Các kết quả tồn tại nghiệm bài toán cân bằng luôn được hoàn thiện và mở rộng. Các mở rộng ở đây là giảm nhẹ điều kiện đối với hàmf, tập K hay điều kiện bức trong bài toán cân bằng (2.1). Dưới đây chúng tôi đề cập tới một kết quả mở rộng (vô hướng) của kết quả Blum-Oettli [3] được trình bày ở trên. Đây là kết quả của Chadli, Chbani và Riahi [7](2000). Kết quả này hợp nhất nhiều kết quả mới về tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng, trong đó các tác giả đã sử dụng các dạng suy rộng của tính đơn điệu và dạng nơi giảm của điều kiện bức.
Định lí 2.4(Chadli-Chbani-Riahi[7])
Cho X là một không gian vectơ tôpô Hausdorff, K ⊂ X là một tập con lồi đóng, khác rỗng, ϕ và ψ là hai hàm thực xác định trên K ìK sao cho
1) Với mỗi x, y ∈ K, nếu ψ(x, y) ≤ 0 thì ϕ(x, y) ≤ 0;
2) Với mỗi x ∈ X, ϕ(x, .) nửa liên tục dưới trên mọi tập con compắc của K;
3) Với mỗi tập con hữu hạn A của K, ta có
sup
y∈co(A)
min
x∈A ψ(x, y) ≤ 0
4) Điều kiện bức: Tồn tại tập con lồi compắc B của K sao cho hoặc i) hoặc ii) đúng
i) Với mọiy ∈ K \B, tồn tại x∈ B sao cho ϕ(x, y) > 0;
ii)Tồn tại x0 ∈ B sao cho với mọiy ∈ K \B :ψ(x0, y) > 0;
Khi đó tồn tại một điểm cân bằng y ∈ B; nghĩa làϕ(x, y) ≤ 0,∀x ∈ K. Hơn nữa tập nghiệm là tập compắc.
Chứng minh
Xét ánh xạ T : K −→ B được xác định như sau
T(x) = {y ∈ B : ϕ(x, y) ