Một số phép chiếu và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TỐN Hồng Thị Bích MỘT SỐ PHÉP CHIẾU VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Hình Học KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: ThS Đinh Thị Kim Thúy Hà Nội – Năm 2018 Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Lời mở đầu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm 1.2 Quan hệ vng góc phẳng không gian E2 không gian E3 1.3 Một số cơng thức tính diện tích thể tích khơng gian E2 , E3 1.4.1 Một số khái niệm khoảng cách 1.4.2 Cơng thức tính diện tích thể tích số hình đặc biệt PHÉP CHIẾU THEO MỘT PHƯƠNG CHO TRƯỚC 2.1 Quan hệ song song phẳng không gian E2 không gian E3 1.4 Phép chiếu theo phương cho trước 2.1.1 Định nghĩa i Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2 Hồng Thị Bích 2.1.2 Tính chất 10 2.1.3 Phép chiếu vng góc 12 Ứng dụng phép chiếu theo phương vào giải toán sơ cấp 2.2.1 2.2.2 Khảo sát hình chiếu hình khơng gian 19 Các toán giải phương pháp chiếu 24 PHÉP CHIẾU XUYÊN TÂM 3.1 3.2 19 30 Phép chiếu xuyên tâm 30 3.1.1 Định nghĩa 30 3.1.2 Tính chất 31 Ứng dụng phép chiếu xun tâm vào giải số tốn hình học phẳng 39 3.2.1 Khảo sát phép chiếu xuyên tâm 39 3.2.2 Phương pháp giải số dạng tốn hình học phẳng nhờ phép chiếu xuyên tâm 42 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 50 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Thị Bích Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy, giáo khoa Tốn tạo điều kiện thuận lợi cho em học tập rèn luyện, tích lũy tri thức Đặc biệt ThS Đinh Thị Kim Thúy, người tận tình hướng dẫn,góp ý, cho em động viên, quan tâm, khích lệ suốt trình nghiên cứu thực đề tài Hà Nội, tháng 05/2018 Sinh viên HỒNG THỊ BÍCH Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Thị Bích Lời cam đoan Em xin cam đoan đề tài em thực hiện, kết trình nghiên cứu em hướng dẫn tận tình chu đáo ThS Đinh Thị Kim Thúy đề tài không trùng với kết tác giả khác Hà Nội, tháng 05/2018 Sinh viên HỒNG THỊ BÍCH Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Thị Bích Lời mở đầu Lí chọn đề tài Với gợi ý ThS Đinh Thị Kim Thúy em lựa chọn đề tài "Một số phép chiếu ứng dụng" Phép chiếu phần kiến thức quan trong phạm vi hình học lớp 11 Lí thuyết phép chiếu vng góc kiến thức sở để nghiên cứu khoảng cách từ điểm đến đường thẳng mặt phẳng, khoảng cách hai đường thẳng song song, từ đường thẳng đến mặt phẳng song song với khơng gian số cơng thức tính diện tích, thể tích số hình đặc biệt Ngồi ra, phép chiếu xun tâm cơng cụ hữu ích cho việc giải toán chứng minh thẳng hàng ba điểm, đồng quy ba đường thẳng Phép chiếu vng góc giúp đơn giản hóa số dạng tốn khơng gian cách đưa tốn phẳng Bên cạnh đó, phép chiếu có ứng dụng đặc biệt chuyên ngành khác như: phép chiếu xuyên tâm ứng dụng vẽ tranh, vẽ phong cảnh, vẽ kiến kiến trúc- ta hay gọi hình chiếu phối cảnh; phép chiếu theo phương cho trước dùng làm sở cho phương pháp biểu diễn vật thể hình chiếu trục đo; phép chiếu vng góc dùng làm sở cho phương pháp biểu dễn vật thể hình chiếu vng góc, phương pháp dùng vẽ kĩ thuật Với niềm đam mê tốn học u thích tìm tòi, khám phá nên em mong muốn nghiên cứu, tìm hiểu sâu phép chiếu ứng dụng hữu ích Nhưng khn khổ Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Thị Bích khóa luận em