Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức NewtơnBÀI GIẢNG – NHỊ THỨC NEWTƠN PHẦN A.. Áp dụng đạo hàm vào bài toán nhị thức NewTơn Dấu hiệu nh
Trang 1Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn
BÀI GIẢNG – NHỊ THỨC NEWTƠN PHẦN A Áp dụng đạo hàm vào bài toán nhị thức NewTơn
Dấu hiệu nhận biết:
Các hệ số đứng trước tổ hợp và lũy thừa tăng dần từ 1 đến n (hoặc giảm từ n đến 1) (không kể dấu)
Hai khai triển thường dùng:
1 x C C x C x C x C x 1
1x C C x C x 1 C x 1 C x 2
i) Đạo hàm 2 vế của (1) hoặc (2)
ii) Cộng hoặc trừ (1) và (2) sau khi đã đạo hàm rồi thay số thích hợp
Ví dụ 7 Tính tổng S C13 0 2 2C23 0 3 2 C2 33 0 2 9 22 8C2 93 0 3 0 2 C2 9 3 03 0
Giải
Ta có khai triển:
1 x C C xC x C x C x 1
C 2C x 29C x 30C x 30 1 x 2
C 2.2C 3.2 C 29.2 C 30.2 C 30 12 Vậy S 30
Ví dụ 8 Rút gọn tổng S C130 3.2 C2 330 5.2 C4 530 27.2 C26 2730 29.2 C28 2930
Giải
1x C C x C x C x C x 1
C 2C x 29C x 30C x 30 1 x 2 Thay x = 2 và x = – 2 lần lượt vào (2) ta được:
29
C 2.2C 3.2 C 29.2 C 30.2 C 30 12 3
29
C 2.2C 3.2 C 29.2 C 30.2 C 30 12 4
Cộng hai đẳng thức (3) và (4) ta được:
2(C 3.2 C 5.2 C 27.2 C 29.2 C ) 30 3 1
Vậy S 15 3 29 1
Ví dụ 9 Rút gọn tổng S 2008C02007 2007C12007 2006C22007 2C20062007 C20072007
Giải
Ta có khai triển:
x 1 C x C x C x C x C
Nhân 2 vế (1) với x ta được:
x x1 C x C x C x C x C x 2
Trang 2Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn
Người soạn: Vũ Trung Thành 2 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802
Đạo hàm 2 vế của (2) ta được:
2008C x 2007C x 2006C x 2C x C
2006 (1 2008x) x 1
Thay x = 1 vào (3) ta được:2008C20070 2007C12007 2006C22007 2C20062007 C20072007 2009.22006
Cách khác:
Ta có khai triển:
2007
C x C x C x C x C 1 Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:
2006
2007C x 2006C x 2005C x 2C xC 2007 x1 2
Thay x = 1 vào (1) và (2) ta được:
C C C C C 2 3
2007
Cộng (3) và (4) ta được:2008C02007 2007C12007 2006C22007 2C20062007 C20072007 2009.22006
Vậy S 2009.22006
Ví dụ 10 Cho tổng S 2C0n 3C1n 4C2n (n 1)Cn 1n (n 2)Cnn
với n Tính n, biết S 320
Giải
Ta có khai triển:
1 x C C x C x C x C x 1
C x C x C x C x C x x 1x 2 Đạo hàm 2 vế của (2) ta được:
2C x 3C x 4C x (n1)C x (n 2)C x 2x 1 x nx (1 x) 3
Thay x = 1 vào (3) ta được:
2C 3C 4C (n 1)C (n2)C (4 n).2 4
n 1
S 320 (4 n).2 320 n 6
Cách khác:
Ta có khai triển:
1 x C C x C x C x C x 1
Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:
n 1
C 2C x 3C x nC x n 1x 2
Thay x = 1 vào (1) và (2) ta được:
C C C C C C 2 3
C 2C 3C (n1)C nC n.2 4
Nhân (3) với 2 rồi cộng với (4) ta được:
