Tích phân của hàm nhiều biến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN QUANG PHÚ TÍCH PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số : 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ HỒNG TRÍ Đà Nẵng - Năm 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: Những nội dung trình bày luận văn thực hướng dẫn thầy giáo TS Lê Hồng Trí Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận văn Nguyễn Quang Phú MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Tính cấp thiết đề tài Mục tiêu nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục đề tài Tổng quan tài liệu nghiên cứu CHƯƠNG NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 KHÔNG GIAN VECTOR 1.2 TÍCH VƠ HƯỚNG 1.3 MA TRẬN 1.4 PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH 1.5 HẠNG CỦA MA TRẬN 10 1.6 MA TRẬN CHUYỂN VỊ 11 1.7 NGHỊCH ĐẢO CỦA MA TRẬN 11 1.8 ĐỊNH THỨC 13 1.9 CÔNG THỨC CỦA A1 15 1.10 KHAI TRIỂN ĐỊNH THỨC 16 1.11 KHÔNG GIAN METRIC 16 1.12 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 19 1.13 PHẦN TRONG VÀ PHẦN NGOÀI 21 1.14 KHÔNG GIAN COMPACT 22 1.15 KHÔNG GIAN LIÊN THÔNG 24 1.16 ĐẠO HÀM 25 1.17 CÁC HÀM KHẢ VI LIÊN TỤC 28 1.18 QUY TẮC DÂY CHUYỀN 29 1.19 ĐỊNH LÍ HÀM NGƯỢC 30 CHƯƠNG TÍCH PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 32 2.1 TÍCH PHÂN TRÊN MỘT HÌNH CHỮ NHẬT 32 2.2 SỰ TỒN TẠI VÀ CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN 38 2.3 TÍCH PHÂN TRÊN MỘT TẬP BỊ CHẶN 41 2.4 CÁC TẬP ĐO ĐƯỢC (Theo Jordan) 51 2.5 TÍCH PHÂN SUY RỘNG 56 CHƯƠNG ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 66 3.1 PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ 66 3.2 ĐỊNH LÍ ĐỔI BIẾN SỐ 72 3.3 CÁC VI PHÔI TRONG  n 74 3.4 CHỨNG MINH ĐỊNH LÍ ĐỔI BIẾN 82 3.5 MỘT SỐ ỨNG DỤNG SƠ CẤP CỦA ĐỊNH LÍ ĐỔI BIẾN SỐ 88 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 94 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 95 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (BẢN SAO) MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Cùng với phép tính vi phân, phép tính tích phân thành tựu lớn trí tuệ nhân loại Nó tạo nên bước ngoặt lớn phát triển khoa học trở thành công cụ sắc bén, đầy sức mạnh nhà khoa học sử dụng rộng rãi nghiên cứu ứng dụng thực tiễn Tích phân khái niệm bản, quan trọng giải tích Phép tính tích phân cho phương pháp tổng quát để tính diện tích hình phẳng thể tích vật thể có hình dạng phức tạp Phép tính tích phân xem thành tựu quan trọng Tốn học Nó đóng vai trị quan trọng chương trình Tốn đại học việc chứng minh Định lí đổi biến tích phân hàm nhiều biến chưa đề cập đến nhiều Với lí định hướng thầy giáo hướng dẫn TS Lê Hồng Trí, tơi chọn “Tích phân hàm nhiều biến” làm đề tài nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ khoa học Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu đề tài tìm hiểu định nghĩa, tính chất, Định lí đổi biến tích phân hàm nhiều biến ứng dụng Định lí đổi biến Qua đó, làm rõ nghiên cứu có tiến hành tìm hiểu sâu vấn đề liên quan Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phép tính tích phân hàm nhiều