xin phép trình bày số phép chiếu đặc biệt ứng dụng việc giải tốn Dưới hướng dẫn tận tình ThS Đinh Thị Kim Thúy suốt trình nghiên cứu đề tài, thân em học hỏi tích lũy thêm nhiều kiến thức đề tài Hy vọng với kiến thức hiểu biết tích lũy em giúp cho việc tiếp cận làm việc với phép chiếu em học sinh dễ dàng Để từ em học sinh ngày yêu thích say mê tốn học Mục đích nghiên cứu • Tìm hiểu định nghĩa, tính chất phép chiếu theo phương cho trước, phép chiếu vng góc phép chiếu xuyên tâm, • Ứng dụng phép chiếu vào việc giải số dạng toán Phương pháp công cụ nghiên cứu Nghiên cứu tổng hợp tài liệu Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm chương trình bày sau: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Phép chiếu theo phương cho trước Chương 3: Phép chiếu xuyên tâm Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số kiến thức không gian Euclid đặc biệt kiến thức không gian Euclid chiều, chiều kiến thức sở sử dụng phần khóa luận 1.1 Một số khái niệm Định nghĩa 1.1 Không gian affine gọi không gian Euclid không gian vecto liên kết không gian vecto Euclid Không gian Euclid gọi n chiều không gian vecto Euclid liên kết với có số chiều n Thuật ngữ không gian Euclid để không gian affine với không gian vecto với tích vơ hướng Chúng ta dùng kí hiệu En để không gian Euclid n chiều Với n = ta có khơng gian Euclid chiều, kí hiệu: E2 ; Với n = ta có khơng gian Euclid chiều, kí hiệu: E3 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.2 Hồng Thị Bích Quan hệ vng góc phẳng khơng gian E2 khơng gian E3 Định nghĩa 1.2 i) Góc hai đường thẳng d1 , d2 góc hai đường thẳng d1 , d2 qua điểm song song(hoặc trùng) với hai đường thẳng d1 , d2 Ngồi góc hai đường thẳng góc hai vecto phương chúng góc nhỏ 900 góc bù góc góc lớn 900 ii) Hai đường thẳng vng góc với góc chúng 900 Định nghĩa 1.3 i) Góc đường thẳng a mặt phẳng (P ) góc a hình chiếu a mặt phẳng (P ) (khái niệm hình chiếu đường thẳng định nghĩa chương sau) ii) Đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (P ) a vng góc với đường thẳng (P ) Ngồi a vng góc với hai đường thẳng cắt mặt phẳng (P ) a vng góc với (P ) Định nghĩa 1.4 i) Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng ii) Nếu mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng khác hai mặt phẳng vng góc với Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.3 Hồng Thị Bích Quan hệ song song phẳng không gian E2 không gian E3 Định nghĩa 1.5 i) Cho đường thẳng a không chứa mặt phẳng (P ) Nếu a song song với đường thẳng nằm mặt phẳng (P ) a song song với (P ) ii) Nếu mặt phẳng (P ) chứa hai đường thẳng cắt song song với mặt phẳng (Q) (P ) song song với (Q) 1.4 Một số cơng thức tính diện tích thể tích khơng gian E2, E3 1.4.1 Một số khái niệm khoảng cách Định nghĩa 1.6 Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P )(hoặc đường thẳng d) khoảng cách hai điểm M H với H hình chiếu M mặt phẳng (P )(hoặc đường thẳng d) Định nghĩa 1.7 Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (P ) song song với a khảng cách từ điểm thuộc a đến (P ) 1.4.2 Cơng thức tính diện tích thể tích số hình đặc biệt i) Cho tam giác ABC có chiều cao AH Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Thị Bích Hệ 3.2 Cho mặt phẳng (R) khơng qua điểm O cắt mặt phẳng (P ); hai đường thẳng a, b nằm