Trang 3Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn
2C 3C 4C (n 1)C (n 2)C (4n).2
n 1
S 320 (4 n).2 320
Vậy n 6
2.2 Đạo hàm cấp 2
Dấu hiệu nhận biết:
Các hệ số đứng trước tổ hợp và lũy thừa tăng (giảm) dần từ 1.2 đến (n–1).n hoặc tăng (giảm) dần từ 12 đến n2 (không kể dấu)
1 x C C x C x C x C x C x 1
C 2C x 3C x 4C x nC x n 1x 2 i) Tiếp tục đạo hàm 2 vế của (2) ta được:
1.2C 2.3C x3.4C x (n 1)nC x n(n1)(1 x)n 2 (3)
ii) Nhân x vào 2 vế của (2) ta được:
n 1
C x 2C x 3C x 4C x nC x nx 1x 4
Đạo hàm 2 vế của (4) ta được:
1 C 2 C x3 C x n C x n(1nx)(1x) 5
Ví dụ 11 Tính tổng S 1.2C216 2.3C316 3.4C164 14.15C1516 15.16C1616
Giải
Ta có khai triển:
1 x C C x C x C x C x C x 1
Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:
C 2C x 3C x 15C x 16C x 16 1x 2
Đạo hàm 2 vế của (2) ta được:
1.2C 2.3C x 3.4C x 15.16C x 240(1 x) 3
Thay x = – 1 vào đẳng thức (3) ta được:
1.2C 2.3C 3.4C 14.15C 15.16C 0
Vậy S = 0
Ví dụ 12 Rút gọn tổng S 1 C2 12007 2 C2 22007 3 C2 32007 2006 C2 20062007 2007 C2 20072007
Giải
Ta có khai triển:
1 x C C x C x C x C x 1
Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:
2006
C 2C x 3C x 2007C x 2007 1x 2
Nhân x vào 2 vế của (2) ta được:
2006
C x 2C x 3C x 2006C x 2007C x 2007x 1x 2
Đạo hàm 2 vế của (3) ta được:
Trang 4Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn
Người soạn: Vũ Trung Thành 4 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802
1 C 2 C x3 C x 2006 C x 2007 C x 2007(1 2007x)(1 x) 4 Thay x = 1 vào đẳng thức (4) ta được
1 C 2 C 3 C 2007 C 2007.2008.2
Vậy S 2007.2008.22005
Bài 1a Chứng minh rằng: 0 1 1
3 4 ( 3) n 2n (6 )
n
C là tổ hợp chập k của n phần tử.)
HD Ta có (1+x)n = C n0xC1n x C n n n nhân cả 2 vế với x3 ta được x3(1x)n x C3 n0x C4 1n x n3C n n lấy
đạo hàm hai vế và thay x = 1 ta có điều phải chứng minh
Bài 1b Tính tổng S 12C120012201022C20012 2200932C20013 22008 2011 2C2001201120
Bài 2 Cho n là số tự nhiên ,n2 tính 2 2 1 2 2 2 2 3 3 2
1
n
k
Trang 5Luyện thi đại học - Chuyờn đề : Ứng dụng đạo hàm và tớch phõn vào khai triển nhị thức Newtơn
Bài 3 CMR n2, n nguyờn dương 2 1 2 2 2 3 2 2
1 C n2 C n 3 C n n C n n n n1 2n
Bài 4 Tỡm số nguyờn dương n biết:
2 3.2.2 ( 1) k ( 1)2k k 2 (2 1)2 n n 40200
1 n k
k 1 n k 2
2 1 n 1
1 n 0
1 n 1 n
x C
x C ) 1 (
x C x C C
) x 1
Lấy đạo hàm cả hai vế của (1) ta cú:
n 1 n 1 n 1
k k 1 n k 2
1 n 1
1 n n
x C ) 1 n 2 (
x kC ) 1 (
x C 2 C
) x 1 )(
1 n
Lại lấy đạo hàm cả hai vế của (2) ta cú:
1 n 1 n 1 n 2
k k 1 n k
3 1 n 2
1 n 1 n
x C ) 1 n ( n
x C ) 1 k ( k ) 1 (
x C 3 C 2 ) x
1
)(
1
n
(
Thay x = 2 vào đẳng thức trờn ta cú:
