu với X vòng nhận vé lượt Từ ta giả sử n chẵn 34 Việc giải cho tốn xếp p−qn hậu có liên hệ gần gũi với việc xây dựng lịch trình cho giải đấu vòng tròn lượt với p đội Lấy g(i, j) kí hiệu cho đội đấu vòng i với đội j Nếu g(i, j) = j , đội j coi nhận vé vòng i Ta định nghĩa g công thức g(i, j) ≡ i − j (mod p), thặng dư nhỏ mơđun p hiểu p Ví dụ, lấy p = Khi g(1, 1) = (mod 7), nên g(1, 1) = 7; Tương tự, g(1, 2) ≡ −1 (mod p), nên g(1, 2) = 6, g(1, 3) = 5, g(1, 4) ≡ (mod 7) (tức đấu với ảo nên vé) Bảng sau lịch đấu cho giải đấu vòng tròn lượt với đội chơi Hình 17 Xếp lịch cho giải đấu vòng tròn lượt với đội Bây thấy g xây dựng lịch thi đấu vòng tròn lượt cho p đội Đầu tiên, ta chứng minh ba định lý sau Định lý 2.4.1 Có đội nhận vé vòng Chứng minh Giả sử đội j1 j2 vé vịng i Khi g(i, j1 ) ≡ j1 (mod p) g(i, j2 ) ≡ j2 i − j1 ≡ j1 (mod p) i − j2 ≡ j2 (mod p), hay (mod p) * Trường hợp 1: Nếu i = j1 i = j1 = p Suy p − j2 ≡ j2 (mod p), nên 2j2 ≡ (mod p), j = p Do j1 = j2 * Trường hợp 2: Nếu i = j1 , g(i, j1 ) ≡ i − j1 ≡ (mod p), nên i ≡ 2j1 (mod p) 35 Nếu i = j2 g(i, j2 ) ≡ i ≡ p (mod p) Khi p ≡ 2j1 (mod p); tức j1 ≡ (mod p) hay j1 = p Suy i ≡ 2p ≡ (mod p), nên i = p Do i = j1 , điều mâu thuẫn Vậy i = j2 Do g(i, j2 ) ≡ i − j2 ≡ j2 (mod p) Dẫn đến i ≡ 2j2 (mod p), nên 2j1 ≡ 2j2 (mod p), hay j1 ≡ j2 (mod p), suy j1 = j2 Vậy hai trường hợp có j1 = j2 , nên có đội nhận vé vòng Định lý sau xác định đội nhận vé vòng Định lý 2.4.2 g(i, j) ≡ j (mod p) j ≡ p+1 i (mod p) Chứng minh Giả sử g(i, j) ≡ j (mod p) Nếu i = j g(i, j) ≡ p (mod p), nên i ≡ j ≡ p ≡ (mod p) Do đó, j ≡ (p + 1)i/2 (mod p) Nếu i = j , g(i, j) ≡ i − j (mod p) Khi i − j ≡ j (mod p), tức i ≡ 2j (mod p) Do (p + 1)i/2 ≡ (p + 1)2j/2 ≡ pj + j ≡ j (mod p) Vì thế, hai trường hợp, đội j vé vòng i j ≡ (p + 1)i/2 (mod p) Ngược lại, giả sử j ≡ (p + 1)i/2 (mod p) Khi g(i, j) ≡ i − j (mod p) ≡ i − (p + 1)i/2 ≡ (1 − p)i/2 ≡ (p + 1)i/2 ≡ j (mod ) (mod p) Vậy, đội j nhận vé vòng i Định lý sau g xác định lịch đấu đội đấu xác lần với đội khác Định lý 2.4.3 Hàm g(i, j) đơn ánh với i Chứng minh Giả sử g(i, j1 ) = g(i, j2 ), i − j1 ≡ i − j2 (mod p), nên j1 ≡ j2 (mod p); j1 = j2 g đơn ánh 36 Từ định lý 2.4.1 đến 2.4.3 thấy hàm g xác định tính đội đối kháng đội j vòng đấu i, với ≤ i, j ≤ p; Ở vòng i, đội j nhận vé j ≡ (p + 1)i/2 (mod p) Điều xác giá trị cơng thức 2.3 tìm cách xếp quân hậu thứ i, với ≤ i ≤ p Vì vậy, vé xảy vịng i giải đấu vịng trịn lượt xác ô mà quân hậu Q đứng dòng i bàn cờ p × p Với kết này, ta sử dụng hàm g để cải tiến thuật tốn p−qn hậu trở thành thuật tốn cho lịch trình giải