mặt phẳng (R) cắt điểm K.Ta kí hiệu đường thẳng d đường thẳng bị loại mặt phẳng (R) qua phép chiếu xuyên tâm S(O,P ) đường thẳng d khác hai đường thẳng a b • Nếu điểm K khơng thuộc đường thẳng d ảnh hai đường thẳng a b mặt phẳng (P )(trừ điểm thuộc ảnh) hai đường thẳng cắt • Nếu điểm K thuộc đường thẳng d ảnh hai đường thẳng a, b mặt phẳng (P ) hai đường thẳng song song(trừ điểm thuộc đường thẳng ảnh) • Nếu ảnh hai đường thẳng a,b mặt phẳng (P ) hai đường thẳng song song đường thẳng a cắt đường thẳng d điểm K, đường thẳng b qua điểm K Tính chất 3.4 Tồn phép chiếu xuyên tâm S(O,P ) biến đường tròn (C) nằm mặt phẳng (R) thành elip C nằm mặt phẳng (P ) Chứng minh Trước hết ta chứng minh bổ đề: Cho hình nón tròn xoay (N ) có đỉnh D Ta dựng mặt cầu (O1 ) (O2 ) nằm hai phía với mặt phẳng (R), tiếp xúc với đường sinh mặt nón tròn xoay tiếp xúc với mặt phẳng (R) tương ứng điểm F1 F2 Hiển nhiên tâm mặt cầu nằm trục d tiếp điểm (O1 ), (O2 ) với đường sinh (N ) đường tròn (L1 ), (L2 ) thuộc mặt phẳng vng góc với đường thẳng d có tâm đường thẳng d Mà ta lại 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Thị Bích có (L1 ), (L2 ) nằm hai phía mặt phẳng (R) đường tròn đáy hình nón cụt tròn xoay Ta kí hiệu (L) giao tuyến (N ) (R) Với điểm M thuộc (L) ta xác định đường sinh K1 K2 nón cụt (K1 thuộc (L1 ), K2 thuộc (L2 )) chứa điểm M Vì M K1 M F1 tiếp tuyến (O1 ) nên M K1 = M F1 Tương tự ta có M K2 = M F2 Do M F1 + M F2 = M K2 + M K1 = K1 K2 Điều chứng tỏ tổng khoảng cách từ điểm M đến hai điểm F1 F2 cố định số không đổi (bằng độ dài đường sinh nón cụt) Ngược lại, điểm M thuộc mặt phẳng (R) thỏa mãn điều kiên M F1 + M F2 = K1 K2 , K1 K2 đường sinh nón cụt có đáy hình tròn (L1 ), (L2 ) Ta chứng minh điểm M thuộc (N ) Thật vậy: Nếu điểm M không thuộc (N ) điểm M khơng thuộc K1 K2 ta có M F1 + M F2 > K1 K2 Mâu thuẫn chứng tỏ điểm M thuộc (L) Tóm lại (L) elip Bây ta chứng minh tính chất 2.4: Giả sử (C) đường tròn mặt phẳng (R) d trục (C), D đỉnh mặt nón với trục d đường chuẩn (C) Ta chọn mặt phẳng (P ) cắt (R) phép chiếu xuyên tâm S(O,P ) xác 38 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Thị Bích định (R) cho (C) khơng có điểm chung với đường thẳng bị loại mặt phẳng (R) Theo bổ đề chứng minh suy ảnh (C ) (C) elip Vậy tồn phép chiếu xun tâm biến đường tròn khơng nằm (P ) thành elip 3.2 Ứng dụng phép chiếu xuyên tâm vào giải số toán hình học phẳng Trước nghiên cứu việc sử dụng phép chiếu xuyên tâm vào giải số toán hình học phẳng ta khảo sát ảnh số hình đặc biệt qua phép chiếu xuyên tâm 3.2.1 Khảo sát phép chiếu xuyên tâm Ví dụ 3.1 Chứng minh tồn phép chiếu S(O,P ) biến đường tròn thành parabol Giải Ta chứng minh Bổ đề: Một mặt phẳng (Q) không qua đỉnh mặt nón song song với đường sinh mặt nón cắt mặt nón theo giao tuyến đường cong parabol 39 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Thị Bích Ta xét mặt nón (N ) có đỉnh D trục d Ta cắt (N ) mặt phẳng (Q) song song với l (l đường sinh (N )) Giả sử giao tuyến (H) Xét (O) mặt cầu tiếp xúc với (Q) F tiếp xúc với đường sinh N Tập hợp tiếp điểm đường tròn (C) Với điểm M thuộc (H) M D cắt (C) M Rõ ràng F M = M M Gọi q giao tuyến (Q) (R) ((R) mặt phẳng chứa (C)) Kí hiệu ϕ góc tạo trục đường sinh (N ), góc tạo (Q) (R) 90◦ − ϕ Hạ M N ⊥ q M H ⊥ (R), M H