Hệ ghi cơ số và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC MAI HUY NGHÞ HÖ GHI C¥ Sè Vµ MéT Sè øng dông LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 I HC THI NGUYấN TRNG I HC KHOA HC MAI HUY NGHị Hệ GHI CƠ Số Và MộT Số ứng dụng Chuyờn ngnh: Phng phỏp Toỏn s cp Mó s: 60.46.01.13 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: PGS.TS. Lờ Th Thanh Nhn THI NGUYấN - 2015 Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 Hệ ghi cơ số 5 1.1 Khái niệm hệ ghi cơ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Các phép toán và vấn đề đổi cơ số . . . . . . . . . . . . . 9 2 Một số ứng dụng của hệ ghi cơ số 16 2.1 Định lý của Legendre và Định lý của Kummer . . . . . . . 16 2.2 Xây dựng đa thức bất khả quy từ số nguyên tố . . . . . . . 21 2.3 Một số ứng dụng của hệ ghi c ơ số trong toán sơ cấp . . . . 28 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1 2 Lời cảm ơn Trớc hết, xin đợc tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn. Mặc dù rất bận rộn trong công việ c nhng Cô vẫn dành thời gian và tâm huyết trong v iệc hớng dẫn. Cho đến hôm nay, luận văn thạc sĩ của t ô i đã đợc hoàn thành cũng chính là nhờ sự sự g iúp đỡ nhiệt tình của Cô. Tôi xin cảm ơn chân thành tới Trờng Đại học Khoa học Thái Nguyê n, nơi tô i đã nhậ n đợc mộ t học vấn sau đại học c ăn bản và xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu nhà trờng, Khoa Toán - Tin và Phòng Đào tạo của trờng Đại học Khoa họ c - Đại học Thái Nguyên. T ôi xin trân trọng cảm ơn các Thầy Cô đã tận tình truyền đạt nhữn g kiến thức quý báu cũng nh tạo mọi điều kiệ n thuận lợi nhất để tôi hoàn thành luận văn này. Cuối cùng, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè, những ngời đ ã không ngừng độn g viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt thời gian học tập v à thực hiện luận văn. Luận văn này đợc thực hiện và h oà n thành tại Trờng Đại họ c Khoa học - Đại học Thái Nguyên. 3 Lời nói đầu Do nhu cầu thực tiễn của c uộc sống, có thể nói hệ gh i cơ số là một trong những lí th uyết toán học đầu tiên xuất hiệ n, đợc hình thành và phát triển song hành với sự phát triển của văn minh nhân loại. Hệ ghi cơ số là một nội dung quan trọng t r ong số học và có nhiều ứng dụng khác nhau t r ong khoa học và thực tiễn. Lí thuyết hệ ghi cơ số liên quan đến nhiều lĩn h vực khác của toán học nh Lí thuyết số; Toán rời rạc; Ph ơng trình nghiệm nguyên và phơng trình hàm; Đa thức; Qui nạp toán học; Các bài toán trò chơi v.v. Một số hệ ghi cơ số quan trọng là hệ thập phân (cơ số 10), hệ nhị phân (cơ số 2), hệ bát phân (cơ số 8), hệ thập lục phân (cơ số 16). Hệ ghi cơ số đợc sử dụng phổ biến nhất hiện nay là h ệ t hập phân, xuất hiện đầu tiên ở ấn độ vào Thế kỷ 5 sau công n guyên. Đến năm 1202 nhờ tác phẩm Liber Abacci của L. Fibonacci (một nhà toán học và thơng gia ngời Y), thì hệ ghi thập