( )( )degg x= deg h x = n
62Bài 3.7 Tìm giới hạn :
( ) 1 1 2 3 1 1 1 1 lim ... 1 2 3 4 1 n n n n n n n C C C C n − →+∞ − + − + − + .
Bài 3.8. Tính giá trị của
0 2 4 2008 2010 2010 2010 2010 ... 2010 2010 A=C −C +C − +C −C . Bài 3.9. Tính tổng ( ) 3 1 2 1 6 0 1 .3 n k k k n k C − + = − ∑ . Kết luận chương 3
Chương 3 trình bày một số ứng dụng số phức trong tổ hợp như: rút gọn một số tổng tổ hợp, giải các bài toán ñếm bằng cách khai thác tính chất căn bậc n của số phức, công thức Euler, công thức Moivre và nhị thức Newton. ðặc biệt các bài tập của chương 3 thể hiện rõ ưu thế, sự thuận lợi trong việc trình bày lời giải cũng như trong ñường lối tư duy nhờ công cụ số phức so với việc giải bài toán thông thường bằng ñại số. Các kiến thức của chương 3 ñặc biệt hữu ích cho giáo viên toán trung học phổ thông khi giảng dạy các bài tập về tổ hợp cho ñối tượng học sinh khá giỏi.
63
Kết luận chung
Nghiên cứu về vấn ñề ứng dụng số phức trong ñại số và tổ hợp khóa luận ñã ñạt ñược một số kết quả sau:
Hệ thống hóa các kiến thức cơ bản về số phức (các khái niệm, các phép toán, các ñịnh lí cơ bản, mệnh ñề,…) làm cơ sở cho việc vận dụng số phức vào giải các bài của tập ñại số và tổ hợp.
ðưa ra ñược một số ứng dụng của số phức trong ñại số và tổ hợp: giải phương trình bậc hai, phương trình bậc ba, phương trình bậc bốn, hệ phương trình ñại số, các bài toán về ña thức bất khả quy, về sự chia hết ña thức, các bài toán ñếm và rút gọn một số tổng tổ hợp.
Với mỗi ứng dụng của số phức trong ñại số hay trong tổ hợp, khóa luận ñưa ra các chỉ dẫn về mặt lí thuyết trong vận dụng và tập hợp ñược các bài tập kèm theo những chỉ dẫn lời giải chi tiết hoặc hướng dẫn giải, ñáp số cho các bài tập.
Các bài tập ñược ñưa ra trong khóa luận thể hiện rõ những ưu ñiểm trong việc trình bày lời giải, trong cách suy nghĩ tìm hướng giải bài tập nhờ công cụ số phức.
Khóa luận ñã cung cấp hệ thống bài tập có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên sư phạm toán và giáo viên toán trung học phổ thông quan tâm tới việc dạy và học số phức, ñại số, tổ hợp ở ñại học, ở phổ thông.
Các kết quả nghiên cứu trong khoá luận có thể ñược phát triển tiếp tục sang việc nghiên cứu sâu hơn, mở rộng ứng dụng của số phức ñối với các chủ ñề khác của Toán học.
64
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Lê Xuân ðại (6/2010), Một số dạng toán về số phức, Toán học tuổi trẻ số 396, Hà Nội.
[2]. Trần Văn Hạo, Hoàng Kỳ (1980), Bài tập ñại số, Nhà xuất bản ñại học và trung học chuyên nghiệp, Hà Nội.
[3]. Bùi Huy Hiền (2008), Bài tập ñại số ñại cương, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
[4]. Nguyễn Phụ Hy, Nguyễn Quốc Bảo (1996), Ứng dụng số phức ñể giải toán sơ
cấp, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
[5]. Nguyễn Văn Mậu (chủ biên) (2009), Biến phức ñịnh lý và áp dụng, Nhà xuất bản ñại học Quốc gia Hà Nội.
[6]. Nguyễn Văn Mậu (chủ biên) (2009), Chuyên ñề chọn lọc số phức và áp dụng, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
[7]. ðoàn Quỳnh (chủ biên) (2009), Giải tích 12, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội. [8]. Hoàng Trọng Thái, Nguyễn Quốc Bảo (2007), Ứng dụng số phức trong giải toán hình học, Nhà xuất bản ðại học Sư phạm, Hà Nội.
[9]. Hoàng Xuân Sính (1995), ðại sốñại cương, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội. [10]. Titu Andreescu, Dorin Andrica (2004), Complex Numbers from A to … Z.
65
PHỤ LỤC BÀI TẬP CHƯƠNG 2