Biến đổi Fourier và một số ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN THỊ HỒNG BIẾN ĐỔI FOURIER VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN THỊ HỒNG BIẾN ĐỔI FOURIER VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: Tiến sĩ Bùi Kiên Cường Hà Nội - 2014 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn Tiến sĩ Bùi Kiên Cường Trong suốt trình học tập, nghiên cứu thực luận văn, hướng dẫn tận tình thầy, tác giả hoàn thiện nhiều mặt kiến thức phương pháp nghiên cứu khoa học Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, kính trọng sâu sắc thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, thầy giáo ngồi nhà trường giảng dạy cao học chun ngành Tốn giải tích giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả xin trân trọng cảm ơn Sở GD-ĐT Ninh Bình, Ban Giám hiệu thầy cô giáo Trường THPT Hoa Lư A, tỉnh Ninh Bình gia đình, bạn bè ln động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hồn thành khóa học Thạc sĩ luận văn tốt nghiệp Hà Nội, ngày 10 tháng 06 năm 2014 Tác giả Trần Thị Hồng i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, hướng dẫn Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, luận văn thạc sĩ chuyên ngành Tốn giải tích với đề tài “Biến đổi Fourier số ứng dụng” hoàn thành tác giả, không chép từ đề tài khác Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn sâu sắc Hà Nội, ngày 10 tháng 06 năm 2014 Tác giả Trần Thị Hồng Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Ký hiệu sử dụng luận văn v Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số không gian hàm 1.1.1 Không gian Lp (Rn ) (1 ≤ p ≤ ∞) 1.1.2 Không gian hàm giảm nhanh S (Rn ) 1.1.3 Không gian hàm suy rộng tăng chậm S (Rn ) 1.1.4 Không gian Sobolev 1.2 Tích chập 10 1.3 Một số công thức liên quan 11 Biến đổi Fourier 12 2.1 Biến đổi Fourier không gian L1 (Rn ) 12 2.2 Biến đổi Fourier không gian S (Rn ) 24 2.3 Biến đổi Fourier không gian L2 (Rn ) 37 iii 2.4 Biến đổi Fourier không gian S (Rn ) 41 2.5 Một số biểu diễn khác biến đổi Fourier 49 2.6 Mối liên hệ với biến đổi Laplace 50 Kết luận chương Một số ứng dụng biến đổi Fourier 3.1 54 Ứng dụng biến đổi Fourier vào giải phương trình vi, tích phân 54 3.1.1 Giải phương trình vi phân thường 54 3.1.2 Giải phương trình đạo hàm riêng 58 3.1.3 Giải phương trình tích phân 64 3.2 Định lý lấy mẫu Shannon 68 3.3 Ứng dụng xác suất thống kê 71 3.4 Một số ứng dụng lý thuyết giả vi phân, lý thuyết giải tích thời gian - tần số 73 3.4.1 Ứng dụng lý thuyết giả vi phân 73 3.4.2 Ứng dụng lý thuyết giải tích thời gian – tần số 79 Kết luận chương Tài liệu tham khảo 91 iv KÝ HIỆU SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN • α = (α1 , α2 , , αn ) ∈ Nn : đa số α! = α1 !