biến Chứng minh Định lí đổi biến tích phân hàm nhiều biến nêu số ứng dụng Phương pháp nghiên cứu Thu thập, tổng hợp tài liệu có liên quan đến nội dung đề tài luận văn, đặc biệt tài liệu liên quan đến việc chứng minh Định lí đổi biến tích phân hàm nhiều biến Phân tích, nghiên cứu tài liệu Đồng thời trao đổi, thảo luận với thầy giáo hướng dẫn để thực đề tài Bố cục đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành ba chương: Chương Những kiến thức chuẩn bị Chương trình bày sơ lược số kiến thức sở đại số tuyến tính; topo khơng gian  n , không gian compact, không gian liên thơng  n ; phép tính vi phân khơng gian hữu hạn chiều Chương Tích phân hàm nhiều biến Chương trình bày định nghĩa tích phân hình hộp chữ nhật, tập bị chặn, tích phân suy rộng, tính chất, tồn cách tính tích phân, Chương Đổi biến tích phân hàm nhiều biến Chương trình bày chứng minh Định lí đổi biến số nêu số ứng dụng Tổng quan tài liệu nghiên cứu Đề tài luận văn trình bày định nghĩa tích phân hàm nhiều biến, tính chất, làm rõ chứng minh Định lí đổi biến tích phân hàm nhiều biến nêu ứng dụng Định lí đổi biến số sau thân tích cực nghiên cứu, phân tích, tổng hợp tài liệu liên quan thơng qua việc trao đổi thảo luận với thầy hướng dẫn làm đề tài Sau bảo vệ, góp ý quý thầy cô Hội đồng, đề tài luận văn dùng làm tài liệu tham khảo cho học sinh, sinh viên, giáo viên đối tượng có quan tâm đến lĩnh vực CHƯƠNG NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày sơ lược số kiến thức sở đại số tuyến tính; topo khơng gian n , không gian compact, không gian liên thông n ; phép tính vi phân khơng gian hữu hạn chiều Đầu tiên, ta nêu số kiến thức sở đại số tuyến tính: 1.1 KHƠNG GIAN VECTOR Định nghĩa 1.1.1 Cho V tập (mà phần tử gọi vector), trang bị phép tốn cộng vector x y , kí hiệu x  y phép nhân số thực c vector x vector kí hiệu cx Tập V với hai phép tốn gọi khơng gian vector (hoặc khơng gian tuyến tính) thỏa mãn tiên đề sau: (1) x  y  y  x (2) x  ( y  z )  ( x  y)  z (3) Có vector mà x   x, x (4) x  (1) x  (5) 1x  x (6) c(dx)  (cd ) x (7) (c  d ) x  cx  dx (8) c( x  y)  cx  cy Nếu V không gian vector tập W V gọi không gian V với cặp x, y  W c   ta có: x  y  W cxW Khi W thỏa tiên đề (1)(8) W không gian vector Cho V không gian vector Một hệ a1 , , am  vector V gọi hệ sinh V x  V có m số thực c1 , , cm thỏa mãn: x  c1a1   cm am Hệ vector a1 , , am  gọi độc lập tuyến tính vector biểu diễn dạng  d1a1   d m am d1  d   d m  Nếu hệ vector a1 , , am  vừa hệ sinh vừa độc lập tuyến tính sở V Định lí 1.1.2 Giả sử V có sở gồm m vector Khi hệ sinh V có m vector hệ độc lập tuyến tính V có nhiều m vector Đặc biệt sở V có m vector Nếu V có sở gồm m vector, ta nói m chiều V Ta quy ước không gian vector gồm vector có khơng chiều Trong khơng gian n cho: e1  1,0,0, ,0  e2   0,1,0, ,0  en   0,0,0, ,1 e1 , e2 , , en  sở  n e1 , e2 , , en  gọi sở tắc n Khơng gian vector n có nhiều sở khác sở n phải gồm n vector Có thể mở rộng định nghĩa hệ sinh, hệ độc lập tuyến tính sở cho tập vơ hạn vector, cho khơng gian vector có sở vơ hạn Tuy nhiên ta khơng xét trường hợp Vì