Ứng dụng của cực trị vào việc giải các bài toán phổ thông

Header Page of 126 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Công trình ñược hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ HOÀNG TRÍ VÕ VĂN TÙNG Phản biện 1: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU ỨNG DỤNG CỦA CỰC TRỊ VÀO VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN PHỔ THÔNG Phản biện 2: PGS.TS NGUYỄN GIA ĐỊNH CHUYÊN NGÀNH : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ : 60.46.40 Luận văn ñược bảo vệ hội ñồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 17 tháng 17 năm 2011 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC * Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng Đà Nẵng - Năm 2011 Footer Page of 126 Header Page of 126 MỞ ĐẦU LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Các toán cực trị vấn ñề liên quan ñến phần quan trọng ñại số, hình học giải tích toán học Các toán cực trị có vị trí ñặc biệt toán học, chương trình phổ thông Tuy nhiên ñây dạng toán khó có nhiều cách giải, nữa, chương trình giảng dạy bậc phổ thông phương pháp tìm cực trị, toán tìm cực trị ñại số hình học chưa ñược trình bày cách tường minh , ñó học sinh trung học hiểu mơ hồ cực trị lúng túng giải toán liên quan ñến cực trị Do ñó chọn ñề tài “ Ứng dụng cực trị vào việc giải toán phổ thông ’ làm luận văn tốt nghiệp MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu tổng quan cực trị - Nghiên cứu ñịnh lý ñiều kiện cần, ñiều kiện ñủ ñể hàm số có cực trị, ñịnh lý Lagrange cực trị có ñiều kiện - Ứng dụng tính chất cực trị vào việc giải số toán chương trình toán học phổ thông, toán thi học sinh giỏi cấp ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 3.1 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu làm rõ ñịnh lý tính chất cực trị, từ ñó vận dụng vào việc giải toán chương trình phổ thông, toán thi học sinh giỏi cấp 3.2 Phạm vi nghiên cứu - Đề tài tập trung nghiên cứu cực trị hàm hai biến, ba biến, ñặc biệt sử dụng ñiều kiện ñủ cực trị (của hàm biến số ) ñể tìm cực trị biểu thức ñại số, lượng giác, giải tích ñặc biệt toán cực trị hình học bậc học phổ thông Footer Page of 126 - Trong ñề tài nêu ứng dụng cực trị vào toán học phổ thông, kiến trúc ứng dụng khác cực trị ñề tài không ñề cập ñến PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Đề tài ñã sử dụng phương pháp sau: - Phương pháp nghiên cứu tư liệu gồm: Sách giáo khoa phổ thông trung học, tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, tài liệu cực trị có liên quan, tài liệu bất ñẳng thức tài liệu tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số chương trình phổ thông, tạp chí toán học tuổi trẻ, tài liệu nghiên cứu giáo dục có liên quan - Phương pháp tiếp cận lịch sứ, sưu tập, phân tích, tổng hợp tư liệu tiếp cận hệ thống - Thực nghiệm sư phạm trường phổ thông, vận dụng kiến thức cực trị ñể khảo sát cực trị hàm số ñiều ñặc biệt ñề tài ñưa toán cực trị bậc học phổ thông dạng khảo sát cực trị hàm biến Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN 5.1 Ý nghĩa khoa học - Đề tài góp phần giải lớp tập toán học phổ thông nhờ ứng dụng cực trị, ñưa phương pháp tìm cực trị, phương pháp chứng minh bất ñẳng thức, góp phần giúp học sinh giáo viên có thêm phương pháp ñể giải toán cực trị 5.2 Ý nghĩa thực tiễn - Làm tài liệu tham khảo thêm cho người yêu thích toán cực trị - Giúp cho