phép chiếu xuống tập lồi và một số ứng dụng
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRƯƠNG THỊ HẢI VÂN PHÉP CHIẾU XUỐNG TẬP LỒI VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU THÁI NGUYÊN - NĂM 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn iii Mở đầu 1 1 Các kiến thức cơ bản về không gian Hilbert 3 1.1 Khái niệm về không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Một số tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Phép chiếu xuống tập lồi đóng 12 2.1 Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Phép chiếu xuống tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.2 Sự tồn tại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.3 Một số trường hợp cụ thể . . . . . . . . . . . . 20 3 Một số ứng dụng 24 3.1 Áp dụng chứng minh định lí tách . . . . . . . . . . . 24 3.2 Tính dưới đạo hàm (subgradient ) . . . . . . . . . . . 28 3.3 Giải bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3.1 Mô tả thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3.2 Các bước giải. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii Kết luận chung 45 Tài liệu tham khảo 46 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii Lời cảm ơn Lời đầu tiên của khóa luận này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn Giáo sư Lê Dũng Mưu đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành khóa luận này. Nhân dịp này em xin gửi lời cám ơn của mình tời toàn bộ các thầy cô giáo trong khoa Toán - Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên đã giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học tập tại khoa. Đồng thời, tôi xin cảm ơn các bạn trong lớp K4 nghành Toán ứng dụng đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp. Xin trân trọng cảm ơn! Hải Phòng, tháng 06 năm 2012. Người viết Luận văn Trương Thị Hải Vân Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mở đầu Giải tích lồi là một môn cơ bản của giải tích hiện đại, nghiên cứu về tập lồi, hàm lồi cùng với những vấn đề liên quan. Bộ môn này có vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác của toán học ứng dụng, đặc biệt là trong tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân, các bài toán cân bằng v.v Sau các kết quả đầu tiên của H.Minkowski (1910) về tập lồi và hàm lồi, lý thuyết giải tích lồi đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học. Lý thuyết giải tích lồi được nghiên cứu nhiều trong khoảng bốn chục năm nay bởi các công trình nổi tiếng của H. Minkowski, C.Caratheodory, W.Fenchel, J.J.Moreau, R.T.Rockafellar, L.Klee, A.Brondsted, W.V.Jensen, G.Choquet và nhiều tác giả khác. Phép chiếu xuống một tập lồi là một đề tài quan trọng trong giải tích lồi và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau, đặc biệt trong toán học. Trong không gian Hilbert, phép chiếu xuống tập lồi đóng có nhiều tính chất quan trọng. Việc tồn tại và tính duy nhất của hình chiếu lên một tập lồi đóng là cơ sở để chứng minh tính tồn tại và duy nhất của nhiều bài toán khác nhau trong giải tích ứng dụng như lý thuyết xấp xỉ, tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân và trong các vấn đề khác. Mục đích chính của bản luận văn này là trình bày những tính chất cơ bản của phép chiếu xuống một tập lồi đóng trong không gian Hilbert và một số ứng dụng của phép chiếu. Cụ thể là sử dụng phép Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 chiếu để chứng minh các định lí tách, tính dưới đạo hàm, đặc biệt là để xây dựng thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng. Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ bản về không gian Hilbert. Các kiến thức này sẽ được sử dụng trong các chương sau. Chương 2: Khái niệm, tính chất cơ bản của tập lồi, phép chiếu xuống tập lồi đóng trong không gian Hilbert và một số trường hợp cụ thể. Chương 3: Trình bày một số ứng dụng của phép chiếu trong giải tích lồi. Cụ thể là sử dụng phép chiếu để chứng minh các định lí tách, tính dưới đạo hàm, đặc biệt là để xây dựng thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Chương 1 Các kiến thức cơ bản về không gian Hilbert Trong chương này ta nhắc lại một số kết quả sẽ được dùng trong các chương sau. Đó là một số khái niệm, các tính chất cơ bản của không gian Hilbert. Các kết quả này có thể tìm thấy trong [1], [5]. 1.1 Khái niệm về không gian Hilbert Định nghĩa 1.1. Cho H là một không gian trên trường K. Tích vô hướng xác định trên H là một ánh xạ xác định như sau . , . : H × H → K (x, y) → x, y . thỏa mãn các tiên đề sau i, x, y = y, x với mọi x, y ∈ H. ii, x + y, z = x, z + y, z với mọi x, y, z ∈ H. iii, λx, y = λ x, y với mọi x, y ∈ H và λ ∈ K. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 iv, x, x ≥ 0 với mọi x ∈ H và x, x = 0 khi và chỉ khi x = 0. x, y được gọi là tích vô hướng của hai véctơ x và y. Cặp (H, . , .) được gọi là không gian tiền Hilbert (hay còn gọi là không gian Unita). Từ định nghĩa ta nhận thấy rằng khi K là trường số thực thì tích vô hướng là một dạng song tuyến tính xác định trên H. Ví dụ 1.1. Lấy H = R n với x = (x 1 , x 2 , , x n ), y = (y 1 , y 2 , , y n ) ∈ H và biểu thức x, y = n i=1 x i y i , xác định một tích vô hướng trên R n . Ví dụ 1.2. Lấy H = C [0,1] không gian gồm các hàm liên tục trên [0, 1] nhận giá trị phức, với x, y ∈ H biểu thức x, y = 1 0 x(t)y(t)dt, xác định một tích vô hướng trên C [0,1] . Khi đó không gian này là một không gian tiền Hilbert và thường kí hiệu C L [0,1] . Định lí 1.1. Cho H là không gian tiền Hilbert với x, y ∈ H ta luôn có bất đẳng thức sau |x, y| 2 ≤ x, x . y, y. Bất đẳng thức này còn gọi là bất đẳng thức Schwarz. Nhận xét 1.1. Trong bất đẳng thức Schwarz dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x, y phụ thuộc tuyến tính. Định lí 1.2. Cho H là không gian tiền Hilbert. Khi đó x = x, x 1 2 , x ∈ H xác định một chuẩn trên H. Định nghĩa 1.2. Cho không gian tiền Hilbert H. Nếu H là không gian đầy đủ thì ta gọi H là không gian Hilbert. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 1.2 Một số tính chất cơ bản Định lí 1.3. Cho H là một không gian tiền Hilbert. Khi đó , : H × H → C là một hàm liên tục. Chứng minh. Cho (x n ) , (y n ) là hai dãy trong không gian tiền Hilbert H lần lượt hội tụ về x 0 và y 0 . Khi đó, ta có |x n , y n − x 0 , y 0 | ≤ |x n , y n − x n , y 0 | + |x n , y 0 − x 0 , y 0 | = |x n , y n − y 0 | + |x n − x 0 , y 0 | ≤ x n y n − y 0 + x n − x 0 y 0 . Theo giả thiết (x n ) hội tụ trong H nên nó bị chặn, nghĩa