α2 ! αn ! |α| = α1 + α2 + · · · + αn : cấp (độ dài) đa số α • Cho α, β ∈ Nn , α ≤ β ⇔ αj ≤ βj ; ∀j = 1, n Với α ≤ β, ký hiệu β α = β1 α1 βj αj = Cβjj = β2 βn ··· α2 αn α βj ! αj ! (βj − αj )! • Cho α = (α1 , α2 , , αn ) ∈ Nn , x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn , ký hiệu xα = xα1 xα2 xαnn ∂ ∂xj : đạo hàm riêng theo biến |α| ∂ α = ∂1α1 ∂2α2 ∂nαn = ∂xα1 ∂x∂α2 ∂xαnn |α| α |α| α α D = i ∂ = (−i) ∂ , (−D)α • ∂j = thứ j, Dj = 1i ∂j = −i∂j = (−1)|α| Dα • Với x, ξ ∈ Rn , ký hiệu x, ξ ≡ xξ = x1 ξ1 + x2 ξ2 + · · · + xn ξn |x| = x, x = x = + |x| x21 + x22 + · · · + x2n λs ≡ λs (ξ) = ξ s , s ∈ R • Với ϕ ∈ S (Rn ), ký hiệu ϕ (x) = ϕ (−x) với x ∈ Rn • H(x) = x > 0 x < : hàm bước nhảy đơn vị Heaviside • C ∞ (Rn ): khơng gian tất hàm f : Rn → C khả vi vơ hạn Rn • C0∞ (Rn ): không gian tất hàm f : Rn → C khả vi vơ hạn Rn có suppf tập compact Rn , suppf = {x ∈ Rn |f (x) = 0} gọi giá hàm f vi Mở đầu Lý chọn đề tài Trong gần hai kỷ qua, biến đổi tích phân có biến đổi Fourier sử dụng cách hiệu để giải nhiều toán toán học ứng dụng, vật lý khoa học kỹ thuật Về mặt lịch sử, nguồn gốc biến đổi Fourier tìm thấy luận án Joseph Fourier (1768-1830) xuất năm 1822, Théorie analytique de la chaleur Trong luận án, Fourier cung cấp lý thuyết toán học đại truyền nhiệt, chuỗi Fourier tích phân Fourier ứng dụng, ơng trình bày kết quan trọng định lý tích phân Fourier, đồng thời đưa số ví dụ trước phát biểu hàm tùy ý xác định đoạn hữu hạn khai triển thành chuỗi lượng giác gọi chuỗi Fourier Trong cố gắng mở rộng ý tưởng hàm xác định khoảng vô hạn, Fourier khám phá biến đổi tích phân cơng thức biến đổi ngược mà ngày gọi biến đổi Fourier biến đổi Fourier ngược Biến đổi Fourier hữu dụng việc giải phương trình tích phân phương trình đạo hàm lý sau: Thứ nhất, với việc thực phép biến đổi Fourier, phương trình thay phương trình đại số phương trình vi phân đơn giản, nghiệm phương trình cho theo biến ban đầu nghịch đảo nghiệm biến đổi Thứ hai, nghiệm biến đổi kết hợp với định lý tích chập cho ta cơng thức biểu diễn nghiệm cần tìm Vì thế, nhiều toán biên toán ban đầu tuyến tính tốn học ứng dụng, tốn