Phép chiếu xuống tập lồi và một số ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN VŨ ÁNH TUYẾT PHÉP CHIẾU XUỐNG TẬP LỒI VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 0112 Giáo viên hướng dẫn: GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU THÁI NGUYÊN, 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên Tác giả xin bầy tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy GS.TSKH Lê Dũng Mưu (Viện Toán học), thầy trực tiếp hướng dẫn tận tình động viên tác giả suốt thời gian nghiên cứu viết luận văn vừa qua Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Toán - Tin, Phòng Đào tạo khoa học Quan hệ quốc tế, bạn học viên lớp cao học Toán K4 trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi, động viên tác giả trình học tập nghiên cứu trường Tác giả xin bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân khuyến khích động viên tác giả suốt trình học cao học viết luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn Thái nguyên, ngày 10 tháng 10 năm 2012 Tác giả Vũ Ánh Tuyết 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời cảm ơn Một số ký hiệu chữ viết tắt Mở đầu Một số kiến thức 1.1 Kiến thức không gian Hilbert 1.1.1 Không gian Hilbert thực 1.1.2 Khai triển trực giao hệ trực chuẩn 1.1.3 Phiếm hàm tuyến tính song tuyến tính 1.1.4 Toán tử đối xứng hoàn toàn liên tục 1.2 Kiến thức tập lồi 1.2.1 Các tính chất tập lồi 1.2.2 Các tính chất hàm lồi Phép chiếu xuống tập lồi đóng 2.1 Kiến thức phép chiếu xuống tập lồi 2.1.1 Phép chiếu xuống tập lồi 2.1.2 Tính chất 2.1.3 Hình chiếu điểm xuống số tập quen thuộc 2.2 Một số ứng dụng phép chiếu 2.2.1 Định lý tách tập lồi 2.2.2 Sự tồn vi phân 2.2.3 Giải toán bất đẳng thức biến phân 6 11 12 13 14 17 25 25 25 26 28 31 31 34 39 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Một số ký hiệu chữ viết tắt R: không gian thực x := y : x định nghĩa y ∀x : với x ∃x : tồn x x : chuẩn vectơ x T x, y = x y : tích vô hướng hai vectơ x y A: bao đóng A coA : bao lồi A coA : bao lồi đóng A coneA : bao nón lồi A coneA : bao nón lồi đóng A af f (A) : bao affine tập A ri(A) : tập điểm tương đối tập A V (A) : tập điểm cực biên (đỉnh) A re(A) : nón lùi xa A intA : tập hợp điểm A domf : tập hữu dụng f ∗ f : hàm liên hợp f epif : đồ thị f ∂f (x): vi phân f x f (x, d) : đạo hàm theo hướng d f x A⊂B : tập A tập thực tập B A⊆B : tập A tập tập B A∪B : A hợp với B A∩B : A giao với B A×B : tích Đề - hai tập A B T A : ma trận chuyển vị ma trận A k x →x: dãy xk hội tụ mạnh đến x xk x : dãy xk hội tụ yếu đến x 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Giải tích lồi môn giải tích đại, nghiên cứu tập lồi hàm lồi vấn đề liên quan Bộ môn có vai trò quan trọng nhiều lĩnh vực khác toán học ứng dụng, đặc biệt tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân, toán cân bằng, Một vấn đề quan trọng giải tích lồi phép chiếu lên tập lồi đóng Đây công cụ sắc bén đơn giản để chứng minh nhiều định lý quan trọng định lý tách, định lý xấp xỉ tập lồi, định lý tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân, Những cách chứng minh dựa vào phép chiếu thường mang tính chất kiến thiết, gợi mở đến nhiều vấn đề khác Trong luận văn này, tác giả tập trung vào việc trình bầy định nghĩa, tính chất ứng dụng quan trọng phép chiếu Luận văn bao gồm chương Trong chương 1, trình bầy số kiến thức sở không gian Hilbert, tập lồi hàm lồi Chúng công cụ cho nghiên cứu trình bầy luận văn Chương chương luận văn Trong chương này, tác giả trình bầy khái niệm, tính chất phép chiếu Trong trình nghiên cứu biết hình chiếu vuông góc điểm lên tập lồi đóng, khác rỗng không gian Hilbert tồn Dựa vào đó, tác giả đề cập đến ứng dụng nó, cụ thể chứng minh định lý tách, chứng minh tồn vi phân hàm lồi, giải toán bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số kiến thức Trong chương này, ta trình bày kiến thức không gian Hilbert, tập lồi hàm lồi Các kiến thức lấy từ tài liệu [1,2,4,5] 1.1 Kiến thức không gian Hilbert Trong phần ta xét X không gian Hilbert thực Sau ta nhắc lại số kiến thức liên quan 1.1.1 Không gian Hilbert thực Định nghĩa 1.1 Cho X không gian tuyến tính trường số thực R Một tích vô hướng X ánh xạ kí hiệu , : X × X → R thỏa mãn điều kiện sau đây: 1) x, x ≥ 0∀x ∈ X; x, x = ⇔ x = 0; 2) x, y = y, x ∀x, y ∈ X; 3) x1 + x2 , y = x1 , y + x2 , y ∀x1 , x2 , y ∈ X; 4) αx, y = α x, y ∀x, y ∈ X, α ∈ R Khi đó, không gian tuyến tính X , gọi không gian tiền Hilbert Ví dụ 1.1 Không gian C[a,b] gồm tất hàm liên tục đoạn [a, b] 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn với phép toán thông thường với tích vô hướng cho bởi: b x, y = x(t)y(t)dt a không gian tiền Hilbert Định nghĩa 1.2 Không gian đầy đủ không gian mà dãy Cauchy hội tụ Ví dụ 1.2 i) Không gian C[a,b] với chuẩn x đầy đủ b ii) Không gian C[a,b] với chuẩn x = = max |x(t)| không gian |x(t)|2 dt 1/ không không a gian đầy đủ Định nghĩa 1.3 Không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi không gian Hilbert 1/ b 2 |x(t)| dt Ví dụ 1.3 i) Không gian L[a,b] với chuẩn x = a không gian Hilbert ∞ ii) Không gian l2 với chuẩn x = |ξn | 1/ < +∞, x = (ξ1 , , ξn ) n=1 không gian Hilbert Nhận xét 1.1 i) Không gian tiền Hilbert không gian định chuẩn với chuẩn x = x, x /2 ii) Không gian tiền Hilbert có bất đẳng thức Schwars: x, y ≤ x y iii) Không gian tiền Hilbert thỏa mãn điều kiện bình hành: x+y + x−y =2 x + y iv) Tích vô hướng (x, y) hàm số liên tục biến x y 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.2 Khai triển trực giao hệ trực chuẩn Định nghĩa 1.4 i) Hai vectơ x y không gian Hilbert X gọi trực giao với x, y = kí hiệu x⊥y ii) Phần tử x không gian Hilbert X gọi trực giao với tập M x trực giao với tất phần tử M iii) Tập tất vectơ trực giao với tập M làm thành không gian đóng X Kí hiệu: M ⊥ = {x ∈ X |x⊥M } gọi phần bù trực giao M Từ định nghĩa ta suy số tính chất đơn giản sau: Tính chất 1.1 Nếu x⊥y y⊥x Ta có x⊥x x = Vectơ trực giao với vectơ x Chứng minh Thật vậy, x⊥y ⇔ x, y = Suy ra: y, x = ⇔ y⊥x +) x⊥x ⇔ x, x = ⇔ x = 0∀x ∈ X +) Ta có: 0, x = ⇔ 0⊥x∀x ∈ X Tính chất 1.2 Nếu x⊥y1 , x⊥y2 , , x⊥yn x trực giao với tổ hợp tuyến tính y , tức x⊥(α1 y1 + α2 y2 + + αn yn )∀αi ∈ R Chứng minh Thật vậy, xét: x, α1 y1 + α2 y2 + + αn yn = (x, α1 y1 ) + (x, α2 y2 ) + (x, αn yn ) = α1 (x, y1 ) + α2 (x, y2 ) + + αn (x, yn ) = Do đó, x⊥(α1 y1 + α2 y2 + + αn yn )∀αi ∈ R Tính chất 1.3 Nếu x⊥yn , lim yn = y x⊥y n→∞ Chứng minh Ta có: x⊥yn ⇔ (x, yn ) = ⇔ lim (x, yn ) = Do X n→∞ không gian Hilbert nên tích vô hướng hàm liên tục hai biến Do đó, (x, y) = lim (x, yn ) = nên x⊥y n→∞ Tính chất 1.4 Nếu x⊥y x + y = x + y (định lý Pytago) Chứng minh Thật vậy, x⊥y nên (x, y) = Do đó, x+y = (x + y, x + y) = (x, x) + (x, y) + (y, y) = x + y Bằng quy nạp ta chứng minh tổng quát hơn, vectơ x1 , x2 , , xn n đôi trực giao với x = xi x i=1 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên n = xi i=1 http://www.lrc-tnu.edu.vn Tính chất 1.5 Nếu {xn } hệ trực giao (nghĩa vectơ trực ∞ ∞ xn hội tụ chuỗi số giao đôi một) chuỗi n=1 xn n=1 hội tụ n Chứng minh Thật vậy, cho Sn = n xk , Sn = k=1 xk k=1 Với n > m đủ lớn, theo định lý Pytago ta có: Sn − Sm = xm+1 + + xn = xm+1 + + xn = Sn − Sm Vì không gian Hilbert không gian đủ nên từ Sn − Sm → ta suy {Sn } hội tụ Sn hội tụ Định lý 1.1 Cho M không gian đóng không gian Hilbert X Bất kỳ phần tử x X biểu diễn cách dạng x = y + z, y ∈ M, z ∈ M ⊥ (1.1) y phần tử M gần x tức x − y ≤ x − u với u ∈ M Chứng minh Có thể thấy phân tích (1.1) có phải x = y + z = y + z với y, y ∈ M ; z, z ∈ M ⊥ y − y = z − z mà M, M ⊥ không gian nên y − y ∈ M ; z − z ∈ M ⊥ tức (y − y)⊥(z − z), y − y = z − z = Thành thử vấn đề chủ yếu tồn phân tích (1.1) Ta nhận xét rằng: Trong trường hợp riêng X = R2 M đường thẳng định lý nói lên kiện quen thuộc Trong trường hợp tổng quát ta đặt: d = inf x − u u∈M Theo định nghĩa