giáo viên có thêm tài liệu ñể dạy bồi dưỡng học sinh chuyên ñề cực trị, giá trị lớn bất ñẳng thức - Giúp cho học sinh có thêm tài liệu ñể tự học CẤU TRÚC LUẬN VĂN Ngoài phần mở ñầu kết luận, luận văn gồm chương sau Chương Kiến thức chuẩn bị - Chương trình bày số kiến thức thức tổng quan cực trị cần thiết có liên quan ñến luận văn như: Trình bày ñịnh nghĩa cực trị, ñịnh lý cực trị, cực trị có ñiều kiện hàm nhiều biến, chứng minh ñịnh lý này: ñiều kiện cần ñể hàm có cực trị, ñiều kiện ñủ ñể hàm có cực trị, ñịnh lý Lagrange cực trị có ñiều kiện tập trung trình bày hai vấn ñề lớn : Khảo sát cực trị hàm nhiều biến số (cực trị tự do): Khảo sát cực trị có ñiều kiện (cực trị ràng buộc) Chương Ứng dụng lý thuyết cực trị ñể khảo sát cực trị tìm giá trị lớn nhỏ hàm nhiều biến Trong chương tập trung trình bày - Khảo sát cực trị ñịa phương hàm hai biến - Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm hai biến miền D xác ñịnh - Dùng phương pháp nhân tử Lagrange ñể tìm cực trị Chương 3.Sử dụng ñiều kiện ñủ ñể hàm số biến số có cực trị ñể tìm phương pháp giải toán cực trị chương trình phổ thông Trong chương ñề tài chủ yếu nghiên cứu tập trung toán Trong chương tập trung trình bày năm vấn ñề lớn sau : - Kiến thức lý thuyết (trong chương trình phổ thông): - Các toán tìm cực trị ñại số dạng phân thức ñại số - Các toán tìm cực trị lượng giác - Các toán tìm cực trị khác thường gặp ñại số, giải tích - Các toán tìm cực trị khác thường gặp hình học Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1 Khảo sát cực trị hàm nhiều biến số (cực trị tự do): 1.1.1 Định nghĩa: Cho tập U hàm f : U → Điểm a ∈ U ñược gọi Header Page of 126 ñiểm cực trị ñịa phương hàm f tồn số r > cho hình cầu B (a, r ) ⊂ U với x ∈ B( a, r ) hiệu số f ( x) − f (a ) có dấu không ñổi Nếu f ( x) − f (a) ≤ 0, ∀x, x ∈ B( a, r ) a ñiểm cực ñại hàm f Nếu f ( x) − f (a) ≥ 0, ∀x, x ∈ B( a, r ) a ñiểm cực tiểu hàm f 1.1.2 Định lý (Fermat) 1.1.3 Dạng toàn phương 1.1.3.1 Định nghĩa Giả sử A = ( aij ) ma trận vuông cấp n×n ñối xứng, tức là, aij = a ji ∀i, j = 1, 2, , n Dạng toàn phương ứng với ma trận hàm số : ϕ: n → x = ( x1 , x2 , , xn ) a ϕ( x) = n ∑a xx i , j =1 ij i j Ta có kết sau ñây: • Nếu ϕ( x) > với x ≠ ta nói ϕ dạng toàn phương xác ñịnh dương • Nếu ϕ( x) ≥ với x ≠ ta nói ϕ dạng toàn phương nửa xác ñịnh dương (hay dạng toàn phương dương) • Nếu ϕ( x) < với x ≠ ta nói ϕ dạng toàn phương xác ñịnh âm • Nếu ϕ( x) ≤ với x ≠ ta nói ϕ dạng toàn phương nửa xác ñịnh âm (hay dạng toàn phương âm) • Footer Page of 126 Nếu tồn x ≠ 0, y ≠ cho ϕ( x) > 0, ϕ( y ) < ta nói ϕ Header Page of 126 dạng toàn phương có dấu thay ñổi Ta kí hiệu ∆ k , k = 1, 2, , n ñịnh thức ma trận cấp k × k ứng với k hàng k cột ñầu A Ta có kết sau 1.1.3.2 Định nghĩa 1.1.3.3 Bổ ñề Nếu ϕ dạng toàn phương xác ñịnh dương tồn số λ > cho : ϕ( x) ≥ λ x , ∀x ∈ n Cho U tập hợp mở i) Cho tập hợp mở U ⊂ hàm f : U → Ta xét toán tìm cực trị hàm f biến x, y thoả mãn phương trình sau ϕ( x, y ) = (1.1) Ta nói ñiểm ( x0 , y0 ) ∈U thỏa mãn ñiều kiện ϕ( x0 , y0 ) = hàm f ñạt cực ñại có ñiều kiện (tương ứng ñạt cực tiểu có ñiều kiện) với ñiều kiện ϕ( x, y ) = tồn lân cận V ⊂ U ( x0 , y0 ) cho 1.1.3.4 Định lý (ñiều kiện ñủ ñể hàm có cực trị) n 1.2.1 Định nghĩa , f ∈ C (U ) Giả sử a ∈U ñiểm dừng f , tức Df ( a) = Khi ñó : f ( x, y ) ≤ f ( x0 , y0 ) (tương ứng f ( x, y ) ≥ f ( x0 , y0 ) ) với ( x, y ) ∈V thỏa mãn ñiều kiện ϕ( x, y ) = i) Nếu d f (a ) dạng toàn phương xác ñịnh dương , a ñiểm ii) Điểm ( x0 , y0 ) ñược gọi ñiểm cực trị có ñiều kiện hàm f ( x, y ) ñiều kiện ϕ( x, y ) = ñược gọi ñiều kiện ràng buộc cực tiểu f 2i) Nếu d f (a ) dạng toàn phương xác ñịnh âm , a ñiểm cực toán Nếu lân cận ñiểm ( x0 , y0 ) từ hệ thức ϕ( x, y ) = ta xác ñại f ñịnh ñược hàm số y = y ( x) rõ ràng f ( x0 , y ( x0 )) cực trị ñịa phương 3i) Nếu d f (a ) ñổi dấu hàm f cực trị hàm biến g ( x) = f ( x, y ( x) ) Như vậy, trường hợp Xét trường hợp ñặc biệt n = toán tìm cực trị ràng buộc ñưa toán tìm cực trị tự hàm Kí hiệu : A = ∂ f ∂ f ∂ f ( a), B = (a ), C = (a ) Khi ñó ∂ x ∂x∂y ∂ y 2 i) Nếu A > AC − B > dạng toàn phương d f (a ) xác ñịnh 2 dương hàm f ñạt cực tiểu a 2i) Nếu A < AC − B > dạng toàn phương d f (a ) xác âm hàm f ñạt cực tiểu a 3i) Nếu AC − B < ñịnh thức cấp hai (chẵn) số âm, theo ñịnh lí Sylvester ñại số, dạng toàn phương d f (a ) không xác ñịnh dấu, ñó ñiểm a không cực trị hàm f 4i) Nếu AC − B = ta chưa thể kết luận ñược gì, cần tiếp tục xét thêm 1.2 Khảo sát cực trị có ñiều kiện (cực trị ràng buộc) Footer Page of 126 g ( x) = f ( x, y ( x) ) Để minh họa, ta xét toán sau 1.2.2 Bài toán Tìm cực trị hàm số : f ( x, y ) = − x − y , x + y < , với ñiều kiện x + y − = Từ hệ thức x + y − = ta suy : y = − x Thay vào biểu thức f ta xét : g ( x) = f ( x, y ( x) ) = − x − (1 − x) = x − x Vậy, việc tìm cực trị có ñiều kiện ñược ñưa việc tìm cực trị ñịa phương hàm số g ( x) = x − x xác ñịnh với x − x ≥ hay ≤ x ≤ Do ñó, lúc toán cực trị có ñiều kiện ñưa ñược toán tìm cực trị tự Trong trường hợp ñó ta dùng phương pháp nhân tử Lagrange ñược trình bày ñây 1.2.3 Phương pháp nhân tử Lagrange Header Page of 126 10 Giả sử ( x0 , y0 ) ñiểm cực trị hàm số f ( x, y ) với ñiều kiện ϕ( x, y ) = , ñó ϕ( x0 , y0 ) = Ta giả thiết thêm : i) Các hàm f ( x, y ) ϕ( x, y ) có ñạo hàm riêng cấp liên tục lân cận ñó ( x0 , y0 ) ii) trị ( x0 , y0 ) hàm f phải thỏa mãn ñiều kiện ràng buộc hệ thức Theo ñịnh lý hàm ẩn lân cận ñó ñiểm x0 tồn hàm khả vi y = y ( x) thỏa mãn ϕ ( x, y ( x) ) = với x thuộc lân cận y0 = y ( x0 ) Khi ñó hàm g ( x) = f ( x, y ( x) ) xác ñịnh có ñạo hàm liên tục lân cận ñó ñiểm x0 Hơn nữa, ñiểm x0 hàm số g ( x) = f ( x, y ( x)) ñạt cực trị ñịa phương hay dg df df ( x0 ) = ( x0 , y ( x0 )) + ( x0 , y ( x0 )) y '( x0 ) = 0, dx dx dy ∂f ∂f ( x0 , y0 )dx + ( x0 , y0 )dy = ∂x ∂y (1.2) ∂ϕ ∂f ( x0 , y0 )dx + ( x0 , y0 ) dy = ∂x ∂y (1.3) ñược xác ñịnh) cộng vế ñẳng thức thu ñược với (1.2) ta có :  ∂f  ∂ϕ ∂ϕ  ∂f   ∂x ( x0 , y0 ) + λ ∂x ( x0 , y0 )  dx +  ∂y ( x0 , y0 ) + λ ∂y ( x0 , y0 )  dy =     Hệ thức thỏa mãn với λ , ñó ta chọn λ cho : Footer Page of 126 1.2.5 Bài toán 1.2.6 Phương pháp nhân tử Lagrange (ñối với hàm nhiều biến) 1.2.6.1 Định nghĩa 1.2.6.2 Định lý 1.2.6.3 Định lý Cho tập hợp mở U ⊂ n hàm f , ϕ1 , ϕ2 , , ϕm : U → ñạo hàm riêng cấp hai liên tục U hàm có ( m < n ) Cho x = ( x , x , , x ) ∈U , λ1 , , λm số thực thỏa mãn hệ phương Nhân hai vế (1.3) với tham số λ (bây tạm thời tùy ý, chưa ∂f ∂ϕ ( x0 , y0 ) + λ ( x0 , y0 ) = ∂y ∂y ∂ϕ ( x0 , y0 ) ≠ , ta làm theo cách tương ∂x tự.Vì ta phát biểu lại kết dạng ñịnh lí sau : 1.2.4 Định lí (1.4), (1.5) Còn trường hợp Mặt khác, ta có : dϕ = (1.5) Số λ xác ñịnh ñược gọi nhân tử Lagrange Như ñiểm cực ∂ϕ ( x0 , y0 ) ≠ ∂y Do ñó : ∂f ( x0 , y0 ) ∂f ∂ϕ ∂y tức λ = ,thì ta có ( x0 , y0 ) + λ ( x0 , y0 ) = ∂ϕ ∂x ∂x ( x0 , y0 ) ∂y − (1.4) n ϕ1 ( x1 , x2 , , xn ) =  ϕ ( x , x , , xn ) = trình  2   ϕm ( x1 , x2 , , xn ) = ∂ϕm ∂ϕ1 ∂ϕ2  ∂f  ∂x ( x ) + λ1 ∂x ( x ) + λ2 ∂x ( x ) + + λm ∂x ( x ) = 1   ∂f ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ( x ) + λ1 ( x ) + λ2 ( x ) + + λm m ( x ) =  ∂x2 ∂x2 ∂x2  ∂x2   ∂ϕm ∂ϕ1 ∂ϕ2  ∂f  ∂x ( x ) + λ1 ∂x ( x ) + λ2 ∂x ( x ) + + λm ∂x ( x ) = n n n  n Header Page of 126 11 12 Ta ñặt Φ ( x1 , , xn ) = f ( x1 , , xn ) + λ1ϕ1 ( x1 , , xn ) + + λmϕm ( x1 , , xn ) Khi ñó hàm f ( x1 , x2 , , xn ) ñạt cực trị với ñiều kiện ϕ1 ( x1 , x2 , , xn ) = 0, ϕ2 ( x1 , x2 , , xn ) = 0, , ϕm ( x1 , x2 , , xn ) = x = ( x10 , x20 , , xn0 ) tồn λ1 , λ2 , , λm ∈ cho : ∂ϕm ∂ϕ1 ∂ϕ2  ∂f  ∂x ( x ) + λ1 ∂x ( x ) + λ2 ∂x ( x ) + + λm ∂x ( x ) = 1   ∂f ∂ϕm ∂ϕ1 ∂ϕ2 ( x ) + λ1 ( x ) + λ2 ( x ) + + λm (x ) =  ∂x2 ∂x2 ∂x2  ∂x2   ∂ϕm ∂ϕ1 ∂ϕ2  ∂f  ∂x ( x ) + λ1 ∂x ( x ) + λ2 ∂x ( x ) + + λm ∂x ( x ) = n n n  n Chương ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT CỰC TRỊ ĐỂ KHẢO SÁT CỰC TRỊ & TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 2.1 Khảo sát cực trị hàm hai biến 2.1.1 Tìm cực trị ñịa phương hàm hai biến Cho U tập hợp mở ñiểm dừng f , tức Kí hiệu : A = Xét hàm f : → , giả sử a ∈U ∂f ∂f (a) = 0, (a ) = ∂x ∂y ∂2 f ∂2 f ∂2 f ( a ), B = ( a ), C = (a ) Khi ñó : ∂2 x ∂x∂y ∂2 y i) Nếu A > AC − B > dạng toàn phương d f (a ) xác ñịnh dương hàm f ñạt cực tiểu a Khi ñó : + Nếu d Φ ( x ) dạng toàn phương xác ñịnh dương hàm f ( x1 , , xn ) ϕ1 ( x1 , x2 , , xn ) =  ϕ ( x , x , , xn ) = ñạt cực tiểu với ñiều kiện  2 x = ( x10 , x20 , , xn0 )   ϕm ( x1 , x2 , , xn ) = 2i) Nếu A < AC − B > dạng toàn phương d f (a ) xác ñịnh âm hàm f ñạt cực ñại a 3i) Nếu AC − B < ñịnh thức cấp hai (chẵn) số âm, theo ñịnh lí Sylvester ñại số, dạng toàn phương d f (a ) không xác ñịnh dấu, ñó ñiểm a không ñiểm cực trị hàm f + Nếu d Φ ( x ) dạng toàn phương xác ñịnh âm hàm f ( x1 , , xn ) ñạt 4i) Nếu AC − B = ta chưa kết luận ñược gì, cần tiếp tục xét thêm ϕ1 ( x1 , x2 , , xn ) =  ϕ ( x , x , , xn ) = x = ( x10 , x20 , , xn0 ) cực ñại với ñiều kiện  2   ϕm ( x1 , x2 , , xn ) = 2.1.1.1 Bài toán 1.2.6.4 Chú ý Nếu f : A → 2.1.1.3 Bài toán Tìm cực trị hàm số : f ( x, y ) = x + y − xe y n hàm liên tục tập hợp compact A Khi ñó, f ñạt ñược giá trị nhỏ giá trị lớn A Tìm cực trị hàm số f ( x, y ) = 4( x − y ) − x − y , ∀( x, y ) ∈ 2.1.1.2 Bài toán Tìm cực trị hàm số : f ( x, y ) = x + xy + y + x − y + 2.1.1.4 Bài toán Tìm cực trị hàm số f ( x, y ) = x + y − x − y Bài giải Hàm số xác ñịnh với ∀( x, y ) ∈ Footer Page of 126 2 Ta có: 13 Header Page of 126 14 ∂f = x − x = x(4 x − 1) = x(2 x − 1)(2 x + 1) ∂x Tìm cực trị hàm số f ( x, y ) = xy − ∂f = y − y = y ( y − 1) = y ( y − 1)( y + 1) ∂y 2.1.1.7 Bài toán Tìm cực trị hàm số f ( x, y ) = ( x − y ) + ( x + y ) ∂f ∂f Giải hệ = 0, = , ta ñược nghiệm ∂x ∂y 1  1  1        (0;0), (0;1), (0; −1),  ;0  ,  ;1 ,  ; −1 ,  − ;0  ,  − ;1 ,  − ; −1 2  2  2        Ta ñược ñiểm dừng: 1  1  M (0;0); M (0;1); M (0; −1); M  ;0  ; M  ;1 2  2  1        M  ; −1 ; M  − ;0  ; M  − ;1 ; M  − ; −1 2        ∂ f ∂ f ∂ f = 24 x − 2, = 0, = 12 y − ∂ x ∂x∂y ∂ y 2 Tại M (0;0) ta có : A = −2, B = 0, C = − AC − B = > M ñiểm cực ñại f max = f (0;0) = Tại ñiểm M (0;1) M (0; −1) lúc ñó AC − B < M , M ñiểm cực trị hàm f Tại