là tồn tại số M > 0 sao cho x n ≤ M với mọi n ∈ N. Vì vậy, ta có |x n , y n − x 0 , y 0 | ≤ M y n − y 0 + x n − x 0 y 0 . Chuyển qua giới hạn ta được lim n→∞ |x n , y n − x 0 , y 0 | = 0. Vậy định lý được chứng minh. ✷ Định lí 1.4. Cho (X, ) là một không gian tuyến tính định chuẩn trên trường K. Giả sử với mọi x, y thuộc X thỏa mãn x + y 2 + x − y 2 = 2 x 2 + y 2 . Khi đó trên X có một tích vô hướng sao cho x, x = x 2 . Định lí 1.5. Cho M là một tập lồi, đóng và khác rỗng trong không gian Hilbert H. Khi đó mỗi x ∈ H tồn tại duy nhất một phần tử y thuộc M sao cho x − y = d (x, M) . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Định nghĩa 1.3. Hai phần tử x, y trong không gian tiền Hilbert H được gọi là trực giao nếu x, y = 0, kí hiệu x ⊥ y. Định lí 1.6. Giả sử M là một không gian con đóng của không gian Hilbert H. Khi đó mỗi phần tử x ∈ H được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng x = y + z, trong đó y ∈ M và z ∈ M ⊥ được gọi là hình chiếu trực giao của x lên M. Chứng minh. Nếu x ∈ M thì đặt y = x, z = 0. Nếu x /∈ M thì M là lồi đóng nên tồn tại duy nhất y ∈ M sao cho x − y = d (x, M) . Đặt z = x − y, ta có x = y + z. Ta phải chứng minh z ∈ M ⊥ . Thật vậy, với mọi α ∈ K, u ∈ M ta có z = x − y ≤ x − (y + αu) = z − αu . Từ đó suy ra z 2 ≤ z − αu, z − αu = z 2 − α u, z − ¯α z, u + α 2 u 2 . Chọn α = z, u và u = 1. Ta được 0 ≤ −|z, u| 2 . Suy ra z, u = 0 với mọi u ∈ M, u = 1. Vậy z ∈ M ⊥ . Bây giờ ta chứng minh sự biểu diễn duy nhất, giả sử x = y 1 + z 1 với y 1 ∈ M, z 1 ∈ M ⊥ . Khi đó y − y 1 = z 1 − z nên y − y 1 ∈ M và y − y 1 ∈ M ⊥ , suy ra y − y 1 , y − y 1 = 0. Vậy y = y 1 , do đó z = z 1 . Từ tính duy nhất của biểu diễn ta có thể viết X = M ⊕ M ⊥ . Vậy định lý được chứng minh. ✷ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... này, ta nhắc lại một số kết quả sẽ được dùng ở trong chương và chương sau Đó là một số kết quả của giải tích lồi gồm các khái niệm, một số tính chất cơ bản của tập lồi và phép chiếu xuống tập lồi đóng Trong toán học tính toán rất nhiều phương pháp giải dựa trên việc tìm hình chiếu của một điểm lên một tập lồi Trong trường hợp tổng quát, đây là một bài toán khó giải Tuy nhiên khi tập lồi có những cấu... là một tập lồi Chứng minh Giả sử {Aα }α∈I là họ các tập lồi Cần chứng minh A = Aα là α∈I một tập lồi • Với mọi x1 , x2 ∈ A suy ra x1 , x2 ∈ Aα (∀α ∈ I) • Với mọi α ∈ I Do Aα lồi nên ∀λ ∈ [0; 1] ta có λx1 + (1 − λ) x2 ∈ A Theo định nghĩa A = 2 Aα là một tập lồi α∈I Định nghĩa 2.5 Một tập C ⊂ H được gọi là nón nếu ∀x ∈ C, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ C Một nón được gọi là nón lồi nếu nó là nón và là một tập lồi Số. .. http://www.lrc-tnu.edu.vn 23 Chứng minh Do C là không gian con và y ∈ C, pC (x) ∈ C nên pC (x) + y và pC (x) − y đều thuộc C với mọi y ∈ C Nên ta có y, x − pC (y) ≥ 0, ∀y ∈ C, và −y, x − pC (y) ≥ 0, ∀y ∈ C 2 Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 24 Chương 3 Một số ứng dụng Trong chương này, ta xét một số ứng dụng của phép chiếu gồm: chứng minh... 2.4 Một tập C được gọi là một tập lồi đa diện nếu nó là giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng Như vậy, theo định nghĩa, tập lồi đa diện là tập hợp nghiệm của