2n(2n 1) 2C 3.2.2C ( 1) k(k 1)2 C 2n(2n 1)2 C
Phương trỡnh đó cho 2n(2n 1) 40200 2n2 n 20100 0 n 100
Bài 5 Tớnh giỏ trị biểu thức sau:
2010 2011 2011 2008
2010 2011 2006
3 2011 2008
2 2011 2010
1
2011 2010 .2 2011 .2
2
1 3 2
1
2 2
1
C C
C C
C
HD Xét:
2011
0
k i
Lấy đạo hàm của f(x) 2 vế ta được:
(*)
2011
2
1
1 2
1 )
2
1
(
2011 x 2010 C12011 2010 kC2011 2011 x k 1 C20112011x2010
k
k
Cho x = 2 vào 2 vế của (*) ta được 2010 )2010
2
5 (
2011 )
2 2
1 (
T
Bài 6 Chứng minh rằng với n N*, ta cú: n n n n n n
C22 C24 nC22
2
Xột (1x)2n C20nC x C x12n 22n 2C x23n 3C x24n 4 C x22n n 2n (1)
x 2 C20 C x C x21 22 2 C x23 3 C x24 4 C x22 2
Từ (1) và (2)
n n
2
Lấy đạo hàm 2 vế ta được: 2C x22n 4C x24n 3 2 nC x22n n 2n1n(1x)2n1(1x)2n1
Trang 6Luyện thi đại học - Chuyờn đề : Ứng dụng đạo hàm và tớch phõn vào khai triển nhị thức Newtơn
Người soạn: Vũ Trung Thành 6 Trường THPT Bỡnh Giang LH 0979791802
C22 C24 nC22 n 2 1
2
Bài 7 Tớnh tổng: S 2010C20080 220092009C1200822008 2008C20082 22007 3 C2008200722 2C200820082
Bài 8 Khai triển 30 2 30
1 5 x a a xa x a x Tớnh tổng S a0 2a1 3a2 30 a30
Bài 9 Áp dụng khai triển nhị thức Niutơn của 2 100
x x , chứng minh rằng:
Bài 10 Hóy tỡm số tự nhiờn n thoả món:
1.3 2 n 2.3.2 n 3.3 2 n 4.3 2 n (2 1).3 2 n n 73
HD Ta có(2 )2n 22n 02 .22n 1 12 2n 1.21 22n 1 2n.20 22n
Nhân 2 vế của (1) với x0 được
Lấy đạo hàm 2 vế của (2) ta được
2
2 0
2
(2 n 1) x n2 C n n
Thay x=3 vào được
2
2 0
2
n n
n
n
C
Bài 11 Hóy tỡm số tự nhiờn n thoả món:
Trang 7Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn
HD Ta có 0 1 2 2 2 1 2 1 2 2
2
2
n
n
x C C C C C
2
2
n
n
0
2
n
Theo giả thiết 1+4n =2013 n2012 : 453
Bài 12 Tìm số nguyên dương n biết:
2 3.2.2 ( 1) ( 1)2 2 (2 1)2 40200
HD Lại lấy đạo hàm cả hai vế của (2) ta có:
1 n 1 n 1 n 2
k k 1 n k
3 1 n 2
1 n 1 n
x C ) 1 n ( n
x C ) 1 k ( k ) 1 (
x C 3 C 2 ) x
1
)(
1
n
(
Thay x = 2 vào đẳng thức trên ta có:
2n(2n 1) 2C 3.2.2C ( 1) k(k 1)2 C 2n(2n 1)2 C
Phương trình đã cho n( n1)40200 n2 n201000n100
Bài 13 Tính tổng S = 2C120106C3201010C52010 4018C20092010
Tính tổng S2C12012 12C20123 30C20125 2009.2010C20122009 2011.2012C20122011
2011
2010 2011 2010
3 2011 2
2011 1
2011 0
2011
2
2012 2
2011
2
1 4
3
C C
C C
C C
Bài 14 Tính tổng S C20110 2C120113C20112 2012C20112011
HD Xét đa thức: f x( ) x(1 x)2011x C( 20110 C12011xC20112 x2 C20112011x2011)
2011 2011 2011 2011
Ta có: f ( )x C20110 2C12011x 3C20112 x2 2012C20112011x2011
0 1 2 2011
2011 2011 2011 2011
Mặt khác: f ( )x (1 x) 2011 2011(1 x) 2010 x (1 x) 2010 (1 2012 ) x
f/ (1) 2013.2 2010 ( )b
Từ (a) và (b) suy ra: S 2013.22010.