phân mới đợc truyền bá vào châu Âu. Hệ n hị phân đợc sử dụng bởi ngời Babylon (khoảng Thế kỉ 5 đến Thế kỉ 3 rớc Công Nguyên), ngày nay hệ nhị phân, hệ bát phân và hệ thập lục phân đang đợc sử dụng rộng rãi trong lĩn h vực kh oa học máy tính và bảo mật thông tin. Nhiều hệ ghi cơ số khác nh cơ số 12, cơ số 7, cơ số 3, v.v. đến này vẫn đợc quan tâm và sử dụng. Luận văn này quan tâm đến vấ n đề biểu diễn trong các hệ ghi cơ số và m ột số ứng d ụng trong toán sơ cấp. Luận văn gồm 2 c hơng. Trong Chơng 1, chúng tôi trình bày khái niệm hệ gh i c ơ số, mộ t số tính chất cơ sở, các phép toán và bài toán đổi cơ số. Chơng 2 trình bà y một số ứng dụng của hệ ghi cơ số. Trớ c hết, thông qua một biểu diễn của số n trong hệ ghi cơ số p với p là số nguyên tố, chúng ta có thể tính đợc số tự nhiên t lớn nhất sao cho p t là ớc của n! (Định lí của Legendre). Cũng thô ng qua 4 biểu diễn của hai số t ự nhiên a và b trong hệ gh i cơ số p với p nguyên tố, chúng ta có thể tính đợc số t lớn nhấ t sao cho p t là ớc củ a C a a+b , trong đó C a a+b là số tổ hợp chập a của a + b p hần tử (Định lí Kummer). Hai định lí này đợc trình bày trong Tiết 2.1 của luận văn. Trong Tiết 2.2, chúng tôi trình bày mộ t ứng dụng nữa của hệ ghi cơ số trong vấn đề xây dựng các đa thức (với hệ số nguyên) bất khả quy trên Q. Khi p là một số nguyên tố và b > 2 là một số tự nhiên, nếu p = (a n . . . a 1 a 0 ) b là biểu diễn của p trong hệ ghi cơ số b thì đa t hức f(x) = a n x n + . . . + a 1 x + a 0 là bất khả quy trên Q (Định lí của Murty). Tiết 2.3 quan tâm đến ứng dụng của hệ gh i cơ số để giải một số dạng toán số học sơ cấp, đặc biệt là những bài toán thi học sinh giỏi bậc phổ thông trung học. Ngoài một số thông tin về hệ ghi cơ số đợc tham khảo trên trang Wikipe dia, luận văn đợc viết dựa trên 4 tà i liệu sau đây 1. Lê Thanh Nhàn, Lí thuyết đa thức (Giáo trình sau đại h ọc), NXB ĐHQGHN, 2015. 2. David Anth ony Santos, Number Theory for Mathematical Contests, GNU Free Documentation Licen se, October 31, 2007. 3. J. Stillwell, Elements of Number Theory, Springer, 2003. 4. M. R am Murty, Prime numbers an d irreducible polynomials, The American Math. Monthly, 109 (2002), 452-458. Chơng 1 Hệ ghi cơ số Hệ thập phân xuất hiện đầu tiên ở Ân độ vào Thế kỷ 5 (sau Công Nguyên). Đến năm 1202, nhờ tác phẩm Liber Ab acci của L. Fibonacci (một nhà toán học đồng thời là thơng gia ngời Y) thì hệ thập phân mới đợc truyền bá vào Châu Âu. Với sự phát minh ra n ghề in vào Thế kỉ 15 thì 10 chữ số m ới có hình dạng cố định nh hiện nay. Ngời ta cũng cố lý giải tại sao hệ ghi thập phân lại đợc đa số các nớc trên thế giới sử dụng đến nh vậy. Có nhiều lí d o cho rằn g do hai bàn tay có 10 ngó n và dễ dàng đếm trên 10 n g ón tay. Ngoài hệ ghi thập phân chúng ta có hệ ghi cơ số khác nhau mà các nớc, các d ân tộc trên thế giới đã sử dụn g. Hệ ghi cơ số 60 