song song với d nên HM M = ϕ nên M M hợp với (R) góc 90◦ − ϕ Mặt khác, M N H góc nhị diện tạo (Q) (R) nên M N H = 90◦ − ϕ Từ kết suy M M = M N = M F Vậy M thuộc parabol có tiêu điểm F đường chuẩn q Nếu (C) đường tròn nằm (Q), ta chứng minh tồn phép chiếu S(O,P ) biến thành (C ) parabol nằm (P ) Thật vậy, ta lấy điểm D thuộc trục d (C), ta có mặt 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Thị Bích nón đỉnh D, đường chuẩn (C) Ta chọn mặt phẳng (P ) không qua D song song với đường sinh mặt nón Theo Bổ đề (P ) cắt mặt nón theo đường parabol (H) Vậy phép chiếu S(D,P ) biến (C) thành (H) Ví dụ 3.2 Ta đặt hộp có dạng lập phương cạnh a mặt bàn Phía bàn ta treo đèn chiếu sáng cách mặt bàn khoảng h(h > a) Tìm vị trí đèn để bóng hộp mặt bàn nhỏ nhất? Giải: Ta kí hiệu ABCDA B C D hộp hình lập phương đặt bàn mặt phẳng bàn mặt phẳng (P ), mặp phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng (P ) Các tia sáng từ đèn S qua A, B, C, D cắt mặt phẳng (P ) A1 , B1 , C1 , D1 Theo Hệ [2.1 i] ta ảnh hình vng ABCD mặt phẳng (P ) hình vng A1 B1 C1 D1 Rõ ràng diện tích hình vng A1 , B1 , C1 , D1 có giá trị khơng phụ thuộc vào vị trí điểm sáng S Do S đặt vị trí mà hình vng A B C D chứa hình vng A1 B1 C1 D1 bóng phủ hộp hình lập phương bàn nhỏ 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Thị Bích Bài tập Bài tập 3.2.1 chứng minh tồn phép chiếu S(O,P ) biến hai đường thẳng cắt thành hai đường thẳng song song (P ) Gợi ý: Ta chọn phép chiếu S(O,P ) cho đường thẳng bị loại khác hai đường thẳng qua giao điểm chúng Bài tập 3.2.2 Trong mặt phẳng (Q) cho đường tròn (O) đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn M Gọi (P ) mặt phẳng qua d không trùng với (Q), d đường thẳng qua M vng góc với (Q) Trên d lấy điểm S khác M Xác định ảnh đường tròn O qua phép chiếu xuyên tâm với tâm chiếu S mặt phẳng chiếu (P ) Gợi ý: ảnh đường tròn O qua phép chiếu xuyên tâm với tâm chiếu S mặt phẳng chiếu (P ) đường tròn 3.2.2 Phương pháp giải số dạng tốn hình học phẳng nhờ phép chiếu xuyên tâm Ta biết để giải số dạng tốn hình học phẳng khảo sát tính đồng quy đường thẳng thẳng hàng ba điểm, ta sử dụng định lí Xê-va Mê-nê-la-uýt Tuy nhiên, giải dạng tốn mà khơng càn sử dụng định lí cách sử dụng phương pháp chiếu xuyên tâm Khi giải toán nhờ phép chiếu xuyên tâm ta cần chọn phép chiếu xuyên tâm thích hợp để biến đường thằng đồng quy thành đường thẳng song song ngược lại Ta xem xét số ví dụ 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Thị Bích Ví dụ 3.3 Cho hai đường thẳng phân biệt d1 , d2 cắt O Trên d1 cho ba điểm phân biệt A, B, C khác O Trên d2 cho ba điểm phân biệt A , B , C khác O Gọi D, E, F giao điểm BC B C, CA AC , AB A B Chứng minh D, E, F thẳng hàng Giải: Trước giải tốn ta lưu ý mặt phẳng mặt phẳng chiếu đường thẳng ta gọi đường thẳng chiếu Bây ta giải toán nhờ phép chiếu xuyên tâm sau: Ta chứng minh bổ đề: Cho đường thẳng d d có giao điểm I Khi ánh xạ S biến đường thẳng d thành đường thẳng d biến điểm I thành phép chiếu xun tâm Lấy hai điểm A, B phân biệt khác điểm I thuộc đường thẳng d giải sử chúng có ảnh qua ánh xạ S A , B , AA BB = Q Giả xử S phép chiếu xuyên tâm với đường thẳng chiếu d tâm chiếu Q ảnh A, B, I qua phép chiếu S A , B , I nên S trùng với S , tức S phép chiếu xuyên tâm Bây ta chứng