1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

Ứng dụng của Đạo Hàm, Tich Phân trong nhị thức Niuton

19 1K 1

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 19
Dung lượng 750,36 KB

Nội dung

Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức NewtơnBÀI GIẢNG – NHỊ THỨC NEWTƠN PHẦN A.. Áp dụng đạo hàm vào bài toán nhị thức NewTơn Dấu hiệu nh

Trang 1

Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn

BÀI GIẢNG – NHỊ THỨC NEWTƠN PHẦN A Áp dụng đạo hàm vào bài toán nhị thức NewTơn

Dấu hiệu nhận biết:

Các hệ số đứng trước tổ hợp và lũy thừa tăng dần từ 1 đến n (hoặc giảm từ n đến 1) (không kể dấu)

Hai khai triển thường dùng:

1 x  C C x C x  C x  C x 1

1x  C C x C x   1 C x   1 C x 2

i) Đạo hàm 2 vế của (1) hoặc (2)

ii) Cộng hoặc trừ (1) và (2) sau khi đã đạo hàm rồi thay số thích hợp

Ví dụ 7 Tính tổng S  C13 0  2 2C23 0  3 2 C2 33 0   2 9 22 8C2 93 0  3 0 2 C2 9 3 03 0

Giải

Ta có khai triển:

1 x  C C xC x  C x C x 1

C 2C x 29C x 30C x  30 1 x 2

C 2.2C 3.2 C  29.2 C 30.2 C  30 12 Vậy S 30

Ví dụ 8 Rút gọn tổng S C130 3.2 C2 330 5.2 C4 530 27.2 C26 2730 29.2 C28 2930

Giải

1x  C C x C x   C x C x 1

C 2C x 29C x 30C x  30 1 x 2 Thay x = 2 và x = – 2 lần lượt vào (2) ta được:

   29

C 2.2C 3.2 C   29.2 C 30.2 C  30 12 3

   29

C 2.2C 3.2 C  29.2 C 30.2 C  30 12 4

Cộng hai đẳng thức (3) và (4) ta được:

2(C 3.2 C 5.2 C  27.2 C 29.2 C )  30 3 1

Vậy S 15 3 29 1

Ví dụ 9 Rút gọn tổng S 2008C02007 2007C12007 2006C22007   2C20062007 C20072007

Giải

Ta có khai triển:

x 1  C x C x C x  C x C

Nhân 2 vế (1) với x ta được:

x x1  C x C x C x  C x C x 2

Trang 2

Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn

Người soạn: Vũ Trung Thành 2 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802

Đạo hàm 2 vế của (2) ta được:

2008C x 2007C x 2006C x  2C x C

 2006 (1 2008x) x 1

Thay x = 1 vào (3) ta được:2008C20070 2007C12007 2006C22007  2C20062007 C20072007  2009.22006

Cách khác:

Ta có khai triển:

 2007

C x C x C x  C x C 1 Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:

 2006  

2007C x 2006C x 2005C x  2C xC 2007 x1 2

Thay x = 1 vào (1) và (2) ta được:

 

C C C   C C 2 3

 

2007

  Cộng (3) và (4) ta được:2008C02007 2007C12007 2006C22007   2C20062007 C20072007  2009.22006

Vậy S 2009.22006

Ví dụ 10 Cho tổng S  2C0n 3C1n  4C2n  (n 1)Cn 1n (n 2)Cnn

với n   Tính n, biết S 320

Giải

Ta có khai triển:

1 x  C C x C x  C  x  C x 1

C x C x C x  C  x  C x   x 1x 2 Đạo hàm 2 vế của (2) ta được:

2C x 3C x  4C x  (n1)C  x (n 2)C x   2x 1 x nx (1 x)  3

Thay x = 1 vào (3) ta được:

 

2C 3C 4C  (n 1)C   (n2)C (4 n).2  4

n 1

S  320 (4 n).2   320  n  6

Cách khác:

Ta có khai triển:

1 x  C C x C x  C  x  C x 1

Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:

   n 1

C 2C x 3C x  nC x   n 1x  2

Thay x = 1 vào (1) và (2) ta được:

 

C C C C  C  C  2 3

 

C 2C 3C  (n1)C   nC  n.2  4

Nhân (3) với 2 rồi cộng với (4) ta được:

