Hệ ghi cơ số và một số ứng dụng

Lí thuyết hệ ghi cơ số liên quan đến nhiều lĩnh vực kháccủa toán học như Lí thuyết số; Toán rời rạc; Phương trình nghiệm nguyên và phương trình hàm; Đa thức; Qui nạp toán học; Các bài to

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

MAI HUY NGHÞ

HÖ GHI C¥ Sè Vµ MéT Sè øng dông

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

MAI HUY NGHÞ

HÖ GHI C¥ Sè Vµ MéT Sè øng dông

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn

THÁI NGUYÊN - 2015

2.1 §Þnh lý cña Legendre vµ §Þnh lý cña Kummer 162.2 X©y dùng ®a thøc bÊt kh¶ quy tõ sè nguyªn tè 212.3 Mét sè øng dông cña hÖ ghi c¬ sè trong to¸n s¬ cÊp 28

KÕt luËn 39

Tµi liÖu tham kh¶o 40

1

Lời cảm ơn

Trước hết, xin được tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến PGS.TS LêThị Thanh Nhàn Mặc dù rất bận rộn trong công việc nhưng Cô vẫn dànhthời gian và tâm huyết trong việc hướng dẫn Cho đến hôm nay, luận vănthạc sĩ của tôi đã được hoàn thành cũng chính là nhờ sự sự giúp đỡ nhiệttình của Cô

Tôi xin cảm ơn chân thành tới Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên,nơi tôi đã nhận được một học vấn sau đại học căn bản và xin trân trọngcảm ơn Ban Giám hiệu nhà trường, Khoa Toán - Tin và Phòng Đào tạo củatrường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tôi xin trân trọng cảm

ơn các Thầy Cô đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng nhưtạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành luận văn này

Cuối cùng, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè,những người đã không ngừng động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện tốtnhất cho tôi trong suốt thời gian học tập và thực hiện luận văn Luận vănnày được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại họcThái Nguyên

Lời nói đầu

Do nhu cầu thực tiễn của cuộc sống, có thể nói hệ ghi cơ số là một trongnhững lí thuyết toán học đầu tiên xuất hiện, được hình thành và phát triểnsong hành với sự phát triển của văn minh nhân loại Hệ ghi cơ số là một nộidung quan trọng trong số học và có nhiều ứng dụng khác nhau trong khoahọc và thực tiễn Lí thuyết hệ ghi cơ số liên quan đến nhiều lĩnh vực kháccủa toán học như Lí thuyết số; Toán rời rạc; Phương trình nghiệm nguyên

và phương trình hàm; Đa thức; Qui nạp toán học; Các bài toán trò chơi v.v.Một số hệ ghi cơ số quan trọng là hệ thập phân (cơ số 10), hệ nhị phân(cơ số 2), hệ bát phân (cơ số 8), hệ thập lục phân (cơ số 16) Hệ ghi cơ số

được sử dụng phổ biến nhất hiện nay là hệ thập phân, xuất hiện đầu tiên ở

ấn độ vào Thế kỷ 5 sau công nguyên Đến năm 1202 nhờ tác phẩm LiberAbacci của L Fibonacci (một nhà toán học và thương gia người ´Y), thì hệghi thập phân mới được truyền bá vào châu Âu Hệ nhị phân được sử dụngbởi người Babylon (khoảng Thế kỉ 5 đến Thế kỉ 3 rước Công Nguyên), ngàynay hệ nhị phân, hệ bát phân và hệ thập lục phân đang được sử dụng rộngrãi trong lĩnh vực khoa học máy tính và bảo mật thông tin Nhiều hệ ghicơ số khác như cơ số 12, cơ số 7, cơ số 3, v.v đến này vẫn được quan tâm

và sử dụng

Luận văn này quan tâm đến vấn đề biểu diễn trong các hệ ghi cơ số

và một số ứng dụng trong toán sơ cấp Luận văn gồm 2 chương TrongChương 1, chúng tôi trình bày khái niệm hệ ghi cơ số, một số tính chất cơ

sở, các phép toán và bài toán đổi cơ số Chương 2 trình bày một số ứngdụng của hệ ghi cơ số Trước hết, thông qua một biểu diễn của số n trong