đấu vòng tròn lượt với p đội (khi p ≥ 3) Thuật tốn xây dựng lịch trình giải đấu vịng trịn lượt với p đội • Xếp vé thứ vào cột (p + 1)/2; Trong dòng kế tiếp, chuyển tiếp sang phải (p + 1)/2 ô, đặt vé vào ô kết quả; Tiếp tục đến vé xếp vào dịng • Bắt đầu với thứ dòng 1, đếm ngược từ p đến điền chúng vào ô trống (tức nhảy qua ô có vé), ta nhận hốn vị p, p − 1, , vé, , 2, 1; Đối với dòng lại, ta đẩy số dòng trước sang bên phải bước gặp chặn cột cuối đảo ngược cột đầu (lưu ý bỏ qua có vé) Giả sử số đội n khơng số nguyên tố Ta ghép cặp vòng k sau: đội i (= n) chơi với đội j (= n) i + j ≡ k (mod n − 1), với i = j ; Lịch đấu tất các đội (ngoại trừ đội n i), với 2i ≡ k (mod n − 1) Phương trình đồng dư 2i ≡ k (mod n − 1), với ≤ i < n, có xác nghiệm i (2, n − 1) = 1; Do cặp đội i đội n vịng k Ta quy trình ghép cặp đội với đội khác vịng đấu (khơng cịn dư) Xét đội i, với ≤ i < n Vì phương trình 2i ≡ k (mod n − 1) có nghiệm i đội n ghép cặp với đội i, nên đội n đấu n − trận phân biệt Cũng vậy, giả sử đội i j đấu hai vịng khác k k , i + j ≡ k (mod n − 1) i + j ≡ k (mod n − 1); Suy k ≡ k (mod n − 1), mâu thuẫn Vì vậy, đội 37 n − đội chơi n − trận đấu khơng có hai đội chơi hai lần Đội n chơi với xác n − trận Ví dụ sau minh họa cho thuật tốn Ví dụ 2.4.4 Xây dựng lịch trình thi đấu cho giải đấu vịng trịn lượt với đội chơi Bài giải Trước hết, ta đánh số cho đội chơi từ đến Vì số đội lẻ, nên ta thêm đội giả X Bây ta chuẩn bị lịch đấu cho vòng Xây dựng lịch cho vòng 1: Đội đấu với đội j, với + j ≡ (mod 7); Khi j = 7, đội đấu với đội Đội đấu với đội j, với + j ≡ (mod 7); Suy j = 6, nên đội đấu với đội Tương tự, đội đấu với đội Bởi i = lời giải phương trình đồng dư 2i ≡ (mod 7), nên đội đấu với đội (đội X); Tức là, đội nhận vé vòng Xây dựng lịch đấu cho vịng 2: Bởi 2i ≡ (mod 7) i = 1, nên đội đấu với đội 8; Tức đội nhận vé vòng Đội đấu với đội j, với j + ≡ (mod 7), nên j = 7; Vì vậy, đội đấu với đội Tương tự, đội đấu với đội đội đấu với đội Tiếp tục vậy, ta tìm cặp đấu vịng khác Kết lịch đấu cho bảng Hình 18 Xếp lịch cho giải đấu vịng trịn lượt với đội Bài tập 3.1 Tìm cơng thức gn từ quy tắc đệ quy gn = gn−1 + (n − 1), với g1 = 38 Xây dựng lịch thi đấu vòng tròn lượt với 3.2 Năm đội 3.3 Sáu đội 3.4 Tám đội 2.5 3.5 Chín đội Tìm ngày, tháng, năm lịch vạn niên Trong phần này, ta tìm công thức thú vị để xác định ngày tuần cho ngày năm Vì tuần có ngày nên ta sử dụng đồng dư môđun để thực đạt mục tiêu này, trước hết ta nhắc lại chút kiến thức lịch sử Khoảng 738 năm trước công nguyên, Romulus, người sáng lập thành Rome, cho giới thiệu lịch gồm 10 