cận đúng, tồn dãy un ∈ M cho x − un → d(n → ∞) Áp dụng đẳng thức bình hành cho x − un x − um ta có: 2x − (un + um ) + um − un = x − un + x − um Khi n, m → ∞ vế phải dần tới 4d2 phần đầu vế trái m x − un +u ≥ 4d2 12 (un + um ) ∈ M 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Vậy, n, m → ∞ un − um → 0, un dần tới giới hạn y Ta có y ∈ M M đóng x − y = lim x − un = d n→∞ Bây ta đặt z = x − y tìm cách chứng minh z ∈ M ⊥ Muốn thế, xét phần tử u M Ta có, với số thực α: (z − αu, z − αu) = z − 2α (z, α) + α2 u Mà y+αu ∈ M nên (z − αu, z − αu) = z − αu = − x − (y + αu) d2 Mặt khác, z = x − y = d2 , với số thực α: −2α (z, α) + α2 u 2 ≥ ≥ d2 − d2 = Điều xảy (z, u) = tức z⊥u Vậy, z ∈ M ⊥ (đpcm) Vectơ y phân tích (1.1) gọi hình chiếu x lên không gian M Đó khoảng cách nhỏ từ M tới x Đặt P x = y , ta xác đinh toán tử P gọi toán tử chiếu lên M : P :X→M x→P x=y Rõ ràng, P toán tử tuyến tính liên tục P x ≤ x Định nghĩa 1.5 Một hệ {en } phần tử không gian Hilbert X gọi hệ trực chuẩn (ei , ej ) = δij δij = i = j δij = i khác j Như hệ trực chuẩn hệ trực giao chuẩn hóa e i = 1∀i Khi {en } hệ trực chuẩn với x ∈ X , số ζi = (x, ei ) gọi ∞ hệ số Fourier x ei chuỗi ζi ei gọi chuỗi Fourier i=1 x theo hệ {en } Ta có tính chất sau: ∞ i) ζi ≤ x i=1 (Bất đẳng thức Besel) ∞ ∞ ζi ei hội tụ (x − ii) Chuỗi i=1 ζi ei )⊥en i=1 Một hệ trực chuẩn {en } gọi đầy đủ có vectơ trực giao với tất phần tử hệ x⊥en (n = 1, 2, ) Suy x = Định lý 1.2 Cho {en } hệ trực chuẩn, ζn = (x, en ) hệ số Fourier x en Các mệnh đề sau tương đương: 10 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Khi đó, ta nói x∗ ∈ X đạo hàm f x x∗ , z − x + f (x) ≤ f (z), ∀z ∈ X Tương tự hàm lồi khả vi thông thường, biểu thức có nghĩa phương trình tiếp tuyến nằm đồ thị hàm số Tuy nhiên khác với trường hợp khả vi, tiếp tuyến không tồn Ký hiệu tập tất đạo hàm f x ∂f (x) gọi vi phân Đây tập (có thể rỗng R) Khi ∂f (x) = ∅ ta nói hàm f khả vi phân x Trong trường hợp tập ∂f (x) gồm điểm ta nói hàm f khả vi x Theo định nghĩa, điểm x∗ ∈ ∂f (x) thỏa mãn hệ vô hạn bất đẳng thức tuyến tính Như vậy, ∂f (x) giao nửa không gian đóng Vậy, ∂f (x) tập lồi đóng (có thể rỗng) Ký hiệu: dom (∂f ) = {x|∂f (x) = ∅} Ví dụ 2.1 f (x) = x với x ∈ Rn Tại điểm x = hàm không khả vi khả vi phân ∂f (0) = {x∗ | x∗ , x ≤ x , ∀x ∈ Rn } Ví dụ 2.2 Cho C ⊂ Rn tập lồi, khác rỗng f (x) = δC (x) = x ∈ C +∞ x ∈ /C hàm C Khi đó, với x0 ∈ C ta có: ∂f x0 = x∗ | x∗ , x − x0 ≤ δC (x), ∀x Với x ∈ C δC = +∞ nên bất đẳng thức Vậy ∂δC f x0 = x∗ | x∗ , x − x0 ≤ 0∀x = NC (x0 ) Vậy vi phân hàm tập lồi C khác rỗng điểm x0 ∈ C nón pháp tuyến C x0 35 35Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 2.4 Cho X không gian Hilbert, ánh xạ f : X → R ∪ {+∞} x0 ∈ X cho f (x0 ) < +∞ Nếu với y ∈ X mà giới hạn f (x0 +λy )−f (x0 ) lim tồn (hữu hạn hay vô hạn), ta nói f có đạo hàm λ λ→0 theo phương y điểm x0 Giới hạn ký hiệu f (x0 , y) Vậy, f x0 + λy − f x0 f (x , y) = lim λ→0 λ Mệnh đề cho ta điều kiện cần đủ để điểm x∗ ∈ ∂f (x) Mệnh đề 2.2 Cho X không gian Hilbert, f : X → R ∪ {+∞} hàm lồi, thường Khi đó: i) x∗ ∈ ∂f (x) f (x, y) ≥ x∗ , y , ∀y ii) Nếu f hàm lồi thường X với x ∈ dom∂f (x) ta có f (x) = f (x) , ∂f (x) = ∂f (x) Chứng minh i) Theo định nghĩa x∗ ∈ ∂f (x) Khi đó, x∗ , z − x + f (x) ≤ f (z), ∀z ∈ X Với y , lấy z = x + λy, λ > ta có x∗ , λy + f (x) ≤ f (x + λy) Từ suy x∗ , y ≤ f (x + λy) − f (x) , ∀λ > λ (2.1) Theo định nghĩa f (x, y) ta suy x∗ , y ≤ f (x, y), ∀y (2.2) Ngược lại, giả sử (2.2) thỏa mãn Lấy z áp dụng (2.1) với y = z − x λ = ta có f (x + y) − f (x) ≥ f (x, y) = f (x, z − x) ≥ x∗ , z − x , ∀z 36 36Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Vậy x∗ ∈ ∂f (x) ii) Cho x ∈ dom∂f (x) x∗ ∈ ∂f (x) Theo định nghĩa hàm liên hợp f x∗ ∈ ∂f (x) ta có f (x) ≥ f (x) = f ∗∗ (x) ≥ x∗ , x − f ∗ (x∗ ) = f (x) Suy f (x) = f (x) Nếu y ∗ ∈ ∂f (x) với z ta có f (z) ≥ f (z) ≥ f (x) + y ∗ , z − x = f (x) + y ∗ , z − x Suy ∂f (x) ⊆ ∂f (x) Để chứng minh điều ngược lại, lấy z ∈ ri(domf ) Với z ta có f (z) = lim f (1 − t) z + tz t Vậy theo định nghĩa vi phân có f (1 − t) z + tz ≥ f (x) + x∗ , (1 − t) z + tz − x Cho t ta f (x) ≥ f (x) + x∗ , z − x = f (x) + x∗ , z − x Chứng tỏ x∗ ∈ ∂f (x) Suy ∂f (x) ⊆ ∂f (x) Vậy ∂f (x) = ∂f (x) Mệnh đề 2.3 Cho X không gian Hilbert, f : X → R ∪ {+∞} hàm lồi, thường Khi đó: i) Nếu x ∈ domf ∂f (x) = ∅ ii) Nếu x ∈ int(domf ) ∂f (x) = ∅ com-pắc Ngược lại ∂f (x) = ∅ com-pắc x ∈ ri(domf ) Chứng minh i) Cho z ∈ domf f (z) < +∞ Vậy x ∈ domf f (x) = +∞ tồn x∗ thỏa mãn f (x) + x∗ , z − x ≤ f (z) < +∞ Vậy ∂f (x) = ∅ ii) Trước hết, giả sử x ∈ int(domf ) Khi ta có điểm (x, f (x)) nằm biên epif Do f hàm lồi, thường nên epif tập lồi, khác 37 37Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn rỗng Khi tồn siêu phẳng tựa epif qua (x, f (x)), tức tồn p ∈ X, t ∈ R không đồng thời cho p, x + tf (x) ≤ p, y + tµ, ∀(y, µ) ∈ epif (2.3) Nếu t = p, x ≤ p, y , ∀y ∈ domf Nhưng x ∈ int(domf ) nên điều kéo theo p = Vậy t = Nếu t < bất đẳng thức (2.3) cho µ → ∞ ta suy mâu thuẫn vế trái cố định, vế phải dần tới −∞ Do đó, t > Chia hai vế bất đẳng thức (2.3) cho t > đồng thời thay µ = f (y) đặt x∗ = −p t ta x∗ , x + f (x) ≤ x∗ , y + f (y) , ∀y ∈ domf Hay x∗ , y − x + f (x) ≤ f (y) , ∀y ∈ domf (2.4) Nếu y ∈ domf f (y) = ∞ Do x∗ , x − y + f (x) ≤ f (y) , ∀y ∈ domf (2.5) Từ (2.4) (2.5) ta suy x∗ , y − x + f (x) ≤ f (y) Chứng tỏ x∗ ∈ ∂f (x) Bây ta tập ∂f (x) com-pắc Do x ∈ domf nên theo mệnh đề 2.2 x∗ ∈ ∂f (x) f (x, d) ≥ x∗ , d , ∀d Gọi F không gian tuyến tính domf Do x ∈ ri(domf ) F không gian đóng domf nên f (x, y) hữu hạn với y Vậy ∂f (x) bị chặn tính đóng nên ∂f (x) com-pắc Ngược lại, giả sử ∂f (x) = com-pắc Ta phải chứng minh x ∈ ri(domf ) Thật vậy, ∂f (x) = nên x ∈ domf Giả sử phản chứng x ∈ ri(domf ) x biên tương đối domf Do domf lồi tồn siêu phẳng tựa domf x, tức tồn vectơ p ∈ X, p = cho pT x ≥ pT z, ∀z ∈ domf 38 38Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lấy x∗ ∈ ∂f (x) Từ định nghĩa vi phân ta có f (z) − f (x) ≥ x∗ , z − x ≥ x∗ + λp, z − x , ∀λ ≥ 0, ∀z Chứng tỏ x∗ + λp ∈ ∂f (x) với λ ≥ (điều mâu thuẫn với tính bị chặn ∂f (x)) Vậy x ∈ ri(domf ) Ví dụ sau cho ta thấy x ∈ int(domf ) tập ∂f (x) rỗng Ví dụ 2.3 Cho hàm biến f (x) = −2x x ≥ +∞ x < Khi ∂f (0) = ∅ Cũng có trường hợp tập ∂f (x) tập rỗng, tức điểm x hàm số f vi phân Tuy nhiên hàm lồi điều không xảy theo định lý sau: Định lý 2.3 Cho hàm lồi hữu hạn f tập lồi C Lúc f có vi phân điểm thuộc riC Từ định lý suy hàm f hàm lồi hữu hạn toàn không gian Rn có vi phân điểm, riRn = R Ví dụ 2.4 Hàm số f (x) = |x|, khả vi điểm khác không khả vi x = 0, ∂f (x) = {y ||x| ≥ y, x , ∀x} Cũng trường hợp hàm biến, bất đẳng thức x∗ , z − x + f (x) ≤ f (z), ∀z có nghĩa siêu phẳng qua điểm (x, f (x)) nằm đồ thị hàm số 2.2.3 Giải toán bất đẳng thức biến phân Bài toán bất đẳng thức biến phân nảy sinh trình nghiên cứu giải toán thực tế toán cân kinh tế, tài chính, phương trình vật lý toán, giao thông đồ thị, lý thuyết đồ chơi, toán cân mạng nhiều toán khác Bài toán bất đẳng thức biến phân giới thiệu Hartman Stampacchia vào năm 1966 39 39Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Những nghiên cứu toán liên quan tới việc giải toán điều khiển tối ưu toán biên phương trình đạo hàm riêng Từ đó, toán bất đẳng thức biến phân thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu Trong phần này, trình bày lại nọi dung toán bất đẳng thức biến phân đơn trị, toán liên quan số ví dụ thực tế, đồng thời trình bày điều kiện có nghiệm toán Bài toán 2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân đơn trị Cho C tập lồi, com-pắc, khác rỗng không gian Hilbert X F : C → X ánh xạ đơn trị Khi đó, toán bất đẳng thức biến phân đơn trị (viết tắt (VI)) phát biểu sau: (V I) Tìm x∗ ∈ C cho F (x∗ ) , x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C (2.6) Dưới ta xét ví dụ thực