T−ơng tự các chân đ−ờng vuông góc chung khác cũng cách G một đoạn bằng
1
2IJ. Suy ra trong tứ diện trực tâm trung điểm các cạnh và chân của các đ−ờng vuông góc chung của các cặp cạnh đối diện nằm trên một mặt cầu. Mặt cầu này gọi là mặt cầu 12 điểm (đpcm).
2.2.7. Định lý 30
Trong tứ diện trực tâm ABCD ta luôn có:
a) hA2 + 4RA2 = hB2 + 4RB2 = hC2 + 4RC2 = hD2 + 4RD2, với hA, hB, hC, hD là các đ−ờng cao kẻ từ A, B, C, D còn RA, RB, RC, RD là bán kính các đ−ờng tròn ngoại tiếp các mặt đối diện của các đỉnh A, B, C, D.
b) Tích độ dài các cặp cạnh đối diện tỉ lệ với nghịch đảo của khoảng cách giữa các cặp cạnh đó.
Chứng minh
a) Kẻ qua B, C, D các đ−ờng thẳng song song với các cạnh của tam giác BCD, chúng cắt nhau tại B’, C’, D’ (hình 38).
Do AB ⊥ CD, AC ⊥ BD, AD ⊥ BC nên AB2 + CD2 = AC2 + BD2 = AD2 + BC2. Xét ∆AB’C’ ta có
AB’2 + AC’2 = 2AD2 + 2BC2
T−ơng tự thì AC’2 + AD’2 = 2AB2 + 2CD2; AB’2 + AD’2 = 2AC2 + 2BD2.
Từ đó ta có: AB’ = AC’ = AD’. Vậy khi kẻ AH ⊥ mp(BCD) thì HA’ = HB’ = HC’. A C’ B D
Khi ấy hA2+ HC’2 = hA2 + 4RA2 = AC’2 = AD2 + BC2 = AC2 + BD2 = AB2 + CD2
T−ơng tự ta cũng có hB2 + 4RB2 = hC2 + 4RC2 = hD2 + 4RD2
b) Gọi a, a’, b, b’, c, c’ lần l−ợt là độ dài các cặp cạnh đối diện, da, db, dc, lần l−ợt là khoảng cách giữa các cặp cạnh đó. Khi đó ta có
aa’da = bb’db = cc’dc hay a aa' 1 d = b bb' 1 d = c cc' 1 d (đpcm)
2.3. Tứ diện gần đều. Một số tính chất của tứ diện gần đều
2.3.1. Định nghĩa 11
Một tứ diện đ−ợc gọi là tứ diện gần đều (tứ diện cân) nếu các cạnh đối diện bằng nhau từng đôi một.
Ví dụ
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’, tứ diện BA’D’C là tứ diện gần đều vì có D’B = A’C; A’D’ = BC; BA’ = D’C (hình 39).
2.3.2. Định lý 31
Điều kiện cần và đủ để một tứ diện là
tứ diện gần đều là một trong những điều kiện sau đ−ợc thỏa mãn: 1) Tổng các mặt tại một đỉnh bất kì trong bốn đỉnh bằng 1800.
2) Tổng các mặt tại một đỉnh nào đó bằng 1800, ngoài ra còn có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.
3) Tất cả các mặt của tứ diện là t−ơng đ−ơng (có diện tích bằng nhau). 4) Tâm mặt cầu nội và ngoại tiếp trùng nhau.
5) Các đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện vuông góc với nhau. 6) Trọng tâm của tứ diện trùng với tâm mặt cầu ngoại tiếp.
7) Trọng tâm của tứ diện trùng với tâm mặt cầu nội tiếp.
A B
C D
A’ B’ C’ D’
Chứng minh
1) ABCD là tứ diện gần đều ⇔tổng các mặt tại một đỉnh bất kì trong bốn đỉnh bằng 1800.
(⇒) Giả sử ABCD là tứ diện gần đều. Suy ra AB = CD, AC = BD, AD = BC.
Do đó các mặt của tứ diện là các tam giác bằng nhau. Tổng các góc tại một đỉnh bằng tổng các góc của một tam giác là một mặt của tứ diện nên bằng 1800.
Suy ra A = C2 2; A = B3 3 (hình 40) (do các mặt là tam giác bằng nhau).
Do đó A1, A2, A3 (các góc phẳng tại đỉnh
A) bằng các góc A2, B3, C2 của tam giác ABC. Do đó A1+A2+A3 = 1800. (⇐) Giả sử ABCD là tứ diện mà tổng các mặt
tại một đỉnh bất kì trong bốn đỉnh đều bằng 1800.
Khai triển tứ diện ABCD (bằng cách trải các tam giác ABC, ACD, ABD lên mặt phẳng chứa tam giác BCD) (hình 41).
Từ đó theo Định lý đ−ờng trung bình trong tam giác suy ra AC = BD, AB = CD, AD = BC. Vậy ABCD là tứ diện gần đều.