tháng, năm 304 ngày Người kế nhiệm ông, Nauma, bổ sung thêm hai tháng vào lịch Lịch sử dụng Julius Caesar giới thiệu lịch Julian vào năm 46 trước công nguyên để giảm thiểu sai lệch lịch mặt trời năm Roman Lịch Julian bao gồm 12 tháng tháng có 30 ngày 31 ngày, trừ tháng Hai, có 29 ngày, cách bốn năm có tháng Hai có 30 ngày Năm Julian bắt đầu vào ngày tháng năm 45 trước công nguyên Năm Julian có 365,25 ngày, dài so với năm mặt trời 11 phút 14 giây, bốn năm có năm nhuận gồm 366 ngày Đến năm 1580, lịch Julian sử dụng lịch chính, chậm 10 ngày Tuy nhiên lịch sử dụng rộng rãi năm 1582 Đến tháng 10 năm 1582, nhà thiên văn học Fr Christopher Clavius Aloysius Giglio sáng lập lịch Gregory theo yêu cầu giáo hoàng Gregory XIII, để khắc phục lỗi lịch Julian Các lỗi tích lũy chậm 10 ngày bù đắp cách bỏ 10 ngày tháng Mười năm 1582 (ngày 05 tháng Mười trở thành ngày 15 tháng Mười) Lịch Gregory năm chẵn kỷ chia hết 400 năm nhuận; Tất năm không chẵn kỉ chia hết cho coi năm nhuận Ví dụ, năm 1776 năm 2000 năm nhuận, năm 1900 1974 không nhuận Ngày lịch Gregory sử dụng toàn giới, lịch xác lệch với năm mặt trời khoảng 24,5376 giây Có khác biệt năm theo lịch Gregory (dương lịch) có khoảng 365,2425 ngày, năm mặt trời có khoảng 365,242216 ngày Kết có sai lệch 39 ngày khoảng 10.000 năm Với lưu ý lịch Gregory (dương lịch), quay lại mục đích là: Hãy xác định ngày d tuần cho ngày thứ r tháng m cho năm y lịch Gregory Năm kỉ nhuận biết đến năm 1600 (18 năm sau giới thiệu lịch Gregory); Vì ta xây dựng cơng thức để tính cho năm từ sau năm 1600 Cũng năm nhuận bổ sung thêm ngày vào tháng Hai, nên ta tính tốn bắt đầu năm ngày tháng Ba Ví dụ, tháng Giêng năm 3000 coi tháng thứ 11 năm 2999, tháng Tư năm 3000 tháng thứ hai năm 3000; Cũng vậy, ngày 29 tháng Hai năm 1976 ngày cuối tháng 12 năm 1975 Vì vậy, ta gán số từ đến 12 tháng Ba đến tháng Hai, gán số đến số cho ngày từ Chủ nhật đến thứ Bảy; Do đó, ≤ m ≤ 12, ≤ r ≤ 31, ≤ d ≤ Ví dụ, m = biểu thị cho tháng Năm d = biểu thị cho thứ Sáu Bởi việc tính tốn cho y dài phức tạp, nên ta chia việc xây dựng cơng thức tính y làm nhiều bước nhỏ Lấy dy kí hiệu cho ngày (0 ≤ dy ≤ 6) tuần ngày tháng Ba (ngày năm) năm y (với y ≥ 1600) Tính tốn dy từ d1600 Bởi 365 ≡ (mod 7), nên dy = dy−1 + y năm không nhuận, dy = dy−1 + y năm nhuận, tức dy = dy−1 + dy−1 + y khơng nhuận y nhuận Để tính tốn dy từ d1600 , cần phải biết số năm nhuận l kể từ năm 1600, ta tính số l dựa vào bổ đề sau Bổ đề 2.5.1 Số năm nhuận năm kể từ năm 1600 đến năm y cho cơng thức l = y/4 − y/100 + y/400 − 388 Chứng minh Cho n năm miền 1600 < n ≤ y Để tìm cơng