tế toán bất đẳng thức biến phân Ví dụ 2.5 Bài toán xác định phương án sản xuất Cho C tập phương án sản xuất chấp nhận x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ C số lượng sản phẩm với xi số sản phẩm thứ i Đặt F (x) chi phí sản xuất ứng với phương án x Bài toán đặt tìm phương án chấp nhận cho ứng với phương án có chi phí thấp Bài toán mô tả dạng toán bất đẳng thức biến phân đơn trị sau: (VI) Tìm x∗ ∈ C cho F (x∗ ) , x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C Bài toán bất đẳng thức biến phân đơn trị (VI) có liên hệ mật thiết với nhiều toán khác toán điểm bất động, toán bù phi tuyến, toán quy hoạch lồi, Ta xét toán sau Bài toán 2.2 Bài toán điểm bất động Brouwer Cho C tập lồi, com-pắc tùy ý không gian Hilbert X T : C → C ánh xạ liên tục Bài toán điểm bất động phát biểu sau: Tìm x∗ ∈ C cho x∗ = T (x∗ ) (2.7) Bài toán tìm điểm bất động Brouwer miêu tả dạng toán bất đẳng thức biến phân (VI) dựa vào mệnh đề sau: 40 40Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mệnh đề 2.4 Giả sử ánh xạ F xác định bởi: F (x) = x − T (x), ∀x ∈ C Khi đó, toán bất đẳng thức biến phân đơn trị (VI) tương đương với toán điểm bất động Brouwer Chứng minh Giả sử x∗ nghiệm toán (VI) F (x) = x − T (x), tức là: F (x∗ ) , x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C Do F (x∗ ) = x∗ − T (x∗ ) nên ta có: x∗ − T (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C Cho x = T (x∗ ) ta được: x∗ − T (x∗ ) ≤ Từ suy ra: x∗ = T (x∗ ) Vậy x∗ nghiệm toán điểm bất động Brower Chiều ngược lại hiển nhiên Định lý 2.4 ( Kakutani ) Cho C tập lồi com-pắc không gian Hilbert X T : C → C ánh xạ nửa liên tục , T (x) khác rỗng, lồi, compắc với x ∈ C Khi đó, tồn x∗ ∈ C cho x∗ = T (x∗ ) Bài toán 2.3 Bài toán bù phi tuyến Chú ý C nón lồi không gian Hilbert X toán (VI) trở thành toán bù: Tìm x∗ ∈ C, F (x∗ ) ∈ C cho F (x∗ ) , x∗ = (CP) (2.8) C := {y ∈ C | x, y ≥ 0, ∀x ∈ C} nón đối ngẫu C Khi ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 2.5 Nếu C nón lồi, com-pắc không gian Hilbert X toán bù (CP) tương đương với toán bất đẳng thức biến phân (VI), nghĩa tập nghiệm hai toán trùng 41 41Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh Giả sử x∗ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân (VI), tức F (x∗ ) , x − x∗ ≥ Do C nón lồi, x∗ ∈ C nên x + x∗ ∈ C, ∀x ∈ C Thay x x + x∗ vào bất đẳng thức ta được: F (x∗ ) , x∗ + x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C ⇔ F (x∗ ) , x ≥ 0, ∀x ∈ C Suy F (x∗ ) thuộc nón đối ngẫu C Thay x = vào bất đẳng thức ta được: F (x∗ ) , x∗ ≤ 0, ∀x ∈ C Suy F (x∗ ) , x∗ = hay x∗ ∈ C, F (x∗ ) ∈ C nghiệm toán bù phi tuyến (CP) Ngược lại, x∗ ∈ C nghiệm toán bù (CP) F (x∗ ) , x∗ = 0, F (x∗ ) ∈ C Vì F (x∗ ) ∈ C nên F (x∗ ) , x ≥ 0, ∀x ∈ C Ta có F (x∗ ) , x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C hay x∗ ∈ C nghiệm toán(VI) Bài toán 2.4 Bài toán quy hoạch lồi Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng không gian Hilbert X f : C → R hàm lồi C Bài toán quy hoạch lồi phát biểu sau: f (x∗ ) = {f (x)|x ∈ C} (2.9) Trong trường hợp f hàm lồi, khả vi, ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 2.6 Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng không gian Hilbert X Giả sử f : C → R hàm lồi, khả vi C Khi đó, x∗ ∈ C nghiệm toán quy hoạch lồi x∗ ∈ C nghiệm toán bất đẳng thức biến phân (VI) với F (x) = ∇f (x) Chứng minh Giả sử x∗ ∈ C nghiệm toán quy hoạch lồi, tức là: f (x∗ ) ≤ f (x), ∀x ∈ C 42 42Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Để chứng minh x∗ ∈ C nghiệm toán bất đẳng thức biến phân (VI) ta giả sử ngược lại rằng: ∇f (x∗ ) , x − x∗ < 0, với x ∈ C Khi đó, lấy α > đủ nhỏ, C tập lồi nên yα = x∗ + α (x − x∗ ) = αx + (1 − α) x∗ ∈ C f (yα ) = f (x∗ ) + α ∇f (x∗ ) , x − x∗ + θ (α) < f (x∗ ) tức x∗ ∈ C không nghiệm toán quy hoạch lồi Điều trái với giả thiết Vậy, x∗ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân (VI) Ngược