minh tốn sau: 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Thị Bích Gọi M , N giao điểm AC B C, AB A C Xét phép chiếu xuyên tâm S1 với tâm chiếu A đường thẳng chiếu d1 , ta có ảnh A, D, N qua phép chiếu A, B, C Do ảnh đường thẳng AB qua phép chiếu đường thẳng d1 Xét phép chiếu xuyên tâm S2 với tâm chiếu C đường thẳng chiếu B C, ta có ảnh A, B, C qua phép chiếu M , F , C Do ảnh đường thẳng d1 qua phép chiếu đường thẳng B C Đặt S = S1 ◦ S2 S ta có S biến đường thẳng AB thành đường thẳng B C Khi theo bổ đề S phép chiếu xuyên tâm (vì S biến điểm B thành B = AB B C) với đường thẳng chiếu B C tâm chiếu không thuộc đường thẳng chiếu Và ta có ảnh A, D, N qua phép chiếu M , F , C.Vì AM (≡ AC ), DF , N C(≡ A C) đồng quy tâm chiếu S Mà AC A C = E suy D, E, F thẳng hàng Ví dụ 3.4 Cho hai tam giác ABC A B C Giả sử AB I, BC B C = H, AC AB = A C = K Chứng minh ba điểm I, H, K thẳng hàng ba đường thẳng AA , BB , CC đồng quy Giải: 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Giả sử CC Hồng Thị Bích A B = E, CC IK = F, CC AB = G Xét phép chiếu xuyên tâm S1 với tâm chiếu C đường thẳng chiếu IK, ta có ảnh A, B, I, G qua phép chiếu H, K, I, F Do ảnh đường thẳng AB qua phép chiếu đường thẳng IK Xét phép chiếu xuyên tâm S2 với tâm chiếu C đường thẳng chiếu A B , ta có ảnh H, K, I, G qua phép chiếu A , B , I, E Do ảnh đường thẳng IK qua phép chiếu đường thẳng A B Đặt S = S1 ◦ S2 ta có S biến đường thẳng AB thành đường thẳng A B Khi theo bổ đề chứng minh ví dụ 3.3 S phép chiếu xuyên tâm(vì S biến điểm I thành I = AB AB) với đường thẳng chiếu B C tâm chiếu không thuộc đường thẳng chiếu Suy AA , BB , EF (≡ CC ) phải đồng quy tâm chiếu S Vậy ba đường thẳng AA , BB , CC đồng quy Bài tập Bài tập 3.2.3 Trong mặt phẳng (Q) cho ba tia Ox, Oy, Oz Trên tia 45 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Thị Bích Ox ta lấy hai điểm A1 , A2 ; tia Oy lấy hai điểm B1 , B2 ; tia Oz lấy hai điểm C1 , C2 Giả sử A1 B1 A2 B2 cắt M , B1 C1 B2 C2 cắt N ; C1 A1 C2 A2 cắt K Chứng minh M, N, K thẳng hàng Gợi ý: Chọn phép chiếu có mặt phẳng chiếu cắt (Q) theo giao tuyến M N , tâm chiếu không thuộc (Q) Bài tập 3.2.4 Kí hiệu M, N, E, F tiếp điểm đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD tương ứng nằm cạnh AB, CD, BC, AD Chứng minh bốn đường thẳng AC, BD, , M N đồng quy Gợi ý: Giả sử AB CD cắt tai I, AD BC cắt tị J Chọn phép chếu xuyên tâm thỏa mãn mặt phẳng chiếu cắt mặt phẳng (ABCD) theo giao tuyến IJ tâm chiếu giao đường tròn nội tiếp với măt phẳng chiếu Bài tập 3.2.5 Cho tam giác ABC hai đường thẳng d1 , d2 cắt đường thẳng A1 B2 , B1 C2 , C1 A2 điểm M, N, K Chứng minh điểm M, N, K thẳng hàng Gợi ý: chọn phép chiếu S(O,P ) cho (P ) cắt mặt phẳng (ABC) theo giao tuyến M N , tâm O không thuộc (P ) (ABC) Ta kí hiệu A B C ảnh tam giác ABC mặt phẳng (P ), A1 B2 , C1 A2 , B1 C2 biến thành C1 A2 song song với A B , C1 A2 song song với C A , B1 C2 Dể chứng minh M, N, K thẳng hàng ta caanc chứng minh B1 C2 song song với B C Bài tập 3.2.6 Trong mặt phẳng (Q) cho hai đường thẳng a, b cắt E Ta xét tứ giác ABCD có hai đỉnh A, B thuộc a, hai đỉnh lại thuộc b Tìm tập hợp giao điểm đường chéo tứ giác 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Thị Bích đỉnh tứ giác biến thiên hai đường thẳng cho đường thẳng AD BC