ỨNG DỤNG của TÍCH PHÂN vào VIỆC TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐƯỜNG CONG VÀ TRỤC HOÀNH.. Nêu công thức tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường thẳng x=a, x =b, trục hoành và đường cong y = fx

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO VIỆC

TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

A HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG.

Cổng trường Đại học Bách khoa Hà Nội có dạng như một Parabol, chiều rộng là 8m, chiều cao là 12, 5 m Người ta cần lắp một cửa sắt khép kín Biết rằng 1m2

cửa sắt có giá 900.000 Hỏi Nhà trường phải trả bao nhiêu tiền để làm cửa sắt như vậy?

Ông An có một mảnh vườn elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m Ông muốn trồng hoa trên dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa là 100.00 đồng/1m2 Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)

B HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC.

1 TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐƯỜNG CONG

VÀ TRỤC HOÀNH.

HĐ1.1 Nêu công thức tính diện tích hình

thang cong giới hạn bởi các đường thẳng

x=a, x =b, trục hoành và đường cong y =

f(x), trong đó f(x) là hàm số liên tục,

không âm trên đoạn [a;b]

HĐ1.2 Cho hình phẳng giới hạn bởi các

đường thẳng y = 2x + 1; y = 0; x = 1 và x

= 5

a) Dùng công thức hình học tính diện tích

hình phẳng

b) Tính tích phân sau 5 ( )

1

I =ò x+ dx

HĐ1.3 Trong HĐ1.2 nếu thay hàm số

y = 2x + 1 bởi hàm số –y = – (2x + 1) thì

diện tích của nó thay đổi như thế nào?

( )

b

a

S =òf x dx

Diện tích không đổi

+) HĐ2: Hình thành kiến thức.

Từ kết quả trên, ta có

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng x =a, x=b được tính theo công thức

dx x f S b

a

∫

= ( )

o

(AD + BC).CD

2 5

2

1= 28

I = (x +x)

Ví dụ 1 Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y = x – 1; trục Ox, đường thẳng x = 0, x = 3

Ví dụ 2 Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cos2 x, trục hoành, trục tung và đường thẳng x= π

HĐ3.1 Kí hiệu S là diện tích hình

phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y

= f(x), trục hoành và hai đường

thẳng x = a, x = b như hình bên

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. b ( )

a

S =∫f x sx

B. b ( )

a

S = ∫f x dx

C. c ( ) b ( )

S =∫f x dx −∫f x dx

D. c ( ) b ( )

S =∫f x dx +∫f x dx

HĐ3.2 Tính diện tích S của hình

phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y

= x3 – 4x, trục hoành, đường thẳng x

= -2 và x = 4

4 dx = 4

x x dx x x dx

HĐ3.3 Cho ( )C : 1 3 2 1

2 2

6

 

∈ ÷

m sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị( )C , y= 0,x= 0,x= 2có diện tích bằng 4 là:

A 1

2

= −

2

=

2

=

2

= −

HĐ3.4 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y mx= cosx; Ox ; x= 0;x= π bằng 3 π Khi đó giá trị của m là:

A m= − 3 B m= 3 C m= − 4 D m= ± 3

2 DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI HAI ĐƯỜNG CONG.

HĐ1.1.Diện tích hình phẳng (phần tô

màu) ở các hình dưới đây được tính như

thế nào?

Có thể tính S thông qua S

1

và S

2

không?

và tính như thế nào?

Xét TH: f1(x) ≥ f2(x) ≥ 0 x  [a;b] Khi đó S = S1 - S2

+) HĐ2: Hình thành kiến thức.

Từ kết quả trên, ta có

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của hàm số f(x), g(x) liên tục trên

[ ]a;b và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức

b

a

S =ò f x - f x dx

1 2

' '

uc/

uc/

[a;b]

[a;b]

y = f (x) lt

y = f (x) lt

x = a; x = b











Ví dụ 1 Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x2 – 4, y = -x2 – 2x, và hai đường thẳng x = -3 , x = -2

Ví dụ 2 Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x2 – 4 và y

= -x2 – 2x

HĐ3.1 Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn

bởi các đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) và hai

đường thẳng x = a, x = b như hình bên Khẳng định

nào sau đây đúng?

S =∫g x − f x dx  +∫f x − g x dx 

B. b ( ) ( )

a

S = ∫f x + g x dx 

S =∫f x − g x dx  +∫g x − f x dx 

D. c ( ) b ( )

S = ∫f x dx +∫g x dx

HĐ3 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các

đường thẳng y e ; y e ;x 1 = x = − x =

A. e2 2e 1

e

+ + B. e 2 2e 1

e

− +

C. e2 2e 1

e

e 2e 1 e

− −

HĐ3.3 Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn

bởi đồ thị hàm số y= ln ,x y= 1

HĐ3.4 Tính diện tích hình tròn x2 + y2

= R2

C HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Câu 1: Gọi S là diện tích hình phẳng giới

2

y = − − x 2x 1, y m, m 2 , x 0, x 1 + = > = = Tìm m

sao cho S = 48

A. m = 4 B. m = 6

C. m = 8 D. m = 10

Câu 2:Tính diện tích hình phẳng giới hạn

bởi đồ thị hs y = cosx , y = sinx và 2 đt x =

0 , x = π

Câu 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn

bởi đồ thị hs 1 ,

2

y= x y= x

( )2 2

x 2x 1 x 1 2 2, x

3

2 0

3 2

S m x 2x 1 dx

3 x

0 3

∫

D HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

Bài toán 1 Cổng trường Đại học Bách

khoa Hà Nội có dạng như một Parabol,

chiều rộng là 8m, chiều cao là 12, 5 m

Người ta cần lắp một cửa sắt khép kín

Biết rằng 1m cửa sắt có giá 900.000.2

Hỏi Nhà trường phải trả bao nhiêu tiền

để làm cửa sắt như vậy?