lại, x∗ ∈ C nghiệm toán bất đẳng thức biến phân (VI), tức là: ∇f (x∗ ) , x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C Do f hàm lồi, khả vi nên f (x) − f (x∗ ) ≥ ∇f (x∗ ) , x − x∗ , ∀x ∈ C Suy ra: f (x∗ ) ≤ f (x), ∀x ∈ C hay x∗ nghiệm toán quy hoạch lồi Định nghĩa 2.5 i) Một ánh xạ F : C → X gọi đơn điệu C , F (x) − F (y) , x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ C ii) Ánh xạ F : C → X gọi đơn điệu mạnh với số β > C , F (x) − F (y) , x − y ≥ β x − y , ∀x, y ∈ C iii) Ánh xạ F : C → X gọi đơn điệu ngặt C , F (x) − F (y) , x − y > 0, ∀x, y ∈ C, x = y iv) Một ánh xạ M : C → X gọi liên tục Lipschitz C với hệ số Lipschitz L ≥ nếu: M (x) − M (x ) ≤ L x − x , ∀x, x ∈ C (2.10) Nhận xét +) Nếu F đạo hàm hàm lồi (mạnh) C F đơn điệu (mạnh) C +) Nếu (2.10) thỏa mãn với L < M gọi ánh xạ co C , gọi không giãn C L = Sự tồn nghiệm Việc chứng minh tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân (VI) thường dựa vào định lý điểm bất động 43 43Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lý 2.5 ( Brouwer ) Cho C tập lồi, com-pắc, khác rỗng không gian Hilbert X F : C → C ánh xạ liên tục C Khi đó, F có điểm bất động Sự tồn nghiệm phương pháp giải toán (VI) dựa vào phép chiếu Cụ thể ta có kết sau: Mệnh đề 2.7 (xem [2]) Giả sử α > 0, với x ∈ C , đặt h(x) := pC x − F (x) α Khi đó, x∗ = h(x∗ ) x∗ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân (VI) Chứng minh Do F liên tục phép chiếu liên tục, mà h hợp hai ánh xạ liên tục nên h liên tục Hơn nữa, hiển nhiên h : C → C Khi đó, ta có: x∗ = h(x∗ ) := pC x∗ − F (x∗ ) α x∗ − x∗ + α1 F (x∗ ) , x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C ⇔ F (x∗ ) , x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C, hay x∗ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân (VI) Định lý 2.6 (xem [7]) Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng không gian Hilbert X F : C → C ánh xạ liên tục Khi đó, toán (2.6) có nghiệm, tức tồn x∗ ∈ C cho F (x∗ ) , x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C Chứng minh Do phép chiếu lên tập lồi liên tục F liên tục tập C , mà h hợp hai ánh xạ liên tục nên h ánh xạ liên tục tập C Do h ánh xạ liên tục từ C vào C nên theo định lý điểm bất động Brouwer tồn điểm bất động x∗ h Theo mệnh đề (2.8), x∗ nghiệm toán (2.6) Theo mệnh đề (2.8) việc giải toán (2.6) chuyển việc tìm điểm bất động ánh xạ h Trong trường hợp h ánh xạ co, nguyên lý ánh xạ co Banach áp dụng trực tiếp để giải toán (2.6) Khi F ánh xạ đơn điệu mạnh liên tục Lipschitz C chọn α thích hợp để h ánh xạ co C Cụ thể ta có mệnh đề sau: 44 44Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mệnh đề 2.8 (xem [2]) Giả sử C tập lồi đóng ánh xạ F : C → X đơn điệu mạnh C với hệ số β Lipschitz C với số L Khi đó, α > L2β h(x) := pC x − F (x) α ánh xạ co C với hệ số co δ= 2β L2 1− + α α Chứng minh Do tính không giãn phép chiếu nên: h (x) − h (y) ≤ x − α1 F (x) − y − α1 F (y) = x − y − α2 x − y, F (x) − F (y) + α12 F (x) − F (y) Do ánh xạ F đơn điệu mạnh C với hệ số β Lipschitz C với số L, nên: x − y, F (x) − F (y) ≥ β x − y F (x) − F (y) ≤ L2 x − y Từ suy 2 + Lα2 x − y h (x) − h (y) ≤ x − y − 2β α x−y L2 ⇔ h (x) − h (y) ≤ − 2β + x − y α α2 Vậy h ánh xạ co C α > L2 2β Hệ 2.1 Cho C tập lồi, com-pắc, khác rỗng không gian Hilbert X F : C → X ánh xạ đơn điệu mạnh liên tục Lipschitz C Khi đó, toán (2.6) có nghiệm Trong phần ta giới thiệu phương pháp chiếu để tìm nghiệm cho toán (2.6) Các kiến thức chủ yếu lấy từ tài liệu [7] Phương pháp chiếu Ta xét phương pháp chiếu nhất, dựa định lý Banach điểm bất động Giả sử C tập lồi, com-pắc, khác rỗng không gian Hibert 45 45Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn X Khi đó, theo mệnh đề (2.8), x nghiệm toán (2.6) x := pC x − F (x) α PC toán tử chiếu C α > Theo mệnh đề (2.8), tập hợp điểm bất động ánh xạ x → PC x − F (x) α với α > tập nghiệm toán (2.6) ngược lại Vì vậy, ta xây dựng cách