Phép chiếu xuống tập lồi và một số ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN VŨ ÁNH TUYẾT PHÉP CHIẾU XUỐNG TẬP LỒI VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 0112 Giáo viên hướng dẫn: GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU THÁI NGUYÊN, 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên Tác giả xin bầy tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy GS.TSKH Lê Dũng Mưu (Viện Toán học), thầy trực tiếp hướng dẫn tận tình động viên tác giả suốt thời gian nghiên cứu viết luận văn vừa qua Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Toán - Tin, Phòng Đào tạo khoa học Quan hệ quốc tế, bạn học viên lớp cao học Toán K4 trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi, động viên tác giả trình học tập nghiên cứu trường Tác giả xin bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân khuyến khích động viên tác giả suốt trình học cao học viết luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn Thái nguyên, ngày 10 tháng 10 năm 2012 Tác giả Vũ Ánh Tuyết 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời cảm ơn Một số ký hiệu chữ viết tắt Mở đầu Một số kiến thức 1.1 Kiến thức không gian Hilbert 1.1.1 Không gian Hilbert thực 1.1.2 Khai triển trực giao hệ trực chuẩn 1.1.3 Phiếm hàm tuyến tính song tuyến tính 1.1.4 Toán tử đối xứng hoàn toàn liên tục 1.2 Kiến thức tập lồi 1.2.1 Các tính chất tập lồi 1.2.2 Các tính chất hàm lồi Phép chiếu xuống tập lồi đóng 2.1 Kiến thức phép chiếu xuống tập lồi 2.1.1 Phép chiếu xuống tập lồi 2.1.2 Tính chất 2.1.3 Hình chiếu điểm xuống số tập quen thuộc 2.2 Một số ứng dụng phép chiếu 2.2.1 Định lý tách tập lồi 2.2.2 Sự tồn vi phân 2.2.3 Giải toán bất đẳng thức biến phân 6 11 12 13 14 17 25 25 25 26 28 31 31 34 39 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Một số ký hiệu chữ viết tắt R: không gian thực x := y : x định nghĩa y ∀x : với x ∃x : tồn x x : chuẩn vectơ x T x, y = x y : tích vô hướng hai vectơ x y A: bao đóng A coA : bao lồi A coA : bao lồi đóng A coneA : bao nón lồi A coneA : bao nón lồi đóng A af f (A) : bao affine tập A ri(A) : tập điểm tương đối tập A V (A) : tập điểm cực biên (đỉnh) A re(A) : nón lùi xa A intA : tập hợp điểm A domf : tập hữu dụng f ∗ f : hàm liên hợp f epif : đồ thị f ∂f (x): vi phân f x f (x, d) : đạo hàm theo hướng d f x A⊂B : tập A tập thực tập B A⊆B : tập A tập tập B A∪B : A hợp với B A∩B : A giao với B A×B : tích Đề - hai tập A B T A : ma trận chuyển vị ma trận A k x →x: dãy xk hội tụ mạnh đến x xk x : dãy xk hội tụ yếu đến x 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Giải tích lồi môn giải tích đại, nghiên cứu tập lồi hàm lồi vấn đề liên quan Bộ môn có vai trò quan trọng nhiều lĩnh vực khác toán học ứng dụng, đặc biệt tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân, toán cân bằng, Một vấn đề quan trọng giải tích lồi phép chiếu lên tập lồi đóng Đây công cụ sắc bén đơn giản để chứng minh nhiều định lý quan trọng định lý tách, định lý xấp xỉ tập lồi, định lý tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân, Những cách chứng minh dựa vào phép chiếu thường mang tính chất kiến thiết, gợi mở đến nhiều vấn đề khác Trong luận văn này, tác giả tập trung vào việc trình bầy định nghĩa, tính chất ứng dụng quan trọng phép chiếu Luận văn bao gồm