ñiểm M , M ta có AC − B = −8 < , ñó f không ñạt cực trị M3, M6 Tại ñiểm M , M , M , M ta có AC − B = 32 > ñó ñiểm ñó ñiểm cực trị ñó A = > Vậy ñiểm ñó ñiểm cực tiểu f 1  1      −9 = f  ;1 = f  ; −1 = f  − ;1 = f  − ; −1 = 2  2      2.1.1.5 Bài toán Tìm cực trị hàm số f ( x, y ) = xy ln( x + y ) 2.1.1.6 Bài toán Footer Page of 126 x2 y2 − ( a, b > ) a b2 2.1.1.8 Bài toán Tìm cực trị hàm số f ( x, y ) = x ( x + 1) + y 2.1.1.9 Bài toán Tìm cực trị hàm số f ( x, y ) = x + y − 2( x − y ) Bài giải Hàm số f ( x, y ) = x + y − 2( x − y ) xác ñịnh ∀( x, y ) ∈  ∂f =0   ∂x , ta ñược nghiệm: (0, 0) , Giải hệ:   ∂f =   ∂y Tóm lại ta có ñiểm tới hạn M ( 0,0 ) ; M  ∂2 f  = 12 x − ∂ x   ∂ f Ta có  =4 Tại ñiểm M  ∂x∂y  ∂2 f  = 12 y −  ∂ y ( ( ( ) ( ) 2, − − 2, ) ( ) 2, − ; M − 2, ) ( ) 2, − ; M − 2, ,  AC − B = 400 − 16 > ta có : A = 20, B = 4, C = 20 ⇒   A = 20 > ( 2, − ) ; M ( − ) = −8 Do ñó hàm số ñạt cực tiểu M f = f ( ) ( 2, − = f − 2, ) 2, , : Tại ñiểm M , ta có A = −4, B = 4, C = −4, AC − B = Ta chưa kết luận ñược Ta có f (0,0) = 15 Header Page of 126 16 Ta xét dấu hiệu f ( x, y ) − f ( 0,0 ) M chạy lân cận ñiểm M ( ) Ta có : f ( x, − x ) = x − x = −2 x − x < = f ( 0,0 ) , ∀x : < x < f ( x, x) = x > = f ( 0,0 ) , ∀x ≠ Vậy dấu f ( x, y ) − f ( 0,0 ) thay ñổi M chạy lân cận M Hàm số không ñạt cực trị M 2.1.1.10 Bài toán 10 Tìm cực trị hàm số f ( x, y ) = x y (3x + y + 1) f ( x, y ) = sin x + sin y + sin( x + y ) , giới hạn ñường x = 0, x = π , y = 0, y = π 2.1.2.7 Bài toán 17 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số : f ( x, y ) = ( a − c ) x + (b − c ) y + c −  (a − c) x + (b − c) y + c  ; với ( a > b > c ) , miền D ñịnh : x + y ≤ 2.1.2.1 Bài toán 11 2.1.3 Dùng phương pháp nhân tử Lagrange ñể tìm cực trị 2.1.3.1 Bài toán 18 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số : f ( x, y ) = x − y , miền Tìm cực trị hàm : f ( x, y, z ) = yz với ñiều kiện x + y = 1, y + z = D xác ñịnh : x + y ≤ Bài giải 2.1.2.2 Bài toán 12 Bước Ta lập hàm Lagrange Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số : f ( x, y ) = x + y , miền Φ ( x, y, z ) = yz + λ( x + y − 1) + µ( y + z ) ñó λ, µ số ( D xác ñịnh : x − ) +( y − 2) 2 Ta có : ≤9 Φ 'x = 2λ x, Φ 'y = z + 2λ y + µ , Φ 'z = y + µ Bước Giải hệ phương trình 2.1.2.3 Bài toán 13 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số : f ( x, y ) = x y (4 − x − y ) , miền ñóng D giới hạn ñường x = 0, y = 0, x + y − = 2.1.2.4 Bài toán 14 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số : f ( x, y ) = x + xy − x + y , Φ 'x =  2λ x =   Φ ' y =  z + 2λ y + µ =   ⇔ y + µ = Φ 'z =   2 x + y −1 = x + y −1 =   y + z = y + z = miền ñóng D giới hạn ñường x = 0, x = 1, y = 0, y = ta tìm ñược ( x0 , y0 , z0 ) ứng với λ0 , µ0 sau 2.1.2.5 Bài toán 15 ( x0 , y0 , z0 ; λ , µ ) = (0,1, −1;1, −1)  ( x0 , y0 , z0 ; λ , µ ) = (0, −1,1;1,1) ( x0 , y0 , z0 ; λ , µ ) = (1,0,0;0,0)  ( x0 , y0 , z0 ; λ , µ ) = (−1,0,0;0,0) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số : f ( x, y ) = e − ( x miền D xác ñịnh bởi: x + y ≤ 2.1.2.6 Bài toán 16 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số : Footer Page of 126 + y2 ) (2 x + y ) , Bước Tính d Φ ( x, y , z ) : 17 Header Page of 126 18 { d Φ ( x, y, z ) = Φ ''xx d x + Φ ''yy d y + Φ ''zz d z + 2Φ ''xy dxdy + 2Φ ''xz dxdz + 2Φ ''yz dydz với λ, µ tương ứng Do x + y − = ⇒ d ( x + y − 1) = ⇒ xdx + ydy = • 2 Cuối ta cần ý tập ( x, y , z ) ∈ (ñáy ñường tròn bán kính (2.4) Xét ( x0 , y0 , z0 ) = ( 0,1, −1) ( 2.4 ) ⇒ ydy = ⇒ dy = {( x, y, z) ∈ 3 } x + y = mặt trụ 1, tâm gốc tọa ñộ), tập } y + z = mặt phẳng Giao hai tập ñường elipse (E) Đó tập compact Từ kết ta ñược { Do y + z = ⇒ d ( y + z ) = ⇒ dy + dz = ⇒ dz = (vì dy = ) } { } max yz ( x, y , z ) ∈ ( E ) = 0, yz ( x, y, z ) ∈ ( E ) = −1 Suy d Φ ( x, y, z ) = Φ d x = 2λd x = 2d x > 2.1.3.2 Bài toán 19 Vậy ñiểm M ( 0,1, −1) hàm số f ( x, y, z ) ñạt cực tiểu ñịa phương Tìm giá trị lớn bé f ( x, y ) = x + y + 3xy , miền : • '' xx 2 Xét ( x0 , y0 , z0 ) = ( 0, −1,1) ( 2.4 ) ⇒ ydy = ⇒ dy = D= Do y + z = ⇒ d ( y + z ) = ⇒ dy + dz = ⇒ dz = (vì dy = ) Vậy ñiểm M ( 0, −1,1) hàm số f ( x, y, z ) ñạt cực tiểu ñịa phương Xét ( x0 , y0 , z0 ) = (1,0,0 ) ứng với λ = 0, µ = Do x + y − = ⇒ d ( x + y − 1) = ⇒ xdx + ydy = (2.5) Vì x = 1, y = 0; ( 2.5 ) ⇒ dx = Do y + z = ⇒ d ( y + z ) = ⇒ dy + dz = ⇒ dy = −dz Suy d Φ ( x, y, z ) = 2Φ ''yz dydz = 2dydz = −2d z < Vậy ñiểm M (1,0,0 ) hàm số f ( x, y, z ) ñạt cực ñại ñịa phương • Xét ( x0 , y0 , z0 ) = ( −1,0,0 ) ứng với λ = 0, µ = Do x + y − = ⇒ d ( x + y − 1) = ⇒ xdx + ydy = Vì x = −1, y = 0; ( 2.6 ) ⇒ dx = Do y + z = ⇒ d ( y + z ) = ⇒ dy + dz = ⇒ dy = −dz Suy d Φ ( x, y, z ) = 2Φ ''yz dydz = 2dydz = −2d z < Vậy ñiểm M (1,0,0 ) hàm số f ( x, y, z ) ñạt cực ñại ñịa phương Footer Page of 126 } x2 + y2 ≤ 2.1.3.3 Bài toán 20 Cho hình cầu bán kính R Hình hộp chữ nhật nội tiếp hình cầu tích lớn Suy d Φ ( x, y, z ) = Φ ''xx d x = 2λd x = 2d x > • {( x, y ) ∈ (2.6) 19 20 Chương SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ CÓ CỰC TRỊ VÀ TÌM PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ Ở CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Trong chương số phương pháp, giải số toán phổ thông giải số toán thi học sinh giỏi 3.2.1.3 Bài toán Cho x + y + xy = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Header Page 10 of 126 3.1 Kiến thức lý thuyết (trong chương trình phổ thông) 3.1.1 Định nghĩa (Định nghĩa ñạo hàm hàm biến) 3.1.2 Định nghĩa (Định nghĩa cực trị ñịa phương hàm biến) 3.1.3 Điều kiện ñủ (dấu hiệu) ñể hàm số có cực trị 3.1.3.1 Dấu hiệu 3.1.3.2 Dấu hiệu 3.1.4 Định lý (Fermat) 3.1.5 Định lý (Cauchy) 3.1.6 Định lý (Roll) 3.2 Bài toán vận dụng Để giải loại toán ta thường làm sau: Cho x + y + xy ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = x + y 3.2.1.5 Bài toán Cho x + y − xy = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức : A = x + y − x y 3.2.1.6 Bài toán Cho a + b = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức : A = ( a + 6ab + 2ab + b ) 3.2.2 Các toán tìm cực trị lượng giác 3.2.2.1 Bài toán Tìm giá trị nhỏ của hàm số : cos x + 2sin x + , với x < π 2cos x − sin x + 3.2.2.2 Bài toán Tìm giá trị nhỏ của hàm số : y = f ( x ) = + 2cos x + + 2sin x Bước 2: Tìm ñiều kiện x , tìm miền khảo sát D Bước 3: Khảo sát hàm số,lập bảng biến thiên hàm số y = f ( x) miền D, từ bảng biến thiên ta suy kết 3.2.1 Các toán tìm cực trị ñại số dạng phân thức ñại số 3.2.1.1 Bài toán Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức: x2 − 2x + ,x∈ x2 + x + 3.2.1.4 Bài toán y = f ( x) = Bước 1: Lập ñược hàm số dạng y = f ( x) y= biểu thức : A = x − xy + y 3.2.2.3 Bài toán Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số : y= sin x + cos x 3.2.2.4 Bài