giải toán bất đẳng thức biến phân (VI) theo phương pháp lặp sau đây: Thuật toán hình chiếu (BPA) Cho x0 ∈ C Bước 0: Cho k = Bước 1: Nếu xk = PC xk − α1 F xk , xk nghiệm (VI) Bước 2: Đặt xk+1 = PC xk − α1 F xk , cho k ← k + 1, quay lại bước Định lý sau đảm bảo cho hội tụ thuật toán hình chiếu (BPA) Định lý 2.7 (xem [7]) Cho C tập lồi,đóng, khác rỗng không gian Hilbert X F : C → X Giả sử tồn L > 0, β > cho F (x) − F (y) , x − y ≥ β x − y , ∀x, y ∈ C (2.11) F (x) − F (y) ≤ L x − y , ∀x, y ∈ C (2.12) Khi đó, L2 α> 2β (2.13) theo mệnh đề 2.9, ánh xạ PC x − α1 F (x) : C → C ánh xạ co C Do đó, theo nguyên lý ánh xạ co Banach, dãy lặp xk+1 = PC xk − α1 F xk tạo thuật toán hội tụ đến nghiệm toán bất đẳng thức biến phân (VI) (2.6) 46 46Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh Theo tính chất toán tử chiếu ta có PC (x − F (x)) − PC (y − F (y)) ≤ [x − F (x)] − [y − F (y)] = (x − y) + (F (y) − F (x)) = x − y + F (x) − F (y) − F (x) − F (y) , x − y Theo công thức (2.12) (F (x) − F (y)) nên ta có: ≤ L2 x − y PC (x − F (x)) − PC (y − F (y)) ≤ L2 x − y + x − y − 2β x − y = (L2 + − 2β) x − y Từ ta thấy rằng, L2 + − 2β < 1, tức L2 < 2β ánh xạ x → PC (x − F (x)) ánh xạ co C Vì vậy, dãy {xk } tạo thuật toán hội tụ đến nghiệm toán (2.6) 47 47Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Kết luận Trong luận văn này, tác giả trình bầy phép chiếu khoảng cách xuống tập lồi đóng không gian Hilbert xét số ứng dụng Cụ thể là: 1) Nhắc lại số khái niệm tính chất giải tích lồi tập lồi, hàm lồi, vi phân, số khái niệm tính chất không gian Hilbert 2) Giới thiệu định nghĩa, tính chất phép chiếu xuống tập lồi đóng công thức tính hình chiếu điểm xuống số tập đặc biệt siêu phẳng, hình cầu, hình hộp, 3) Sử dụng phép chiếu để chứng minh số định lý quan trọng định lý tách chứng minh gợi ý cho việc tính siêu phẳng tách 4) Sử dụng phép chiếu để chứng minh định lý tồn vi phân hàm lồi gợi ý cách tính đạo hàm hàm lồi 5) Sử dụng phép chiếu để chứng minh định lý tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân đơn trị Đồng thời giới thiệu thuật toán chiếu để giải bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh 48 48Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo [1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải, 2000, Giải tích lồi NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [2] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền, ra, Nhập môn giải tích lồi ứng dụng NXB Khoa học tự nhiên Công nghệ, Hà Nội [3] Hoàng Tụy, 2006, Lý thuyết tối ưu Viện Toán học, Hà Nội [4] Hoàng Tụy, 2003, Hàm thực Giải tích hàm Viện Toán học, Hà Nội [5] Nguyễn Đông Yên, 2007, Giáo trình Giải tích đa trị NXB Khoa học tự nhiên Công nghệ, Hà Nội [6] Nguyễn Xuân Liêm, 1997, Giải tích hàm NXB Giáo dục [7] Facchinei S and Pang J., 2003, Finite - Dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems Springer - Verlag, New York [8] Konnov I.V., 2000, Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities Springer - Verlag, Berlin [9] Konnov I.V., 2007, Equilibrium Models and Variational - Inequalities Mathematics in Science and Engineering 49 49Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... Chương 2 Phép chiếu xuống tập lồi đóng 2.1 Kiến thức cơ bản về phép chiếu xuống tập lồi Trong phần này đề cập đến một trong các vấn đề quan trọng trong giải tích lồi đó là phép chiếu khoảng cách xuống một tập lồi đóng Bài toán tìm hình chiếu xuống một tập lồi có vai trò rất quan trọng trong tối ưu và nhiều lĩnh vực khác như bất đẳng thức biến phân, cân bằng, xấp xỉ, Bài toán này có nhiều ứng dụng, đặc... thường và C ⊆ Rn là một tập lồi trên đó f hữu hạn Khi đó nếu f đạt cực đại tại một điểm trong tương đối của C thì f là hằng số trên C ii) Nếu f là một hàm lồi, chính thường trên Rn và bị chặn trên trong một tập affine, thì nó là hằng số trên tập này Hệ quả 1.4 Nếu một hàm lồi đạt cực đại trên một tập lồi có điểm