hệ ghi cơ số p với p là số nguyên tố, chúng ta có thể tính được số tự nhiên

t lớn nhất sao cho pt là ước của n! (Định lí của Legendre) Cũng thông qua

biểu diễn của hai số tự nhiên a và b trong hệ ghi cơ số p với p nguyên tố,chúng ta có thể tính đ−ợc số t lớn nhất sao cho pt là −ớc của Ca

a+b, trong

đó Ca

a+b là số tổ hợp chập a của a + b phần tử (Định lí Kummer) Hai định

lí này đ−ợc trình bày trong Tiết 2.1 của luận văn Trong Tiết 2.2, chúng tôitrình bày một ứng dụng nữa của hệ ghi cơ số trong vấn đề xây dựng các đathức (với hệ số nguyên) bất khả quy trên Q Khi p là một số nguyên tố và

b > 2 là một số tự nhiên, nếu p = (an a1a0)b là biểu diễn của p trong hệghi cơ số b thì đa thức f(x) = anxn + + a1x + a0 là bất khả quy trên

Q (Định lí của Murty) Tiết 2.3 quan tâm đến ứng dụng của hệ ghi cơ số

để giải một số dạng toán số học sơ cấp, đặc biệt là những bài toán thi họcsinh giỏi bậc phổ thông trung học

Ngoài một số thông tin về hệ ghi cơ số đ−ợc tham khảo trên trangWikipedia, luận văn đ−ợc viết dựa trên 4 tài liệu sau đây

1 Lê Thanh Nhàn, Lí thuyết đa thức (Giáo trình sau đại học), NXB

ĐHQGHN, 2015

2 David Anthony Santos, Number Theory for Mathematical Contests,GNU Free Documentation License, October 31, 2007

3 J Stillwell, Elements of Number Theory, Springer, 2003

4 M Ram Murty, Prime numbers and irreducible polynomials, TheAmerican Math Monthly, 109 (2002), 452-458

Hệ ghi cơ số

Hệ thập phân xuất hiện đầu tiên ở ´Ân độ vào Thế kỷ 5 (sau CôngNguyên) Đến năm 1202, nhờ tác phẩm Liber Abacci của L Fibonacci(một nhà toán học đồng thời là thương gia người ´Y) thì hệ thập phân mới

được truyền bá vào Châu Âu Với sự phát minh ra nghề in vào Thế kỉ 15thì 10 chữ số mới có hình dạng cố định như hiện nay Người ta cũng cố lýgiải tại sao hệ ghi thập phân lại được đa số các nước trên thế giới sử dụng

đến như vậy Có nhiều lí do cho rằng do hai bàn tay có 10 ngón và dễ dàng

đếm trên 10 ngón tay

Ngoài hệ ghi thập phân chúng ta có hệ ghi cơ số khác nhau mà các nước,các dân tộc trên thế giới đã sử dụng Hệ ghi cơ số 60 của người Babilon(khoảng Thế kỉ thứ 5 đến Thế kỉ thứ 3 trước Công Nguyên), hệ ghi cơ số

60 cho đến ngày nay vẫn được dùng để đo góc và thời gian Có giả thuyếtcho rằng vì 60 có nhiều ước số (2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60) nênkhi thực hiện phép chia thì sẽ thu được nhiều số chẵn (tức là số nguyên).Còn số 10 chỉ có 2 ước là 2 và 5 nên khi thực hiện phép chia sẽ thu đượcnhiều số lẻ (phân số) Thời cổ đại, các bộ tộc nguyên thủy thường dùng hệghi cơ số 5, nó tương ứng với việc đếm trên năm ngón tay Hiện nay ngườiTrung Quốc và người Nhật Bản vẫn còn dùng các bàn tính gẩy dựa trên hệghi cơ số 5 Với hệ ghi cơ số 20, có những dân tộc dùng cả 10 ngón chân

5

và 10 ngón tay để đếm Hệ ghi này được người Maya cổ sử dụng Cho

đến ngày nay ở Đan Mạch và ở Pháp người ta vẫn sử dụng hệ ghi cơ số

20 Trong đo lường người ta còn sử dụng nhiều hệ ghi khác nữa Hệ ghicơ số 12 được sử dụng ở nhiều nước trên thế giới và cho đến ngày nay vẫn