của ngời Babilon (khoảng Thế kỉ thứ 5 đến Thế k ỉ thứ 3 trớc Công Nguyên), hệ ghi cơ số 60 cho đến ngày nay vẫn đợc dùng để đ o góc và thời gian. Có giả thu y ết cho rằng vì 60 có nhiều ớc số ( 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60) nên khi t hực hiện phép chia thì sẽ thu đợc nhiều số chẵn (tức là số nguyên). Còn số 10 chỉ có 2 ớc là 2 và 5 nên khi thực hiện phép chia sẽ thu đợ c nhiề u số lẻ (ph ân số). Thời cổ đạ i, các bộ tộc nguyên t hủy thờng dùng hệ ghi cơ số 5, nó tơng ứng với việc đếm trên năm ngón tay. Hiện nay ngời Trung Quốc và ngời Nhật Bản vẫn còn dùng các bàn tính gẩy dựa trên hệ ghi cơ số 5. Với hệ ghi cơ số 20, có những dân tộc dùng cả 10 ngón chân 5 6 và 10 ngón tay để đếm. Hệ ghi này đ ợc ngời Maya cổ sử dụn g. Cho đến ngày nay ở Đan Mạch và ở Pháp ng ời ta vẫn sử dụng hệ ghi cơ số 20. Trong đo lờng ngời ta còn sử dụng nhiều hệ ghi khác nữa. Hệ ghi cơ số 12 đợc sử dụng ở nhiều nớc trên thế giới và cho đến ngày nay v ẫn đợc sử dụng nhiề u ở Anh (một th ớc Anh không phải bằng 10 tấc Anh, mà bằng 12 tấc Anh). Chúng ta vẫn hay dùng đ ơ n vị inch, 18 inch không phải là một thớc v à 8 tấc m à là một thớc Anh và 6 tấc Anh. Ngời ta còn dùng đơn vị tá, một tá bằng 12 chiếc. Có lẽ ngời Trung Quốc cũng đã sử dụng hệ gh i cơ số 12 (chu kì của 12 con giáp). Tùy theo yê u cầu thực tế mà ngờ i ta lại dùng các hệ ghi với cơ số mới. Hệ ghi cơ số 2 hay hệ ghi nhị phân đ ợc cài trên các máy tính. Phép đếm nhị phân cùng với phép toán logic là cơ sở hoạt động của máy tính. Do chỉ có hai ký tự nên việc biểu diễn của một số trong hệ ghi cơ số 2 rất dài, vì vậy trong máy tính còn sử dụng hệ ghi cơ số 8 và hệ ghi cơ số 16 , rất thuận tiện trong biểu diễn các số, vì 2 là ớc của 8 và 16. Thực ra thì hệ ghi cơ số 16 cũng đã có ở Trung Quốc từ xa, vì thời trớc 1 cân của Trung Quốc có tới 16 lạng . Hệ ghi cơ số 24 dùng đếm số giờ trong 1 ngày. Hệ ghi cơ số 30 đếm số ngày trong tháng. Hệ ghi cơ số 3 dùng để đếm số tháng trong quí. Hệ ghi cơ số 7 đếm số ngày trong tuần, v.v. Mục đích của chơng này là trình bày khái niệm cơ bản về hệ ghi c ơ số, các tính chất, các phép toán và vấn đề đổi cơ số. 1.1 Khái niệm hệ ghi cơ số Ti ết này trình bày một số khái niệm và t ính chất cơ sở của hệ ghi cơ số. Luận văn qu an tâm đến những hệ ghi cơ số thờng gặp nh: Hệ thập phân, hệ nhị phân, hệ bát phân, hệ thập lục phân. 1.1.1 Định nghĩa. Cho a > 0 là một số hữu tỷ, b > 1 là một số tự nhiên. 