Trang 3

Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn

2C 3C 4C  (n 1)C  (n 2)C  (4n).2 

n 1

S  320 (4 n).2   320

Vậy n  6

2.2 Đạo hàm cấp 2

Dấu hiệu nhận biết:

Các hệ số đứng trước tổ hợp và lũy thừa tăng (giảm) dần từ 1.2 đến (n–1).n hoặc tăng (giảm) dần từ 12 đến n2 (không kể dấu)

1 x  C C x C x C x  C x  C x 1

C 2C x 3C x 4C x  nC x   n 1x  2 i) Tiếp tục đạo hàm 2 vế của (2) ta được:

1.2C 2.3C x3.4C x   (n 1)nC x   n(n1)(1 x)n 2 (3)

ii) Nhân x vào 2 vế của (2) ta được:

   n 1

C x 2C x 3C x 4C x  nC x  nx 1x  4

Đạo hàm 2 vế của (4) ta được:

 

1 C 2 C x3 C x  n C x   n(1nx)(1x)  5

Ví dụ 11 Tính tổng S 1.2C216 2.3C316 3.4C164   14.15C1516 15.16C1616

Giải

Ta có khai triển:

1 x  C C x C x C x  C x C x 1

Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:

C 2C x 3C x  15C x 16C x 16 1x 2

Đạo hàm 2 vế của (2) ta được:

 

1.2C 2.3C x 3.4C x  15.16C x  240(1 x) 3

Thay x = – 1 vào đẳng thức (3) ta được:

1.2C 2.3C 3.4C  14.15C 15.16C  0

Vậy S = 0

Ví dụ 12 Rút gọn tổng S 1 C2 12007 2 C2 22007 3 C2 32007   2006 C2 20062007 2007 C2 20072007

Giải

Ta có khai triển:

1 x  C C x C x   C x C x 1

Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:

   2006

C 2C x 3C x   2007C x  2007 1x 2

Nhân x vào 2 vế của (2) ta được:

   2006

C x 2C x 3C x  2006C x 2007C x  2007x 1x 2

Đạo hàm 2 vế của (3) ta được:

Trang 4

Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn

Người soạn: Vũ Trung Thành 4 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802

 

1 C 2 C x3 C x   2006 C x 2007 C x 2007(1 2007x)(1 x)  4 Thay x = 1 vào đẳng thức (4) ta được

1 C 2 C 3 C   2007 C  2007.2008.2

Vậy S 2007.2008.22005

Bài 1a Chứng minh rằng: 0 1 1

3 4 ( 3) n 2n (6 )

n

C là tổ hợp chập k của n phần tử.)

HD Ta có (1+x)n = C n0xC1n x C n n n nhân cả 2 vế với x3 ta được x3(1x)nx C3 n0x C4 1n x n3C n n lấy

đạo hàm hai vế và thay x = 1 ta có điều phải chứng minh

Bài 1b Tính tổng S 12C120012201022C20012 2200932C20013 22008 2011 2C2001201120

Bài 2 Cho n là số tự nhiên ,n2 tính 2 2 1 2 2 2 2 3 3 2

1

n

k

Trang 5

Luyện thi đại học - Chuyờn đề : Ứng dụng đạo hàm và tớch phõn vào khai triển nhị thức Newtơn

Bài 3 CMR n2, n nguyờn dương 2 1 2 2 2 3 2   2

1 C n2 C n 3 C nn C n nn n1 2n

Bài 4 Tỡm số nguyờn dương n biết:

2  3.2.2   ( 1)  k ( 1)2kk  2 (2 1)2 nn  40200

1 n k

k 1 n k 2

2 1 n 1

1 n 0

1 n 1 n

x C

x C ) 1 (

x C x C C

) x 1

 Lấy đạo hàm cả hai vế của (1) ta cú:

n 1 n 1 n 1

k k 1 n k 2

1 n 1

1 n n

x C ) 1 n 2 (

x kC ) 1 (

x C 2 C

) x 1 )(

1 n

Lại lấy đạo hàm cả hai vế của (2) ta cú:

1 n 1 n 1 n 2

k k 1 n k

3 1 n 2

1 n 1 n

x C ) 1 n ( n

x C ) 1 k ( k ) 1 (

x C 3 C 2 ) x

1

)(

1

n

(

Thay x = 2 vào đẳng thức trờn ta cú:

2n(2n 1) 2C  3.2.2C  ( 1) k(k 1)2  C  2n(2n 1)2  C 

Phương trỡnh đó cho 2n(2n 1) 40200 2n2 n 20100 0 n 100

Bài 5 Tớnh giỏ trị biểu thức sau:

2010 2011 2011 2008

2010 2011 2006

3 2011 2008

2 2011 2010

1

2011 2010 .2 2011 .2

2

1 3 2

1

2 2

1

C C

C C

C

 HD Xét:

2011

0

k i

 Lấy đạo hàm của f(x) 2 vế ta được:

(*)

2011

2

1

1 2

1 )

2

1

(

2011 x 2010 C12011 2010 kC2011 2011 x k 1 C20112011x2010

k

k

Cho x = 2 vào 2 vế của (*) ta được 2010 )2010

2

5 (

2011 )

2 2

1 (

T

Bài 6 Chứng minh rằng với n  N*, ta cú: n n n n n n

C22 C24 nC22

2

Xột (1x)2nC20nC x C x12n  22n 2C x23n 3C x24n 4 C x22n n 2n (1)

x 2 C20 C x C x21 22 2 C x23 3 C x24 4 C x22 2

Từ (1) và (2) 

n n

2

Lấy đạo hàm 2 vế ta được: 2C x22n 4C x24n 3 2 nC x22n n 2n1n(1x)2n1(1x)2n1

Trang 6

Luyện thi đại học - Chuyờn đề : Ứng dụng đạo hàm và tớch phõn vào khai triển nhị thức Newtơn

Người soạn: Vũ Trung Thành 6 Trường THPT Bỡnh Giang LH 0979791802

C22 C24 nC22 n 2 1

2

Bài 7 Tớnh tổng: S 2010C20080 220092009C1200822008 2008C20082 22007  3 C2008200722 2C200820082

Bài 8 Khai triển  30 2 30

1 5 xaa xa x  a x Tớnh tổng Sa0 2a1 3a2  30 a30

Bài 9 Áp dụng khai triển nhị thức Niutơn của  2 100

x x , chứng minh rằng:

Bài 10 Hóy tỡm số tự nhiờn n thoả món:

1.3 2 n 2.3.2 n 3.3 2 n 4.3 2 n (2 1).3 2 n n 73

HD Ta có(2 )2n 22n 02 .22n 1 12 2n 1.21 22n 1 2n.20 22n

Nhân 2 vế của (1) với x0 được

Lấy đạo hàm 2 vế của (2) ta được

2

2 0

2

(2 n 1) x n2 C n n

  Thay x=3 vào được

2

2 0

2

n n

n

n

C

Bài 11 Hóy tỡm số tự nhiờn n thoả món:

Trang 7

Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn

HD Ta có   0 1 2 2 2 1 2 1 2 2

2

2

n

n

x C C CCC

2

2

n

n

0

2

n

Theo giả thiết 1+4n =2013 n2012 : 453

Bài 12 Tìm số nguyên dương n biết:

2 3.2.2 ( 1) ( 1)2  2 (2 1)2   40200

HD Lại lấy đạo hàm cả hai vế của (2) ta có:

1 n 1 n 1 n 2

k k 1 n k

3 1 n 2

1 n 1 n

x C ) 1 n ( n

x C ) 1 k ( k ) 1 (

x C 3 C 2 ) x

1

)(

1

n

(

Thay x = 2 vào đẳng thức trên ta có:

2n(2n 1) 2C  3.2.2C  ( 1) k(k 1)2  C  2n(2n 1)2  C 

Phương trình đã cho  n( n1)40200 n2 n201000n100

Bài 13 Tính tổng S = 2C120106C3201010C52010  4018C20092010

Tính tổng S2C12012 12C20123 30C20125  2009.2010C20122009 2011.2012C20122011

2011

2010 2011 2010

3 2011 2

2011 1

2011 0

2011

2

2012 2

2011

2

1 4

3

C C

C C

C C

Bài 14 Tính tổng SC20110 2C120113C20112  2012C20112011

HD Xét đa thức: f x( ) x(1 x)2011x C( 20110 C12011xC20112 x2 C20112011x2011)

2011 2011 2011 2011

Ta có: f ( )xC20110  2C12011x 3C20112 x2  2012C20112011x2011

0 1 2 2011

2011 2011 2011 2011

Mặt khác: f ( )x  (1 x) 2011  2011(1 x) 2010 x (1 x) 2010 (1 2012 )  x

f/ (1)  2013.2 2010 ( )b

Từ (a) và (b) suy ra: S 2013.22010.