được sử dụng nhiều ở Anh (một thước Anh không phải bằng 10 tấc Anh,

mà bằng 12 tấc Anh) Chúng ta vẫn hay dùng đơn vị inch, 18 inch khôngphải là một thước và 8 tấc mà là một thước Anh và 6 tấc Anh Người tacòn dùng đơn vị “tá”, một tá bằng 12 chiếc Có lẽ người Trung Quốc cũng

đã sử dụng hệ ghi cơ số 12 (chu kì của 12 con giáp) Tùy theo yêu cầuthực tế mà người ta lại dùng các hệ ghi với cơ số mới Hệ ghi cơ số 2 hay

hệ ghi nhị phân được cài trên các máy tính Phép đếm nhị phân cùng vớiphép toán logic là cơ sở hoạt động của máy tính Do chỉ có hai ký tự nênviệc biểu diễn của một số trong hệ ghi cơ số 2 rất dài, vì vậy trong máytính còn sử dụng hệ ghi cơ số 8 và hệ ghi cơ số 16, rất thuận tiện trongbiểu diễn các số, vì 2 là ước của 8 và 16 Thực ra thì hệ ghi cơ số 16 cũng

đã có ở Trung Quốc từ xưa, vì thời trước 1 cân của Trung Quốc có tới 16lạng Hệ ghi cơ số 24 dùng đếm số giờ trong 1 ngày Hệ ghi cơ số 30 đếm

số ngày trong tháng Hệ ghi cơ số 3 dùng để đếm số tháng trong quí Hệghi cơ số 7 đếm số ngày trong tuần, v.v

Mục đích của chương này là trình bày khái niệm cơ bản về hệ ghi cơ

số, các tính chất, các phép toán và vấn đề đổi cơ số

1.1 Khái niệm hệ ghi cơ số

Tiết này trình bày một số khái niệm và tính chất cơ sở của hệ ghi cơ

số Luận văn quan tâm đến những hệ ghi cơ số thường gặp như: Hệ thậpphân, hệ nhị phân, hệ bát phân, hệ thập lục phân

1.1.1 Định nghĩa. Cho a > 0 là một số hữu tỷ, b > 1 là một số tự nhiên

Giả sử

a = anbn+ an ư1bnư1+ + a1b + a0b0+ aư1bư1+ aư2bư2+ + aưmbưm,trong đó n, m ∈ N, an, , a0, aư1, , aưm ∈ {0, 1, , b ư 1} và an 6= 0.Khi đó ta nói a = (an a0, aư1 aưm)b là biểu diễn của a trong hệ ghicơ số b

1.1.2 Ví dụ. Một số hệ ghi cơ số thường gặp như

Hệ thập phân: Chúng ta dùng các chữ số 0, 1, , 9 để biểu diễn các sốtrong hệ thập phân Chẳng hạn

có biểu diễn trong hệ thập lục phân là (3A0B1F, 3A)16

Như vậy dù ở hệ ghi cơ số b nào thì nó cũng bao gồm hai phần: phầnnguyên và phần b-phân (hay còn gọi là phần lẻ), giữa hai phần ấy được ngăn

cách với nhau bởi dấu phẩy Phần đứng bên trái của dấu phẩy đ−ợc gọi làphần nguyên, phần đứng bên phải của dấu phẩy đ−ợc gọi là phần b-phânhay phần lẻ Nếu số có phần lẻ bằng 0 thì không cần dùng dấu phẩy, và số

đó gọi là số nguyên Nếu số viết trong hệ b 6= 10 thì bắt buộc ta phải biếtcơ số b kèm theo, trong khi đó nếu viết trong hệ thập phân, tức là b = 10,thì ta không cần viết cơ số kèm theo

1.1.3 Định lý Cho số tự nhiên b > 1 Khi đó mọi số tự nhiên a > 0 đều

có duy nhất một biểu diễn trong hệ ghi cơ số b, tức là tồn tại duy nhất một

{0, 1, , b − 1} và an 6= 0.

