Phép chiếu xuống tập lồi và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRƯƠNG THỊ HẢI VÂN PHÉP CHIẾU XUỐNG TẬP LỒI VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU THÁI NGUYÊN - NĂM 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn iii Mở đầu 1 Các kiến thức không gian Hilbert 1.1 Khái niệm không gian Hilbert 1.2 Một số tính chất Phép chiếu xuống tập lồi đóng 12 2.1 Tập lồi 12 2.2 Phép chiếu xuống tập lồi 16 2.2.1 Định nghĩa 16 2.2.2 Sự tồn 16 2.2.3 Một số trường hợp cụ thể 20 Một số ứng dụng 24 3.1 Áp dụng chứng minh định lí tách 24 3.2 Tính đạo hàm (subgradient ) 28 3.3 Giải toán cân 33 3.3.1 Mơ tả thuật tốn 38 3.3.2 Các bước giải 38 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii Kết luận chung 45 Tài liệu tham khảo 46 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii Lời cảm ơn Lời khóa luận em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn Giáo sư Lê Dũng Mưu giao đề tài tận tình hướng dẫn em q trình hồn thành khóa luận Nhân dịp em xin gửi lời cám ơn tời tồn thầy giáo khoa Toán - Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên giảng dạy giúp đỡ chúng em suốt trình học tập khoa Đồng thời, xin cảm ơn bạn lớp K4 nghành Tốn ứng dụng nhiệt tình giúp đỡ tơi trình học tập lớp Xin trân trọng cảm ơn! Hải Phòng, tháng 06 năm 2012 Người viết Luận văn Trương Thị Hải Vân Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Giải tích lồi mơn giải tích đại, nghiên cứu tập lồi, hàm lồi với vấn đề liên quan Bộ môn có vai trị quan trọng nhiều lĩnh vực khác toán học ứng dụng, đặc biệt tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân, toán cân v.v Sau kết H.Minkowski (1910) tập lồi hàm lồi, lý thuyết giải tích lồi thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học Lý thuyết giải tích lồi nghiên cứu nhiều khoảng bốn chục năm cơng trình tiếng H Minkowski, C.Caratheodory, W.Fenchel, J.J.Moreau, R.T.Rockafellar, L.Klee, A.Brondsted, W.V.Jensen, G.Choquet nhiều tác giả khác Phép chiếu xuống tập lồi đề tài quan trọng giải tích lồi có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác nhau, đặc biệt tốn học Trong khơng gian Hilbert, phép chiếu xuống tập lồi đóng có nhiều tính chất quan trọng Việc tồn tính hình chiếu lên tập lồi đóng sở để chứng minh tính tồn nhiều tốn khác giải tích ứng dụng lý thuyết xấp xỉ, tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân vấn đề khác Mục đích luận văn trình bày tính chất phép chiếu xuống tập lồi đóng khơng gian Hilbert số ứng dụng phép chiếu Cụ thể sử dụng phép Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn chiếu để chứng minh