Gợi ý:

Giả sử parabol có phương trình

( )

y ax= + +bx c a≠

2

phương trình:

2

25

2 2





4

0

2

Bài toán 2 Ông A có một mảnh vườn elip có

độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé

bằng 10m Ông muốn trồng hoa trên dải dất

rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối

xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng

hoa là 100.00 đồng/1m2 Hỏi ông A cần bao

nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số

tiền được làm tròn đến hàng nghìn)

Gợi ý:

Giả sử elip có phương trình x22 y22 1

a + b = Từ giả

thiết ta có 2a 16 = ⇒ = a 8;2b 10 = ⇒ = b 5

Vậy phương trình của elip là:

( ) ( )

2

2 2

5

1

5

64 25

8

 + = ⇒ 



Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi

các đường (E1); (E2); x = − 4;x 4 = và diện tích

S 2 64 x dx 64 x dx

−

3

T 80 100000 7652891,82 7.653.000

6 4

Bài toán 3 Ông An muốn làm cửa rào

sắt có hình dạng và kích thước giống

như hình vẽ bên, biết đường cong phía

trên là một Parabol Giá 2

1m của rào sắt

là 700.000 đồng Hỏi Ông An phải trả

bao nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như

vậy (làm tròn đến hàng phần nghìn)

Gợi ý:

+ Diện tích khung cửa bằng tổng diện

tích hình chữ nhật và diện tích của phần

parabol phía trên

+ Diện tích hình chữ nhật là

1

S = AB.BC 5.1,5 7,5 = = ( )m 2

Gọi đường cong parabol có phương trình

2

y ax = + bx C +

Đường cong có đỉnh I 0;2( ) suy ra:

2

b 0,c 2 = = ⇒ = y ax + 2

Đường cong đi qua điểm:

2

Phần diện tích tạo bởi parabol và đường

thẳng y 1,5 = là:

2,5

2 2

2,5

−

−

∫

1 2

S S S T 700000 6417000

đồng

E HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI MỞ RỘNG.

Những phép tính tích phân đầu tiên đã được thực hiện từ cách đây 2.000 năm bởi Archimedes (287–212 trước Công nguyên), khi ông tính diện tích bề mặt

và thể tích khối của một vài hình như hình cầu, hình parabol và hình nón Phương pháp tính của Archimedes rất hiện đại dù vào thời ấy chưa có khái niệm về đại

số, hàm số hay thậm chí cách viết số dạng thập phân

Tích phân, vi phân và môn toán học của những phép tính này, giải tích, đã chính thức được khám phá bởi Leibniz (1646–1716) và Isaac Newton (1642– 1727) Ý tưởng chủ đạo là tích phân và vi phân là hai phép tính nghịch đảo của nhau Sử dụng mối liên hệ hình thức này, hai nhà toán học đã giải được một số lượng khổng lồ các bài toán quan trọng trong toán học, vật lý và thiên văn học

J B Fourier (1768–1830) khi nghiên cứu sự truyền nhiệt đã tìm ra chuỗi các hàm lượng giác có thể dùng để biểu diễn nhiều hàm số khác Biến đổi Fourier (biến đổi từ hàm số thành chuỗi các hàm lượng giác và ngược lại) và biến đổi tích phân ngày nay được ứng dụng rất rộng rãi không chỉ trong khoa học

cơ bản mà cả trong Y học, âm nhạc và ngôn ngữ học

Người đầu tiên lập bảng tra cứu các tích phân tính sẵn là Gauss (1777– 1855) Ông đã cùng nhiều nhà toán học khác ứng dụng tích phân vào các bài toán của toán học và vật lý Cauchy (1789–1857) mở rộng tích phân sang cho số phức Riemann (1826–1866) và Lebesgue (1875–1941) là những người tiên phong đặt nền tảng lô-gíc vững chắc cho định nghĩa của tích phân

Kí hiệu tích phân là do nhà toán học Leibniz đưa ra, tích phân của hàm số f trên đoạn [a;b] được ông định nghĩa là giới hạn của một

chữ d là chữ bắt đầu của “diferentia”, nghĩa là “hiệu số”), kí hiệu tổng số cũng như chữ S có nguốc từ chữ La-tinh “summa” (nghĩa là “tổng số”), dấu tích phân

là một biến dạng đơn giản của chữ S Thành thử, giới hạn (1) được kí hiệu

Tính độ dài đường cong đồ thị f(x) giới hạn giữa hai đường thẳng x=a và x=b

Ta có thể chia nhỏ đường cong này thành vô số đoạn “gần thẳng” rồi lấy

Lấy tổng độ dài các đoạn thẳng nhỏ lại với nhau, ta được công thức tính độ