n có sở hữu hạn nên khơng gian n có sở hữu hạn Điều kết định lí sau: Định lí 1.1.3 Cho V khơng gian vector m chiều Nếu W không gian V (khác V ) W có chiều nhỏ hay m Ngồi sở a1 , , ak  W mở rộng thành sở a1, , ak , ak 1, , am  V 1.2 TÍCH VƠ HƯỚNG Định nghĩa 1.1.4 Nếu V không gian vector, tích vơ hướng V hàm tương ứng cặp ( x, y) V  V với số thực kí hiệu x, y thỏa điều kiện sau với x, y, z V số thực c: (1) x, y  y, x (2) x  y, z  x, z  y, z (3) cx, y  c x, y  x, cy (4) x, x  x  Khơng gian vector V với tích vơ hướng V gọi không gian tiền Hilbert Mỗi khơng gian vector có nhiều tích vơ hướng khác Trong n có tích vơ hướng đặc biệt định nghĩa bởi: Nếu x   x1 , , xn  , y   y1 , , yn  , ta có x, y  x1 y1   xn yn Việc kiểm tra điều kiện tích vơ hướng dễ dàng Đây tích vơ hướng ta thường dùng n Nếu V không gian tiền Hilbert, độ dài (hoặc chuẩn) vector định nghĩa: x  x, x 1/2 Ta có: (1) x  x  (2) cx  c x (3) x  y  x  y Tính chất thứ ba gọi bất đẳng thức tam giác Bất đẳng thức tương đương với (3) mà ta thường dùng là: (3’) x  y  x  y Hàm giá trị thực không gian vector V mà thỏa tính chất (1)  (3) gọi chuẩn V Chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng ví dụ chuẩn, chuẩn gọi chuẩn Euclide, có nhiều chuẩn khác khơng cảm sinh từ tích vơ hướng Trên  n ta sử dụng chuẩn sup định nghĩa: x  max  x1 , , xn  Chuẩn sup thường dùng tiện chuẩn Euclide Ta ý hai chuẩn  n thỏa bất đẳng thức: x x  nx 81   1.I n   1 Do Dk(0) = In  k vi phôi lân cận W1 n với tập mở W2 n h -1 k Bây ta đặt W0 = h (W1 ) vi phơi W0 W1 W2 vi phôi sơ cấp Hơn hàm hợp k  h g|W0 Thật vậy, x  W0 , đặt y = ( y1 , y2 , , yn ) = h(x)  y   g1 ( x), , g n1 ( x), xn    k ( y )  y1 , , yn1 , g n  h 1 ( y )  (3.7)    g1 ( x), , g n1 ( x), g n ( x)   g ( x) (do (3.7)) Bước Bây ta chứng minh định lí trường hợp tổng quát Cho g : A  B a  A , cho C ma trận Dg(a) Xác định vi phôi t1, t2, T : n  n t1(x) = x + a, t2(x) = x  g(a) T(x) = C1.x Cho g hàm hợp T  t2  g  t1 g vi phơi tập mở t11 ( A) n n  với tập mở T  t2 ( B )   Ta có g (0)  Dg (0)  I n (Đẳng thức đầu định nghĩa, đẳng thức hai suy từ quy tắc dây chuyền DT (0)  C 1 , Dti  I n , i  {1, 2} ) Từ bước 3, tồn lân cận W0 chứa t11 ( A) mà g |W0 thương hóa vi phơi sơ cấp Cho W2  g (W0 ) , A0  t1 (W0 ), B0  t21T (W2 ) t11 g T 1 1 t21 Thì g ( A0 )  B0 g|A0 hợp A0 W0 W2  T (W2 )  B0 82 Do bước bước nên anh xạ t11 , t21 T 1 thương hóa phép biến đổi sơ cấp Định lí chứng minh 3.4 CHỨNG MINH ĐỊNH LÍ ĐỔI BIẾN Ta chia định lí đổi biến thành bổ đề sau: Bổ đề 3.4.1 Cho g: A  B vi phôi tập mở n Khi ánh xạ liên tục f : B   mà khả tích B hàm ( f  g ) det Dg khả tích A  B f   ( f  g ) det Dg A Chứng minh Ta chia chứng minh bổ đề thành nhiều bước: Bước Cho g: U  V h: V  W vi phôi tập mở n Ta bổ đề cho g h bổ đề cho h  g Giả sử f : W   hàm liên tục khả tích W, sử dụng giả thiết ta  W f   ( f  g ) det Dg   ( f  h  g ) (det Dh)  g det Dg V U (Tích phân thứ hai tồn tích phân đầu bổ đề h, tích phân thứ tồn tích phân thứ bổ đề g) Theo quy tắc dây chuyền ta có: D(h  g )( x)  Dh  g ( x)  Dg ( x)  det D(h  g )   det Dh   g   det Dg   