7 Giả sử a = a n b n + a n1 b n1 + . . . + a 1 b + a 0 b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a m b m , trong đó n, m N, a n , . . . , a 0 , a 1 , . . . , a m {0, 1, . . . , b 1} và a n = 0. Khi đó ta nói a = (a n . . . a 0 , a 1 . . . a m ) b là biểu diễn của a trong hệ ghi cơ số b. 1.1.2 Ví dụ. Một số hệ ghi cơ số t hờng gặp nh Hệ thậ p phân: Chú ng ta dùng các chữ số 0, 1, . . . , 9 để biểu diễn các số trong hệ thập phân. Chẳng hạn (12568, 36) 10 = 1.10 4 + 2.10 3 + 5.10 2 + 6.10 1 + 8.10 0 + 3.10 1 + 6.10 2 . Hệ nhị phân: Chúng ta dùng các chữ số 0 và 1 để biểu diễn các số trong hệ nhị phân. Chẳng hạn (111010, 01) 2 = 1.2 5 + 1.2 4 + 1.2 3 + 0.2 2 + 1.2 1 + 0.2 0 + 0.2 1 + 1.2 2 . Hệ bát phân: Chúng ta dùng các chữ số 0, 1, . . . , 7 để biểu diễn các số trong hệ bát phân. Chẳng hạn (20365, 68) 8 = 2.8 4 + 0.8 3 + 3.8 2 + 6.8 1 + 5.8 0 + 6.8 1 + 8.8 2 . Hệ thậ p lục p h ân: Chúng ta dùng các số 0, 1, . . . , 9 và các ch ữ A, B, C, D, E, F để biểu diễn các số trong hệ ghi cơ số thập lục phân, trong đó A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15. Chẳng hạn 3.16 5 + A.16 4 + 0.16 3 + B.16 2 + 1.16 1 + F.16 0 + 3.16 1 + A.16 2 có biểu diễn trong hệ thập lục phân là (3A0B1F, 3A) 16 . Nh vậy dù ở hệ ghi cơ số b nào thì nó c ũng bao gồm hai phần: phần nguyên và phần b-phân (hay còn gọi là p hần lẻ), giữa hai phần ấy đợc n găn [...]... chia 1 : 2 ta đợc thơng 0 và d 1 Vậy, 118 = (1110110)2 - Bài toán đổi cơ số tổng quát là biểu diễn một số a trong hệ ghi cơ số b sang hệ số ghi cơ số b Cách thứ nhất là lấy cơ số 10 làm trung gian, chuyển số a từ hệ ghi cơ số b sang hệ thập phân, rồi chuyển tiếp tự hệ thập phân sang hệ ghi cơ số b Ta minh họa điều này bằng ví dụ sau 1.2.9 Ví dụ Biểu diễn số (1551)6 trong hệ bát phân Ta có (1551)6... diễn của cùng một số c = an bn1 + + a1 trong hệ ghi cơ số b Vì b > 1 nên c < a Do đó theo giả thiết quy nạp ta suy ra m 1 = n 1 và a1 = a1, , am = bm Suy ra m = n và ai = ai với mọi i = 0, 1, , n 1.2 Các phép toán và vấn đề đổi cơ số Tiết này trình bày các phép toán số học (cộng, trừ, nhân, chia) trên hệ ghi cơ số bất kỳ và vấn đề đổi một số trong hệ ghi cơ số tùy ý sang hệ ghi cơ số khác Trớc... khả quy 2.3 Một số ứng dụng của hệ ghi cơ số trong toán sơ cấp Mục tiêu của tiết này là sử dụng hệ ghi cơ số để giải một số bài toán sơ cấp Chúng tôi chia phần này thành hai dạng Dạng thứ nhất cần đến các kết quả về hệ thập phân Dạng thứ hai cần đến kiến thức trong hệ ghi cơ số khác hệ thập phân a Sử dụng kiến thức về hệ thập phân 2.3.1 Bài toán Tìm tất cả các số nguyên bắt đầu bằng ký tự 6 và giảm 25... (2700AB)12 Chơng 2 Một số ứng dụng của hệ ghi cơ số 2.1 Định lý của Legendre và Định lý của Kummer Trong tiết này, chúng ta chứng minh hai định lý của Legendre và Kummer liên quan đến biểu diễn các số tự nhiên trong các hệ ghi cơ số Trớc hết chúng ta chứng minh Định lý Legendre Cho n là một số tự nhiên và p là một số nguyên tố Định lý Legendre giúp ta tính số tự nhiên t sao cho pt là ớc của n! và pt+1 không... t của m và n) và cộng thêm với 1 (số nhớ của lần cộng 19 trớc), đợc số d là 1 Nh vậy, khi cộng m và n trong hệ ghi cơ số 5, số lần nhớ là 3 Mục tiêu thứ hai của tiết này là chứng minh một kết quả của m Kummer trong lý thuyết số, cho