Bài 14 Tính giá trị biểu thức: 2 4 6 100
4 8 12 200
A C C C C
Ta có: 100 0 1 2 2 100 100
1x C C x C x C x (1)
100 0 1 2 2 3 3 100 100
1x C C x C x C x C x (2)
Lấy (1)+(2) ta được:
1x 1x 2C 2C x 2C x 2 C x
Lấy đạo hàm hai vế theo ẩn x ta được
100 1x 100 1x 4C x8C x 200 C x
Thay x=1 vào
100.2 4 8 200
Trang 8Luyện thi đại học - Chuyờn đề : Ứng dụng đạo hàm và tớch phõn vào khai triển nhị thức Newtơn
Người soạn: Vũ Trung Thành 8 Trường THPT Bỡnh Giang LH 0979791802
Bài 15 Áp dụng khai triển nhị thức Niutơn của 2 100
x x , chứng minh rằng:
Bài 16 Hóy tỡm số tự nhiờn n thoả món:
1.3 2 n 2.3.2 n 3.3 2 n 4.3 2 n (2 1).3 2 n n 73
HD Ta có(2 )2n 22n 02 .22n 1 12 2n 1.21 22n 1 2n.20 22n
Nhân 2 vế của (1) với x0 được
x x x C x C x C x C (2)
Lấy đạo hàm 2 vế của (2) ta được
2
2 0
2
n
Thay x=3 vào được
2
2 0
2
n n
n
n
C
Bài 17 Hóy tỡm số tự nhiờn n thoả món:
HD Ta cú 0 1 2 2 2 1 2 1 2 2
2
2
n
n
x C C C C C
2
2
n
n
lấy đạo hàm hai vế được
0
2
n
Theo giả thiết 1+4n =2013 n2012 : 453
2n 1 2.2 2n 1 3.2 2n 1 4.2 2n1 2 1 2n 2n n1 2005
C C C C n C
HD ta có 2 1 0 1 2 2 2 1 2 1
1x n C n C nx C nx C n nx n
2n1 1x n C n 2C n x3C nx 2n1 C n nx n
Cho x=-2 ta đ-ợc n=1002
Bài 19 DB_A1-2006 Ứng dụng khai triển nhị thức Newtơn của 2 100
,
x x CMR
Trang 9Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn
C C C C
HD
Bài 20 DB_D1-2007 Chứng minh với mọi n nguyên dương luơn cĩ
nC0n n1C1n 1n2Cnn2 1n1Cnn10
n n 1
n n 1 n 1
n 1 n n 0 n n
C 1 x C 1
x C x C 1
x
n 1 n 2
n 1 n 1
n 0 n 1 n
C 1
x C 1 n x
nC 1
x
n 1 n 1
n
0
n n 1C 1 C nC
0
Bài 21 Tính tổng SC1001 2.3.C1002 3.3 2C1003 4.3 3C1004 100.3 99C100100
Bài 22 Chứng minh: 0 2001 1 2000 2001 2001 0 2002
2002 2002 2002 2002 2002k 2002 k 2002 1 1001.2
k
HD Ta có: C n 1 n
n do đó điều chứng minh trở thành:
Lấy đạo hàm 2 vế ta được : 2002.( 1)2001 2002 0 2001 2001 1 2000 1 2001
Cho x = 1 và lưu ý 2002.220011001.22002 ta được điều phải chứng minh
Bài 23 CMR 1 2 3 2 2 1 2 2 2 1 2 1
2n 3.2 2n 2 1 2 k 2n k 2 1 2 n 2n n 3 n 1
C C k C n C n
Trang 10Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn
Người soạn: Vũ Trung Thành 10 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802
PHẦN B Áp tích phân vào bài toán nhị thức NewTơn
Dấu hiệu nhận biết:
Các hệ số đứng trước tổ hợp (và lũy thừa) giảm dần từ 1 đến 1
n1 hoặc tăng dần từ
1
n1 đến 1
1 x C C x C x C x C x 1 Lấy tích phân 2 vế của (1) từ a đến b ta được:
1x dx C dx C xdx C x dx C x dx
a