một hệ hữu hạn các bất phương trình tuyến tính Dạng tường minh của tập lồi đa diện được cho như sau: C := x ∈ H| aj , x ≤ bj , j ∈ I, |I| < +∞ Trong đó aj ∈ H∗ là không gian đối ngẫu của H Mệnh đề 2.3 Giao của một họ bất kỳ các tập lồi. .. lồi khi và chỉ khi ∀x, y ∈ C; ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ) y ∈ C Ví dụ 2.1 • Tập rỗng là một tập lồi • Toàn bộ không gian là tập lồi • Các không gian con là các tập lồi • Các tam giác, hình tròn trong mặt phẳng là các tập lồi • Quả cầu C = {x| x ≤ 1} là tập lồi Định nghĩa 2.3 Ta nói x là tổ hợp lồi của các điểm (véc-tơ) x1 , , xk nếu k k j λj x ≥ 0, λj ≥ 0 ∀j = 1, , k, x= j=1 λj = 1 j=1 Mệnh đề 2.1 Tập. .. xk Do ξ > 0, λk > 0 và k ξ + λk = λj = 1, j=1 nên x là một tổ hợp lồi của hai điểm y và xk đều thuộc C 2 Vậy x ∈ C Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 Lớp các tập lồi là đóng với các phép giao, phép cộng đại số và phép nhân tích Decastes Cụ thể ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 2.2 Nếu A, B, C là các tập lồi đóng trong H, thì các tập sau là lồi: A ∩ B := {x| x... 2.1 Tập lồi Giả sử H là không gian Hilbert trên trường số thực R Định nghĩa 2.1 Đoạn thẳng nối hai điểm a, b ∈ H là tập các véc tơ x có dạng {x ∈ Rn : x = αa + βb; α ≥ 0; β ≥ 0; α + β = 1} Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 Tập lồi là một khái niệm cơ bản nhất của giải tích lồi nó được định nghĩa như sau Định nghĩa 2.2 Một tập C ⊂ H được gọi là một tập lồi, ... là lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi của các điểm của nó Tức là: C lồi khi và chỉ khi k k 1 ∀k ∈ N, ∀λ1 , , λk > 0 : k λj xj ∈ C λj = 1, ∀x , , x ∈ C ⇒ j=1 j=1 Chứng minh Điều kiện đủ là hiển nhiên từ định nghĩa Ta chứng minh điều kiện cần bằng quy nạp theo số điểm Với k = 2, điều cần chứng minh suy ra ngay từ định nghĩa của tập lồi và tổ hợp lồi Giả sử mệnh đề đúng với k − 1 điểm Ta cần chứng... ngoài của tập C tại xo là tập hợp NC (xo ) := w : w, x − x0 ≤ 0; ∀x ∈ C 2.2 2.2.1 Phép chiếu xuống tập lồi Định nghĩa Định nghĩa 2.7 Cho C khác rỗng là một tập lồi đóng thuộc không gian Hilbert H và y ∈ H, đặt dC := inf x − y x∈C Ta nói dC (y) là khoảng cách từ y đến C Nếu tồn tại π ∈ C sao cho dC (y) = π − y , thì ta nói π là hình chiếu khoảng cách của y trên C Ký hiệu: π = pC (y) là hình chiếu của... Phép chiếu khoảng cách còn một tính chất mạnh hơn tính không giãn là Vậy ta có điều cần chứng minh p (x) − p (y) 2 ≤ x−y 2 − p (x) − p (y) − x + y Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2 ∀x, y http://www.lrc-tnu.edu.vn 20 2.2.3 Một số trường hợp cụ thể Trong một số trường hợp thường gặp, tập chiếu là hình hộp chữ nhật, hình cầu đóng hay không gian con thì điểm chiếu có thể tính được một . VÂN PHÉP CHIẾU XUỐNG TẬP LỒI VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU THÁI NGUYÊN - NĂM 2012 Số hóa. 3 1.2 Một số tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Phép chiếu xuống tập lồi đóng 12 2.1 Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Phép chiếu xuống tập lồi. sử dụng trong các chương sau. Chương 2: Khái niệm, tính chất cơ bản của tập lồi, phép chiếu xuống tập lồi đóng trong không gian Hilbert và một số trường hợp cụ thể. Chương 3: Trình bày một số ứng