chương Trong chương 1, trình bầy số kiến thức sở không gian Hilbert, tập lồi hàm lồi Chúng công cụ cho nghiên cứu trình bầy luận văn Chương chương luận văn Trong chương này, tác giả trình bầy khái niệm, tính chất phép chiếu Trong trình nghiên cứu biết hình chiếu vuông góc điểm lên tập lồi đóng, khác rỗng không gian Hilbert tồn Dựa vào đó, tác giả đề cập đến ứng dụng nó, cụ thể chứng minh định lý tách, chứng minh tồn vi phân hàm lồi, giải toán bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số kiến thức Trong chương này, ta trình bày kiến thức không gian Hilbert, tập lồi hàm lồi Các kiến thức lấy từ tài liệu [1,2,4,5] 1.1 Kiến thức không gian Hilbert Trong phần ta xét X không gian Hilbert thực Sau ta nhắc lại số kiến thức liên quan 1.1.1 Không gian Hilbert thực Định nghĩa 1.1 Cho X không gian tuyến tính trường số thực R Một tích vô hướng X ánh xạ kí hiệu , : X × X → R thỏa mãn điều kiện sau đây: 1) x, x ≥ 0∀x ∈ X; x, x = ⇔ x = 0; 2) x, y = y, x ∀x, y ∈ X; 3) x1 + x2 , y = x1 , y + x2 , y ∀x1 , x2 , y ∈ X; 4) αx, y = α x, y ∀x, y ∈ X, α ∈ R Khi đó, không gian tuyến tính X , gọi không gian tiền Hilbert Ví dụ 1.1 Không gian C[a,b] gồm tất hàm liên tục đoạn [a, b] 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn với phép toán thông thường với tích vô hướng cho bởi: b x, y = x(t)y(t)dt a không gian tiền Hilbert Định nghĩa 1.2 Không gian đầy đủ không gian mà dãy Cauchy hội tụ Ví dụ 1.2 i) Không gian C[a,b] với chuẩn x đầy đủ b ii) Không gian C[a,b] với chuẩn x = = max |x(t)| không gian |x(t)|2 dt 1/ không không a gian đầy đủ Định nghĩa 1.3 Không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi không gian Hilbert 1/ b 2 |x(t)| dt Ví dụ 1.3 i) Không gian L[a,b] với chuẩn x = a không gian Hilbert ∞ ii) Không gian l2 với chuẩn x = |ξn | 1/ < +∞, x = (ξ1 , , ξn ) n=1 không gian Hilbert Nhận xét 1.1 i) Không gian tiền Hilbert không gian định chuẩn với chuẩn x = x, x /2 ii) Không gian tiền Hilbert có bất đẳng thức Schwars: x, y ≤ x y iii) Không gian tiền Hilbert thỏa mãn điều kiện bình hành: x+y + x−y =2 x + y iv) Tích vô hướng (x, y) hàm số liên tục biến x y 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.2 Khai triển trực giao hệ trực chuẩn Định nghĩa 1.4 i) Hai vectơ x y không gian Hilbert X gọi trực giao với x, y = kí hiệu x⊥y ii) Phần tử x không gian Hilbert X gọi trực giao với tập M x trực giao với tất phần tử M iii) Tập tất vectơ trực giao với tập M làm thành không gian đóng X Kí hiệu: M ⊥ = {x ∈ X |x⊥M } gọi phần bù trực giao M Từ định nghĩa ta suy số tính chất đơn giản sau: Tính chất 1.1 Nếu x⊥y y⊥x Ta có x⊥x x = Vectơ trực giao với vectơ x Chứng minh Thật vậy, x⊥y ⇔ x, y = Suy ra: y, x = ⇔ y⊥x +) x⊥x ⇔ x, x = ⇔ x = 0∀x ∈ X +) Ta có: 0, x = ⇔ 0⊥x∀x ∈ X Tính chất 1.2 Nếu x⊥y1 , x⊥y2 , , x⊥yn x trực giao với tổ hợp tuyến tính y , tức x⊥(α1 y1 + α2 y2 + + αn yn )∀αi ∈ R Chứng minh Thật vậy, xét: x, α1 y1 + α2 y2 + + αn yn = (x, α1 y1 ) + (x, α2 y2 ) + (x, αn yn ) = α1 (x, y1 ) + α2 (x, y2 ) + + αn (x, yn ) = Do đó, x⊥(α1 y1 + α2 y2 + + αn yn )∀αi ∈ R Tính chất 1.3 Nếu x⊥yn , lim yn = y x⊥y n→∞ Chứng minh Ta có: x⊥yn ⇔ (x, yn ) = ⇔ lim (x, yn ) = Do X n→∞ không gian Hilbert nên tích vô hướng hàm liên tục hai biến Do đó, (x, y) = lim (x, yn ) = nên x⊥y n→∞ Tính chất 1.4 Nếu x⊥y x + y = x + y (định lý Pytago) Chứng minh Thật vậy, x⊥y nên (x, y) = Do đó, x+y = (x + y, x + y) = (x, x) + (x, y) + (y, y) = x + y Bằng quy nạp ta chứng minh tổng quát hơn, vectơ x1 , x2 , , xn n đôi trực giao với x = xi x i=1 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên n = xi i=1 http://www.lrc-tnu.edu.vn Tính chất 1.5 Nếu {xn } hệ trực giao (nghĩa vectơ trực ∞ ∞ xn hội tụ chuỗi số giao đôi một) chuỗi n=1 xn n=1 hội tụ n Chứng minh Thật vậy, cho Sn = n xk , Sn = k=1 xk k=1 Với n > m đủ lớn, theo định lý Pytago ta có: Sn − Sm = xm+1 + + xn = xm+1 + + xn = Sn − Sm Vì không gian Hilbert không gian đủ nên từ Sn − Sm → ta suy {Sn } hội tụ Sn hội tụ Định lý 1.1 Cho M không gian đóng không gian Hilbert X Bất kỳ phần tử x X biểu diễn cách dạng x = y + z, y ∈ M, z ∈ M ⊥ (1.1) y phần tử M gần x tức x − y ≤ x − u với u ∈ M Chứng minh Có thể thấy phân tích (1.1) có phải x = y + z = y + z với y, y ∈ M ; z, z ∈ M ⊥ y − y = z − z mà M, M ⊥ không gian nên y − y ∈ M ; z − z ∈ M ⊥ tức (y − y)⊥(z − z), y − y = z − z = Thành thử vấn đề chủ yếu tồn phân tích (1.1) Ta nhận xét rằng: Trong trường hợp riêng X = R2 M đường thẳng định lý nói lên kiện quen thuộc Trong trường hợp tổng quát ta đặt: d = inf x − u u∈M Theo định nghĩa cận đúng, tồn dãy un ∈ M cho x − un → d(n → ∞) Áp dụng đẳng thức bình hành cho x − un x − um ta có: 2x − (un + um ) + um − un = x − un + x − um Khi n, m → ∞ vế phải dần tới 4d2 phần đầu vế trái m x − un +u ≥ 4d2 12 (un + um ) ∈ M 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Vậy, n, m → ∞ un − um → 0, un dần tới giới hạn y Ta có y ∈ M M đóng x − y = lim x − un = d n→∞ Bây ta đặt z = x − y tìm cách chứng minh z ∈ M ⊥ Muốn thế, xét phần tử u M Ta có, với số thực α: (z − αu, z − αu) = z − 2α (z, α) + α2 u Mà y+αu ∈ M nên (z − αu, z − αu) = z − αu = − x − (y + αu) d2 Mặt khác, z = x − y = d2 , với số thực α: −2α (z, α) + α2 u 2 ≥ ≥ d2 − d2 = Điều xảy (z, u) = tức z⊥u Vậy, z ∈ M ⊥ (đpcm) Vectơ y phân tích (1.1) gọi hình chiếu x lên không gian M Đó khoảng cách nhỏ từ M tới x Đặt P x = y , ta xác đinh toán tử P gọi toán tử chiếu lên M : P :X→M x→P x=y Rõ ràng, P toán tử tuyến tính liên tục P x ≤ x Định nghĩa 1.5 Một hệ {en } phần tử không gian Hilbert X gọi hệ trực chuẩn (ei , ej ) = δij δij = i = j δij = i khác j Như hệ trực chuẩn hệ trực giao chuẩn hóa e i = 1∀i Khi {en } hệ trực chuẩn với x ∈ X , số ζi = (x, ei ) gọi ∞ hệ số Fourier x ei chuỗi ζi ei gọi chuỗi Fourier i=1 x theo hệ {en } Ta có tính chất sau: ∞ i) ζi ≤ x i=1 (Bất đẳng thức Besel) ∞ ∞ ζi ei hội tụ (x − ii) Chuỗi i=1 ζi ei )⊥en i=1 Một hệ trực chuẩn {en } gọi đầy đủ có vectơ trực giao với tất phần tử hệ x⊥en (n = 1, 2, ) Suy x = Định lý 1.2 Cho {en } hệ trực chuẩn, ζn = (x, en ) hệ số Fourier x en Các mệnh đề sau tương đương: 10 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... chiếu xuống tập lồi đóng 2.1 Kiến thức phép chiếu xuống tập lồi 2.1.1 Phép chiếu xuống tập lồi 2.1.2 Tính chất 2.1.3 Hình chiếu điểm xuống số tập quen... đối xứng hoàn toàn liên tục 1.2 Kiến thức tập lồi 1.2.1 Các tính chất tập lồi 1.2.2 Các tính chất hàm lồi Phép chiếu xuống. .. intA : tập hợp điểm A domf : tập hữu dụng f ∗ f : hàm liên hợp f epif : đồ thị f ∂f (x): vi phân f x f (x, d) : đạo hàm theo hướng d f x A⊂B : tập A tập thực tập B A⊆B : tập A tập tập B