det D(h  g )   det Dh   g det Dg   f   f  (h  g )  det Dh  W U  Bổ đề cho h  g Bước Giả sử x  A , tồn lân cận U x chứa A mà bổ đề cho vi phôi g: U  V (ở V  g (U ) ) tất hàm liên tục f: V   mà giá tập compact V Khi ta bổ đề 83 cho g Nói cách khác bổ đề địa phương cho hàm g cho hàm f với giá compact bổ đề cho hàm g tất hàm f Ta sử dụng phân hoạch đơn vị để chứng minh bổ đề Ta viết A dạng hợp họ tập mở U  mà V  g (U  ) mà bổ đề cho vi phôi g : U   V tất hàm liên tục f : V   với giá compact tập V Hợp tập mở V B Chọn phân hoạch đơn vị i  B có giá compact mà làm trội họ V  Ta họ i  g phân hoạch đơn vị A có giá compact Đầu tiên, ta ý i  g ( x)   0, x  A Thứ hai, ta i  g có giá compact Đặt Ti  Supp i Tập g 1 (Ti ) compact Ti compact g -1 liên tục Hơn i  g triệt tiêu phía ngồi g 1 (Ti ) nên tập đóng Si  Supp i  g  chứa g 1 (Ti ) Si compact Thứ ba, ta kiểm tra tính hữu hạn địa phương Cho x điểm thuộc A, đặt y = g(x) y có lân cận W mà giao với hữu hạn Ti  g 1 (W ) tập mở chứa x giao hữu hạn tập Si  họ giá i  g hữu hạn địa phương Thứ tư, ta ý   g ( x)    ( y)  i i Do i  g phân hoạch đơn vị A Bây giờ, ta chứng minh bước Giả sử f : B   liên tục f khả tích B Ta có:   B f     i f  , (do Định lí 3.1.6)  B  i 1 Với i, chọn  cho Ti  V Hàm i f liên tục B triệt tiêu phía ngồi tập compact Ti 84   f  B i Ti i f   i f , (theo Bổ đề 3.1.5) V Do bổ đề với giả thiết g : U   V hàm i f ta  V i f   U i  g   f  g  det Dg Do hàm tích phân bên phải triệt tiêu phía ngồi tập compact Si nên   f     g   f  g  det Dg Lấy tổng theo sử dụng Bổ đề 3.1.5 ta B i A i   i ta được: B f     i  g   f  g  det Dg   A  i 1 (3.8) Do | f | khả tích B nên (3.8) thay f | f | Do họ i  g phân hoạch đơn vị A nên từ Định lí 3.1.6, ta có  f  g  det Dg khả tích A Và ta có       g   f  g  det Dg     f  g  det Dg i 1 A i A   f   ( f  g ) det Dg B A Bước Ta bổ đề cho n = 1 Cho g : A  B vi phôi tập mở  Với x  A, cho I đoạn đóng A mà có phần chứa x J = g(I) Do J đoạn 1 nên g(Int I) = Int J (do Định lí 3.2.1 3.3.2) Từ x bất kì, cách sử dụng bước ta cần chứng minh bổ đề cho vi phơi g: Int I  Int J hàm f: Int J   với giá compact nằm Int J Có nghĩa ta phải chứng minh đẳng thức  Int J f  Int I ( f  g) g ' (3.9) Đầu tiên ta thác triển hàm f xác định J cách đặt cho f Bd J Khi đẳng thức (3.9) tương đương đẳng thức biết hàm biến  J f   ( f  g ) g ' , I 85 Bước Với n > 1, để chứng minh bổ đề cho vi phơi g : A  B tập mở n ta cần chứng minh bổ đề cho vi phôi sơ cấp h : U  V tập mở n Giả sử bổ đề cho tất vi phôi sơ cấp n Cho g : A  B vi phôi Với x  A , tồn lân cận U0 x h1 h2 hk dãy vi phôi sơ cấp U U  U k mà hợp chúng g|U0 Do bổ đề cho vi phôi hi nên theo bước cho g|U0 Bởi x tùy ý nên từ bước ta bổ đề cho g Bước Ta bổ đề cho không gian n 1 chiều cho khơng gian n chiều Sử dụng bước ta cần chứng minh bổ đề cho vi phôi sơ cấp n h : U  V tập mở  Để dễ dàng cho việc chứng minh ta giả sử h bảo toàn tọa độ sau Với pU , đặt q = h(p) Chọn hình chữ nhật Q chứa V mà phần chứa q, đặt S  h1 (Q) Sử dụng Định lí 3.3.2, h xác định vi phơi từ Int S Int Q Từ p theo bước ta cần chứng minh bổ đề