thức tính cho l, ta tiến hành theo bước sau: 40 Bước 1: Tìm năm n miền 1600 < n ≤ y chia hết cho Lấy 4n1 năm Khi 1600 < 4n1 ≤ y ; Tức 400 < n1 ≤ y/4 Do có n1 = y/4 − 400 năm Bước 2: Tìm số kỉ miền 1600 < n ≤ y Lấy 100n2 năm kỉ cho 1600 < 100n2 ≤ y Khi 16 < n2 ≤ y/100 Do có n2 = y/100 − 16 thể kỉ sau năm 1600 không vượt y Bước 3: Tìm số kỉ miền chia hết cho 400 Vì chúng có dạng 400n3 , nên ta có 1600 < 400n3 ≤ y Khi < n3 ≤ y/400, nên suy n3 = y/400 − Bước 4: Do đó, l = n1 − n2 + n3 = y/4 − 400 − y/100 + 16 + y/400 − = y/4 − y/100 + y/400 − 388 Như theo bổ đề trên, ta có số năm nhuận l tính từ sau năm 1600 đến năm y cho, tính công thức y y y l= − + − 388 (2.4) 100 400 Theo thuật toán chia, ta có y = 100C + D, với ≤ D < 100, C kí hiệu cho số kỉ năm y D biểu thị cho số năm lẻ lại, vậy: y C= D ≡ y (mod 100) 100 (Ví dụ y = 2345 C = 23, D = 45) Do 100C + D 100C + D 100C + D − + − 388 100 400 D C = 25C + −C + − 388 4 D C = 24C + + − 388 4 C D ≡ 3C + + − (mod 7) 4 l= (2.5) 41 Do ngày cho ngày thêm cho + năm từ 1600 năm nhuận từ 1600 ≡ d1600 + (y − 1600) + l (mod 7) dy ≡ d1600 + (mod 7) (2.6) Thay y l vào biểu thức ta D C + − (mod 7) 4 C D ≡ d1600 + (2C + D − + 3C − 3) + + (mod 7) 4 D C + (mod 7) ≡ d1600 + 5C + D + 4 C D ≡ d1600 − 2C + D + + (mod 7) (2.7) 4 dy ≡ d1600 + (100C + D − 1600) + 3C + Ta sử dụng công thức để xác định ngày dy (ví dụ xác định thứ ngày tháng Ba năm y , miễn ta biết trước ngày d1600 ) Thực tế, ta sử dụng cơng thức để tìm ngày d1600 từ giá trị biết dy Xác định d1600 Bởi ngày tháng Ba năm 1994 rơi vào ngày Thứ ba, nên d1994 = Với y = 1994, ta có C = 19, D = 94, theo cơng thức (2.7), ta có 19 94 + 4 ≡ + − − − (mod 7) d1600 ≡ + 2.19 − 94 − ≡ −4 ≡ (mod 7) (mod 7) Do ngày d1600 ngày Thứ tư Thay d1600 công thức (2.7) ta dy ≡ − 2C + D + D C + 4 (mod 7) (2.8) Công thức phù hợp để ta xác định ngày thứ ngày tháng Ba năm Bây ta mở rộng cơng thức để tìm ngày tháng năm cho 42 Mở rộng công thức (2.8) cho ngày r tháng m năm y Để tổng qt hóa cơng thức (2.8), ta cần biết số ngày tháng chuyển lên từ tháng trước theo mơđun Vì thế, ý rằng, ta có 30 ≡ (mod 7) 31 ≡ (mod 7) Do thứ tự ngày tuần tháng (trong bảng đây) mà có 30 ngày cộng thêm ngày, cịn tháng mà có 31 ngày cộng thêm ngày Ví dụ, ngày tháng Mười hai năm 1992, ngày thứ Ba (tức ngày tuần) Vì vậy, ngày tháng Một năm 1993, ngày 5=2+3, tức thứ Sáu tuần Vì vậy, ta có gia tăng thêm số ngày tháng sau: tháng Ba -> tháng Tư: ngày (vì tháng Ba có 31 ngày) tháng Tư -> tháng Năm: ngày (vì tháng Tư có 30 ngày) tháng Năm -> tháng Sáu : ngày (vì tháng Năm có 31 ngày) tháng Sáu -> tháng