qua điểm cố định K Gợi ý: Chọn phép chiếu S(O,P ) cho (P ) cắt (Q) theo giao tuyến IK O không thuộc (P ) (Q) Hình chiếu ABCD (P ) hình bình hành A B C D có đỉnh nằm căp đường thẳng song song cố định Trong chương em trình bày định nghĩa, tính chất, số ví dụ áp dụng tính chất phép chiếu xuyên tâm Đặc biệt phương pháp vận dụng phép chiếu xuyên tâm để giải số tốn 47 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Thị Bích Kết luận Khóa luận trình bày tổng quan phép chiếu khơng gian Euclid, đề cập tới số vấn đề sau: • Một số khái niệm khơng gian Euclid • Sự trực giao quan hệ song song phẳng khơng gian E2 , E3 • Phép chiếu theo phương cho trước, phép chiếu vng góc, phép chiếu xun tâm tính chất chúng • Phương pháp giải số dạng toán THPT nhờ phép chiếu vng góc phép chiếu xun tâm • Bài tập vận dụng Trong khóa luận em hệ thống, xếp trình bày lại kiến thức Một số chứng minh định lí tham khảo, viết lại cụ thể dễ hiểu Em cố gắng xây dựng hệ thống ví dụ đưa lời giải minh họa cho khái niệm tính chất trình bày khóa luận Tuy nhiên thời gian thực khóa luận kiến thức thân hạn chế nên khơng tránh khỏi sai sót, em mong nhận đóng góp thầy cô bạn sinh viên để khóa luận em hồn thiện Qua khóa luận thân em lĩnh hội thêm cách sâu sắc tri thức số phép chiếu quan trọng, giúp đơn giản hóa số dạng tốn khơng gian cách đưa tốn phẳng 48 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Thị Bích Cuối em xin bày tỏ lòng biết ơn thầy, cô giáo đặc biệt ThS Đinh Thị Kim Thúy tận tình hướng dẫn em hồn thiện khóa luận Em xin trân thành cảm ơn! 49 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Khắc Ban Phạm Bình Đơ, Hình học Affine hình học Euclid , Nhà xuất Đại học sư phạm, 2008 [2] Văn Như Cương, Hình học xạ ảnh, Nhà xuất Đại học sư phạm, 2010 [3] Đoàn Thế Hiếu, Hình học Affine Euclid [4] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số tuyến tính, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [5] Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Tạ Mân, Hình học nâng cao 11, Nhà xuất Giáo dục, 2006 [6] Nguyễn Kim Thanh, Khái niệm phép chiếu, 2005 [7] Đỗ Thanh Sơn, Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi THPT(Phép biến hình không gian), Nhà xuất Giáo dục [8] https://123doc.org/document/3009932-cac-phep-chieu-xuyentam-va-cac-phep-thau-xa-the-hien-trong-mo-hinh-xa-anh-cuakhong-gian-affine.htm, Các phép chiếu xuyên tâm phép thấu xạ thể mơ hình xạ ảnh khơng gian Affine, Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, 2006 50 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Thị Bích [9] Đỗ Thanh Sơn, Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi THPT(Phép biến hình khơng gian), Nhà xuất Giáo dục 51 ... H 2.2 Ứng dụng phép chiếu theo phương vào giải toán sơ cấp Trước nghiên cứu việc sử dụng phép chiếu theo phương vào giải số tốn hình học phẳng ta khảo sát ảnh số hình đặc biệt qua phép chiếu. .. Chương PHÉP CHIẾU THEO MỘT PHƯƠNG CHO TRƯỚC Chương em xin trình bày định nghĩa, tính chất số ví dụ phép chiếu theo phương cho trước Đặc biệt phép chiếu vuông góc với ứng dụng vào việc giải số dạng... ý ThS Đinh Thị Kim Thúy em lựa chọn đề tài "Một số phép chiếu ứng dụng" Phép chiếu phần kiến thức quan trong phạm vi hình học lớp 11 Lí thuyết phép chiếu vng góc kiến thức sở để nghiên cứu khoảng