cho vi phôi h: Int S  Int Q cho tất hàm f: Int Q   liên tục với giá compact tập Int Q Hàm  f  g  det Dh triệt tiêu bên tập compact Int S Do khả tích Int S Bổ đề 3.1.5 Ta cần  Int Q f  Int S f  g  det Dh Các tích phân tích phân suy rộng tích phân thường triệt tiêu phía ngồi tập compact tập 86 Chúng ta thác triển f lên n cách cho phía ngồi Int Q ta đặt F : n   mà ( f  h) det Dh Int S phía ngồi, f F liên tục đẳng thức tương đương với đẳng thức  Q f  F S n1 Hình chữ nhật Q có dạng Q  D  I , D hình chữ nhật  I đoạn đóng  Do S compact, phép chiếu làm khơng gian n1  compact chứa tập có dạng n1 E  , E hình chữ nhật  Bởi h bảo tồn tọa độ sau nên S chứa hình chữ nhật E  I Bởi F triệt tiêu phía ngồi S nên đẳng thức viết dạng  Q f  EI F, Sử dụng định lí Fubini đẳng thức tương đương với   tI yD f ( y, t )   tI  xE F ( x, t ) Như vậy, ta cần chứng minh, t  I ,  yD f ( y, t )   xE F ( x, t ) Giao tập U V với  n 1  t tập có dạng Ut  t Vt  t tương ứng Ut Vt tập mở  n 1 Tương tự giao S với  n 1  t có dạng St  t , St tập compact  n 1 Do F triệt tiêu phía ngồi S nên đẳng thức tương đương  yD f ( y, t )   xSt F ( x, t ) Sử dụng Bổ đề 3.1.5, đẳng thức lại tương đương với  yVt f ( y, t )   xU t F ( x, t ) Đẳng thức giả thuyết quy nạp Ta giải thích điều sau: 87 Vi phôi h : U  V có dạng h( x, t )   k ( x, t ), t  Với k : U   n1 hàm thuộc lớp C1 Ta có đạo hàm h có dạng  k1  x   Dh    kn1  x1  0 k1 x1  det Dh  kn1 x1 k1 xn1 kn1 xn1 k1  t    kn1  t    k1 t kn1 xn1 Với t cố định, ánh xạ x  k ( x, t ) ánh xạ thuộc lớp C1 từ Ut lên Vt song ánh k1 x1 Bởi kn1 x1 k1 t  det Dh  kn1 xn1 Nên ánh xạ vi phôi tập mở  n1 Sử dụng giả thuyết quy nạp (với t cố định) ta đẳng thức  yVt f ( y, t )   xU t f  k ( x, t ), t  det k x Với x  U t , biểu thức dấu tích phân vế phải f  h( x, t )  det Dh  F ( x, t ) Như vậy, bổ đề chứng minh xong 88 n Bổ đề 3.4.2 Cho g : A  B vi phôi tập mở  , f : B   liên tục Nếu ( f  g ) det Dg khả tích A f khả tích B Chứng minh Sử dụng Bổ đề 3.4.1 cho vi phôi g 1 : B  A hàm F  ( f  g ) det Dg liên tục A khả tích A theo giả thuyết, hàm ( F  g 1 ) det Dg 1 khả tích B Ta chứng minh ( F  g 1 ) det Dg 1  f Thật vậy, y  B , ta đặt g(x) = y 1  D  g 1  ( y )   Dg ( x) , theo Định lí 1.1.64 Ta có ( F  g 1 )( y ) det D ( g 1 )( y )  F ( x )  f ( y) det Dg ( x ) 3.5 MỘT SỐ ỨNG DỤNG SƠ CẤP CỦA ĐỊNH LÍ ĐỔI BIẾN SỐ Bây ta nêu số ứng dụng sơ cấp định lí đổi biến số Định lí 3.5.1 Cho A ma trận vuông cấp n không suy biến Cho h :  n   n xác định phép biến đổi tuyến tính h(x) = A x, x  n Cho S tập đo n T = h(S) Khi v(T) = |det A| v(S) Chứng minh Ta có h phép vi phơi từ n vào nó, h(Int S) = Int T nên T đo v(T) = v(Int T) =  Int T 1  Int S  | det Dh | Int S | det A| | detA| v ( S ) 89 Cho a1 , …, ak vector độc lập tuyến tính n Ta định nghĩa n hình bình hành k chiều  =( a1 , …, ak) tập tất điểm x   mà x  c1a1   c k a k với vô hướng ci  [0;1] Các vector a1 , …, ak gọi cạnh  Từ định lí ta có hệ sau: Hệ 3.5.2 Cho a1 , …, ak vector độc lập tuyến tính n Cho A  [a1  a n ] ma trận vuông cấp n với cột a1 , …, ak Khi v(( a1 , …, an)) = |det A| Chứng