ta công thức tính vp (Cn+m) thông qua số lần nhớ khi cộng m với n trong hệ ghi cơ số p 2.1.3 Định lý (Kummer, 1852) Cho a và b là hai số tự nhiên và p là một m số nguyên... diễn số (a)b sang hệ ghi cơ số b , cách thứ hai là đổi số b sang hệ ghi cơ số b Chẳng hạn b = (c)b Sau đó, trong hệ ghi cơ số b, chúng ta thực hiện chia liên tiếp cho c Cụ thể, bớc đầu tiên là chia a cho c đợc thơng là q1 và d là r1 Bớc tiếp theo ta chia thơng q1 cho c và thu đợc thơng q2 và d r2 Cứ tiếp tục chia thơng cho c, cho đến khi ta thu đợc thơng bằng 0 Đổi các số d từ hệ ghi cơ số b sang hệ. .. 3869727, 23 Cách thứ hai để biểu diễn một số a trong hệ ghi cơ số b sang hệ thập phân là sử dụng phép chia liên tiếp Trớc hết ta biểu diễn số 10 trong hệ ghi cơ số b, chẳng hạn 10 = (c)b Sau đó trong hệ ghi cơ số b ta thực hiện phép chia liên tiếp cho c Cụ thể, bớc đầu tiên là chia a cho c đợc thơng là q1 và d là r1 Bớc tiếp theo ta chia q1 cho c ta đợc thơng q2 và d r2 Cứ tiếp tục chia thơng cho c... tiêu đầu tiên của tiết này là chứng minh một công thức tính vp (n!) thông qua biểu diễn của số n trong hệ ghi cơ số p Đây là một kết quả quan trọng trong lý thuyết số, đợc phát hiện bởi Legendre năm 1808 2.1.2 Định lý (Legendre, 1808) Cho p là một số nguyên tố và n > 1 là một số tự nhiên Giả sử n = a0 pk + a1 pk1 + + ak1 p + ak 16 17 là biểu diễn của số n trong hệ ghi cơ số p Khi đó ta có vp (n!) =... có điều phải chứng minh Mục tiêu thứ hai của tiết này là chứng minh Định lý của Kummer Với n! k k n là hai số tự nhiên, kí hiệu Cn = là số tổ hợp chập k của k!(n k)! n phần tử Với m, n là hai số tự nhiên biểu diễn trong hệ ghi cơ số b Số lần nhớ khi cộng m với n trong hệ ghi cơ số b đợc hiểu là số lần cộng hai chữ số ở cùng một vị trí của m và n (cộng từ vị trí phía bên phải sang) và cộng thêm với... số tùy ý sang hệ ghi cơ số khác Trớc hết chúng ta quan tâm đến các phép toán trong hệ ghi cơ số b bất kì 1.2.1 Chú ý Trên một hệ ghi cơ số bất kỳ, ta vẫn thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia nh trên hệ thập phân nhng dựa trên bảng cộng và bảng nhân của hệ ghi cơ số đó Chẳng hạn ta có bảng cộng của hệ ghi cơ số 8 (bát phân) + 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 1 2 3 4 5 6 7 1 1 2 3 4 5 6 7 10 2 2 3 4 5 6 . của một số trong hệ ghi cơ số 2 rất dài, vì vậy trong máy tính còn sử dụng hệ ghi cơ số 8 và hệ ghi cơ số 16 , rất thuận tiện trong biểu diễn các số, vì 2 là ớc của 8 và 16. Thực ra thì hệ ghi cơ. i c ơ số, mộ t số tính chất cơ sở, các phép toán và bài toán đổi cơ số. Chơng 2 trình bà y một số ứng dụng của hệ ghi cơ số. Trớ c hết, thông qua một biểu diễn của số n trong hệ ghi cơ số p với. niệm hệ ghi cơ số Ti ết này trình bày một số khái niệm và t ính chất cơ sở của hệ ghi cơ số. Luận văn qu an tâm đến những hệ ghi cơ số thờng gặp nh: Hệ thập phân, hệ nhị phân, hệ bát phân, hệ thập