b. Sử dụng kiến thức về hệ ghi cơ số khác
2.3.13Bài toán Giả sử →N thỏa mãn f (1) = 1; f (2n) =f (n)
và f(2n + 1) = f(2n) + 1 với mọi n nguyên d−ơng. Trong các số
f(1), f(2), . . . , f(1994), số nào lớn nhất? Lời giải. Ta có f(10)2 = f(2) = f(1) = 1, f(11)2 = f(3) = f(2.1 + 1) = f(2.1) + 1 = f(1) + 1 = 2, f(100)2 = f(4) = f(2) = f(1) = 1, f(101)2 = f(4) + 1 = 2, f(110)2 = f(6) = f(3) = 2, f(111)2 = f(7) = f(6) + 1 = 2 + 1 = 3,
f(1000)2 = f(8) = 1,
f(1001)2 = f(9) = f(8) + 1 = 1 + 1 = 2.
Nhận xét rằng với n = 1, . . . ,9, nếu biểu diễn của n trong hệ ghi cơ số 2
bao gồm k chữ số 1 thì f(n) = k. Ta chứng minh điều này đúng cho tr−ờng hợp n tùy ý bằng quy nạp theo n. Với n 6 9, ta đã tình toán ở trên. Cho
n ≥ 10 và giả thiết kết quả đã đúng cho tr−ờng hợp nhỏ hơn n. Xét hai tr−ờng hợp.
Giả sửnchẵn. Viếtn = 2k vớik < n.Giả sử biểu diễn củak trong hệ ghi cơ số2bao gồmtchữ số 1. Vì k < nnên theo giả thiết quy nạp ta cóf(k) = t.
Suy ra f(n) = f(2k) = f(k) = t. Giả sử k = (arar−1. . . a1)2 là biểu diễn trong hệ ghi cơ số 2 của k với ai ∈ {0,1}, trong đó dãy at, at−1, . . . , a1 có đúng t chữ số 1. Ta có n = (10)2 x (arar−1. . . a1)2 = (arar−1. . . a10)2. Do đó biểu diễn của n trong hệ ghi cơ số 2 cũng gồm đúng t chữ số 1. Kết quả đúng cho n chẵn.
Giả sử n lẻ. Khi đó n= 2k+ 1. Suy ra f(n) = f(2k) + 1 = f(k) + 1. Giả sử biểu diễn của k trong hệ ghi cơ số 2 bao gồm t chữ số 1. Do k < n nên theo giả thiết quy nạp ta cóf(k) =t. Suy ra f(n) = t+ 1. Mặt khác, giả sử
k = (arar−1. . . a1)2 là biểu diễn trong hệ ghi cơ số 2 của k với ai ∈ {0,1},
trong đó dãy at, at−1, . . . , a1 có đúng t chữ số 1. Khi đó
n= 2k + 1 = (10)2 x (arar−1. . . a1)2 + (1)2 = (arar−1. . . a11)2.
Do đó biểu diễn của n trong hệ ghi cơ số 2 có t+ 1 chữ số 1. Kết quả đúng với n lẻ.
Từ kết quả trên, ta phải tìm số n 6 1994 sao cho nó có nhiều chữ số 1 nhất khi biểu diễn trong hệ ghi cơ số 2. Vì 1994 < 211
− 1 nên
n có nhiều nhất là 10 chữ số. Số lớn nhất có 10 chữ số (trong hệ nhị phân) là 1023 = (1111111111)2). Do đó số n = 1023 là số cần tìm và
Kết luận
Trong luận văn này, chúng tôi đã trình bày các nội dung sau đây:
* Trình bày một số kiến thức cơ sở về hệ ghi cơ số, các phép toán trong hệ ghi cơ số và vấn đề đổi cơ số;
* Với p là một số nguyên tố, sử dụng hệ ghi cơ số p để tính số tự nhiên t
lớn nhất sao cho pt là −ớc của n! (Định lý của Legendre) và pt là −ớc của
Ca
a+b (Định lý của Kummer);
* Với p là số nguyên tố, sử dụng biểu diễn của p trong hệ ghi cơ số b với
b > 2 để xây dựng các đa thức với hệ số nguyên và bất khả quy trên Q
(Định lý của Murty);
* Sử dụng hệ ghi cơ số để giải một số bài toán sơ cấp, đặc biệt là những bài toán thi học sinh giỏi bậc trung học phổ thông.
[Nh] Lê Thanh Nhàn, Lý thuyết đa thức (Giáo trình sau đại học), NXB ĐHQGHN, 2015.
[Da] David Anthony Santos, Number Theory for mathematical contests, GNU Free Documentation License, October, 2007.
[Mu] M. Ram Murty, Prime numbers and irreducible polynomials, The American Math. Monthly, 109 (2002), 452-458.
[St] J. Stillwell, Elements of Number Theory, Springer, 2003.