Bảy: ngày (vì tháng Sáu có 30 ngày) tháng Bảy -> tháng Tám: ngày (vì tháng Bảy có 31 ngày) tháng Tám -> tháng Chín: ngày (vì tháng Tám có 31 ngày) tháng Chín -> tháng Mười: ngày (vì tháng Chín có 30 ngày) tháng Mười -> tháng Mười Một: ngày (vì tháng Mười có 31 ngày) tháng Mười Một -> tháng Mười Hai: ngày (vì tháng Mười Một có 30 ngày) tháng Mười Hai -> tháng Một: ngày (vì tháng Mười Hai có 31 ngày) tháng Một -> tháng Hai: ngày (vì tháng Một có 31 ngày) Tìm hàm f cho quy tắc số ngày gia tăng Trước hết, ý tổng số ngày gia tăng 29 ngày Vì vậy, tính trung bình ta có số ngày gia tăng tháng 29 11 ≈ 2, ngày; Do đó, theo nhận xét Christian Zeller ta có hàm số f (m) = 2, 6m−0, −2 áp dụng để tính gia tăng ngày theo m thay đổi từ đến 12 (tức ≤ m ≤ 12) Ví dụ, f (3) − f (2) = ( 7, − 0, − 2) − ( 5, − 0, − 2) = (7 − 2) − (5 − 2) = 43 có gia tăng ngày từ tháng số (tháng Tư) đến ngày tháng số (tháng Năm) Do đó, theo cơng thức (2.8), ngày d tháng m cho dy + 2, 6m − 0, − (mod 7); Tức d ≡ − 2C + D + C/4 + D/4 + 2, 6m − 0, − (mod 7) D C + (mod 7) ≡ + 2, 6m − 0, − 2C + D + 4 Tìm cơng thức cho ngày r tháng m Ngày d tuần ngày thứ r tháng m xác định công thức d = d + (r − 1) (mod 7); Tức d ≡ r + 2, 6m − 0, − 2C + D + C D + 4 (mod 7) (2.9) Công thức cho phép ta xác định ngày thứ tuần ngày cho lịch Gregory, minh họa ví dụ Ví dụ 2.5.2 Hãy xác định xem ngày 13 tháng Một năm 2020 Thứ mấy? Bài giải Chú ý tháng Một năm 2020 tháng 11 năm 2019 (theo cách đánh số ta tính tốn: Vì có nhuận tháng Hai nên ta bắt đầu năm từ tháng Ba -> kết thúc năm tháng Hai; Nghĩa tháng Ba coi tháng 1, tháng Tư coi tháng 2, ), y = 2019, C = 20, D = 19, m = 11, r = 13 Khi theo cơng thức (2.9) ta có d ≡ 13 + 2, × 11 − 0, − × 20 + 19 + ≡ 13 + 28 − 40 + 19 + + ≡ 20 19 + 4 (mod 7) (mod 7) (mod 7) Vậy ngày 13 tháng Một năm 2020 ngày Thứ hai Ví dụ 2.5.3 Hãy xác định xem ngày 29 tháng Hai năm 1706 Thứ mấy? Bài giải Ta thấy tháng Hai năm 1706 tháng 12 năm 1705, 44 y = 1705, C = 17, D = 5, m = 12, r = 29 Khi d ≡ 29 + 2, × 12 − 0, − × 17 + + ≡ 29 + 31 − 34 + + + ≡ 17 + 4 (mod 7) (mod 7) (mod 7) Vậy ngày 29 tháng Hai năm 1706 ngày Thứ Hai Bài tập 4.1 Biết ngày tháng Một năm 2000, ngày thứ Bảy Hỏi ngày tuần ngày tháng Một năm 2020? 4.2 Biết ngày tháng Một năm 1990, ngày thứ Hai Hỏi ngày tuần ngày tháng Một năm 1976? 