định lí tách, tính đạo hàm, đặc biệt để xây dựng thuật toán chiếu giải toán cân Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày kiến thức không gian Hilbert Các kiến thức sử dụng chương sau Chương 2: Khái niệm, tính chất tập lồi, phép chiếu xuống tập lồi đóng khơng gian Hilbert số trường hợp cụ thể Chương 3: Trình bày số ứng dụng phép chiếu giải tích lồi Cụ thể sử dụng phép chiếu để chứng minh định lí tách, tính đạo hàm, đặc biệt để xây dựng thuật toán chiếu giải toán cân Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Các kiến thức không gian Hilbert Trong chương ta nhắc lại số kết dùng chương sau Đó số khái niệm, tính chất không gian Hilbert Các kết tìm thấy [1], [5] 1.1 Khái niệm không gian Hilbert Định nghĩa 1.1 Cho H khơng gian trường K Tích vơ hướng xác định H ánh xạ xác định sau , : H × H → K (x, y) → x, y thỏa mãn tiên đề sau i, x, y = y, x với x, y ∈ H ii, x + y, z = x, z + y, z với x, y, z ∈ H iii, λx, y = λ x, y với x, y ∈ H λ ∈ K Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iv, x, x ≥ với x ∈ H x, x = x = x, y gọi tích vơ hướng hai véctơ x y Cặp (H, , ) gọi không gian tiền Hilbert (hay cịn gọi khơng gian Unita) Từ định nghĩa ta nhận thấy K trường số thực tích vơ hướng dạng song tuyến tính xác định H Ví dụ 1.1 Lấy H = Rn với x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ H biểu thức n xi yi , x, y = i=1 xác định tích vơ hướng Rn Ví dụ 1.2 Lấy H = C[0,1] không gian gồm hàm liên tục [0, 1] nhận giá trị phức, với x, y ∈ H biểu thức x, y = x(t)y(t)dt, xác định tích vơ hướng C[0,1] Khi không gian L không gian tiền Hilbert thường kí hiệu C[0,1] Định lí 1.1 Cho H không gian tiền Hilbert với x, y ∈ H ta ln có bất đẳng thức sau | x, y |2 ≤ x, x y, y Bất đẳng thức gọi bất đẳng thức Schwarz Nhận xét 1.1 Trong bất đẳng thức Schwarz dấu xảy x, y phụ thuộc tuyến tính Định lí 1.2 Cho H khơng gian tiền Hilbert Khi x = x, x ,x ∈ H xác định chuẩn H Định nghĩa 1.2 Cho không gian tiền Hilbert H Nếu H khơng gian đầy đủ ta gọi H khơng gian Hilbert Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.2 Một số tính chất Định lí 1.3 Cho H khơng gian tiền Hilbert Khi , :H×H→C hàm liên tục Chứng minh Cho (xn ) , (yn ) hai dãy không gian tiền Hilbert H hội tụ x0 y0 Khi đó, ta có | xn , yn − x0 , y0 | ≤ | xn , yn − xn , y0 | + | xn , y0 − x0 , y0 | = | xn , yn − y0 | + | xn − x0 , y0 | ≤ xn yn − y0 + xn − x0 y0 Theo giả thiết (xn ) hội tụ H nên bị chặn, nghĩa tồn số M > cho xn ≤ M với n ∈ N Vì vậy, ta có | xn , yn − x0 , y0 | ≤ M yn − y0 + xn − x0 y0 Chuyển qua giới hạn ta lim | xn , yn − x0 , y0 | = n→∞ ✷ Vậy định lý chứng minh Định lí 1.4 Cho (X, ) khơng gian tuyến tính định chuẩn trường K Giả sử với x, y thuộc X thỏa mãn x + y + x − y = x + y Khi X có tích vơ hướng cho x, x = x Định lí 1.5 Cho M tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert H Khi x ∈ H tồn phần tử y thuộc M cho x − y = d (x, M ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.3 Hai phần tử x, y không gian tiền Hilbert H gọi trực giao x, y = 0, kí hiệu x ⊥ y Định lí 1.6 Giả sử M khơng gian đóng khơng gian Hilbert H Khi phần tử x ∈ H biểu diễn cách dạng x = y + z , y ∈ M z ∈ M ⊥ gọi hình chiếu trực giao x lên M Chứng minh Nếu x ∈ M đặt y = x, z = Nếu x ∈ / M M lồi đóng nên tồn y ∈ M cho x − y = d (x, M ) Đặt z = x − y , ta có x = y + z Ta phải chứng minh z ∈ M ⊥ Thật vậy, với α ∈ K, u ∈ M ta có z = x − y ≤ x − (y + αu) = z − αu Từ suy z ≤ z − αu, z − αu = z − α u, z − α ¯ z, u + α2 u Chọn α = z, u u = Ta ≤ −| z, u |2 Suy z, u = với u ∈ M, u = Vậy z ∈ M ⊥ Bây ta chứng minh biểu diễn nhất, giả sử x = y1 + z1 với y1 ∈ M, z1 ∈ M ⊥ Khi y − y1 = z1 − z nên y − y1 ∈ M y − y1 ∈ M ⊥ , suy y − y1 , y − y1 = Vậy y = y1 , z = z1 Từ tính biểu diễn ta viết X = M ⊕ M ⊥ Vậy định lý chứng minh ✷ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 Thật vậy, giả sử ∂f (0) = ∅ Khi ta có: x∗ , z ≤ −2z ∀z Lấy z = x∗ x∗ , x∗ ≤ −2(x∗ ) Điều mâu thuẫn với giả thiết ✷ Vậy ∂f (0) = ∅ 3.3 Giải toán cân Trong mục ta xét đến việc áp dụng phép chiếu để giải toán cân Các khái niệm kết trình bày mục lấy từ tài liệu [3], [9] Cho C tập lồi, đóng khác rỗng thuộc Rn , lấy f : Rn × Rn → (−∞, +∞] cho f (x, x) = với x ∈ C C × C chứa miền xác định f Ta xét tốn cân EP(f,C) Tìm x∗ ∈ C cho f (x∗ , y) ≥ ∀y ∈ C (3.3) Tập lời giải tốn (3.3) kí hiệu S(f, C) Các trường hợp riêng toán cân Bài toán tối ưu Xét toán (OP ) : M in ϕ(x) x∈C Nếu ta đặt f (x, y) := ϕ(y) − ϕ(x), x, y ∈ C, hiển nhiên ϕ(x) ≤ ϕ(y) ∀y ∈ C Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 Suy f (x, y) ≥ ∀y ∈ C Khi hai tập nghiệm trùng Vậy toán tối ưu trường hợp riêng toán (EP) Bài toán bất đẳng thức biến phân Xét toán x∗ ∈ C : F (x∗ ), y − x∗ ≥ ∀y ∈ C, F ánh xạ từ C vào Rn Nếu ta đặt f (x, y) := F (x), y − x , x, y ∈ C, ta suy f (x, y) ≥ ∀y ∈ C Vậy toán bất đẳng thức biến phân trường hợp riêng toán (EP) Bài toán điểm bất động Brouwer Xét toán x∗ ∈ C : φ(x∗ ) = x∗ , φ : C → C Nếu ta đặt f (x, y) := x − φ(x), y − x , x, y ∈ C, ta có f (x, y) ≥ ∀y ∈ C Ngược lại, x∗ nghiệm (3.3) f (x∗ , y) ≥ ∀y ∈ C Ta lấy y = φ(x∗ ) ∈ C f (x∗ , φ(x∗ )) ≥ Mà f (x∗ , φ(x∗ )) = x∗ − φ(x∗ ), φ(x∗ ) − x∗ = − x∗ − φ(x∗ ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 