cực biên, thì cực đại sẽ đạt được tại một điểm cực biên của tập lồi đó 24 2 4Số hóa bởi Trung... (1 − λ)b và đoạn thẳng [a, b] ⊂ C Với một tập lồi đa diện, một đỉnh của diện cũng chính là đỉnh của tập đó iv) Một tập C được gọi là nón nếu ∀x ∈ C , t ≥ 0 thì tx ∈ C v) Một tập C được gọi là nón lồi nếu ∀x, y ∈ C thì x + y ∈ C và tx ∈ C với mọi t ≥ 0 Định nghĩa 1.13 i) Cho C là một tập lồi trong không gian Hilbert X , một vectơ y = 0 được gọi là hướng lùi xa của C nếu mọi tia xuất phát từ một điểm... rằng f là một hàm lồi trên X mặc dù h là một hàm không âm bất kỳ trên mặt cầu S Lớp các hàm lồi là đóng đối với phép lấy tổ hợp tuyến tính không âm và phép lấy max, cụ thể: Định lý 1.7 Cho f là hàm lồi trên tập A và g là hàm lồi trên tập B Khi đó các hàm sau là lồi trên tập A ∩ B : i) αf + βg, ∀α, β > 0 ii) max{f, g} Định lý trên nhìn chung không đúng cho hàm tựa lồi Định lý sau đây cho phép kiểm... C , và nếu f (x) ≤ f (x∗ ), ∀x ∈ C thì x∗ được gọi là cực đại toàn cục hay cực đại tuyệt đối của f trên C Định lý 1.10 i) Mọi điểm cực tiểu địa phương của một hàm lồi trên một tập lồi đều là điểm cực tiểu tuyệt đối ii) Nếu x∗ là điểm cực tiểu của hàm lồi f trên tập lồi C và x∗ ∈ intC thì 0 ∈ ∂f (x∗ ) iii) Cực đại của một hàm lồi (nếu có) trên một tập lồi có điểm cực biên bao giờ cũng đạt tại một điểm... 0, ∀y ∈ C và −y, x − PC (y) ≥ 0, ∀y ∈ C Từ đó suy ra điều phải chứng minh 2.1.3 Hình chiếu của một điểm xuống một số tập quen thuộc Trong một số trường hợp thường gặp, tập chiếu là hình hộp chữ nhật, hình cầu đóng hay không gian con thì điểm chiếu có thể tính được một cách tường minh Trường hợp 2.1 Chiếu xuống hình hộp chữ nhật Khi C là một hình hộp, định nghĩa bởi C := x = (x1 , x2 , , xn )T ∈ X ai... tích lồi và nhiều lĩnh vực khác như giải tích hàm, giải tích không trơn và giải tích phi tuyến tính, các định lý tách hai tập lồi có vai trò trung tâm Về bản chất, các định lý tách trả lời câu hỏi rằng một phần tử có thuộc tập lồi không và nếu không thuộc thì nó có tính chất gì? Chẳng hạn tập lồi là tập nghiệm của hệ phương trình đại số hay vi tích phân, tập các điểm bất động của một ánh xạ hay là tập. .. tách C và D Bổ đề sau đây cho ta thấy có thể tách mạnh một tập lồi, đóng, khác rỗng C ⊂ X và một điểm không thuộc nó Bổ đề 2.2 Cho C ⊂ X là một tập lồi, đóng, khác rỗng sao cho 0 ∈ C Khi đó tồn tại vectơ t ∈ X, t = 0 và α > 0 thỏa mãn t, x ≥ α > 0∀x ∈ C Chứng minh Do C là tập đóng và 0 ∈ C nên tồn tại hình cầu B tâm ở gốc, bán kính r > 0 sao cho C ∩ B = ∅ Áp dụng định lý tách I cho hai tập C và B ,... hiệu riC là tập các điểm trong tương đối của C thì riC := {x ∈ affC |∃ U, U ∩ affC ⊂ C} trong đó U là một lân cận mở của x Định nghĩa 1.12 i) Một tập hợp là giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng được gọi là tập lồi đa diện (khúc lồi) Như vậy, dạng tường minh của một tập lồi đa diện D được cho như sau D = {x ∈ X < aj , x >≤ bj , j = 1, 2, , n} ii) Một tập con C của C được gọi là một diện của... }n≥0 là một dãy bị chặn trong không gian Hilbert X thì ta trích ra được một dãy con hội tụ yếu vi) Nếu {xn }n≥0 là một dãy bị chặn trong không gian Hilbert hữu hạn chiều X thì ta trích ra được một dãy con hội tụ mạnh Tiếp theo ta nhắc lại một số định nghĩa và kết quả cơ bản về tập lồi và hàm lồi 1.2.1 Các tính chất cơ bản về tập lồi Định nghĩa 1.8 i) Một đường thẳng nối hai điểm (hai vectơ) a và b trong ... chiếu xuống tập lồi đóng 2.1 Kiến thức phép chiếu xuống tập lồi 2.1.1 Phép chiếu xuống tập lồi 2.1.2 Tính chất 2.1.3 Hình chiếu điểm xuống số tập quen... đạt điểm cực biên tập lồi 24 2 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Phép chiếu xuống tập lồi đóng 2.1 Kiến thức phép chiếu xuống tập lồi Trong phần đề... vấn đề khác toán học ứng dụng Những cách chứng minh dựa phép chiếu khoảng cách thường mang tính chất kiến thiết 2.1.1 Phép chiếu xuống tập lồi Định nghĩa 2.1 Cho C = ∅ tập lồi đóng thuộc không