4.3 Xác định ngày tuần ngày lịch sử sau Ngày 17 tháng Một năm 1706 (ngày sinh Benjamin Franklin) Ngày 12 tháng Tư năm 1961 (ngày người bay không gian) Ngày 20 tháng Bảy năm 1969 (ngày hạ cánh lên mặt trăng) Ngày 19 tháng Mười năm 1863 (Gettysburg Address) Ngày tháng Ba năm 1876 (ngày trao sáng chế điện thoại cho Alexander Graham Bell) Ngày 17 tháng Mười hai năm 1903 (chuyến bay giới) Ngày 16 tháng năm 1945 (ngày nổ bom nguyên tử) Ngày 24 tháng Mười năm 1945 (United Nations thành lập) 4.4 Tìm ngày tuần trường hợp sau Nếu hôm ngày thứ Hai, 234 ngày ngày thứ mấy? Nếu hôm ngày thứ Sáu, 365 ngày ngày thứ mấy? Nếu hôm ngày thứ Tư, 1776 ngày ngày thứ mấy? 4.5 Ngày 01 tháng năm y xác định theo công thức y−1 y−1 y−1 x ≡ y+ − + (mod 7), (0 ≤ x ≤ 6) 100 (G L Ritter, 1977) Sử dụng công thức này, xác định ngày năm 1.2000 2.2020 3.2076 4.3000 45 Kết luận Luận văn "Một số ứng dụng đồng dư thức" trình bày nội dung sau: Một số kiến thức cần thiết đồng dư thức, định lý bổ đề có liên quan, vài áp dụng đồng dư thức số học Xét dấu hiệu chia hết, kỹ thuật để kiểm tra phát lỗi tính tốn, tìm số dư phép chia Luận văn trình bày số ứng dụng đồng dư thức thực tiễn đời sống Các ứng dụng đồng dư thức, phần sống hàng ngày: Ứng dụng thiết kế mơ hình, kiểm tra mã số sách ISBN, chò chơi xếp p hậu bàn cờ pxp, lịch giải đấu vòng tròn lượt, tìm ngày, tháng, năm lịch vạn niên Đến mục đích luận văn hồn thành Tuy nhiên cịn tính thực hành Hướng nghiên cứu áp dụng ứng dụng đồng dư thức thực tiễn sống, dạy học mơn Tốn Trung học phổ thơng Có thể viết chương trình máy tính để thực việc kiểm tra xem số nguyên n có chia hết 3, 5, 6, 9, 11 khơng? Viết chương trình xây dựng lịch trình cho giải đấu vòng tròn lượt với n > đội Xác định ngày, tháng, năm lịch ngày thứ tuần Tác giả luận văn hy vọng có dịp tìm hiểu sâu nội dung, ý nghĩa thực tiễn đồng dư thức vào toán học sống 46 Tài liệu tham khảo [A] Tiếng Việt [1] Nguyễn Hữu Hoan, Lý Thuyết Số, Nhà xuất Đại học Sư Phạm, Hà Nội, 2003 [2] Hà Huy Khoái, Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi tốn trung học phổ thơng Số học, Nhà xuất Giáo dục, 2003 [B] Tiếng Anh [3] Thomas Kosky, Elementary Number Theory with Applications, 2nd edition, Academic Press is an imprint of Elsevier (Chương 2, 4, 5) ... chẽ, sử dụng xuyên suốt lý thuyết số Chương 2: Một số ứng dụng đồng dư thức thực tiễn đời sống Các ứng dụng đồng dư thức, phần sống hàng ngày: Ứng dụng thiết kế mơ hình, kiểm tra mã số sách ISBN,... dư phép chia Luận văn trình bày số ứng dụng đồng dư thức thực tiễn đời sống Các ứng dụng đồng dư thức, phần sống hàng ngày: Ứng dụng thiết kế mơ hình, kiểm tra mã số sách ISBN, chò chơi xếp p hậu... Trình bày kiến thức đồng dư thức vài áp dụng đồng dư thức số học như: Nghiên cứu dấu hiệu chia hết, tìm số dư phép chia Chương nghiên cứu mối quan hệ đồng dư Các mối quan hệ đồng dư có liên quan