Bài 14 Tính giá trị biểu thức: 2 4 6 100

4 8 12 200

ACCC   C

Ta có: 100 0 1 2 2 100 100

1xCC x C x  C x (1)

 100 0 1 2 2 3 3 100 100

1xCC x C x C x  C x (2)

Lấy (1)+(2) ta được:

1x  1x 2C 2C x 2C x  2 C x

Lấy đạo hàm hai vế theo ẩn x ta được

100 1x 100 1x 4C x8C x  200 C x

Thay x=1 vào

100.2 4 8 200

Trang 8

Luyện thi đại học - Chuyờn đề : Ứng dụng đạo hàm và tớch phõn vào khai triển nhị thức Newtơn

Người soạn: Vũ Trung Thành 8 Trường THPT Bỡnh Giang LH 0979791802

Bài 15 Áp dụng khai triển nhị thức Niutơn của  2 100

x x , chứng minh rằng:

Bài 16 Hóy tỡm số tự nhiờn n thoả món:

1.3 2 n 2.3.2 n 3.3 2 n 4.3 2 n (2 1).3 2 n n 73

HD Ta có(2 )2n 22n 02 .22n 1 12 2n 1.21 22n 1 2n.20 22n

Nhân 2 vế của (1) với x0 được

xxx CxC   x C   xC (2)

Lấy đạo hàm 2 vế của (2) ta được

2

2 0

2

n

  Thay x=3 vào được

2

2 0

2

n n

n

n

C

Bài 17 Hóy tỡm số tự nhiờn n thoả món:

HD Ta cú   0 1 2 2 2 1 2 1 2 2

2

2

n

n

x C C CCC

2

2

n

n

lấy đạo hàm hai vế được

0

2

n

Theo giả thiết 1+4n =2013 n2012 : 453

2n 1 2.2 2n 1 3.2 2n 1 4.2 2n1 2 1 2n 2n n1 2005

C   C   C   C    nC  

HD ta có  2 1 0 1 2 2 2 1 2 1

1x n C n C nx Cnx  C n nx n

2n1 1x n C n 2C nx3C nx   2n1 C n nx n

Cho x=-2 ta đ-ợc n=1002

Bài 19 DB_A1-2006 Ứng dụng khai triển nhị thức Newtơn của  2 100

,

xx CMR

Trang 9

Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn

C     C      C     C    

HD

Bài 20 DB_D1-2007 Chứng minh với mọi n nguyên dương luơn cĩ

nC0n n1C1n   1n2Cnn2  1n1Cnn10

n n 1

n n 1 n 1

n 1 n n 0 n n

C 1 x C 1

x C x C 1

x          

n 1 n 2

n 1 n 1

n 0 n 1 n

C 1

x C 1 n x

nC 1

x

n 1 n 1

n

0

n n 1C 1 C nC

0       

Bài 21 Tính tổng SC1001 2.3.C1002 3.3 2C1003 4.3 3C1004  100.3  99C100100

Bài 22 Chứng minh: 0 2001 1 2000 2001 2001 0 2002

2002 2002 2002 2002 2002k 2002 k 2002 1 1001.2

k

HD Ta có: C n 1 n

n  do đó điều chứng minh trở thành:

Lấy đạo hàm 2 vế ta được : 2002.( 1)2001 2002 0 2001 2001 1 2000 1 2001

Cho x = 1 và lưu ý 2002.220011001.22002 ta được điều phải chứng minh

Bài 23 CMR 1 2 3   2 2 1   2 2 2 1  2 1 

2n 3.2 2n 2 1 2 k 2n k 2 1 2 n 2n n 3 n 1

CC   kC    n  C  n  

Trang 10

Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn

Người soạn: Vũ Trung Thành 10 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802

PHẦN B Áp tích phân vào bài toán nhị thức NewTơn

Dấu hiệu nhận biết:

Các hệ số đứng trước tổ hợp (và lũy thừa) giảm dần từ 1 đến 1

n1 hoặc tăng dần từ

1

n1 đến 1

1 x  C C x C x  C  x  C x 1 Lấy tích phân 2 vế của (1) từ a đến b ta được:

1x dx  C dx C xdx  C  x dx C x dx

a

Trong thực hành, ta dễ dàng nhận biết giá trị của n.Để nhận biết 2 cận a và b ta nhìn vào số hạng

n n

C

n 1

Ví dụ 13 Rút gọn tổng

Giải

Ta có khai triển:

1 x  C C xC x  C x C x 1

2

S

10

Ví dụ 14 Rút gọn tổng

Giải

Ta có khai triển:

1 x  C C x C x C x   C x  C x

Trang 11

Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn

0

n 1

S

n 1

Ví dụ 15 Rút gọn tổng sau:

Giải

1x  C C x C x  C x C x

1

101 3 S 101

Bài 1 Tìm số tự nhiên n thoả mãn: 0 1 1 1 2 1 3 1 1023

n

n

Bài 2 T×m hÖ sè a cña 4 x trong khai triÓn Niut¬n ®a thøc 4 2

f xx  x víi n lµ sè tù nhiªn tháa

m·n:

n n

Trang 12

Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn

Người soạn: Vũ Trung Thành 12 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802

Bài 3 Tìm hệ số của x20 trong khai triển Newton của biểu thức 5

3

2

n

x

x biết rằng:

( 1)

n

HD Theo Newton thì: (1x)nC n0C x C x1nn2 2 ( 1)  n C x n n nB

1

0

1 (1 )

1

n

x dx

n

1

0

( 1)

n

Lại có:

12

12

0

n k

k

  , T k1C12k 212k.x8k36 Số hạng ứng với thoả mãn:

8k3620k7  Hệ số của x20 là: C127.25 25344

Bài 4 Tìm số tự nhiên n thoả mãn:

1 2

8192

1 2

2

7

2

5

2

3

2

n

C n C

C C

n n n n

n n n

x C x

C x C C

x)2 20 12 22 2 22 2

1

n n n n

n n

2 2

2 2 1

2 0

2

)

1

(       (1x)2n  (1 ) 2( 2 2 )

2 4

4 2 2 2 2 0 2

n n

n n

  x n dx

1

0

2

)

1

1 0

2

1 0

2 2 2 4

4 2 2 2 2 0

(C n C n x C n x C n n x n dx

0

1

2

1

2

)

1

(

n

x n

0

1 2 2 2 1

0

3 2 2 1 0

0 2 1

0

1 2

1 2

3

2 1

2

) 1 (

n

x C

x C x C n

n n

n

n

2 1 2

1 1

2

1

22 1

n n

n

) 1 2

1

3

1

( 20n 22n C22n n

n C

C

1 2

22 1

n

n

n n n

n C

1 2

2

3

2 2

1 2

8192 1

2

22 1

n n

n

6

 n

Trang 13

Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn

Bài 5 Tìm hệ số của số hạng chứax trong khai triển 2

n

x



4

2

1 biết n là số nguyên dương thoả mãn:

1

6560

1

2

3

2

2

2

2

1 2

3 1

2

0

n

C n C

C

n n

n

n

n n

n n n

1

2 0

3 3 2 2 1 0 2

0

)

1

( x n dx C n C n x C n x C n x C n n x n dx

2 0

1

1

) 1 (

n

x n

2 0

1 2

0

3 2 2 0

2 1

2

0

0

1

3

n

x C

x C

x C

x

C

n n n n

n

1

1

3 1

n

n

n n n n

n

n C

C C

1

2

3

2 2

0

1

6560 1

1

3 1

n n

n

7 6561

3 14 7 7

0

7

2

1 2

k

x x





4

3 14

4

21

2

1 2 7

2 C

Bài 6 Tìm a và n nguyên dương thỏa :

n n

n

3 20

n

An

: A n3 20nn n( 1)(n2)20nn23n180  n = 6 và n = – 3 ( loại )

Khi đó:

127

a CC   C

Ta có : (1x)6 C60C x C x61  62 2C x63 3C x64 4C x65 5C x66 6

a

x dx C x C   C  

0

(1 )

a

7

a

Vậy a = 1 và n = 6

Bài 7 Tính tổng :

S   C   C   C    C

Tacó

2010

0

k

2010

0

k

2010 2010

2010 2010 2010 2010

2

Lấy tích phân 2 vế của (1) với cận từ 1 đến 2 ta được:

2010 2010 2010 2010

2

Ngày đăng: 21/05/2014, 15:50

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

  • Đang cập nhật ...

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w