minh Xét phép biến đổi tuyến tính h :  n   n cho cơng thức h(x) = A x Khi h biến vector đơn vị e1, …, en sở tắc n thành a1 , …, an Ta thấy ảnh hình hộp đơn vị In = [0;1]n qua ánh xạ h hình bình hành ( a1 , …, ak) Sử dụng Định lí 3.5.1 ta có v(( a1 , …, an)) = |det A|.v(In) = |det A| Từ hệ ta tính thể tích hình bình hành chiều  a  b  c    1   1   1 cách dễ dàng Chẳng hạn, cho a   a  , b   b  , c   c2  thể a  b  c   3  3  3 a1 b1 c1    tích hình bình hành với ba cạnh a , b , c trị tuyệt đối a b c a3 b3 c3    trị tuyệt đối tích hỗn hợp ba vector a , b , c Ngồi ra, ta nêu tính bất biến thể tích qua phép đẳng cự ( bảo tồn khoảng cách ) 90 Cho a1 , …, ak vector n , vector gọi trực giao a i ,a j  i  j, || || = 1, i hệ gọi hệ trực chuẩn Ta có hệ trực giao với vector khác độc lập tuyến tính, hệ n vector trực giao với vector khác tạo thành sở n Định nghĩa 3.5.3 Một ma trận A vuông cấp n gọi ma trận trực giao cột A tạo thành hệ trực chuẩn Điều kiện tương đương với đẳng thức Atr.A = In Nếu A ma trận trực giao A ma trận vuông Atr nghịch đảo trái A Ta suy Atr nghịch đảo phải A Do A ma trận trực giao Atr = A1 Chú ý A ma trận trực giao det A =  (Thật vậy, (det A)2 = (det Atr)(det A) = det (Atr A) = det In =  det A =  1) Ta có nhận xét sau: Nếu A, B ma trận trực giao cỡ mn A.B ma trận trực giao (Thật vậy, (A.B)tr.(A.B) = (Btr.Atr).(A.B) = Btr.B = In  A.B ma trận trực giao) Phép biến đổi tuyến tính h :  n   n xác định h(x) = A x gọi phép biến đổi trực giao A ma trận trực giao Điều kiện tương đương với điều kiện h biến sở tắc e1, …, en n thành sở trực giao n Định nghĩa 3.5.4 Cho h :  n   n gọi phép đẳng cự h(x)  h(y)  x  y , x , y  n (Với chuẩn chuẩn Euclide) 91 Định lí 3.5.5 Cho h :  n   n ánh xạ mà h(0) = (a) h phép đẳng cự bảo tồn tích vơ hướng (b) h phép đẳng cự phép biến đổi trực giao Chứng minh (a) x, y ta có: h(x)  h(y)  h(x), h(x)  h(x), h(y)  h(y), h (y) (3.10) x  y  x, x  x, y  y, y (3.11) Nếu h bảo tồn tích vơ hướng phải (3.10) (3.11) 2 nên h(x)  h(y)  x  y  h(x)  h(y)  x  y  h phép đẳng cự Ngược lại, cho h phép đẳng cự ta có x   n , h(x)  h(0)  x   h(x)  x  h(x)  x Do x, y   n ta có h(x)  h(y)  x  y 2  h(x)  h(y)  x  y Sử dụng (3.10) (3.11) ta có h(x), h(x)  h(x), h(y)  h(y), h(y)  x, x  x, y  x, y 2  h(x)  h(x), h(y)  h(y)  x  x, y  y 2 Mà h(x)  x , h(y)  y 2 nên h(x), h(y)  x, y (b) Cho h(x) = A x với A ma trận trực giao ta h phép đẳng cự Sử dụng (a) ta cần h bảo tồn tích vơ hướng Tích vơ hướng h(x) h(y) biểu diễn thành ma trận tích h(x)tr.h(y) (Với h(x), h(y) biểu diễn thành dạng ma trận cột thường lệ) Ta có h(x)tr.h(y) = (A.x)tr.(A.y) = xtr.Atr.A.y = xtr.y 92 Do h bảo tồn tích vơ hướng  h phép đẳng cự Ngược lại, cho h phép đẳng cự với h(0) = Đặt = h(ei), i  1, n Cho A  [a1  a n ] , h bảo tồn tích vơ hướng Sử dụng (a) ta h bảo tồn tích vơ hướng  vector a1 , …, an hệ trực chuẩn (i, j {1, , n}, a i ,a j  h(ei ), h(e j )  ei ,e j  ; i{1, , n},  a i ,a i  h(ei ), h(ei )  ei ,ei  ei   a i  1) Do A ma trận trực giao Ta h(x) = A.x, x n Thật vậy, x n ta viết n h(x)    i (x)a i , i 1 Do vector a1 , …, an hệ trực