lý khoa học kĩ thuật giải hiệu cách sử dụng biến đổi Fourier Biến đổi Fourier công cụ quan trọng lý thuyết giả vi phân tính chất tiện lợi nó, biến đổi Fourier thay phép lấy đạo hàm phép nhân với đa thức Nhờ tính chất mà tốn tử đạo hàm P (D) (với hệ số hằng) chuyển thành toán tử nhân Mp : f → pf với p (ξ) đa thức, p (ξ) gọi biểu trưng P (D) (xem [5], công thức (5.41)-(5.44)) Người ta mở rộng ý tưởng để xây dựng lớp biểu trưng (phụ thuộc vào hai biến x, ξ) lớp toán tử tổng quát gọi toán tử giả vi phân Bên cạnh đó, biến đổi Fourier cổ điển e−2πitω f (x) dx; x, ω ∈ Rn f (ω) = Rn có thiếu sót ứng dụng vào giải tích tín hiệu, thơng tin kết nối thời gian tần số xuất tín hiệu f (t) bị ẩn Tuy nhiên, biến đổi Fourier thời gian ngắn - cải tiến phép biến đổi Fourier cổ điển việc nhân hàm số dấu tích phân với hàm có giá compact, gọi hàm cửa sổ, giúp nhà phân tích tín hiệu xác định cửa sổ soi tần số tín hiệu theo thời gian thực, gọi cửa sổ thời gian - tần số Phép biến đổi Fourier thời gian ngắn góp phần quan trọng việc xây dựng biểu diễn thời gian tần số, trở thành công cụ xuất sắc cách mạng số hóa Ngồi ra, lý thuyết biến đổi Fourier xuất lĩnh = (2π)−n eixξ a (x, ξ) λϕ + β ψ (ξ) dξ Rn = (2π)−n eixξ a (x, ξ) λϕ (ξ) + β ψ (ξ) dξ n  R  = λ (2π)−n  eixξ a (x, ξ) ϕ (ξ) dξ    Rn   + β (2π)−n  eixξ a (x, ξ) ψ (ξ) dξ    Rn = λa (x, D) ϕ (x) + µa (x, D) ψ (x) Để chứng minh a (x, D) liên tục ta cần chứng minh a (x, D) liên tục n hàm không θ ∈ S (Rn ) Giả sử {ϕk }∞ k=1 ⊂ S (R ) ϕk → θ k → ∞, ϕk → θ, dẫn tới với M ∈ N, ∀α ∈ Nn sup ξ M Dα ϕk (ξ) → k → ∞ ξ∈Rn Theo lập luận ta có xα Dxβ (a (x, D) ϕk ) (x) ≤ M γ≤β δ≤α ξ 2m−|α|+|δ| Dξδ (ξ γ ϕk (ξ)) dξ Rn Lại có Dξρ ξ γ Dδ−ρ ϕk (ξ), Dξδ (ξ γ ϕk (ξ)) = ρ≤δ Dξρ ξ γ = (−i)|ρ| ∂ξρ = (−i)|ρ| ρ! γ ρ ξ γ−ρ , ρ ≤ γ , lại Do (−i)|ρ| ρ! Dξδ (ξ γ ϕk (ξ)) = ρ≤δ ρ≤γ Dẫn tới xα Dxβ (a (x, D) ϕk ) (x) 77 γ γ−ρ δ−ρ ξ D ϕk (ξ) ρ ≤ Rn γ≤β δ≤α = 2m−|α|+|δ| ξ M ρ≤δ ρ≤γ ≤ Rn ρ≤δ ρ≤γ M ≤ M = M γ≤β δ≤α ξ γ−ρ Dδ−ρ ϕk (ξ) dξ 2m−|α|+|δ| γ−ρ ξ ξ Dδ−ρ ϕk (ξ) dξ |ξ||γ|−|ρ| Dδ−ρ ϕk (ξ) dξ γ ρ ξ 2m−|α|+|δ| ρ! γ ρ ξ 2m−|α|+|δ| ρ! γ ρ ξ 2m−|α|+|δ|+|γ|−|ρ| ξ 2m−|α|+|δ|+|γ|−|ρ| Rn ρ≤δ ρ≤γ γ≤β δ≤α γ ρ ρ! Rn ρ≤δ ρ≤γ γ≤β δ≤α γ ρ ρ! M γ≤β δ≤α ρ! Rn ρ≤δ ρ≤γ ξ |γ|−|ρ| Dδ−ρ ϕk (ξ) dξ Dδ−ρ ϕk (ξ) dξ sup xα Dxβ (a (x, D) ϕk ) (x) x∈Rn ≤ M γ≤β δ≤α ρ! Rn ρ≤δ ρ≤γ γ ρ sup Dδ−ρ ϕk (ξ) dξ → ξ∈Rn Điều chứng tỏ a (x, D) liên tục θ ∈ S (Rn ) nên liên tục S (Rn ) Định nghĩa 3.26 Cho a ∈ S ∞ ϕ ∈ S (Rn ) Toán tử a (x, D) xác định công thức a (x, D) ϕ (x) = (2π)−n eixξ a (x, ξ) ϕ (ξ) dξ Rn gọi toán tử giả vi phân tác động S (Rn ) Cấp a gọi cấp toán tử giả vi phân tương ứng Định lý 3.27 Cho a ∈ S ∞ ϕ, ψ ∈ S (Rn ), (a∗ (x, D) ϕ, ψ) = (ϕ, a (x, D) ψ) Định lý 3.25 Định lý 3.27 cho phép mở rộng toán tử a (x, D) S (Rn ) thành toán tử a (x, D) S (Rn ) sau 78 Định nghĩa 3.28 Cho a ∈ S ∞ , toán tử a (x, D) : S (Rn ) → S (Rn ) xác định a (x, D) u, ϕ = u, a∗ (x, D) ϕ gọi toán tử giả vi phân tác động S (Rn ) Nếu a ∈ S m ta nói a (x, D) có cấp m Mệnh đề 1.25 toán tử đạo hàm riêng cấp m với hệ số thuộc H ∞ ánh xạ liên tục H s vào H s−m với s Tính chất mở rộng cho tốn tử giả vi phân có bậc m Định lý 3.29 Cho a ∈ S m , với s ∈ R, tồn số Cs cho a (x, D) u ∈ H s−m a (x, D) u s−m ≤ Cs u s với u ∈ H s Từ suy toán tử giả vi phân a (x, D) cấp m ánh xạ H s vào H s−m tuyến tính liên tục 3.4.2 Ứng dụng lý thuyết giải tích thời gian – tần số Biến đổi Fourier cơng cụ quan trọng xử lý tín hiệu, nhiên, phép biến đổi cổ điển khơng thể đem lại thông tin thực miền thời gian tần số cách đồng thời, Gabor đưa phép biểu biến đổi Fourier thời gian ngắn (1946) đảm bảo việc xác định cửa sổ thời gian - tần số soi đồng thời vào miền thời gian miền tần số theo thời gian thực tín hiệu Biến đổi Fourier thời gian ngắn làm cách mạng khoa học công nghệ xử lý số hóa âm thanh, hình ảnh, Sau đây, luận văn đề cập tới số khái niệm giải tích thời gian - tần số định nghĩa qua biến đổi Fourier thời gian ngắn Để đảm bảo ý nghĩa vật lý trình bày ứng dụng biến đổi Fourier giải tích thời gian tần số, phần tiếp theo, luận văn sử dụng 79 biến đổi Fourier xác định cặp công thức sau e−2πitω f (t) dt, f (t) = f (ω) = Rn Rn 3.4.2.1 e2πitω f (ω) dω Biến đổi Fourier thời gian ngắn Cho hàm f xác định Rn , đặt Tx f (t) = f (t − x) , Mω f (t) = e2πiωt f (t) Khi đó, f ∈ L2 (Rn ) Tx f, Mω f ∈ L2 (Rn ) ta có Tx f = M−x f , Mω f = Tω f Với f, g ∈ L2 (Rn ) Tx g ∈ L2 (Rn ), suy f.Tx g ∈ L1 (Rn ) Theo công thức biến đổi Fourier L1 (Rn ) ta có e−2πiωt f (t) Tx g (t) dt F [f.Tx g] (ω) = Rn e−2πixω f (t) g (t − x)dt; x, ω ∈ Rn = Rn Cơng thức hồn tồn xác định f ∈ Lp (Rn ) g ∈ Lp (Rn ) < p, p < ∞ thỏa mãn p1 + p1 = Từ ta có định nghĩa sau Định nghĩa 3.30 Cố định hàm g = (g gọi hàm cửa sổ) Khi biến đổi Fourier thời gian ngắn (còn gọi biến đổi Gabor hay biến đổi Fourier cửa sổ) hàm f theo g, kí hiệu Vg f xác định công thức e−2πitω f (t) g (t − x)dt; x, ω ∈ Rn Vg f (x, ω) = (3.11) Rn Định lý 3.31 Nếu f, g ∈ L2 (Rn ) Vg f liên tục R2n Vg f (x, ω) = F [f.Tx g] (ω) = f, Mω Tx g 80 = e−2πixω Vg f (ω, −x) x x −2πitω = e−πixω f t + g t− e dt 2 Rn Chứng minh Trước hết ta chứng minh Vg f liên tục R2n Ta có |Vg f (x, ω) − Vg f (x0 , ω0 )| e−2πitω0 f (t) g (t − x0 )dt e−2πitω f (t) g (t − x)dt − = Rn Rn |f (t)| e−2πitω g (t − x) − e−2πitω0 g (t − x0 ) dt ≤ Rn  21   ≤  21 |f (t)| dtdt  Rn e −2πitω g (t − x) − e −2πitω0 g (t − x0 ) dt Rn  12  = C M−ω Tx g − M−ω0 Tx0 g với C =  |f (t)|2 dtdt Rn ≤ C M−ω Tx g − M−ω0 Tx g + M−ω0 Tx g − M−ω0 Tx0 g ≤ C ( M−ω Tx g − M−ω0 Tx g 2 + M−ω0 Tx g − M−ω0 Tx0 g ) Mặt khác  12  M−ω0 Tx g − M−ω0 Tx0 g = |(M−ω0 Tx g − M−ω0 Tx0 g) (t)|2 dt Rn  12  = e−2πitω0 Tx g (t) − e−2πitω0 Tx0 g (t) dt Rn  21  = |Tx g (t) − Tx0 g (t)|2 dt Rn = Tx g − Tx0 g M−ω Tx g − M−ω0 Tx g = M−ω Tx g − M−ω0 Tx g 81 = T−ω Tx g − T−ω0 Tx g Do |Vg f (x, ω) − Vg f (x0 , ω0 )| ≤ C T−ω Tx g − T−ω0 Tx g + Tx g − Tx0 g Vì g, Tx g ∈ L2 (Rn ) C0∞ (Rn ) trù mật L2 (Rn ) nên với ε > tồn u, v ∈ C0∞ (Rn ) cho g−u < ε , 6C Tx g − v < ε 6C Do u, v có giá compact Rn nên ∃a > : u (t) = 0, ∀ |t| > a, ∃b : v (t) = 0, ∀ |t| > b, đặt A = µ {t ∈ Rn : |t| ≤ a + 1}, B = µ {t ∈ Rn : |t| ≤ b + 1} Hơn u, v liên tục Rn nên ∃δ : < δ < cho ∀x, ω ∈ Rn : |x| < δ, |ω| < δ ta có ε , |v (t + ω) − v (t)| < 6AC |u (t − x) − u (t)| < ε 6BC Từ dẫn tới Tx u − u |u (t − x) − u (t)|2 dt = Rn |u (t − x) − u (t)|2 dt < = ε ε A = 6AC 6C |t|≤a+1 T−ω v − v |v (t + ω) − v (t)|2 dt = Rn |v (t + ω) − v (t)|2 dt < = ε ε B = 6BC 6C |t|≤b+1 Suy với x, x0 ∈ Rn : |x − x0 | < δ, ∀ω, ω0 ∈ Rn : |ω − ω0 | < δ ta có Tx u − Tx0 u |u (t − x) − u (t − x0 )|2 dt = Rn 82 z=t−x0 |u (z − (x − x0 )) − u (z)|2 dt = Rn = Tx−x0 u − u < T−ω v − T−ω0 v ε 6C |v (t + ω) − v (t + ω0 )|2 dt = Rn z=t+ω0 |v (z + (ω − ω0 )) − v (z)|2 dt = Rn = T−(ω−ω0 ) v − v < ε 6C Vì Tx g − Tx0 g T−ω Tx g − T−ω0 Tx g 2 ≤ Tx g − Tx u + Tx u − Tx0 u + Tx u − Tx0 g ε = g − u + Tx u − Tx0 u + u − g < 2C ≤ T−ω Tx g − T−ω v + T−ω v − T−ω0 v 2 2 + T−ω0 v − T−ω0 Tx g = Tx g − v + T−ω v − T−ω0 v + v − Tx g 2 ε < 2C Như với ε > 0, ∃δ : < δ < cho ∀ (x, ω) , (x0 , ω0 ) ∈ R2n thỏa mãn |x − x0 |2 + |ω − ω0 |2 < δ, ta có ε ε + 2C 2C Điều chứng tỏ Vg f liên tục R2n |Vg f (x, ω) − Vg f (x0 , ω0 )| < C = ε Lại có e−2πitω f (t) g (t − x)dt = Vg f (x, ω) = Rn e−2πitω f (t) Tx g (t) dt Rn e−2πitω (f.Tx g) (t) dt = F [f.Tx g] (ω) = Rn Và e−2πitω f (t) Tx g (t) dt = Vg f (x, ω) = Rn f (t) e2πitω Tx g (t)dt Rn 83 f (t) Mω Tx g (t)dt = f, Mω Tx g = (f, Mω Tx g) = Rn = f , Mω Tx g = f , Tω Tx g = f , Tω M−x g f (t)M−x g (t − ω)dt f (t)Tω M−x g (t)dt = = Rn Rn f (t)e2πi(t−ω)x g (t − ω)dt f (t)e−2πi(t−ω)x g (t − ω)dt = = Rn Rn = e−2πixω e−2πit(−x) f (t)g (t − ω)dt = e−2πixω Vg f (ω, −x) Rn Đặt t = u + x e−2πi(u+ )ω f u + x Vg f (x, ω) = x x g u− du 2 Rn = e−πixω e−2πiuω f u + x x g u− du 2 Rn = e−πixω e−2πitω f t + x x g t− dt 2 Rn Công thức Vg f (x, ω) = e−2πixω Vg f (ω, −x) đồng thức giải tích thời gian - tần số, tổ hợp f f vào phép biểu diễn thời gian - tần số chung Bổ đề 3.32 Nếu Vg f xác định ta có Vg (Tu Mη f ) (x, ω) = e−2πixω Vg f (x − u, ω − η) ; x, u, ω, η ∈ Rn Đặc biệt |Vg (Tu Mη f ) (x, ω)| = |Vg f (x − u, ω − η)| Biến đổi Fourier thời gian ngắn thừa hưởng số tính chất tương tự với biến đổi Fourier thông thường Định lý sau tích vơ hướng biến đổi Fourier thời gian ngắn tương ứng với công thức Parseval 84 Định lý 3.33 Cho f1 , f2 , g1 , g2 ∈ L2 (Rn ) Khi Vgj fj ∈ L2 R2n với j = 1, Vg1 f1 , Vg2 f2 L2 (R2n ) = f1 , f2 g1 , g2 Hệ 3.34 Nếu f, g ∈ L2 (Rn ) Vg f g = f = Vg f 2 = f g Đặc biệt, nên trường hợp biến đổi Fourier thời gian ngắn phép đẳng cự từ L2 (Rn ) vào L2 R2n 3.4.2.2 Một số phép biểu diễn thời gian - tần số toàn phương Giả sử G (f, g) (x, ω) dạng song tuyến tính lệch, tức G tuyến tính theo f tuyến tính liên hợp theo g Khi từ G có hai cách để xây dựng dạng tồn phương theo f , Cf = |G (f, g)|2 với g cố định Cf = G (f, f ) Trong hai trường hợp, dạng toàn phương thỏa mãn C (αf + βh) = |α|2 Cf + |β|2 Ch + αβG (f, h) + αβG (h, f ) ; α, β ∈ C Từ công thức (3.11) ta thấy biến đổi Fourier thời gian ngắn xem dạng song tuyến tính lệch (f, g) → Vg f Do đó, dựa vào biến đổi ta xây dựng số phép biểu diễn thời gian - tần số toàn phương sau Ảnh phổ Định nghĩa 3.35 Cho g ∈ L2 (Rn ) hàm cửa sổ cho g Khi ảnh phổ f theo g xác định SF ECg f (x, ω) = |Vg f (x, ω)|2 Từ định nghĩa suy ảnh phổ thỏa mãn tính chất sau i) SF ECg f (x, ω) ≥ 0, ∀x, ω ∈ Rn , ii) SF ECg (Tu Mη f ) (x, ω) = SF ECg f (x − u, ω − η), SF ECg f (x, ω) dxdω = f 22 iii) R2n Hàm nhập nhằng 85 = Định nghĩa 3.36 Hàm nhập nhằng f ∈ L2 (Rn ) xác định f t+ Af (x, ω) = x x −2πitω f t− e dt = eπixω Vf f (x, ω) 2 Rn Hàm nhập nhằng chéo f, g ∈ L2 (Rn ) xác định f t+ A (f, g) (x, ω) = x x −2πitω g t− e dt = eπixω Vg f (x, ω) 2 Rn Hầu hết tính chất biến đổi Fourier thời gian ngắn chuyển sang cho ảnh phổ hàm nhập nhằng Phép biểu diễn Wigner (hay biến đổi Wigner) Định nghĩa 3.37 Phép biểu diễn Wigner Wf f ∈ L2 (Rn ) xác định W f (x, ω) = f x+ t f x− t −2πitω e dt Rn Bằng cách phân cực biểu thức toàn phương ta dạng song đối xứng lệch f W (f, g) (x, ω) = x+ t t −2πitω e dt; f, g ∈ L2 (Rn ) g x− 2 Rn gọi W (f, g) phép biểu diễn Wigner (hay biến đổi Wigner) Bổ đề 3.38 Với f, g ∈ L2 (Rn ) ta có W (f, g) (x, ω) = 2n e4πixω Vg f (2x, 2ω) Chứng minh Ta có W (f, g) (x, ω) = f x+ t t −2πitω g x− e dt 2 Rn u=x+ 2t f (u) g (−u + 2x)e−4πi(u−x)ω du = 2n Rn 86 f (u) g (− (u − 2x))e−4πiuω du = 2n e4πixω Rn f (u) g (u − 2x)e−4πiuω du = 2n e4πixω Rn = 2n e4πixω f (u) e4πiuω g (u − 2x)du Rn = 2n e4πixω f (u) M2ω T2x g (u)du Rn = 2n e4πixω f, M2ω T2x g = 2n e4πixω Vg f (2x, 2ω) Với Bổ đề 3.38 trên, nhiều tính chất biến đổi Fourier thời gian ngắn chuyển sang cho biến đổi Wigner Định lý 3.39 Với f, g ∈ L2 (Rn ) W (f, g) có tính chất sau i) W (f, g) liên tục R2n W (f, g) ∞ ≤ 2n f g ii) W (f, g) = W (f, g) iii) Với u, v, η, γ ∈ Rn ta có W (Tu Mη f, Tv Mγ g) (x, ω) = eπi(u+v)(γ−η) 22πix(η−γ) 2−2πiω(u−v) W (f, g) x − u+v ,ω − η+γ Đặc biệt W (f, g) hiệp biến, tức W (Tu Mη f ) (x, ω) = W f (x − u, ω − η) iv) W f , g (x, ω) = W (f, g) (−ω, x) v) Công thức Moyal: Với f1 , f2 , g1 , g2 ∈ L2 (Rn ) ta có W (f1 , g1 ) , W (f2 , g2 ) 3.4.2.3 L2 (R2n ) = f1 , f2 g1 , g2 Phép biểu diễn Rihaczek phép biểu diễn Rihaczek liên hợp 87 Dựa biến đổi Fourier thời gian ngắn, ta xây dựng dạng song đối xứng lệch sau Spϕ,ψ (f, g) (x, ω) = Vϕ f (x, ω) Vψ g (x, ω) Lấy hàm cửa sổ δ 1, xét trường hợp sau Trường hợp Spδ,1 (f, g) (x, ω) = Vδ f (x, ω) V1 g (x, ω) Ta có e−2πitω f (t) δ (t − x)dt Vδ f (x, ω) = Rn u=t−x e−2πi(u+x)ω f (u + x) δ (u)dt = Rn = e−2πixω e−2πiuω f (u + x) δ (u)dt Rn = e−2πixω e2πiuω f (u + x)δ (u) dt Rn = e−2πixω e2πiuω f (u + x) = e−2πixω f (x) u=0 e−2πitω g (t) (t − x) dt = V1 g (x, ω) = Rn e−2πitω g (t) dt = g (ω) Rn Suy Spδ,1 (f, g) (x, ω) = e−2πixω f (x) g (ω) Trường hợp Sp1,δ (f, g) (x, ω) = V1 f (x, ω) Vδ g (x, ω) Tương tự trường hợp ta có V1 f (x, ω) = f (ω), Vδ g (x, ω) = e−2πixω g (x) Suy Sp1,δ (f, g) (x, ω) = f (ω) e−2πixω g (x) = e2πixω g (x)f (ω) = Sδ,1 (g, f ) (x, ω) Từ ta có định nghĩa sau Định nghĩa 3.40 Cho f, g ∈ L2 (Rn ), phép biểu diễn Rihaczek R (f, g) phép biểu diễn Rihaczek liên hợp