Phép chiếu vuông góc và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HỒNG THỊ LIỄU PHÉP CHIẾU VNG GĨC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - năm 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG THỊ LIỄU PHÉP CHIẾU VNG GĨC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chun ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU Thái Nguyên - năm 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ▼ô❝ ❧ô❝ ▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ✶ ✷ ❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❝➡ ❜➯♥✳ ✹ ✶✳✶ ❚❐♣ ❧å✐✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹ ✶✳✶✳✶ ❚ỉ ❤ỵ♣ ❧å✐✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹ ✶✳✶✳✷ ❚❐♣ ❛✲♣❤✐♥✱ t❐♣ ❧å✐ ➤❛ ❞✐Ö♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻ ✶✳✶✳✸ ◆ã♥ ❧å✐✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵ ✶✳✷ ❍➭♠ ❧å✐✳ ✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸ P❤Ð♣ ❝❤✐Õ✉ ❧➟♥ t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣✳ ✶✽ ✷✳✶ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽ ✷✳✷ ❍×♥❤ ❝❤✐Õ✉ ❝đ❛ ♠ét ➤✐Ó♠ ❧➟♥ ♠ét sè t❐♣ q✉❡♥ t❤✉é❝✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹ ✸ ▼ét sè ø♥❣ ❞ô♥❣ ❝đ❛ ♣❤Ð♣ ❝❤✐Õ✉✳ ✷✽ ✸✳✶ ➜Þ♥❤ ❧ý t➳❝❤ t❐♣ ❧å✐✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✽ ✸✳✷ ❉➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸ ✸✳✸ ●✐➯✐ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✾ ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✺ ✶ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ●✐➯✐ tÝ❝❤ ❧å✐ ❧➭ ❜é ♠➠♥ ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❤✐Ư♥ ➤➵✐✱ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈Ị t❐♣ ❧å✐ ✈➭ ❤➭♠ ❧å✐ ❝ï♥❣ ♥❤÷♥❣ ✈✃♥ ➤Ị ❧✐➟♥ q✉❛♥✳ ❇é ♠➠♥ ♥➭② ❝ã ✈❛✐ trß q✉❛♥ trä♥❣ tr♦♥❣ ♥❤✐Ị✉ ❧Ü♥❤ ✈ù❝ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ ❝đ❛ t♦➳♥ ❤ä❝ ø♥❣ ❞ơ♥❣✱ ➤➷❝ ❜✐Ưt ❧➭ tr♦♥❣ tè✐ ➢✉ ❤ã❛✱ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✱ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣✳✳✳ ▼ét tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ✈✃♥ ➤Ị q✉❛♥ trä♥❣ ❝ñ❛ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❧å✐ ➤ã ❧➭ ♣❤Ð♣ ❝❤✐Õ✉ ✈✉➠♥❣ ❣ã❝✳ ➜➞② ❧➭ ♠ét ❝➠♥❣ ❝ô s➽❝ ❜Ð♥ ✈➭ ❦❤➳ ➤➡♥ ❣✐➯♥ ➤Ĩ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♥❤✐Ị✉ ➤Þ♥❤ ❧ý q✉❛♥ trä♥❣ ♥❤➢ ➜Þ♥❤ ❧ý t➳❝❤✱ ➜Þ♥❤ ❧ý ①✃♣ ①Ø t❐♣ ❧å✐✱ ➜Þ♥❤ ❧ý ✈Ị tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✳✳✳◆❤÷♥❣ ❝➳❝❤ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❞ù❛ ✈➭♦ ♣❤Ð♣ ❝❤✐Õ✉ t❤➢ê♥❣ ♠❛♥❣ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❦✐Õ♥ t❤✐Õt✱ ❣ỵ✐ ♠ë ➤Õ♥ ♥❤✐Ị✉ ✈✃♥ ➤Ị ❦❤➳❝✳ ❚r♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ t❐♣ tr✉♥❣ ệ trì ị ĩ ệ tí ❝❤✃t ❝ï♥❣ ♥❤÷♥❣ ø♥❣ ❞ơ♥❣ q✉❛♥ trä♥❣ ❝đ❛ ♣❤Ð♣ ❝❤✐Õ✉✳ ❉ù❛ ✈➭♦ ➤ã✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ t❤✉❐t t♦➳♥ ➤Ĩ t×♠ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✳ ●✐➯✐ q✉②Õt ➤➢ỵ❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ t❤× ❝❤ó♥❣ t❛ ❝ã t❤Ĩ ➤➢❛ r❛ ❧ê✐ ❣✐➯✐ ❝❤♦ r✃t ♥❤✐Ị✉ ✈✃♥ ➤Ị ❦❤➳❝✳ ❇ë✐ ✈× ♥❤✐Ị✉ ❜➭✐ t♦➳♥ tr♦♥❣ tè✐ ➢✉ ❤ã❛✱ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈❐t ❧ý t♦➳♥ ✈➭ ♥❤✐Ò✉ ✈✃♥ ➤Ò tr♦♥❣ ❦✐♥❤ tÕ✱ ❦ü t❤✉❐t ❣✐❛♦ t❤➠♥❣ tịề ợ t ó ề t ❜❛♦ ❣å♠ ✸ ❝❤➢➡♥❣✳ ❚r♦♥❣ ❈❤➢➡♥❣ ✶✱ tr➢í❝ ❤Õt ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ së ❝đ❛ t❐♣ ❧å✐ ✈➭ ❤➭♠ ❧å✐✳ ❈❤ó♥❣ ❧➭ ♥❤÷♥❣ ❝➠♥❣ ❝ơ t ữ ứ ợ trì tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ❈❤➢➡♥❣ ✷ ❧➭ ♠ét ❝❤➢➡♥❣ ❝❤Ý♥❤ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❞➭♥❤ ➤Ĩ ♥ã✐ r✐➟♥❣ ✈Ị ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠✱ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥ ❝đ❛ ♣❤Ð♣ ❝❤✐Õ✉✳ ➜➷❝ ❜✐Ưt ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ❝➠♥❣ t❤ø❝ ①➳❝ ị ì ế ủ ột ể s ộ ì ❝➬✉ ✈➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ Rn ❚r♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈Ị ♣❤Ð♣ ❝❤✐Õ✉ ✈✉➠♥❣ ❣ã❝✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❜✐Õt r➺♥❣ ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ ✈✉➠♥❣ ❣ã❝ ❝đ❛ ♠ét ➤✐Ĩ♠ ❧➟♥ t ó rỗ tr Rn tồ t ✈➭ ❞✉② ♥❤✃t✳ ❉ù❛ ✈➭♦ ➤ã✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ➤Ị ❝❐♣ ➤Õ♥ ♥❤÷♥❣ ø♥❣ ❞ơ♥❣ ✷ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❝ñ❛ ♥ã✳ ❈ơ t❤Ĩ ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ø♥❣ ❞ơ♥❣ ❝đ❛ ♣❤Ð♣ ❝❤✐Õ✉ ✈✉➠♥❣ ❣ã❝ ✈➭♦ ❝➳❝ ✈✃♥ ➤Ò s❛✉✿ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý t➳❝❤✱ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ sù tå♥ t➵✐ ❝đ❛ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝đ❛ ❤➭♠ ❧å✐✱ ①➞② ❞ù♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ ❣✐➯✐ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✳ ◆❤÷♥❣ ✈✃♥ ➤Ị ♥➭② ợ trì tết ợ t t tì ủ ●❙✳ ❚❙❑❍✳ ▲➟ ❉ị♥❣ ▼➢✉✳ ◆❤ê ❚❤➬②✱ t➠✐ ➤➲ ❜➢í❝ ➤➬✉ ❧➭♠ q✉❡♥ ✈➭ s❛② ♠➟ tr♦♥❣ ❝➠♥❣ ✈✐Ö❝ ♥❣❤✐➟♥ ứ t ị t tỏ ò ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ tí✐ ❚❤➬②✳ ➜å♥❣ t❤ê✐ t➠✐ ❝ị♥❣ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ ❣✐➳♦ tr♦♥❣ ❦❤♦❛ ❚♦➳♥ ✲ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ ♣❤➵♠ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ✲ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❱✐Ư♥ t♦➳♥ ❤ä❝ ➤➲ t❐♥ t×♥❤ ú t ợ ữ ế tứ së ✈➭ t➵♦ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ t❤✉❐♥ ❧ỵ✐ ❝❤♦ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✳ ❚➠✐ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ♥❣➢ê✐ t❤➞♥✱ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ư♣✱ ❜➵♥ ❜❒ ➤➲ ❝ỉ ✈ị ➤é♥❣ ✈✐➟♥ t➠✐ tr♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ❧➭♠ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ◆❣➭② 28 t❤➳♥❣ 09 ♥➝♠ 2009 ❍ä❝ ✈✐➟♥ ❍♦➭♥❣ ❚❤Þ ▲✐Ơ✉ ✸ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❈❤➢➡♥❣ ✶ ❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❝➡ ❜➯♥✳ ❚r♦♥❣ ú t trì ữ ệ ❜➯♥ tr♦♥❣ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❧å✐ ❝ï♥❣ ✈í✐ ♥❤÷♥❣ tÝ♥❤ ❝❤✃t ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝ñ❛ ♥ã ♥❤➢ t❐♣ ❧å✐✱ t❐♣ ❛✲♣❤✐♥✱ ♥ã♥ ữ t ợ q t❤✉é❝ ♠➭ ❝❤ó♥❣ t❛ ➤➲ ❜✐Õt ♥❤➢ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥✱ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣✳✳✳ ➤Ị✉ ❧➭ t❐♣ ❧å✐✳ ❑❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈Ị t❐♣ ❧å✐ ❝ã ♠ét ✈❛✐ trß q✉❛♥ trä♥❣ tr♦♥❣ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ r ú t trì ị ĩ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ t❐♣ ❧å✐✱ t❐♣ ❛✲♣❤✐♥✱ t❐♣ ❧å✐ ➤❛ ệ ó ổ ợ ị ĩ • ▼ét ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ✭✈Ð❝t➡✮ ♥è✐ ❤❛✐ ➤✐Ó♠ ✭✈Ð❝t➡✮ a ✈➭ b tr♦♥❣ Rn ❧➭ t❐♣ ❤ỵ♣ t✃t ❝➯ x ∈ Rn ❝ã ❞➵♥❣ {x ∈ Rn | x = (1 − λ)a + λb, λ ∈ R} • ▼ét ➤♦➵♥ t❤➻♥❣ ➤✐Ó♠ ✭✈Ð❝t➡✮ ♥è✐ ❤❛✐ ➤✐Ó♠ ✭✈Ð❝t➡✮ a ✈➭ b tr♦♥❣ Rn ❧➭ t❐♣ ❤ỵ♣ t✃t ❝➯ ❝➳❝ x ∈ Rn ❝ã ❞➵♥❣ {x ∈ Rn | x = (1 − λ)a + λb, ≤ λ ≤ 1} ✹ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✷✳ ▼ét t❐♣ C ⊆ Rn ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét t❐♣ ❧å✐ ♥Õ✉ C ❝❤ø❛ ♠ä✐ ➤♦➵♥ t❤➻♥❣ ➤✐ q✉❛ ❤❛✐ ➤✐Ĩ♠ ❜✃t ❦ú ❝đ❛ ♥ã✳ ❚ø❝ ❧➭ C ❧å✐ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0; 1] =⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C x ❧➭ tỉ ❤ỵ♣ ❧å✐ ❝đ❛ ❝➳❝ ➤✐Ĩ♠ ✭✈Ð❝t➡✮x1 , , xk ♥Õ✉ ❚❛ ♥ã✐ k k i i n λi x , x ∈ R , λi ≥ 0, ∀i = 1, , k, x= λi = i=1 i=1 ✭ ①❡♠ ❬✷❪✱ ❈❤➢➡♥❣ ✶✱ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✶✮✳ ❚❐♣ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✶✳✸✳ C ⊆ Rn ❧➭ ❧å✐ ❦❤✐ C ❧➭ ❧å✐ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ♥ã ❝❤ø❛ ♠ä✐ tỉ ❤ỵ♣ ❧å✐ ❝đ❛ ❝➳❝ ➤✐Ĩ♠ ❝ñ❛ ♥ã✳ ❚ø❝ ❧➭✱ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ k k ∀k ∈ N, ∀λ1 , , λk > : k λi xi ∈ C λi = 1, ∀x , , x ∈ C ⇒ i=1 i=1 ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤đ✿ ❙✉② r❛ tõ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝đ❛ t❐♣ ❧å✐ ø♥❣ ✈í✐ ➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝➬♥✿ k = ❚❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❜➺♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ q✉② ♥➵♣ t❤❡♦ sè ➤✐Ó♠✳ k = : ❍✐Ó♥ ♥❤✐➟♥✳ k = : ➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ s✉② r❛ ♥❣❛② tõ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝đ❛ t❐♣ ❧å✐ ✈➭ tỉ ❤ỵ♣ ❧å✐✳ ●✐➯ sư ♠Ư♥❤ ➤Ị ➤ó♥❣ ✈í✐ ❚❤❐t ✈❐②✱ ♥Õ✉ k − ➤✐Ó♠✱ t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♥ã ➤ó♥❣ ✈í✐ k ➤✐Ĩ♠✳ x ❧➭ tỉ ❤ỵ♣ ❧å✐ ❝đ❛ k ➤✐Ó♠ x1 , , xk ∈ C, tø❝ ❧➭ ✿ k k i λi x , λi > 0, ∀i = 1, , k, x= i=1 λi = i=1 k−1 ●✐➯ sö λk > 0, ➤➷t ✿ α = λi ✳ ❑❤✐ ➤ã < α < ✈➭ i=1 k−1 k−1 i x= k λi x + λk x = α i=1 ❉♦ i=1 λi i x + λk xk α λi > ∀i = 1, , k − ✈➭ α k−1 i=1 λi =1 α ✺ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ♥➟♥ t❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt q✉② ♥➵♣ t❤× ➤✐Ĩ♠ k−1 y= i=1 ❚❛ ❝ã ✿ λi i x ∈ C α k x = αy + λk xk ❉♦ α > 0, λk > ✈➭ α + λk = λi = ♥➟♥ i=1 x ❧➭ tỉ ❤ỵ♣ ❧å✐ ❝đ❛ y ✈➭ xk ➤Ị✉ t❤✉é❝ C ✳ ❱❐② x ∈ C ❚õ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝đ❛ t❐♣ ❧å✐✱ t❛ s✉② r❛ ❧í♣ ❝➳❝ t❐♣ ❧å✐ ❧➭ ➤ã♥❣ ✈í✐ ♣❤Ð♣ ❣✐❛♦✱ ♣❤Ð♣ ❝é♥❣ ➤➵✐ sè ✈➭ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ tÝ❝❤ ❉❡❝❛st❡s✳ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✶✳✹✳ tr♦♥❣ Rn ✱ C ✭ ①❡♠ ❬✷❪✱ ❈❤➢➡♥❣ ✶✱ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✷✮✳ ◆Õ✉ ❧➭ t❐♣ ❧å✐ tr♦♥❣ A, B ❧➭ ❝➳❝ t❐♣ ❧å✐ Rm t❤× ❝➳❝ t❐♣ s❛✉ ❧➭ ❧å✐ A ∩ B = {x | x ∈ A, x ∈ B} , αA + βB = {x | x = αa + βb, a ∈ A, b ∈ B, α, β ∈ R} , A × C = {x ∈ Rm+n | x = (a; c), a ∈ A, c ∈ C} ✶✳✶✳✷ ❚❐♣ ❛✲♣❤✐♥✱ t❐♣ ❧å✐ ➤❛ ❞✐Ö♥✳ ❚r♦♥❣ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❝ỉ ➤✐Ĩ♥✱ t❛ ➤➲ ❧➭♠ q✉❡♥ ✈í✐ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥✱ ❝➳❝ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣✳✳✳➜ã ❧➭ ❝➳❝ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ r✐➟♥❣ ủ t ợ ị ĩ s ị ĩ ✶✳✶✳✺✳ ▼ét t❐♣ C ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ t❐♣ ❛✲♣❤✐♥ ♥Õ✉ ♥ã ❝❤ø❛ ♠ä✐ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ➤✐ q✉❛ ❤❛✐ ➤✐Ó♠ ❜✃t ❦ú ❝ñ❛ ♥ã✳ ❚ø❝ ❧➭ ✿ ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ R ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C ◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✶✳✻✳ ❛✮ ❚❐♣ ❛✲♣❤✐♥ ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ r✐➟♥❣ ❝đ❛ t❐♣ ❧å✐✳ ❜✮ ▼ä✐ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ tr♦♥❣ Rn ➤Ị✉ ❧➭ t❐♣ ❛✲♣❤✐♥✳ ▼Ư♥❤ ➤Ị ❞➢í✐ ➤➞② ❝❤♦ t❛ t❤✃② t❐♣ ❛✲♣❤✐♥ ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ➯♥❤ tÞ♥❤ t✐Õ♥ ❝đ❛ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥✳ ✻ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✶✳✼✳ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ✭①❡♠ ❬✷❪✱ ❈❤➢➡♥❣ ✶✱ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✸✮✳ ❚❐♣ M M = L+a ✈í✐ L = ∅ ❧➭ t❐♣ ❛✲♣❤✐♥ ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ a M L ợ ị ❞✉② ♥❤✃t✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝➬♥✿ ❑❤✐ ➤ã ❱❐② ●✐➯ sö M ❧➭ t❐♣ ❛✲♣❤✐♥ ✈➭ a ∈ M ✳ L = M − a ❝❤ø❛ ✈➭ ❧➭ t❐♣ ❛✲♣❤✐♥✳ ❉♦ ➤ã✱ L ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥✳ M = L + a ➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤đ✿ ◆Õ✉ M = L + a ✈í✐ a ∈ M ✱ L ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ t❤× ∀x, y ∈ M, λ ∈ R, t❛ ❝ã✿ (1 − λ)x + λy = a + (1 − λ)(x − a) + λ(y − a) ❉♦ x − a, y − a ∈ L ✈➭ L ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ♥➟♥ (1 − λ)(x − a) + λ(y − a) ∈ L =⇒ (1 − λ)x + λy ∈ M ❱❐② M ❧➭ t❐♣ ❛✲♣❤✐♥✳ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ L ë tr➟♥ ❧➭ ❞✉② ♥❤✃t✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ ♥Õ✉ M = L + a ✈➭ M = L + a , tr♦♥❣ ➤ã L, L ❧➭ ữ a, a M tì L = M − a = L + a − a = L + (a − a ) ❉♦ a ∈ M = a + L ♥➟♥ a − a ∈ L =⇒ L = L + (a − a ) = L ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ s♦♥❣ ✈í✐ t❐♣ ❛✲♣❤✐♥ L tr ệ ề tr ợ ọ M ị ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✽✳ ❚❤ø ♥❣✉②➟♥✭ ✈í✐ t❐♣ ❛✲♣❤✐♥ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ s♦♥❣ M ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤❛② ❝❤✐Ị✉✮ ❝đ❛ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ t❤ø ♥❣✉②➟♥✭ ❤❛② ❝❤✐Ị✉✮ ❝đ❛ L s♦♥❣ s♦♥❣ M ✈➭ ➤➢ỵ❝ ❦ý ❤✐Ư✉ ❧➭ ❞✐♠M ✳ ➜✐Ĩ♠ a ∈ Rn ❧➭ t❐♣ ❛✲ ♣❤✐♥ ❝ã sè ❝❤✐Ò✉ ❜➺♥❣ ❜ë✐ ✈× ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ s♦♥❣ s♦♥❣ ✈í✐ M = {a} ❧➭ L = {0}✳ ✼ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ▼Ö♥❤ ➤Ị ✶✳✶✳✾✳ M ⊆ Rn ✭①❡♠ ❬✷❪✱ ❈❤➢➡♥❣ ✶✱ ▼Ư♥❤ ➤Ò ✶✳✹✮✳ ❇✃t ❦ú ♠ét t❐♣ ❛✲ ♣❤✐♥ ❝ã sè ❝❤✐Ò✉ r ➤Ò✉ ❝ã ❞➵♥❣ M = {x ∈ Rn | Ax = b} ❚r♦♥❣ ➤ã✿ A ❧➭ ♠❛ tr❐♥ (m ì n), b Rm ợ ọ t❐♣ ❤ỵ♣ ❝ã ❞➵♥❣ ✭✶✳✶✮ ✈í✐ ✈➭ (1.1) rank A = n − r rank A = n − r ➤Ò✉ ❧➭ t❐♣ ❛✲♣❤✐♥ ❝ã sè ❝❤✐Ò✉ ❧➭ r✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝➬♥✿ ●✐➯ sư M ❧➭ t❐♣ ❛✲♣❤✐♥ ❝ã sè ❝❤✐Ò✉ ❧➭ r ✈➭ M = L + a ✈í✐ a ∈ M ✳ ❱❐② L = M − a ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❝ã sè ❝❤✐Ò✉ ❧➭ r✳ ❚❤❡♦ ➤➵✐ sè t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ r ✲ ❝❤✐Ò✉ ♥➭② ❝ã ❞➵♥❣ ✿ L = {x | Ax = 0} tr♦♥❣ ➤ã A ❧➭ ♠❛ tr❐♥ ❝✃♣ m × n ✈➭ rank A = n − r ❚õ M = L + a s✉② r❛ M = {x | A(x − a) = 0} = {x | Ax = Aa = b} ➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤đ✿ ◆Õ✉ M ➤➢ỵ❝ ❝❤♦ ❜ë✐ ✭✶✳✶✮ ✈í✐ a ∈ M ✱ t❛ ❝ã Aa = b✱ ❞♦ ➤ã M = {x | A(x − a) = 0} = a + L ✈í✐ L = {x | Ax = 0} ❉♦ r❛♥❦A = n − r ♥➟♥ L ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❝ã sè ❝❤✐Ò✉ r✳ ❱❐② ❞✐♠ ▼ ❂ r✳ ị ĩ ã tr Rn ❧➭ t❐♣ ❤ỵ♣ ❝➳❝ ➤✐Ĩ♠ ❝ã ❞➵♥❣ {x ∈ Rn | a, x = α} tr♦♥❣ ➤ã ✿ ❱Ð❝t➡ a ∈ Rn \ {0} , α ∈ R a ë tr➟♥ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ✈Ð❝t➡ ♣❤➳♣ t✉②Õ♥ ❝đ❛ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣✳ •◆ư❛ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ➤ã♥❣ ❧➭ ♠ét t❐♣ ❤ỵ♣ ❝ã ❞➵♥❣✿ {x | a, x ≤ α} , {x | a, x ≥ α} ✽ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn ❇ỉ ➤Ị s❛✉ ➤➞② ❝❤♦ t❛ t❤✃②✱ ❝ã t❤Ó t➳❝❤ ♠➵♥❤ ♠ét t❐♣ ó rỗ C Rn ột ể ❦❤➠♥❣ t❤✉é❝ ♥ã✳ ❇ỉ ➤Ị ✸✳✶✳✺✳ ✭ ①❡♠ ❬✷❪✱ ❈❤➢➡♥❣ ổ ề ó rỗ s ∈ C C ⊂ Rn ❑❤✐ ➤ã tå♥ t➵✐ ♠ét ✈Ð❝ t➡ ❧➭ ♠ét t❐♣ ❧å✐✱ t ∈ Rn , t = ✈➭ α > s❛♦ ❝❤♦ t, x ≥ α > 0, ∀x ∈ C ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❉♦ C ➤ã♥❣ ✈➭ ∈ C ♥➟♥ tå♥ t➵✐ ❤×♥❤ ❝➬✉ B t➞♠ ë ❣è❝✱ ❜➳♥ ❦Ý♥❤ r > s❛♦ ❝❤♦ C ∩ B = ∅ ➳♣ ❞ơ♥❣ ➤Þ♥❤ ❧ý t➳❝❤ ✶ ❝❤♦ ❤❛✐ t❐♣ C ✈➭ B ✱ t❛ ❝ã t ∈ Rn \ {0} ✈➭ α ∈ R, s❛♦ ❝❤♦ t, x ≥ α ≥ t, y ∀x ∈ C, ∀y ∈ B ❇➺♥❣ ❝➳❝❤ ❝❤✉➮♥ ❤ã❛ t❛ ❝ã t❤Ó ①❡♠ ➤Õ♥ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ t = ✈➭ ❞♦ ➤ã ❦❤♦➯♥❣ ❝➳❝❤ tõ ❣è❝ ✵ t, x = α Ýt ♥❤✃t ❧➭ ❜➺♥❣ α ≥ ❱❐② t❤× t, x ≥ α ≥ r > ❚❤❡♦ ❜ỉ ➤Ị ♥➭② t❤× ♣❤➻♥❣ t, x = α C ✈➭ ➤✐Ó♠ ❣è❝ tä❛ ➤é ❝ã t❤Ĩ t➳❝❤ ♠➵♥❤✱ ✈Ý ❞ơ ❜ë✐ s✐➟✉ ➜Þ♥❤ ❧ý ✸✳✶✳✻✳ ✭ ➜Þ♥❤ ❧ý t➳❝❤ ✷✮ ✈➭ D ✭ ①❡♠ ❬✷❪✱ ❈❤➢➡♥❣ ✻✱ ➜Þ♥❤ ❧ý ✻✳✷✮✳ ❈❤♦ ❧➭ ❤❛✐ t❐♣ ❧å✐ rỗ s C C D = ●✐➯ sö ❝ã Ýt ♥❤✃t ♠ét t❐♣ ❧➭ ❝♦♠✲♣➽❝✳ ❑❤✐ ➤ã ❤❛✐ t❐♣ ♥➭② ❝ã t❤Ĩ t➳❝❤ ♠➵♥❤ ➤➢ỵ❝ ❜ë✐ ♠ét s✐➟✉ ♣❤➻♥❣✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐➯ sö ❚❤❐t ✈❐②✱ ❣✐➯ sư ❱× C ❧➭ t❐♣ ❝♦♠♣❛❝t✳ ❚❛ ❝❤Ø r❛ t❐♣ C − D ❧➭ ➤ã♥❣✳ z k = xk − y k ∈ C − D, xk ∈ C, y k ∈ D ✈➭ z k → z ✳ C ❧➭ ❝♦♠♣❛❝t✱ ♥➟♥ ❝ã t❤Ó trÝ❝❤ ♠ét ❞➲② ❝♦♥ xkj → x ∈ C ❦❤✐ j → +∞ ❉♦ ✈❐② y kj = z kj − xkj → z − x ∈ D ♠➭ D ➤ã♥❣ ♥➟♥ y = lim y k ∈ D, ✈❐② z = x − y ∈ C − D, ❝❤ø♥❣ tá C − D ➤ã♥❣✳ ❉♦ ∈ C − D ♥➟♥ t❤❡♦ ❜ỉ ➤Ị tr➟♥✱ tå♥ t➵✐ t = 0, s❛♦ ❝❤♦ t, x − y ≥ α > 0, ∀x ∈ C, y ∈ D ✸✶ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❱❐② inf t, x − x∈C ❈❤ø♥❣ tá α α ≥ sup t, y + 2 y∈D C ✈➭ D ❝ã t❤Ó t➳❝❤ ♠➵♥❤✳ ❈❤ó ý ✸✳✶✳✼✳ ❚❤✐Õ✉ ❣✐➯ t❤✐Õt ✧ ♠ét tr t t ị ý ò ú ❳Ðt ✈Ý ❞ô tr♦♥❣ ➤ã✿ C = (x, t) ∈ R2 | x ≥ 0, t = D = {(x, t) ∈ R2 | t ≥ , t > 0, x > 0} x ❘â r➭♥❣ ❤❛✐ t❐♣ ♥➭② ❧å✐✱ ➤ã♥❣ ❦❤➠♥❣ ❝ã ➤✐Ĩ♠ ❝❤✉♥❣ ♥❤➢♥❣ ❝❤ó♥❣ ❦❤➠♥❣ tể t ợ ị ĩ t t r ♥Õ✉ ❤❛✐ t❐♣ ♥➺♠ tr♦♥❣ ❝ï♥❣ ♠ét s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ t❤× ❝❤ó♥❣ ✈➱♥ t➳❝❤ ➤➢ỵ❝✱ ✈Ý ❞ơ ❝❤Ý♥❤ ❜➺♥❣ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ ➤ã✳ ➜Ĩ ❧♦➵✐ ❜á tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ♥➭②✱ ♥❣➢ê✐ t❛ ➤➢❛ r❛ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ t➳❝❤ ➤ó♥❣ s❛✉✿ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✸✳✶✳✽✳ ♥ã t➳❝❤ ❚❛ ♥ã✐ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ aT x = α t➳❝❤ ➤ó♥❣ ❤❛✐ t❐♣ C ✈➭ D ♥Õ✉ C ✈➭ D ➤å♥❣ t❤ê✐ ❦❤➠♥❣ ❝❤ø❛ trä♥ ✈Đ♥ ❤❛✐ t❐♣ ♥➭②✳ ❈❤ó ý r➺♥❣ ♥Õ✉ A ✈➭ B ❧➭ ❤❛✐ t❐♣ ❧å✐ ♠➭ riA ∩ ri B = ∅, t❤× ❤❛✐ t❐♣ ♥➭② ✈➱♥ ❝ã t❤Ĩ t➳❝❤ ➤➢ỵ❝✱ ✈Ý ❞ơ A ✈➭ B ❧➭ ❤❛✐ ➤➢ê♥❣ ❝❤Ð♦ ❝đ❛ ♠ét ❤Ý♥❤ ❝❤÷ ♥❤❐t tr♦♥❣ ♠➷t ♣❤➻♥❣ ✷✲❝❤✐Ị✉✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥ ❝❤ó♥❣ ❦❤➠♥❣ t❤Ĩ t➳❝❤ ➤ó♥❣ t❤❡♦ ♠Ư♥❤ ➤Ị s❛✉✿ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✶✳✾✳ ✭ ①❡♠ ❬✷❪✱ ❈❤➢➡♥❣ ✻✱ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✻✳✶✮✳ ❈❤♦ ❤❛✐ t❐♣ ❧å✐ rỗ A B ề ệ ➤đ ➤Ĩ ❤❛✐ t❐♣ ♥➭② t➳❝❤ ➤ó♥❣ ➤➢ỵ❝ ❧➭ ri A∩ri B = ∅ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤đ✿ ➤ã ●✐➯ sö ri A ∩ ri B = ∅ ▼➷t ❦❤➳❝✱ ✈× A ✈➭ B ❧➭ ❝➳❝ t❐♣ ❧å✐ ❞♦ ∈ (ri A − ri B) = ri(A − B) ❳Ðt ❤❛✐ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣✿ ❛✮ ❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ✶✿ int(A − B) = ∅ ❑❤✐ ➤ã ∈ int(A − B) ❱❐② tå♥ t➵✐ t = s❛♦ ❝❤♦ tT x < tT y, ∀x ∈ int A, y ∈ int B ✸✷ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ➜➷t α = sup tT x | x ∈ int A , β = inf tT y | y ∈ int B t❤× α ≤ β ▲✃② γ s❛♦ ❝❤♦ α ≤ γ ≤ β ❑❤✐ ➤ã✱ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ tT x = γ sÏ t➳❝❤ A ✈➭ B ♥❤➢♥❣ ❦❤➠♥❣ t❤Ó ➤å♥❣ t❤ê✐ ❝❤ø❛ ❝➯ A ✈➭ B ✳ ❜✮ ❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ✷✿ int(A − B) = ∅ ➜➷t C = A − B ✈➭ F ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ s♦♥❣ s♦♥❣ ✈í✐ aff C ✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ➳♣ ❞ô♥❣ ❧❐♣ ❧✉❐♥ ë ♣❤➬♥ tr➟♥ ❝❤♦ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ F sÏ tå♥ t➵✐ ♠ét s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ H ⊂ F t➳❝❤ ➤ó♥❣ A ✈➭ B ✳ ●ä✐ t : F → R ❧➭ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ①➳❝ ➤Þ♥❤ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ H ✳ ●ä✐ F ⊥ ó F ỗ x Rn t t(x) ợ ữ t ✈➭ p✱ tr♦♥❣ ➤ã p ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❝❤✐Õ✉ ①✉è♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ F ✳ ❉♦ p ❧➭ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ♥➟♥ ❞Ơ t❤✃② t ✈➭ t ❝ị♥❣ ❧➭ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ t➳❝❤ ➤ó♥❣ ❤❛✐ t❐♣ ➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝➬♥✿ A ✈➭ B ✳ t❛ ❣✐➯ sö ❝ã s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ tT x = γ t➳❝❤ A ✈➭ B ✱ tø❝ ❧➭ t T x ≤ γ ≤ tT y, ∀x ∈ A, y ∈ B ●✐➯ sö s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ ♥➭② ❦❤➠♥❣ ❝❤ø❛ ❱❐② ✸✳✷ B ✳ ❑❤✐ ➤ã tT y > γ ✈í✐ ♠ä✐ y ∈ riB riA ∩ riB = ∅ ❉➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ P❤Ð♣ tÝ♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ❧➭ ♠ét tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ✈✃♥ ➤Ị ❝➡ ❜➯♥ ❝đ❛ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❝ỉ ➤✐Ĩ♥✳ ❚r♦♥❣ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❧å✐✱ ❧ý t❤✉②Õt ♥➭② r✃t ♣❤♦♥❣ ♣❤ó ♥❤ê ♥❤÷♥❣ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝đ❛ t❐♣ ❧å✐ ✈➭ ❤➭♠ ❧å✐✳ ❚r♦♥❣ ♣❤➬♥ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ♠ë ré♥❣ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ➤➵♦ ❤➭♠ ❜➺♥❣ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ✈➭ ♠ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥ ❝đ❛ ♥ã✳ ➜➷❝ ❜✐Ưt✱ ➳♣ ❞ơ♥❣ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝đ❛ ♣❤Ð♣ ❝❤✐Õ✉ ✈➭ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ tù❛ ➤Ĩ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ sù tå♥ t➵✐ ❝đ❛ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝đ❛ ❤➭♠ f tr trờ ợ f ị ĩ ❝ñ❛ ❈❤♦ f : Rn −→ R ∪ {+∞} ❚❛ ♥ã✐ x∗ ∈ Rn ❧➭ ❞➢í✐ ➤➵♦ f t➵✐ x ♥Õ✉ x∗ , z − x + f (x) ≤ f (z), ∀z ∈ Rn ✸✸ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❚➢➡♥❣ tù ♥❤➢ ➤è✐ ✈í✐ ❤➭♠ ❧å✐ ❦❤➯ ✈✐ t❤➠♥❣ t❤➢ê♥❣✱ ❜✐Ĩ✉ t❤ø❝ ♥➭② ❝ã ♥❣❤Ü❛ ❧➭ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t✐Õ♣ t✉②Õ♥ ♥➺♠ ❞➢í✐ ➤å t❤Þ ❝đ❛ ❤➭♠ sè✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥ ❦❤➳❝ ✈í✐ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ❦❤➯ ✈✐✱ t✐Õ♣ t✉②Õ♥ ë ➤➞② ❝ã t❤Ĩ ❦❤➠♥❣ tå♥ t➵✐ ❞✉② ♥❤✃t✳ ❑ý ❤✐Ư✉ t❐♣ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ❞➢í✐ ➤➵♦ ❤➭♠ ❝đ❛ ✭❝ã t❤Ĩ rỗ tr f ủ f (x). ❧➭ ♠ét t❐♣ R✮ ∂f (x) = ∅ t❤× t❛ ♥ã✐ ❤➭♠ f ❚❤❡♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✱ ♠ét ➤✐Ĩ♠ ❦❤➯ ✈✐ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ x✳ x∗ ∈ ∂f (x) ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ♥ã t❤á❛ ♠➲♥ ♠ét ❤Ö ✈➠ ❤➵♥ ❝➳❝ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ t✉②Õ♥ tÝ♥❤✳ ◆❤➢ ✈❐② ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ➤ã♥❣✳❱❐② t➵✐ ∂f (x) ❧➭ ❣✐❛♦ ❝đ❛ ❝➳❝ ♥ư❛ ∂f (x) t ó ó tể rỗ ý ệ dom(∂f ) = {x | ∂f (x) = ∅} ❱Ý ❞ơ ✸✳✷✳✷✳ ❚➵✐ ➤✐Ĩ♠ f (x) = x , x ∈ Rn x = ❤➭♠ ♥➭② ❦❤➠♥❣ ❦❤➯ ✈✐ ♥❤➢♥❣ ♥ã ❦❤➯ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ✈➭ ∂f (0) = {x∗ | x∗ , x ≤ x , ∀x ∈ Rn } C ⊂ Rn ❧➭ ♠ét t❐♣ rỗ ế x C f (x) = δC (x) = ❧➭ ❤➭♠ ❝❤Ø ❝ñ❛ C ✳ +∞ ♥Õ✉ x ∈ C ❑❤✐ ➤ã ✈í✐ x0 ∈ C, t❛ ❝ã ✿ ❱Ý ❞ô ✸✳✷✳✸✳ ∂δC (x0 ) = x∗ | x∗ , x − x0 ≤ δC (x) , ∀x ❱í✐ x ∈ C t❤× δC = +∞ ♥➟♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② ❧✉➠♥ ➤ó♥❣✳ ❱❐② ∂δC (x0 ) = x∗ | x∗ , x − x0 ≤ ∀x ∈ C ❱❐② ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝ñ❛ ❤➭♠ ❝❤Ø ❝ñ❛ ♠ét t❐♣ ❧å✐ = NC (x0 ) C rỗ t ột ể x0 C ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ♥ã♥ ♣❤➳♣ t✉②Õ♥ ♥❣♦➭✐ ❝ñ❛ C t➵✐ x0 ✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✸✳✷✳✹✳ ❈❤♦ f : Rn → R ∪ {+∞} ✈➭ x0 ∈ Rn s❛♦ ❝❤♦ f (x0 ) < +∞ ◆Õ✉ ✈í✐ ♠ét ✈Ð❝ t➡ y ∈ Rn ♠➭ ❣✐í✐ ❤➵♥ f (x0 + λy) − f (x0 ) t↓0 λ lim ✸✹ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tå♥ t ữ tì t ♥ã✐ ➤✐Ó♠ f ❝ã ➤➵♦ ❤➭♠ t❤❡♦ ♣❤➢➡♥❣ y t➵✐ x0 ●✐í✐ ❤➵♥ ♥➭② ❦ý ❤✐Ư✉ ❧➭ f (x0 , y) ❱❐② f (x0 + λy) − f (x0 ) f (x , y) = lim t↓0 λ ▼Ư♥❤ ➤Ị s❛✉ ➤➞② ❝❤♦ t❛ ♠ét ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝➬♥ ✈➭ ➤đ ➤Ĩ ♠ét ➤✐Ĩ♠ x∗ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✷✳✺✳ ❈❤♦ ∈ ∂f (x) ✭ ①❡♠ ❬✷❪✱ ❈❤➢➡♥❣ ✶✶✱ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✶✳✷✮✳ f : Rn → R ∪ {+∞} ❧å✐✱ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣✳ ✭✐✮ x∗ ∈ ∂f (x) ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ f (x, y) ≥ x∗ , y , ∀y ✭✐✐✮ ◆Õ✉ f ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣ tr➟♥ Rn t❤× ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ dom(∂f ) t❛ ❝ã✿ f (x) = f (x) ✈➭ ∂f (x) = ∂f (x) ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭✐✮ ❚❤❡♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ x∗ ∈ ∂f (x) ⇔ x∗ , z − x + f (x) ≤ f (z), ∀z ❱í✐ ❜✃t ❦ú y ✱ ❧✃② z = x + λy, λ > 0, t❛ ❝ã✿ x∗ , λy + f (x) ≤ f (x + λy) ❚õ ➤➞② s✉② r❛ f (x + λy) − f (x) , ∀λ > λ ❚❤❡♦ ➤✐Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝đ❛ f (x, y), tõ ➤➞② s✉② r❛ ♥❣❛② x∗ , y ≤ (3.1) x∗ , y ≤ f (x, y), ∀y ◆❣➢ỵ❝ ❧➵✐ ❣✐➯✐ sư ✭✸✳✷✮ t❤á❛ ♠➲♥✳ ▲✃② z ❜✃t ❦ú ✈➭ ➳♣ ❞ơ♥❣ ✭✸✳✶✮ ✈í✐ y ✈➭ (3.2) = z −x λ = t❛ ❝ã✿ f (x + y) − f (x) ≥ f (x, y) = f (x, z − x) ≥ x∗ , z − x , ∀z ✸✺ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❱❐② x∗ ∈ ∂f (x) ✭✐✐✮ ❈❤♦ x ∈ dom(∂f ) ✈➭ x∗ ∈ ∂f (x) ❚❤❡♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝đ❛ f , ❝đ❛ ❤➭♠ ❧✐➟♥ x∗ ∈ ∂f (x) t❛ ❝ã✿ ❤ỵ♣ ✈➭ ❞♦ f (x) ≥ f (x) = f ∗∗ (x) ≥ x∗ , x − f ∗ (x∗ ) = f (x) ⇒ f (x) = f (x) ◆Õ✉ y ∗ ∈ ∂f (x) t❤× ✈í✐ ♠ä✐ z ❝ã✿ f (z) ≥ f (z) ≥ f (x) + y ∗ , z − x = f (x) + y ∗ , z − x ⇒ ∂f (x) ⊆ ∂f (x) ➜Ĩ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤✐Ị✉ ♥❣➢ỵ❝ ❧➵✐✱ ❧✃② z ∈ ri(dom f ) ❱í✐ ♠ä✐ z t❛ ❝ã✿ f (z) = limf (1 − t)z + tz t ❱❐② t❤❡♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝đ❛ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ t❛ ❝ã✿ f (1 − t)z + tz ❈❤♦ ≥ f (x) + x∗ , (1 − t)z + tz − x t❛ ➤➢ỵ❝✿ t f (x) ≥ f (x) + x∗ , z − x = f (x) + x∗ , z − x ❈❤ø♥❣ tá ❱❐② x∗ ∈ ∂f (x) ❙✉② r❛ ∂f (x) ⊆ ∂f (x) ∂f (x) = ∂f (x) ▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✷✳✻✳ ❈❤♦ ✭ ①❡♠ ❬✷❪✱ ❈❤➢➡♥❣ ✶✶✱ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✶✳✸✮✳ f : Rn → R ∪ {+∞} ❧å✐ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣✳ ❑❤✐ ➤ã✿ ✭✐✮ ◆Õ✉ x ∈ dom f ✭✐✐✮ ◆Õ✉ t❤× ∂f (x) = ∅ x ∈ int(dom f ) tì f (x) = t ợ ế ∂f (x) = ∅, ❝♦♠♣❛❝t t❤× x ∈ ri(dom f ) ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭✐✮ ❈❤♦ z ∈ dom f, t❤× f (z) < +∞ ❱❐② ♥Õ✉ x ∈ dom f, t❤× f (x) = +∞ ✈❛ ❞♦ ➤ã ❦❤➠♥❣ t❤Ĩ tå♥ t➵✐ x∗ t❤á❛ ♠➲♥ x∗ , z − x + f (x) ≤ f (z) < +∞ ✸✻ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❱❐② ∂f (x) = ∅ ✭✐✐✮ ❚r➢í❝ ❤Õt ❣✐➯ sư ❝đ❛ ❡♣✐f ✳ ❉♦ x ∈ int(dom f ) ❚❛ ❝ã ➤✐Ó♠ (x, f (x)) ♥➺♠ tr➟♥ ❜✐➟♥ f ❧å✐✱ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣ ♥➟♥ epi f ❧➭ t❐♣ ❧å✐ rỗ ệ ề tồ t s ♣❤➻♥❣ tù❛ ❝ñ❛ t➵✐ epi f ➤✐ q✉❛ (x, f (x))✱ tø❝ ❧➭ tå♥ p ∈ Rn , t ∈ R ❦❤➠♥❣ ➤å♥❣ t❤ê✐ ❜➺♥❣ ✵ s❛♦ ❝❤♦ p, x + tf (x) ≤ p, y + tµ ∀(y, µ) ∈ epi f ◆Õ✉ (3.3) t = t❤× p, x ≤ p, y , ∀y ∈ dom f ◆❤➢♥❣ ❞♦ ◆Õ✉ x ∈ int(dom f ) ♥➟♥ ➤✐Ò✉ ♥➭② ❦Ð♦ t❤❡♦ p = ❱❐② t = t < t❤× tr♦♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✭ ✸✳✸✮ ❦❤✐ t s r t ì ✈Õ tr➳✐ ❝è ➤Þ♥❤✱ ✈Õ ♣❤➯✐ ❞➬♥ tí✐ ❈❤✐❛ ❤❛✐ ✈Õ ❝ñ❛ ✭✸✳✸✮ ❝❤♦ x∗ = −∞✳ ❉♦ ➤ã t > t > ➤å♥❣ t❤ê✐ t❤❛② µ = f (y) ✈➭ ➤➷t −p t , t❛ ➤➢ỵ❝✿ x∗ , x + f (x) ≤ x∗ , y + f (y) , ∀y ∈ dom f ❍❛② ❧➭ x∗ , y − x + f (x) ≤ f (y), ∀y ∈ dom f ◆Õ✉ (3.4) y ∈ dom f t❤× f (y) = ∞, ❞♦ ➤ã x∗ , x − y + f (x) ≤ f (y), ∀y ∈ dom f (3.5) ❚õ ✭✸✳✹✮ ✈➭ ✭✸✳✺✮ t❛ s✉② r❛ x∗ , y − x + f (x) ≤ f (y) ❈❤ø♥❣ tá x∗ ∈ ∂f (x) ❇➞② ❣✐ê t❛ ❝❤Ø r❛ t❐♣ ∂f (x) ❝♦♠♣❛❝t✳ x ∈ domf ♥➟♥ t❤❡♦ ♠Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✷✳✺ t❤× x∗ ∈ f (x) ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ❉♦ f (x, d) ≥ x∗ , d , ∀d ●ä✐ F ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝đ❛ dom f ✳ ▲✃② ei ✈Ð❝ t➡ ➤➡♥ ✈Þ t❤ø i ❝ñ❛ Rn ✭✐ ❂ ✶✱✳ ✳ ✳ ✱ ♥✮ ✭tä❛ ➤é t❤ø i ❝ñ❛ ei ❜➺♥❣ ✶ ✈➭ ♠ä✐ tä❛ ➤é ❦❤➳❝ ❧➭ ✵ ✮✳ ❑❤➠♥❣ ✸✼ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn ♠✃t tÝ♥❤ tỉ♥❣ q✉➳t✱ t❛ ❣✐➯ sư r➺♥❣ ❝➳❝ ✈Ð❝ t➡ ♠Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✷✳✺ ❧➬♥ ❧➢ỵt ✈í✐ ❚➢➡♥❣ tù✱ ➳♣ ❞ơ♥❣ ✈í✐ ❤❛② ❧➭✿ e1 , e2 , , ek ∈ F ➳♣ ❞ô♥❣ d = ei ✈í✐ i = 1, , k t❛ ❝ã x∗ ≤ f (x, ei ) d = −ei ✈í✐ i = 1, , k t❛ ❝ã −x∗ ≤ f (x, −ei ) x∗ ≥ −f (x, −ei ) ❚ø❝ ❧➭✿ −f (x, −ei ) ≤ x∗ ≤ f (x, ei ) ∀i = 1, , k ❉♦ x ∈ ri(dom f ) ✈➭ F ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ➤ã♥❣ ❝ñ❛ dom f ♥➟♥ f (x, y) ❤÷✉ ❤➵♥ ✈í✐ ♠ä✐ y ✳ ❉♦ ➤ã✱ ✈➭ ❞♦ tÝ♥❤ ➤ã♥❣ ♥➟♥ f (x, −ei ) ✈➭ f (x, ei ) ❧➭ ❤÷✉ f (x) ị f (x) t ợ ❧➵✐✱ ❣✐➯ sö r➺♥❣ ∂f (x) = ∅ ✈➭ ❝♦♠♣❛❝t✳ ❚❛ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ x ∈ ri(dom f ) ❚❤❐t ✈❐②✱ ❞♦ ∂f (x) = ∅ ♥➟♥ x ∈ dom f ◆Õ✉ tr➳✐ ❧➵✐ x ∈ ri(dom f ) t❤× x ë tr➟♥ ❜✐➟♥ t➢➡♥❣ ➤è✐ ❝đ❛ dom f ✳ ❉♦ dom f ❧å✐✱ t❤❡♦ ♠Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✶✳✽ t❤× tå♥ t➵✐ ♠ét s✐➟✉ ♣❤➻♥❣ tù❛ ❝ñ❛ dom f t➵✐ x✱ tø❝ ❧➭ tå♥ t➵✐ ✈Ð❝ t➡ p ∈ Rn , p = ∅ s❛♦ ❝❤♦ pT x ≥ pT z, ∀z ∈ dom f ▲✃② x∗ ∈ ∂f (x) ❚õ ➤➞② ✈➭ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥✱ t❛ ❝ã✿ f (z) − f (x) ≥ x∗ , z − x ≥ x∗ + λp, z − x , ∀λ ≥ 0, ∀z ❈❤ø♥❣ tá x∗ + λp ∈ ∂f (x) ✈í✐ ♠ä✐ λ ≥ 0.✭ ➜✐Ị✉ ♥➭② ♠➞✉ t❤✉➱✉ ✈í✐ tÝ♥❤ ❜Þ ❝❤➷♥ ❝đ❛ ∂f (x)✮✳ ❱❐② x ∈ ri(dom f ) ❱Ý ❞ô s❛✉ ➤➞② ❝❤♦ t❛ t❤✃② ♥Õ✉ x ∈ int(dom f ) t❤× t❐♣ ∂f (x) ó tể rỗ í ụ ột ❜✐Õ♥ f (x) = ❑❤✐ ➤ã −2x ♥Õ✉ x ≥ 0, +∞ ♥Õ✉ x < ∂f (0) = ∅ ✸✽ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸✳✸ ●✐➯✐ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✳ ❍➲② ①Ðt ♠ét ø♥❣ ❞ơ♥❣ ❝đ❛ ♣❤Ð♣ ❝❤✐Õ✉ ✈✉➠♥❣ ❣ã❝ tr♦♥❣ ✈✐Ö❝ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ s❛✉✿ ❇➭✐ t♦➳♥✿ ❈❤♦ C ❧➭ ♠ét t ó rỗ tr Rn F : C −→ Rn ❳Ðt ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✿ ❚×♠ x∗ ∈ C, ✭❱■P✮ s❛♦ ❝❤♦ F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C ◆❤✐Ị✉ ❜➭✐ t♦➳♥ tr♦♥❣ tè✐ ➢✉ ❤ã❛✱ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈❐t ❧ý t♦➳♥ ✈➭ ♥❤✐Ò✉ ✈✃♥ ➤Ò tr♦♥❣ ❦✐♥❤ tÕ✱ ❦ü t❤✉❐t ❣✐❛♦ t❤➠♥❣✱ ➤➠ t❤Þ✳✳✳➤Ị✉ ❝ã t❤Ĩ ♠➠ t➯ ❞➢í✐ ❞➵♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭❱■P✮✳ ❙ù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ✈➭ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭❱■P✮ ❝ã t❤Ó ❞ù❛ ✈➭♦ ♣❤Ð♣ ❝❤✐Õ✉ ✈✉➠♥❣ ❣ã❝✳ ❈ơ t❤Ĩ t❛ ❝ã ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ s❛✉✿ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✸✳✶✳ C ⊂ Rn ✭ ①❡♠ ❬✷❪✱ ❈❤➢➡♥❣ ✺✱ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✺✳✷✮✳ ●✐➯ sư ❧➭ t❐♣ ❧å✐✱ ó rỗ ỗ h(x) = pC (x ❑❤✐ ➤ã x∗ = h(x∗ ) ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ x∗ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ α > ❈❤♦ x ∈ C, ➤➷t✿ F (x)) α ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ✭❱■P✮✳ ❚❤❡♦ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ♣❤Ð♣ ❝❤✐Õ✉✱ h ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤➡♥ trÞ tõ C ✈➭♦ C ✳ ❚❤❡♦ ♠Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✶✳✷✱ t❛ ❝ã✿ x∗ = h(x∗ ) = pC (x∗ − F (x∗ )) α ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ x∗ − x∗ + F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C α ❚➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C ❤❛② x∗ ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭❱■P✮✳ ❍Ö q✉➯ ✸✳✸✳✷✳ ◆Õ✉ C ⊂ Rn ❧➭ t❐♣ ❧å✐✱ ❝♦♠♣❛❝t ✈➭ F ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✭❱■P✮ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠✳ ✸✾ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn C t❤× ❜➭✐ C ⊂ Rn ❧➭ t❐♣ ❧å✐✱ ❝♦♠♣❛❝t ♥➟♥ pC ❧✐➟♥ tô❝✳ ▼➷t ❦❤➳❝ F ❱× ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❧✐➟♥ tơ❝ tr➟♥ t❐♣ C ♥➟♥ s✉② r❛ h(x) = pC (x − ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ t❐♣ F (x)) α C ì ó ợ ủ tơ❝✮✳ ❚❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ĩ♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❇r♦✉✇❡r✱ h tå♥ t➵✐ ➤✐Ĩ♠ ❜✃t ➤é♥❣✳ ❚❤❡♦ ♠Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✸✳✶✱ ➤✐Ĩ♠ ❜✃t ➤é♥❣ ♥➭② ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ✭❱■P✮✳ ❈❤ó ý ✸✳✸✳✸✳ ❚❤❡♦ ị ĩ h(x) = pC (x tì F (x)) α xk+1 ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ q✉② ❤♦➵❝❤ ❧å✐ ❜❐❝ ❤❛✐ (P (xk )) min{ α z − xk 2 + F (xk ), z − xk | z ∈ C} ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ xk+1 = pC (xk − F (xk )) α ❚❤❐t ✈❐②✱ t❛ ❝ã F (xk )) α ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ q✉② ❤♦➵❝❤ ❧å✐ ❜❐❝ ❤❛✐ P (xk ) h(xk ) = pC (xk − xk+1 ⇔ xk+1 = arg min{ 21 α z − xk z∈C + F (xk ), z − xk } ⇔ ∈ α(xk+1 − xk ) + F (xk ) + NC (xk+1 ) ⇔ α(xk − xk+1 ) − F (xk ) ∈ NC (xk+1 ) ⇔ α(xk − xk+1 ) − F (xk ), x − xk+1 ≤ 0, ∀x ∈ C ⇔ α (xk − F (xk ) − xk+1 ) , x − xk+1 ≤ 0, ∀x ∈ C ✳ α ✹✵ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ⇔ xk − F (xk ) − xk+1 , x − xk+1 ≤ 0, ∀x ∈ C ✳ α ❉♦ ➤ã tõ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥ ✈➭ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝đ❛ ♣❤Ð♣ ❝❤✐Õ✉ t❛ ➤➢ỵ❝✿ F (xk )) α xk+1 = h(xk ) = pC (xk − ❚❤❡♦ ♠Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✸✳✶ ✈✐Ư❝ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭❱■P✮ ❝ã t❤Ĩ ❝❤✉②Ĩ♥ ✈Ị ✈✐Ư❝ t×♠ ➤✐Ĩ♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝đ❛ ➳♥❤ ①➵ h✳ ❉♦ ➳♥❤ ①➵ ❝❤✐Õ✉ ❦❤➠♥❣ ❣✐➲♥ ♥➟♥ h ❧➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵ ❦❤➠♥❣ ❣✐➲♥✳ ❱× ✈❐② ❝ã t❤Ĩ ♠ë ré♥❣ ♥❣✉②➟♥ ❧ý ➳♥❤ ①➵ ❝♦ ❇❛♥❛❝❤ ➤Ĩ t×♠ ♠ét ➤✐Ĩ♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝đ❛ ➳♥❤ ①➵ ♥➭②✳ ❚r♦♥❣ ♠ét sè tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ r✐➟♥❣ q✉❛♥ trä♥❣ h ❧➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵ ❝♦✳ ❑❤✐ ➤ã ♥❣✉②➟♥ ❧ý ➳♥❤ ①➵ ❇❛♥❛❝❤ ❝ã t❤Ĩ ➳♣ ❞ơ♥❣ trù❝ t✐Õ♣ ➤Ĩ ❣✐➯✐ ✭❱■P✮✳ ❉➢í✐ ➤➞② t❛ sÏ ①Ðt trờ ợ ị ĩ s ị ĩ ✸✳✸✳✹✳ ▼ét ➳♥❤ ①➵ F : C → Rn ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ tr➟♥ C ✱ ♥Õ✉✿ F (x) − F (y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ C ▼ét ➳♥❤ ①➵ F ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤ tr➟♥ C ✈í✐ ❤Ư sè β > ♥Õ✉✿ F (x) − F (y), x − y ≥ β x − y , ∀x, y ∈ C ◆Õ✉ F ❧➭ ➤➵♦ ❤➭♠ ❝ñ❛ ♠ét ❤➭♠ ❧å✐ ✭ ♠➵♥❤✮ tr➟♥ C t❤× F ❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✭ ♠➵♥❤✮ tr➟♥ C✳ ▼ét ➳♥❤ ①➵ M : C → H ❣ä✐ ❧➭ ❧✐➟♥ tơ❝ ▲✐♣s❝❤✐t③ tr➟♥ C ✈í✐ ❤Ư sè ▲✐♣s❝❤✐t③ L ≥ ♥Õ✉✿ M (x) − M (x ) ≤ L ◆Õ✉ ✭✸✳✻✮ ➤➢ỵ❝ t❤á❛ ♠➲♥ ✈í✐ ❦❤➠♥❣ ❣✐➲♥ tr➟♥ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✸✳✺✳ β , ∀x, x ∈ C (3.6) L < t❤× M ❣ä✐ ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❝♦ tr➟♥ C ✱ ♥ã ❣ä✐ ❧➭ C ♥Õ✉ L = ✭①❡♠ ❬✷❪✱ ❈❤➢➡♥❣ ✺✱ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✺✳✸✮✳ sử ó rỗ số x−x ✈➭ ▲✐♣s❝❤✐t③ tr➟♥ C F : C → Rn ✈í✐ ❤➺♥❣ sè ❧➭ t❐♣ C ✈í✐ ❤Ư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤ tr➟♥ L✳ ❑❤✐ ➤ã ♥Õ✉ α > h(x) = pC (x − C ⊂ Rn L 2β t❤× F (x)) α ✹✶ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❝♦ tr➟♥ C ✈í✐ ❤Ư sè ❝♦ 1− δ= ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ (3.7) ❉♦ tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ ❣✐➲♥ ❝ñ❛ ♣❤Ð♣ ❝❤✐Õ✉ ♥➟♥ h(x) − h(y) 2 1 x − F (x) − (y − F (y)) α α x − y − x − y, F (x) − F (y) + F (x) − F (y) α α ≤ = ❉♦ 2β L2 + α α F ❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤ ✈í✐ ❤Ư sè β ✈➭ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✈í✐ ❤➺♥❣ sè L ♥➟♥ x − y, F (x) − F (y) ≥ β x − y ✈➭ F (x) − F (y) ≤ L2 x − y ❚õ ➤➞② s✉② r❛✿ h(x) − h(y) ≤ L2 + x−y α x−y L2 2β = (1 + − ) x − y α α ❑❤✐ ❱❐② 2 − 2β x−y α L2 L2 2β L2 2β α> ⇒ 2− ✈➭ ≥ 2β ❇➢í❝ ✵ ✿ ❣✐➯ sö x0 ∈ C ➜➷t k = ❇➢í❝ ✶ ✿ ●✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ q✉② ❤♦➵❝❤ ❧å✐ ❜❐❝ ❤❛✐ (P (xk )) min{ α z − xk 2 t❛ t❤✉ ➤➢ỵ❝ ♥❣❤✐Ư♠ ❞✉② ♥❤✃t ❝đ❛ ♥ã ❧➭ δ k+1 ◆Õ✉ 1−δ ❚r➳✐ ❧➵✐✱ ❝❤♦ ●✐➯ sö xk+1 x1 − x0 ≤ ❦Õt t❤ó❝ t❤✉❐t t♦➳♥✿ xk+1 ❧❛ −♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ✭❱■P✮✳ k ← k + ✈➭ q✉❛② ❧➵✐ ❜➢í❝ ✶✳ x∗ ❧➭ ❦Ý ❤✐Ư✉ ➤✐Ĩ♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❞✉② ♥❤✃t ❝ñ❛ h✳ ❉♦ xk+1 = h(xk ), t❛ ❝ã k+1 x ✈í✐ + F (xk ), z − xk | z ∈ C} −x ∗ δ k+1 ≤ 1−δ x0 − x1 , δ ❧➭ ❤Ö sè ❝♦ ❝đ❛ h✳ ❉♦ ✈❐②✱ ♥Õ✉ t❤✉❐t t♦➳♥ ❦Õt t❤ó❝ t➵✐ ❜➢í❝ ❧➷♣ ❧➵✐ ❉♦ ➤ã k t❤× xk+1 − x∗ ≤ xk+1 ❧➭ −♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ✭❱■P✮✳ ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ợ = tì tt t ó tể ữ ❤➵♥✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ❞➲② xk ➤➢ỵ❝ t➵♦ t❤➭♥❤ ❜➺♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ sÏ ❤é✐ tơ tí✐ ➤✐Ĩ♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❞✉② ♥❤✃t x∗ ❝ñ❛ h ✈➭ t❤❡♦ ♥❣✉②➟♥ ❧ý ➳♥❤ ①➵ ❝♦ ❇❛♥❛❝❤✱ t❛ ❝ã sù ➤➳♥❤ ❣✐➳ s❛✉✿ x ❈❤ó ý ✸✳✸✳✼✳ k+1 −x ∗ δ k+1 ≤ 1−δ ❚õ ✭✸✳✼✮ t❛ t❤✃② r➺♥❣ ❤Ö sè ❝♦ x0 − x1 δ ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ❝ñ❛ t❤❛♠ sè ❝❤Ý♥❤ q✉② α ❙ù tÝ♥❤ t♦➳♥ ❝➡ ❜➯♥ tõ ✭✸✳✼✮ t❤✃② r➺♥❣ δ ❝ã ❣✐➳ trÞ ♥❤á ♥❤✃t✱ tø❝ ❧➭ ❦❤✐ L2 L2 t❤× tÝ♥❤ ❤é✐ tơ tr♦♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ ❧➭ tèt ♥❤✃t ✳ α = ✳ ❑❤✐ ❝❤ä♥ α = β β ✹✸ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❑Õt ❧✉❐♥ ❚r♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✱❝❤ó♥❣ t➠✐ ➤➲ tr×♥❤ ❜➭② ✈Ị ♣❤Ð♣ ❝❤✐Õ✉ ✈➭ ♠ét sè ø♥❣ ❞ơ♥❣ ❝đ❛ ♥ã✱ ❝ơ t❤Ĩ ✿ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✱ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ♣❤Ð♣ ❝❤✐Õ✉ ✈➭ ❝➠♥❣ t❤ø❝ tÝ♥❤ tä❛ ➤é ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ ❝đ❛ ♠ét ➤✐Ĩ♠ ❜✃t ❦ú ❧➟♥ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣✱ ❤×♥❤ ❝➬✉✱ s✐➟✉ ❝➬✉ tr♦♥❣ Rn ø♥❣ ❞ơ♥❣ ❝đ❛ ♣❤Ð♣ ❝❤✐Õ✉ ➤Ĩ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♠ét sè ➤Þ♥❤ ❧ý q✉❛♥ trä♥❣ ♥❤➢ ✿ ➜Þ♥❤ ❧ý t➳❝❤✱ ➜Þ♥❤ ❧ý ✈Ị sù tå♥ t➵✐ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝đ❛ ❤➭♠ ❧å✐✱ ➜Þ♥❤ ❧ý ✈Ị sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐➟♥ ♣❤➞♥✳✳✳ ❳➞② ❞ù♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ ➤✐ t×♠ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ sư ❞ơ♥❣ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝đ❛ ♣❤Ð♣ ❝❤✐Õ✉✳ ❚r♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❝❤➢❛ ①Ðt ➤Õ♥ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ tỉ♥❣ q✉➳t✱ ❦❤✐ t❐♣ ❝❤✐Õ✉ ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ ♠ét t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ❤×♥❤ ❝❤✐Õ✉ ❝đ❛ ♠ét ➤✐Ĩ♠ ❧➟♥ ♠ét t❐♣ ❤ỵ♣ ❝ã t❤Ĩ ❦❤➠♥❣ tå♥ t➵✐ ❤♦➷❝ tå♥ t➵✐ ♥❤➢♥❣ ❦❤➠♥❣ ❞✉② ♥❤✃t✳ ➜ã ❧➭ ♠ét ❜➭✐ t♦➳♥ t➢➡♥❣ ➤è✐ ♣❤ø❝ t➵♣ ➤ß✐ ❤á✐ ♥❤✐Ò✉ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ s➞✉ ré♥❣ ✈Ò ♥❤✐Ò✉ ❧Ü♥❤ ✈ù❝ ❦❤➳❝✳ ✹✹ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn ệ t ỗ ❱➝♥ ▲➢✉✱ P❤❛♥ ❍✉② ❑❤➯✐ ✭✷✵✵✵✮✱ ●✐➯✐ tÝ❝❤ ❧å✐✱ ◆❤➭ ①✉✃t ❜➯♥ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ✈➭ ❑ü t❤✉❐t✱ ❍➭ ◆é✐✳ ❬✷❪ ▲➟ ❉ị♥❣ ▼➢✉✱ ◆❣✉②Ơ♥ ❱➝♥ ❍✐Ị♥ ✭✷✵✵✾✮✱ ◆❤❐♣ ♠➠♥ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❧å✐ ø♥❣ ❞ô♥❣✱ ◆❤➭ ①✉✃t ❜➯♥ ❑❤♦❛ ❤ä❝ tù ♥❤✐➟♥ ✈➭ ❈➠♥❣ ♥❣❤Ư✱ ❍➭ ◆é✐✳ ❬✸❪ ❍♦➭♥❣ ❚ơ② ✭✷✵✵✻✮✱ ▲ý t❤✉②Õt tè✐ ➢✉✱ ❱✐Ö♥ t♦➳♥ ❤ä❝✱ ❍➭ ◆é✐✳ ❬✹❪ ◆❣✉②❡♥ ❱❛♥ ❍✐❡♥ ✭✷✵✵✸✮✱ ▲❡❝t✉r❡ ✸✿ Pr♦❥❡❝t✐♦♥ ❆❧❣♦r✐t❤♠s ❢♦r ▼♦♥♦✲ t♦♥❡ ❱■Ps✱ ❈■❯❋ ✲ ❈❯❉ ❙✉♠♠❡r ❙❝❤♦♦❧ ♦♥ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❆♣♣✐❡❞ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s✳ ❈➬♥ ❚❤➡✳ ❬✺❪ P❤❛♠ ◆❣♦❝ ❆♥❤ ❆♥❞ ▲❡ ❉✉♥❣ ▼✉✉ ✭✷✵✵✹✮✱ ❈♦✉♣❧✐♥❣ t❤❡ ❇❛♥❛❝❤ ❈♦♥✲ tr❛❝t✐♦♥ ▼❛♣♣✐♥❣ Pr✐♥❝✐♣❧❡ ❛♥❞ t❤❡ Pr♦①✐♠❛❧ P♦✐♥t ❆❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ❙♦❧✈✲ ✐♥❣ ▼♦♥♦t♦♥❡ ❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s✱ ❆❈❚❆ ▼❆❚❍❊▼❆❚■❈❆ ❱■❊❚✲ ◆❆▼■❈❆✱ ✷✾✱ ♣♣ ✶✶✾ ✲ ✶✸✸✳ ✹✺ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... THỊ LIỄU PHÉP CHIẾU VNG GĨC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU Thái Nguyên - năm 2009 Số hóa Trung... ✺✳✸✮✳ ●✐➯ sư ❧å✐✱ ó rỗ số xx st tr➟♥ C F : C → Rn ✈í✐ ❤➺♥❣ sè ❧➭ t❐♣ C ✈í✐ ❤Ư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤ tr➟♥ L✳ ❑❤✐ ➤ã ♥Õ✉ α > h(x) = pC (x − C ⊂ Rn L 2β t❤× F (x)) α ✹✶ Số hóa Trung tâm Học liệu -... ột ể t ó rỗ tr Rn ❧✉➠♥ tå♥ t➵✐ ✈➭ ❞✉② ♥❤✃t✳ ❉ù❛ ✈➭♦ ➤ã✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ➤Ị ❝❐♣ ➤Õ♥ ♥❤÷♥❣ ø♥❣ ❞ơ♥❣ ✷ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn ❝đ❛ ♥ã✳ ❈ơ t❤Ĩ ❝❤ó♥❣ t➠✐