toán Cho ≤ α ≤ π Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = + sin 2α + + cos 2α 3.2.2.5 Bài toán Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: y = sin x + cos x − sin x 3.2.1.2 Bài toán Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức: x + + 1− x +1 y = f ( x) = x + + 1− x +1 Footer Page 10 of 126 3.2.2.6 Bài toán Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: y= + sin x − cos x − sin x + cos x 21 Header Page 11 of 126 22 3.2.2.7 Bài toán A,B,C ba góc tam giác Tìm giá trị lớn biểu thức M = 3cos A + ( cos B + cos C ) 3.2.3 Các toán tìm cực trị khác thường gặp ñại số, giải tích 3.2.3.1 Bài toán Cho hàm số : y = f ( x ) = x + (sin α ) x + sin α − (Cα ) Tìm α ñể (Cα ) x +1 có cực ñại cực tiểu khoảng cách ñiểm lớn 1 1 Cho phương trình x − mx + m − + = 0, ( m ≠ ) ( 2.1) 12 m có nghiệm x1 , x2 Tìm GTLN, GTNN biểu thức : T = x13 + x23 A= a b4  a b2  a b + − + + + với a, b ≠ b4 a  b2 a2  b a với xy (5.3) f ( x) = x + 2x + y 4x2 y − 5x + y , với biến x > y tham số thực = xy − xy − 4y 16 x y − 56 xy − 32 y + 35 (4 xy − 7) 32 y + 14   + qua Trên khoảng  ; +∞  f '( x) = ⇔ x = x0 = 4y 4y  4y  ⇒ A( x, y , z ) ≥ f ( x) + y ≥ f ( x0 ) + y 4y Đặt : g ( y ) = f ( x0 ) + y = y + (5.4) + 32 y + 14 Dg = ( 0; +∞ ) 4y 2y ( 5.5) Xét hàm số 3.2.3.5 Bài toán Xét số thực dương a,b,c thỏa mãn ñiều kiện ( 5.1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = + + a b c Bài giải Từ (5.1) ta suy ra: 2x + y xy − Xét hàm số : f ( x) ≥ f ( x0 ) = x0 − x, y > x + y = 12 ≥ 21ab + 2bc + 8ca (5.2) Do ñó A( x, y, z ) ≥ x + y + x0 f '( x) ñổi dấu từ âm sang dương nên f ( x) ñạt cực tiểu ñại x0 Suy ra: Tìm giá trị nhỏ biểu thức : 3.2.3.4 Bài toán Tìm giá trị nhỏ biểu thức T = xy + 4y Suy x > dương ta có: f '( x) = 3.2.3.2 Bài toán 3.2.3.3 Bài toán Từ giả thiết 12 xyz ≥ x + y + 21z ⇒ z (12 xy − 21) ≥ x + y > 12 21ab + 2bc + 8ca 1 1 1 ≥ ⇒ 12 ≥ 21 + + abc abc a b c c a b g ( y) = y + + 32 y + 14 Dg = ( 0; +∞ ) 4y 2y Ta có : g '( y ) = − 16 − 32 y + 14 + 4y 2y 32 y + 14 (8 y g '( y ) = 32 y + 14 − 28 −9 ) y 32 y + 14 ( g '( y ) = ⇔ y − ) 32 y + 14 − 28 = Đặt t = 32 y + 14, t > 1 Đặt x = , y = , z = toán chuyển thành : a b c Xét số thực dương x,y,z thỏa mãn 12 xyz ≥ x + y + 21z Phương trình trở thành t − 50t − 112 = ⇔ ( t − ) t + 8t + 14 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A( x, y, z ) = x + y + z Phương trình có nghiệm dương t = ⇒ y = y0 = Footer Page 11 of 126 ( ) Header Page 12 of 126 23 24 5 Vậy g '   = Với y > qua y0 g ' ( y ) ñổi dấu từ âm sang dương 4   15 nên g ( y ) ñạt cực tiểu y0 Lúc ñó g ( y0 ) = g   = 4 Kết hơp với ( 5.3) , ( 5.4 ) , ( 5.5 ) suy A ( x, y, z ) ≥ g ( y ) ≥ g ( y0 ) = 3.2.3.11 Bài toán 11 Xét ña thức với hệ số thực f ( x ) = ax + bx + cx + d thỏa mãn ñiều kiện f ( x ) ≤ α, ∀x ∈ [ −1;1] , α > cho trước Tìm giá trị lớn a , b , c , d 15 Đẳng thức xảy với : y = ; x = 3; z = ⇒ a = ; b = ; c = 3 3.2.3.6 Bài toán π   Cho phương trình x +  − 3 x + − 13 = 0, < α ≤ (Với x sin α  sin α  ẩn số) Tìm α ñể nghiệm lớn phương trình nhận giá trị lớn 3.2.3.7 Bài toán Tìm số hạng lớn dãy ( xn ) : 3.2.4 Các toán tìm cực trị khác thường gặp hình học 3.2.4.1 Bài toán Chứng minh thể tích V khối nón tròn xoay diện tích xung quanh S hình nón ñó thỏa mãn bất ñẳng thức :  S   6V   ≥ Dấu xảy ?   − π   π  3.2.4.2 Bài toán Người thợ hàn dùng tôn ñể hàn thùng hình trụ tròn xoay tích V ñã ñịnh sẵn trước Nếu gọi S diện tích toàn phần hình trụ tròn xoay ñó Khi ñó ta có bất ñẳng thức sau: Giả sử cho ña thức f ( x) = x + ax3 + bx + cx + có nghiệm x0 Tìm giá trị S ≤ Tìm dấu xảy bất ñẳng thức ñó 27 3.2.4.3 Bài toán Trong hình tứ diện, ñộ dài cạnh lớn Chứng nhỏ tổng A = a + b + c minh thể tích tứ diện không vượt xn = −n + 20n3 − 0,5n + 13n, ( n ∈ , n > ) 3.2.3.8 Bài toán 3.2.3.9 Bài toán Cho x, y , z, t ∈ ≤ x < y < z < t ≤ 50 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = x z + y t 2πV − 3.2.4.4 Bài toán Cho hình nón tròn xoay (T), có ñường sinh l không ñổi Gọi thể tích khối nón ñó V diện tích xung quanh hình nón tròn xoay ñó S 3.2.3.10 Bài toán 10 Tìm cực tiểu M biết : Cho x, y,z thỏa mãn ñiều kiện : x, y , z > ; x + y + z = 3.2.4.5 Bài toán x y z Tìm cực tiểu biểu thức : A = + + 2 y +z z +x x + y2 Footer Page 12 of 126  S   6V  M =  −   π   π  Cho tam giác ABC Tìm cực tiểu biểu thức : M = ( sin A − sin A ) 3.2.4.6 Bài toán Tìm tam giác nội tiếp ñường tròn bán kính R cho trước mà diện tích tam giác lớn 25 26 3.2.4.7 Bài toán Tìm chiều cao hình nón nội tiếp hình cầu bán kính R mà hình nón ñó tích lớn 3.2.4.8 Bài toán Cho hình chóp S.ABCD với ñáy ABCD hình chữ nhật AB = a, AD = b, KẾT LUẬN Đề tài ñã trình bày ñược khái niệm cực trị (tự do) cực trị (có ñiều kiện), ñịnh lý ñiều kiện cần, ñiều kiện ñủ ñể hàm có cực trị, sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange (ñối với hàm nhiều biến) ñể : - Khảo sát cực trị ñịa phương hàm hai biến - Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm hai biến miền D xác ñịnh - Dùng phương pháp nhân tử Lagrange ñể tìm cực trị ñối với hàm nhiều biến - Giải toán tìm cực trị dạng phân thức ñại số - Giải toán tìm cực trị lượng giác - Giải toán tìm cực trị khác thường gặp ñại số, giải tích - Giải toán tìm cực trị khác thường gặp hình học Từ vấn ñề ñó, hoàn thành luận văn với hi vọng ñây tài liệu tham khảo tốt cho muốn nghiên cứu cực trị, cho người dạy học sinh phổ thông Do hạn chế mặt thời gian khuôn khổ luận văn ñược ấn ñịnh nên số vấn ñề chương trình phổ thông chưa ñược ñưa vào luận văn cụ thể toán tìm tham số ñể hàm số ñạt cực trị, ñiểm cực trị tam giác, tứ giác, toán liên quan ñến cực trị, Tôi hy vọng tiếp tục nghiên cứu phát triển ñề tài trình dạy học phổ thông Header Page 13 of 126 SA = 2a, SA vuông góc với ñáy Lấy M ∈ AS , ñặt AM = x,0 ≤ x ≤ 2a Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp theo thiết diện có diện tích S Tìm giá trị lớn của S x thay ñổi 3.2.4.9 Bài toán Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC với cạnh ñáy a không ñổi, ñường cao SH = h thay ñổi Gọi r, R bán kính hình cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp Xác ñịnh h ñể tỉ số Footer Page 13 of 126 r ñạt cực ñại R ... chương trình phổ thông) : - Các toán tìm cực trị ñại số dạng phân thức ñại số - Các toán tìm cực trị lượng giác - Các toán tìm cực trị khác thường gặp ñại số, giải tích - Các toán tìm cực trị khác... tìm cực trị ñối với hàm nhiều biến - Giải toán tìm cực trị dạng phân thức ñại số - Giải toán tìm cực trị lượng giác - Giải toán tìm cực trị khác thường gặp ñại số, giải tích - Giải toán tìm cực. .. cực trị (của hàm biến số ) ñể tìm cực trị biểu thức ñại số, lượng giác, giải tích ñặc biệt toán cực trị hình học bậc học phổ thông Footer Page of 126 - Trong ñề tài nêu ứng dụng cực trị vào toán