Nên f (x∗ , φ(x∗ )) ≤ 0, Vậy f (x∗ , φ(x∗ )) = 0, ⇒ x∗ = φ(x∗ ) Vậy toán điểm bất động Brouwer trường hợp riêng toán (EP) Bài toán cân Nash trị chơi khơng hợp tác Xét trị chơi có p người chơi (đấu thủ) Giả sử Cj ⊂ RPj tập phương án mà đấu thủ thứ j lựa chọn (gọi tập chiến lược) Đặt C := C1 × C2 × × Cp gọi ϕj : C → R hàm lợi ích đấu thủ thứ j Giả sử ϕj (x1 , xj , , xp ) lợi ích đấu thủ j đấu thủ chọn phương án chơi xj ∈ Cj , đấu thủ k khác chọn phương án chơi xk ∈ Ck với k = j Lẽ tự nhiên đối thủ muốn chọn tập chiến lược phương án cho lợi ích tốt Định nghĩa 3.5 (Điểm cân Nash) Ta gọi x∗ = x∗1 , , x∗p điểm cân ϕ = (ϕ1 , , ϕp ) tập C = C1 × C2 × × Cp với j yj ∈ Cj , ta có ϕj (x∗1 , , x∗j−1 , yj , x∗j+1 , , x∗p ) ≤ ϕj (x∗1 , , x∗j−1 , x∗j , x∗j+1 , , x∗p ) Định nghĩa cho thấy đấu thủ j rời khỏi phương án cân bằng, đấu thủ khác giữ phương án cân đấu thủ j bị thua thiệt Đây lí mà khái niệm cân chấp nhận thực tế Điểm cân gọi điểm cân Nash khái niệm nhà kinh tế học F Nash đưa Dưới toán cân Nash Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 hiểu tốn tìm điểm cân (Nash) ϕ C Ta ký hiệu toán N(ϕ, C) Bài tốn cân Nash mơ tả dạng tốn cân (EP) sau Đặt p [ϕj (x) − ϕj (x1 , , xj−1 , yj , xj+1 , , xp )] f (x, y) := j=1 Hiển nhiên x∗ điểm cân Nash f (x∗ , y) ≥ ∀y ∈ C Ngược lại, giả sử x∗ ∈ C nghiệm toán (EP), tức f (x∗ , y) ≥ ∀y ∈ C Ta chứng tỏ x∗ = (x∗1 , , x∗p ) với x∗j ∈ Cj điểm cân Nash Thật vậy, trái lại, tồn j yj ∈ Cj cho ϕj (x∗1 , , x∗j−1 , x∗j , x∗j+1 , , x∗p ) < ϕj (x∗1 , , x∗j−1 , yj , x∗j+1 , , x∗p ) Khi với phương án y = ϕj (x∗1 , , x∗j−1 , yj , x∗j+1 , , x∗p ), theo định nghĩa hàm f , ta có f (x∗ , y) = ϕj (x∗1 , , x∗j−1 , yj , x∗j+1 , , x∗p ) − ϕj (x∗ ) < Mâu thuẫn với việc x∗ nghiệm (EP) Vậy toán cân Nash trường hợp riêng toán (EP) Dưới đây, ta trình bày phương pháp xấp xỉ để giải toán cân Trước hết ta nhắc lại số khái niệm dùng thuật toán chứng minh hội tụ Định nghĩa 3.6 Lấy ξ ≥ x ∈ Rn Điểm px ∈ C gọi phép chiếu ξ - xấp xỉ x C px lời giải ξ - xấp xỉ toán y∈C x−y Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên , http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 nghĩa 1 x − px ≤ x − PC (x) + ξ, 2 PC (x) phép chiếu trực giao x C Ta phép chiếu ξ - xấp xỉ x C đặc trưng x − px , px − y ≥ −ξ ∀y ∈ C (3.4) Định nghĩa 3.7 ε - vi phân đường chéo ∂2ε f (x, x) song hàm f x ∈ C cho ∂2ε f (x, x) := {g ∈ Rn : f (x, y) + ε ≥ f (x, x) + g, y − x := {g ∈ Rn : f (x, y) + ε ≥ g, y − x ∀y ∈ Rn } , ∀y ∈ Rn } (3.5) Mệnh đề 3.2 Lấy {vk } {δk } dãy số thực không âm thỏa +∞ mãn vk+1 ≤ vk + δk với δk < +∞ Khi dãy {vk } hội tụ k=1 Mệnh đề 3.3 Lấy θ, β ξ số thực không âm thỏa mãn θ2 − βθ − ξ ≤ Khi βθ ≤ β + ξ (3.6) Chứng minh Xét hàm bậc hai s (θ) = θ2 − βθ − ξ Khi s (θ) ≤ Mà θ≤ β+ β + 4ξ , với θ > Nhân hai vế bất đẳng thức với β sử dụng tính chất ab ≤ a2 +b2 có Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ta 38 βθ ≤ 2−1 β + β ≤ 2−1 β + β + 4ξ β +β +4ξ = 2−1 β + β + 2ξ = β + ξ ✷ Vậy mệnh đề chứng minh 3.3.1 Mô tả thuật toán Lấy p tham số dương {pk } , {βk } , {εk }, {ξk } xác định điều kiện: pk > p, βk > 0, εk ≥ 0, ξk ≥ ∀k ∈ N, ∞ ∞ 3.3.2 βk = +∞, pk βk εk = +∞, pk (3.7) ∞ βk2 < +∞, (3.8) ∞ ξk < +∞ (3.9) Các bước giải Bước 0: Chọn x0 ∈ C Cho k = Bước 1: Lấy xk ∈ C Tính g k ∈ ∂2εk f (xk , xk ) Xác định αk = βk γk , γk = max {pk , gk } (3.10) Bước 2: Tìm xk+1 ∈ C cho αk g k + xk+1 − xk , x − xk+1 ≥ −ξk ∀x ∈ C Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (3.11) http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 Chú ý xk+1 phép chiếu ξk xk − αk g k C Cụ thể, ξk = xk+1 = PC (xk − αk g k ) Nếu thuật tốn xác (tức ξk = εk = ∀k ) g k = xk+1 = xk xk nghiệm tốn EP (f, C) Bổ đề 3.4 Nếu thuật tốn ISPM xác tạo nên dãy hữu hạn điểm cuối dãy lời giải toán EP(f,C) Chứng minh Với εk = ta có gk ∈ ∂2 f (xk , xk ) Theo cách xây dựng, thuật toán dừng lại bước gk = Bây ta giả sử thuật toán dừng lại bước 2, nghĩa xk = xk+1 Giả sử phản chứng xk ∈ / S (f, C) Khi tồn x ∈ C cho f xk , x < Khi ta có > f xk , x ≥ g k , x − xk (3.12) Do xk+1 = xk nên (3.11) với ξk = 0, ta thu kết αk g k , x − xk ≥ (3.13) Từ (3.12) (3.13) ta thấy mâu thuẫn αk > 0, ✷ xk ∈ S(f, C) Mệnh đề 3.4 Với k , ta có bất đẳng thức sau: (i) αk g k ≤ βk (ii) βk xk+1 − xk ≤ βk2 + ξk Chứng minh (i) Từ (3.10) ta có αk g k βk g k = ≤ βk max {pk , g k } Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (3.14) http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 (ii) Thay x = xk vào (3.11) ta thu xk+1 − xk ≤ αk g k , xk − xk+1 + ξk ≤ αk g k xk+1 − xk + ξk (3.15) ≤ βk xk+1 − xk + ξk Với θ = xk+1 − xk , β = βk , ξ = ξk ta suy điều phải chứng minh với k ∈ N Ta cần giả thiết sau A1 S (f, C) khác rỗng Bổ đề 3.5 Giả sử A1 tồn Khi với x∗ ∈ S (f, C) với k ta có xk+1 − x∗ 2 ≤ xk − x∗ + 2αk f xk , x∗ + δk (3.16) δk = 2αk εk + 2βk2 + 4ξk Chứng minh Bằng biến đổi đại số ta có xk+1 − x∗ = xk − x∗ − xk+1 − xk ≤ xk − x∗ + xk − xk+1 , x∗ − xk+1 + xk − xk+1 , x∗ − xk+1 (3.17) Kết hợp với (3.11) x = x∗ ta có xk+1 − x∗ ≤ xk − x∗ + αk g k , x∗ − xk+1 + 2ξk = xk − x∗ + αk g k , x∗ − xk (3.18) + αk g k , xk − xk+1 + 2ξk Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz mệnh đề 3.4 (i) ta thu xk+1 − x∗ 2 ≤ xk − x∗ + 2αk g k , x∗ − xk (3.19) k +2βk x − x k+1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên + 2ξk http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 Kết hợp (3.19) mệnh đề 3.4 (ii) ta có kết xk+1 − x∗ ≤ xk − x∗ + 2αk g k , x∗ − xk + 2βk2 + 4ξk (3.20) Mặt khác, ta có g k ∈ ∂2εk f (xk , xk ) nên g k , x∗ − xk ≤ f (xk , x∗ ) + εk Do đó, với αk > ta có 2αk g k , x∗ − xk ≤ 2αk f (xk , x∗ ) + 2αk εk (3.21) ✷ Từ (3.20), (3.21) ta thu điều phải chứng minh Ta cần giả thiết sau A2 S (f, C) ⊆ Sd (f, C) Định lí 3.4 Giả sử ta có giả thiết A1, A2, thì: (i) xk − x∗ hội tụ với x∗ ∈ S (f, C) (ii) xk bị chặn Chứng minh (i) Lấy x∗ ∈ S (f, C) , k ∈ N Theo A2 ta có f (xk , x∗ ) ≤ 0, kết hợp với bổ đề 3.5 thu xk+1 − x∗ ≤ xk − x∗ + δk (3.22) δk = 2αk εk + 2βk2 + 4ξk Do đó, kết hợp với (3.8), (3.9), (3.10) ta có +∞ δk < +∞ (3.23) k=0 Kết hợp kết (3.22), (3.23) mệnh đề 3.4 xk − x∗ dãy hội tụ ✷ (ii) Từ (i) ta dễ dàng suy (ii) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 Ta cần giả thiết sau A3 ε vi phân đường chéo tập bị chặn tập bị chặn C A3’ Dãy g k bị chặn Định lí 3.5 Giả sử có giả thiết A1 A2 Với giả thiết A3 A3’ ta có lim sup f (xk , x∗ ) = ∀x∗ ∈ S(f, C) k→+∞ Chứng minh Lấy x∗ ∈ S(f, C) Theo bổ đề 3.5 A2 ta thu kết ≤ 2αk −f (xk , x∗ ) ≤ xk − x∗ Hơn m 2 − xk+1 − x∗ + δk (3.24) αk −f (xk , x∗ ) 0≤2 k=0 ≤ x0 − x∗ − xm+1 − x∗ m + δk (3.25) k=0 ≤ x −x m ∗ + δk k=0 Khi m → ∞ ta có +∞ +∞ k ∗ αk −f x , x 0≤2 ∗ ≤ x −x + k=0 δk (3.26) k=0 Kết hợp với (3.23) ta có +∞ αk −f xk , x∗ 0≤ < +∞ (3.27) k=0 Mặt khác theo A3 A3’ ta có { gk } bị chặn Mà ta lại có xk bị chặn Do từ (3.7), (3.10) ta tồn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 L ≥ p : g k ≤ L, ∀k ∈ N Nên ta suy γk = max 1, ρ−1 gk k ρk Do αk = L ρ ≤ βk ρ βk ≥ γk L ρk ∀k ∈ N ∀k ∈ N (3.28) < +∞ (3.29) Vậy từ (3.27) (3.28) ta có +∞ k=0 βk −f xk , x∗ ρk ✷ Từ ta suy điều phải chứng minh Ta cần giả thiết sau A4 Lấy x∗ ∈ S (f, C) x ∈ C Nếu f (x, x∗ ) = f (x∗ , x) = x ∈ S (f, C) A5 f (., y) nửa liên tục với y ∈ C Định lí 3.6 Giả sử điều kiện A1, A2, A3 A3’, A4, A5 thỏa mãn Khi dãy xk hội tụ đến nghiệm EP(f,C) Chứng minh Lấy x∗ ∈ S(f, C) Theo định lí 3.5, tồn dãy xkj xk cho lim sup f xk , x∗ = lim f (xkj , x∗ ) j→+∞ k→+∞ Theo định lý 3.4, ta có dãy xkj (3.30) bị chặn Do đó, tồn x ∈ C dãy xkj cho lim xkj = x j→+∞ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (3.31) http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 Kết hợp giả thiết A5 với định lí 3.5 ta có f (x, x∗ ) ≥ lim sup f xkj , x∗ j→+∞ = lim f xkj , x∗ j→+∞ (3.32) = lim sup f xkj , x∗ k→+∞ = Từ giả thiết A2 ta có f (x, x∗ ) ≤ nên: f (x, x∗ ) = (3.33) Từ A4 ta có x ∈ S (f, C) Mặt khác theo định lí 3.4 ta có dãy xk − x hội tụ Kết hợp (3.31), với x ∈ S(f, C) ta lim xk = x k→+∞ ✷ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 Kết luận chung Luận văn nghiên cứu phép chiếu xuống tập lồi đóng khơng gian Hilbert thực số ứng dụng Những kết luận văn là: Chứng minh tồn tính phép chiếu xuống tập lồi đóng khơng gian Hilbert thực Khảo sát tính chất tốn tử chiếu tính cụ thể tập chiếu trường hợp đặc biệt Dùng phép chiếu vng góc chứng minh tồn nghiệm phương pháp giải toán cân không gian hữu hạn chiều Sử dụng phép chiếu chứng minh định lí tách chứng minh gợi ý cho việc tính siêu phẳng tách Sử dụng phép chiếu chứng minh tồn nghiệm gợi ý cách tính vi phân hàm lồi Sử dụng phép chiếu để xây dựng thuật toán chiếu giải tốn cân Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 Tài liệu tham khảo Tài liệu Tiếng Việt [1] Nguyễn Xuân Liêm (1997), Giải tích hàm, Nxb Giáo dục, Hà Nội [2] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, Nxb Khoa học kỹ thuật, Hà Nội [3] Lê Dũng Mưu Nguyễn Văn Hiền (sẽ ra), Nhập mơn giải tích lồi ứng dụng, Nxb Khoa học tự nhiên Công nghệ, Hà Nội [4] Lê Dũng Mưu (1998), Nhập môn phương pháp tối ưu, Nxb Khoa học kỹ thuật, Hà Nội [5] Hoàng Tụy (2006), Lý thuyết tối ưu, Viện toán học, Hà Nội Tài liệu Tiếng Anh [6] P N Anh and L D Muu (2004), Coupling the Banach Contraction Mapping Principle and the Proximal Point Algorithm for Solving Monotone Variational Inequalites, Acta Math Vietnamica, 29, pp 119-133 [7] P N Anh and L D Muu (2006), Contraction Mapping Fixed Point Algorithms for Multivalued Mixed Variational Inequalities, Optimization with Multivalued Mappings, Eds Stephan D and Vyacheslav K., Springer Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 [8] Hoang Tuy (1997), Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer Academic Publishers [9] Paulo Santos and Susana Scheimberg (2011), Computational and Applied Mathematics, 30, pp 91 -107 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... niệm, tính chất tập lồi, phép chiếu xuống tập lồi đóng khơng gian Hilbert số trường hợp cụ thể Chương 3: Trình bày số ứng dụng phép chiếu giải tích lồi Cụ thể sử dụng phép chiếu để chứng minh định... chất phép chiếu xuống tập lồi đóng không gian Hilbert số ứng dụng phép chiếu Cụ thể sử dụng phép Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn chiếu để chứng minh định... gian Hilbert 1.2 Một số tính chất Phép chiếu xuống tập lồi đóng 12 2.1 Tập lồi 12 2.2 Phép chiếu xuống tập lồi 16 2.2.1