chuẩn nên ta có h(x),a j   j (x), j {1, ,n} Do h bảo tồn tích vơ hướng nên h(x),a j  h(x), h(e j )  x,e j  x j (Với xj tọa độ x sở tắc n )  x1    Do  j (x)  x j , j {1, ,n}  h(x)   x ia i  a1 a n     A.x i 1  x n  n Từ ta có định lí sau: Định lí 3.5.6 Cho h :  n   n Khi h phép đẳng cự có dạng h(x) = A.x + p, A ma trận trực giao p phần tử thuộc n 93 Chứng minh “” Cho h có dạng trên, ta đặt k :  n   n xác định k(x) = h(x)  p, x n k(x) = sử dụng định lí trước k phép đẳng cự  h phép đẳng cự “” Cho h phép đẳng cự, đặt p = h(0) k :  n   n xác định k(x) = h(x)  p, x n  h phép đẳng cự k(0) = Sử dụng định lí trước ta tìm ma trận trực giao A cỡ n  n mà k(x) = A.x, x n  h(x) = A.x + p, x n Định lí 3.5.7 Cho h :  n   n phép đẳng cự, S tập đo n T = h(S) đo v(T) = v(S) Chứng minh Ta có h có dạng h(x) = A.x + p, x n , A ma trận trực giao, p phần tử thuộc n Ta có Dh(x) = A, x n  v(T) = |det A|.v(S) = v(S) Nhận xét : ta thấy phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trục phép đẳng cự Như vậy, bảo tồn diện tích hình phẳng mặt phẳng 94 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Luận văn trình bày định nghĩa tích phân hàm nhiều biến, tính chất, làm rõ chứng minh Định lí đổi biến tích phân hàm nhiều biến nêu ứng dụng Định lí đổi biến số Trong trình thực đề tài vào tìm hiểu sâu phép tính tích phân khơng gian hữu hạn chiều mà cụ thể Định lí đổi biến số tích phân hàm nhiều biến ứng dụng giúp tác giả nắm bắt lượng kiến thức toán học việc giải vấn đề liên quan Qua đó, phục vụ nhiều cho công việc học tập giảng dạy thân Kết nghiên cứu nêu có cố gắng định, song phương pháp nghiên cứu cịn hạn chế nên khơng tránh khỏi thiếu sót Vì thế, mong nhận đóng góp q thầy giáo, giáo, bạn bè đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện nhằm khẳng định tầm quan trọng phép tính tích phân hàm nhiều biến Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình, chu đáo thầy giáo TS Lê Hồng Trí Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Toán trường Đại học Sư Phạm – Đại học Đà Nẵng, quý thầy giáo, cô giáo trang bị kiến thức thời gian học tập tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả để hoàn thành luận văn 95 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh [1] J Munkres (1991), Analysis on Manifolds, Addison – Wesley Publishing Company [2] J Munkres (2000), Topology, Prentice hall, Inc [3] M Spivak (1965), Calculus on Manifold, Addison – Wesley Publishing Company ... CHƯƠNG TÍCH PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Trong chương ta định nghĩa tích phân hàm nhiều biến nêu tính chất chúng Các tích phân gọi tích phân Riemann Đây tổng quát tích phân hàm biến 2.1 TÍCH PHÂN TRÊN... TÍNH TÍCH PHÂN 38 2.3 TÍCH PHÂN TRÊN MỘT TẬP BỊ CHẶN 41 2.4 CÁC TẬP ĐO ĐƯỢC (Theo Jordan) 51 2.5 TÍCH PHÂN SUY RỘNG 56 CHƯƠNG ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN... đổi biến tích phân hàm nhiều biến ứng dụng Định lí đổi biến Qua đó, làm rõ nghiên cứu có tiến hành tìm hiểu sâu vấn đề liên quan Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phép tính tích phân hàm nhiều biến