a < b thì a = a là biểu diễn cần tìm Cho a ≥ b và giả thiết rằng các số tựnhiên nhỏ hơn a đều có biểu diễn nh− trong định lý Chia a cho b ta đ−ợc

a = cb + r với c, r ∈ N và r < b Do b > 1 nên c < a Do đó theo giả thiếtquy nạp ta có biểu diễn c = ckbk + + c1.b + c0, với k là số tự nhiên,

với n ≥ m là hai biểu diễn của a trong hệ ghi cơ số b Nếu a < b thì

m = n = 0 và a = a0 = a′0, do đó biểu diễn là duy nhất Cho a ≥ b

và giả thiết rằng kết quả đã đúng cho các số tự nhiên nhỏ hơn a Vì

a0, a′0 ∈ {0, 1, , b − 1} nên a0 và a′

0 đều là d− của phép chia a cho b Do

tính duy nhất của thương và dư trong phép chia a cho b nên ta có a0 = a′0.Suy ra

b(anbnư1+ + a1) = b(a′mbmư1 + + a′1)

Giản ước cả hai vế cho b ta được anbn ư1 + + a1 = a′mbm ư1 + + a′1

Đây là hai biểu diễn của cùng một số c = anbn ư1 + + a1 trong hệ ghicơ số b Vì b > 1 nên c < a Do đó theo giả thiết quy nạp ta suy ra

m ư 1 = n ư 1 và a1 = a′1, , am = bm Suy ra m = n và ai = a′i với mọi

i = 0, 1, , n

1.2 Các phép toán và vấn đề đổi cơ số

Tiết này trình bày các phép toán số học (cộng, trừ, nhân, chia) trên hệghi cơ số bất kỳ và vấn đề đổi một số trong hệ ghi cơ số tùy ý sang hệ ghicơ số khác Trước hết chúng ta quan tâm đến các phép toán trong hệ ghicơ số b bất kì

1.2.1 Chú ý. Trên một hệ ghi cơ số bất kỳ, ta vẫn thực hiện các phép toáncộng, trừ, nhân, chia như trên hệ thập phân nhưng dựa trên bảng cộng vàbảng nhân của hệ ghi cơ số đó

D−íi ®©y lµ b¶ng nh©n cña hÖ ghi c¬ sè 8 (b¸t ph©n).

1.2.2 VÝ dô. §Ó thùc hiÖn phÐp céng (234, 32)5 + (1021, 32)5, ta tiÕn hµnhnh− sau

+ 2 3 4, 3 2

1 0 2 1, 3 2

1 3 1 1, 1 4

1.2.4 Ví dụ. Để thực hiện phép nhân ta tiến hành giống như trong hệ thậpphân Ta đặt số thứ hai dưới số thứ nhất, dùng bảng nhân để nhân từng chữ

số của số thứ hai với số thứ nhất, kết quả của mỗi phép nhân được viết theomột hàng, hàng sau lùi sang bên trái 1 chữ số so với hàng đứng trước, sau

đó cộng tất cả các hàng lại ta được kết quả Chẳng hạn, để nhân (201, 13)5

2 0 1 1 3

3 1 3 4, 4 1 1 1Vậy (201, 13)5 x (13, 12)5 = (3144, 4311)5

1.2.5 Ví dụ. Để thực hiện phép chia trong hệ ngũ phân, ta làm tương tự nhưphép chia trong hệ thập phân, tức là chia từ trái qua phải, sau mỗi phép chia

ta hạ chữ số tiếp theo của số bị chia xuống bên phải của phần dư rồi chiatiếp cho đến khi hoàn thành Chẳng hạn, chia (31344123)5 cho (20223)5 ta

được thương là (1244)5 và dư là (14001)5

Tiếp theo chúng ta quan tâm đến vấn đề đổi cơ số Vấn đề đặt ra là nếu

ta có số a viết trong hệ ghi cơ số b thì ta có thể chuyển nó sang các hệ ghi

cơ số khác được không? Làm thế nào để đổi biểu diễn của nó từ hệ ghicơ số này sang hệ ghi cơ số khác? Ta trả lời cấu hỏi này bằng cách phânthành các trường hợp sau