R∗ (f, g) xác định công thức sau R (f, g) (x, ω) = e−2πixω f (x) g (ω), R∗ (f, g) (x, ω) = e2πixω g (x)f (ω) 88 Định lý 3.41 i) R (f, g) : L2 (Rn ) × L2 (Rn ) → L2 R2n ánh xạ liên tục R (f, g) ≤ f g 2, R (f, g) (x, ω) = e−4πixω ∗ W (f, g) (x, ω) ii) R∗ (f, g) : L2 (Rn ) × L2 (Rn ) → L2 R2n ánh xạ liên tục R∗ (f, g) ≤ f g 2, R∗ (f, g) (x, ω) = e4πixω ∗ W (f, g) (x, ω) Kết luận chương Trong chương này, luận văn trình bày số ứng dụng biến đổi Fourier toán lý thuyết Bên cạnh việc tham khảo tài liệu trích dẫn, tác giả bổ sung số ví dụ cụ thể để làm phong phú cho nội dung luận văn 89 Kết luận Luận văn báo cáo tổng quan biến đổi Fourier số ứng dụng nó, cụ thể: Nghiên cứu khái niệm biến đổi Fourier tính chất số khơng gian hàm Nghiên cứu ứng dụng biến đổi Fourier vào giải số tốn phương trình vi, tích phân, định lý lấy mẫu, xác suất thống kê giải tích thời gian - tần số Trong trình thực luận văn, tác giả có tìm thêm số ví dụ cụ thể bên cạnh ví dụ tài liệu tham khảo trích dẫn Dù có nhiều cố gắng, song luận văn chưa hồn thiện chắn có sai sót, tác giả mong góp ý để hồn thiện 90 Tài liệu tham khảo [1] Đặng Đình Áng đồng tác giả (2007), Biến đổi tích phân, NXB Giáo dục, Hà Nội [2] Ronald N Bracwell (2000), The Fourier Transform and Its Applications, McGraw-Hill Book Co - Singapore [3] Lokenath Debnath and Dambaru Bhatta (2007), Integral Transforms and Their Applications, Taylor & Francis Group, LLC [4] Karlheinz Grăochenig (2001), Foundations of Time-Frequency Analysis, Birkhăauser, Boston - Basel - Berlin [5] Gerd Grubb (2009), Distributions and Operators, Spinger Science Business Media, LLC [6] Anders Vretblad (2003), Fourier Analysis and Its Applications, Springer [7] M M Wong (1997), An introduction to PDO, World Scientific, Singapore 91 ... cứu biến đổi Fourier Nghiên cứu số ứng dụng biến đổi Fouier Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Biến đổi Fourier số ứng dụng Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu biến đổi Fourier số ứng. .. chọn đề tài Biến đổi Fourier số ứng dụng để thực luận văn thạc sĩ Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu biến đổi Fourier Tìm hiểu số ứng dụng biến đổi Fourier Tìm hiểu mối quan hệ với số biến đổi tích phân... biến đổi Fourier cổ điển đại, mối liên hệ biến đổi Fourier với biến đổi Laplace, ứng dụng biến đổi Fourier vào giải số phương trình vi, tích phân; định lý lấy mẫu, giải tích điều hòa số ứng dụng