Trong thực hành, ta dễ dàng nhận biết giá trị của n.Để nhận biết 2 cận a và b ta nhìn vào số hạng
n n
C
n 1
Ví dụ 13 Rút gọn tổng
Giải
Ta có khai triển:
1 x C C xC x C x C x 1
2
S
10
Ví dụ 14 Rút gọn tổng
Giải
Ta có khai triển:
1 x C C x C x C x C x C x
Trang 11Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn
0
n 1
S
n 1
Ví dụ 15 Rút gọn tổng sau:
Giải
1x C C x C x C x C x
1
101 3 S 101
Bài 1 Tìm số tự nhiên n thoả mãn: 0 1 1 1 2 1 3 1 1023
n
n
Bài 2 T×m hÖ sè a cña 4 x trong khai triÓn Niut¬n ®a thøc 4 2
f x x x víi n lµ sè tù nhiªn tháa
m·n:
n n
Trang 12Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn
Người soạn: Vũ Trung Thành 12 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802
Bài 3 Tìm hệ số của x20 trong khai triển Newton của biểu thức 5
3
2
n
x
x biết rằng:
( 1)
n
HD Theo Newton thì: (1x)n C n0C x C x1n n2 2 ( 1) n C x n n n B
Vì
1
0
1 (1 )
1
n
x dx
n
1
0
( 1)
n
Lại có:
12
12
0
n k
k
, T k1C12k 212k.x8k36 Số hạng ứng với thoả mãn:
8k3620k7 Hệ số của x20 là: C127.25 25344
Bài 4 Tìm số tự nhiên n thoả mãn:
1 2
8192
1 2
2
7
2
5
2
3
2
n
C n C
C C
n n n n
n n n
x C x
C x C C
x)2 20 12 22 2 22 2
1
n n n n
n n
2 2
2 2 1
2 0
2
)
1
( (1x)2n (1 ) 2( 2 2 )
2 4
4 2 2 2 2 0 2
n n
n n
x n dx
1
0
2
)
1
1 0
2
1 0
2 2 2 4
4 2 2 2 2 0
(C n C n x C n x C n n x n dx
0
1
2
1
2
)
1
(
n
x n
0
1 2 2 2 1
0
3 2 2 1 0
0 2 1
0
1 2
1 2
3
2 1
2
) 1 (
n
x C
x C x C n
n n
n
n
2 1 2
1 1
2
1
22 1
n n
n
) 1 2
1
3
1
( 20n 22n C22n n
n C
C
1 2
22 1
n
n
n n n
n C
1 2
2
3
2 2
1 2
8192 1
2
22 1
n n
n
6
n
Trang 13Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn
Bài 5 Tìm hệ số của số hạng chứax trong khai triển 2
n
x
4
2
1 biết n là số nguyên dương thoả mãn:
1
6560
1
2
3
2
2
2
2
1 2
3 1
2
0
n
C n C
C
n n
n
n
n n
n n n
1
2 0
3 3 2 2 1 0 2
0
)
1
( x n dx C n C n x C n x C n x C n n x n dx
2 0
1
1
) 1 (
n
x n
2 0
1 2
0
3 2 2 0
2 1
2
0
0
1
3
n
x C
x C
x C
x
C
n n n n
n
1
1
3 1
n
n
n n n n
n
n C
C C
1
2
3
2 2
0
1
6560 1
1
3 1
n n
n
7 6561
3 14 7 7
0
7
2
1 2
k
x x
4
3 14
4
21
2
1 2 7
2 C
Bài 6 Tìm a và n nguyên dương thỏa :
n n
n
3 20
n
A n
: A n3 20nn n( 1)(n2)20nn23n180 n = 6 và n = – 3 ( loại )
Khi đó:
127
a C C C
Ta có : (1x)6 C60C x C x61 62 2C x63 3C x64 4C x65 5C x66 6
a
x dx C x C C
0
(1 )
a
7
a
Vậy a = 1 và n = 6
Bài 7 Tính tổng :
S C C C C
Tacó
2010
0
k
2010
0
k
2010 2010
2010 2010 2010 2010
2
Lấy tích phân 2 vế của (1) với cận từ 1 đến 2 ta được:
2010 2010 2010 2010
2