- Đổi một số trong hệ ghi cơ số b sang hệ thập phân Ta có 2 cách đểgiải quyết bài toán này Cách thứ nhất là tính toán theo định nghĩa Cụ thể,

và dư r2 Cứ tiếp tục chia thương cho c đến bước thứ k ta thu được thương

qk = 0 Ta biểu diễn các số dư r1, , rk của các phép chia trong hệ ghicơ số b sang hệ thập phân rồi viết các số dư này theo thứ tự từ hàng đơn vị

đến hang chục, hàng trăm, v.v Từ đó ta có kết quả Ta minh họa cách làmnày bằng ví dụ sau

1.2.7 Ví dụ. Để biểu diễn (234765003)8 trong hệ thập phân, ta đổi 10 =(12)8, sau đó thực hiện các phép chia liên tiếp trong hệ ghi cơ số 8, rồichuyển phần dư sang hệ thập phân, cụ thể:

Thực hiện phép chia 234765003 : 12, thương là 17545231 và dư 118 = 9;thực hiện phép chia 17545231 : 12, thương là 1443565 và dư 78 = 7;thực hiện phép chia 1443565 : 12 ta được thương 120276 và dư 118 = 9;thực hiện phép chia 120276 : 12 ta được thương 10023 và dư 08 = 0;thực hiện phép chia 10023 : 12 ta được thương 633 và dư 58 = 5;

thực hiện phép chia 633 : 12 ta được thương 51 và dư 18 = 1;

thực hiện phép chia 51 : 12 ta được thương 4 và dư 18 = 1;

thực hiện phép chia 4 : 12 ta được thương 0 và dư 48 = 4

Suy ra (234765003)8 = 41150979

- Bài toán thứ hai là đổi một số trong hệ thập phân sang hệ ghi cơ số

b Trong hệ thập phân ta chia liên tiếp cho b Bước đầu tiên ta chia a cho

b được thương q1 và dư r1 Bước tiếp theo là chia thương q1 cho b ta đượcthương q2 và dư r2 Cứ tiếp tục chia thương thu được cho b, đến khi thươngthu được bằng 0 thì ta dừng lại Viết các số dư theo thứ tự từ hàng đơn vịsang hàng chục, hàng trăm, vv, ta có kết quả

1.2.8 Ví dụ. Biểu diễn số 118 trong hệ thập phân sang hệ nhị phân (hệ ghi

- Bài toán đổi cơ số tổng quát là biểu diễn một số a trong hệ ghi cơ số

b sang hệ số ghi cơ số b′ Cách thứ nhất là lấy cơ số 10 làm trung gian,chuyển số a từ hệ ghi cơ số b sang hệ thập phân, rồi chuyển tiếp tự hệ thậpphân sang hệ ghi cơ số b′ Ta minh họa điều này bằng ví dụ sau

1.2.9 Ví dụ. Biểu diễn số (1551)6 trong hệ bát phân Ta có (1551)6 = 427.Suy ra 427 = (653)8 Do đó (1551)6 = (653)8

Để biểu diễn số (a)b sang hệ ghi cơ số b′, cách thứ hai là đổi số b′ sang

hệ ghi cơ số b Chẳng hạn b′ = (c)b Sau đó, trong hệ ghi cơ số b, chúng tathực hiện chia liên tiếp cho c Cụ thể, bước đầu tiên là chia a cho c đượcthương là q1 và dư là r1 Bước tiếp theo ta chia thương q1 cho c và thu đượcthương q2 và dư r2 Cứ tiếp tục chia thương cho c, cho đến khi ta thu đượcthương bằng 0 Đổi các số dư từ hệ ghi cơ số b sang hệ ghi cơ số b′ rồi viếtchúng theo thứ tự từ hàng đơn vị sang hàng chục, hàng trăm, vv Khi đó ta

được kết quả Sau đây là một ví dụ minh họa

1.2.10 Ví dụ. Chuyển số (2347603)8 sang hệ ghi cơ số 12 Trước hết tabiểu diễn 12 trong hệ ghi cơ số 8 Ta có 12 = (14)8 Bây giờ, trong hệ ghi

c¬ sè 8 ta thøc hiÖn c¸c phÐp chia liªn tiÕp

Thùc hiÖn phÐp chia 2347603 : 14, th−¬ng lµ 150512 vµ d− 138 = 1112;thùc hiÖn phÐp chia 15052 : 14 ta ®−îc th−¬ng 10560 vµ d− 128 = 1012;thùc hiÖn phÐp chia 15060 : 14 ta ®−îc th−¬ng 564 vµ d− 08 = 012;