2) ABCD là tứ diện gần đều ⇔tổng các mặt tại đỉnh D bằng 1800 và AB = CD, AC = BD. (⇒) Hiển nhiên ta có. (⇐) Giả sử AB = CD, AC = BD và tổng các mặt tại đỉnh D bằng 1800, tức là: 0 ADB+ ADC + BDC 180= (hình 42) (1). A1 B D A3 A2 C Hình 41 A B D C Hình 42 A 3 1 2 B 3 2 3 1 D 2 C Hình 40
Tacó ∆ACD =∆ABD(c.c.c) suy ra ADB= ADC. Thay vào (1) đ−ợc
0
DAC + ADC + BDC 180= . (2)
Mặt khác trong tam giác DAC thì 0
DAC + ACD +CDA 180= . (3) Từ (2) và (3) suy ra BCD = ACD. Từ đó ta có ∆ACD =∆CDB(c.g.c) Suy ra AB = CD.
Kết hợp với giả thiết AB = CD, AC = BD suy ra ABCD là tứ diện gần đều. 3) ABCD là tứ diện gần đều ⇔các mặt của tứ
diện có cùng diện tích.
(⇒) Giả sử ABCD là tứ diện gần đều, ta cần chỉ ra các mặt của tứ diện ABCD t−ơng đ−ơng (tức có cùng diện tích).
Dễ thấy ABCD là tứ diện gần đều nên AB = CD, AC = BD, AD = BC, vì vậy
∆ABC = ∆CDA = ∆BAD =∆DCB (c.c.c) (hình 43)
Suy ra SABC = SCDA = SBAD = SDCB hay các mặt của tứ diện là t−ơng đ−ơng.
(⇐) Giả sử các mặt của tứ diện ABCD là t−ơng đ−ơng, ta cần chỉ ra ABCD là tứ diện gần đều.
Thật vậy chiếu tứ diện ABCD lên mặt phẳng song song với hai cạnh AB và CD. Ta có thể suy ra hình chiếu của hai tam giác ABC và ABD là t−ơng đ−ơng. Vẫn bằng cách ấy, ta có các hình chiếu của hai tam giác ACD và BCD cũng sẽ t−ơng đ−ơng. Điều này có nghĩa là hình bình hành với hai
đ−ờng chéo AB và CD sẽ là hình chiếu của ABCD. Do đó suy ra các đẳng thức AC = BD, AD = BC. T−ơng tự ta cũng chứng minh đ−ợc AB = CD. Vậy ABCD là tứ diện gần đều.
4) ABCD là tứ diện gần đều ⇔ tâm mặt cầu ngoại tiếp trùng với tâm mặt cầu nội tiếp.
(⇒) Giả sử ABCD là tứ diện gần đều.
A I O B D J C Hình 44 A B D C Hình 43
Suy ra AB = CD = c; AC = BD = b; AD = BC = a.
Khi đó tâm mặt cầu ngoại tiếp ABCD là trung điểm của IJ, với I, J là trung điểm của AB, CD (hình 44).
Xét mặt phẳng (BCD) cắt mặt cầu theo đ−ờng tròn ngoại tiếp ∆BCD và có công thức: R2 = d12 + r12, trong đó R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện và r1 là bán kính đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác
BCD, d1 là khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (BCD).
T−ơng tự nh− trên khi xét các mặt phẳng (ABC), (ACD), (ABD) ta có:
R2 = d22 + r22
R2 = d32 + r32
R2 = d42 + r42
Mặt khác dễ thấy các mặt của tứ diện ABCD là tam giác bằng nhau nên
r1 = r2 = r3 = r4. Vậy d1 = d2 = d3 = d4 hay
O cách đều bốn mặt của tứ diện ABCD, O nằm trong tứ diện, do đó O là tâm mặt cầu nội tiếp.
(⇐) Giả sử các tâm mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp ABCD trùng nhau tại O.
Kẻ OO1 ⊥ mp(BCD) thì O1 là tâm đ−ờng tròn ngoại tiếp và O1 nằm trong tam giác BCD do đó các góc của tam giác BCD là nhọn (hình 45).
T−ơng tự ta có các mặt của tứ diện là các tam giác có ba góc nhọn. Gọi R, r là bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp tứ diện ABCD, r1 là bán kính đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD, r2 là bán kính đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD.
Suy ra 1 CD sinCBD = 2r ; 2 CD sinCAD = 2r ,
mà R2 - r2 = r12 , R2 - r2 = r22. Vậy sinCBD = sinCAD từ đó CBD = CAD.
Lập luận t−ơng tự ta sẽ có tất cả các mặt kề đỉnh A bằng các góc t−ơng ứng của tam giác BCD, nghĩa là tổng của chúng bằng 1800.
B O1 O C A D Hình 45
T−ơng tự nh− trên ta cũng khẳng định kết luận trên với các đỉnh còn lại của tứ diện. Nh− vậy ABCD có tổng các mặt tại một đỉnh bất kì của tứ diện bằng 1800. Theo câu 1) ta suy ra ABCD là tứ diện gần đều.
5) ABCD là tứ diện gần đều ⇔ các đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện vuông góc với nhau.
(⇒) Giả sử ABCD là tứ diện gần đều, ta cần chứng minh MN, PQ, RS vuông góc với nhau, trong đó M, N, P, Q, R, S lần l−ợt là trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC, BD.
Ta có M, N, P, Q lần l−ợt là trung điểm của AB, CD, BC, AD nên
MP = QN = ( 1
2AC), MQ = PN = (1