Một số ứng dụng của hệ ghi cơ số

2.1 Định lý của Legendre và Định lý của Kummer

Trong tiết này, chúng ta chứng minh hai định lý của Legendre và mer liên quan đến biểu diễn các số tự nhiên trong các hệ ghi cơ số Trướchết chúng ta chứng minh Định lý Legendre Cho n là một số tự nhiên và p

Kum-là một số nguyên tố Định lý Legendre giúp ta tính số tự nhiên t sao cho

pt là ước của n! và pt+1 không là ước của n!

2.1.1 Kí hiệu. Cho p là một số nguyên tố và n > 1 là một số tự nhiên.Giả sử n = pt1

1 ptk

k là phân tích tiêu chuẩn của n thành tích các thừa

số nguyên tố Nếu p = pi với i ∈ {1, , k} thì ta đặt vp(n) = ti Nếu

p /∈ {1, , k} thì ta đặt vp(n) = 0 Như vậy, vp(n) chính là số mũ lớn nhất

t sao cho pt là ước của n Chẳng hạn, ta có 100 = 22

52 nên v2(100) = 2,

v5(100) = 2 và vp(100) = 0 với mọi số nguyên tố p khác 2 và 5

Mục tiêu đầu tiên của tiết này là chứng minh một công thức tính vp(n!)thông qua biểu diễn của số n trong hệ ghi cơ số p Đây là một kết quảquan trọng trong lý thuyết số, được phát hiện bởi Legendre năm 1808

2.1.2 Định lý (Legendre, 1808) Cho p là một số nguyên tố và n > 1 là

một số tự nhiên Giả sử

n = a0pk + a1pkư1+ + ak ư1p + ak

16

là biểu diễn của số n trong hệ ghi cơ số p Khi đó ta có

vp(n!) = n − (a0 + a1 + + ak)

nhất sao cho b 6 a Ta gọi [a] là phần nguyên của a Theo Công thức De

Polignac (công thức này còn có tên là Công thức Legendre, xuất hiện trongmột cuốn sách tái bản lần hai năm 1808)



= a0pk−1 + a1pk−2 + + ak −2p + ak −1.Với i 6 k ta có

Tõ ®©y ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.

Môc tiªu thø hai cña tiÕt nµy lµ chøng minh §Þnh lý cña Kummer Víi

k 6 n lµ hai sè tù nhiªn, kÝ hiÖu Ck

k!(n − k)! lµ sè tæ hîp chËp k cña

n phÇn tö Víi m, n lµ hai sè tù nhiªn biÓu diÔn trong hÖ ghi c¬ sè b SèlÇn nhí khi céng m víi n trong hÖ ghi c¬ sè b ®−îc hiÓu lµ sè lÇn cénghai ch÷ sè ë cïng mét vÞ trÝ cña m vµ n (céng tõ vÞ trÝ phÝa bªn ph¶i sang)

vµ céng thªm víi phÇn nhí ë lÇn céng tr−íc (nÕu cã) lín h¬n hay b»ng b.Ch¼ng h¹n, cho m = (23432)5 vµ n = (102132)5 Thùc hiÖn phÐp céng m

vµ n

1 0 2 1 3 2

1 3 1 1 1 4Trong phÐp céng nµy, lÇn nhí thø nhÊt xuÊt hiÖn khi ta céng 3 víi 3 (ë vÞtrÝ thø hai cña m vµ n), ®−îc sè nhí lµ 1 LÇn nhí thø hai xuÊt hiÖn khi tacéng 4 víi 1 (ë vÞ trÝ thø ba cña m vµ n) vµ céng thªm víi 1 (sè nhí cñalÇn céng tr−íc), ®−îc sè nhí lµ 1 LÇn nhí thø ba xuÊt hiÖn khi ta céng 3víi 2 (ë vÞ trÝ thø t− cña m vµ n) vµ céng thªm víi 1 (sè nhí cña lÇn céng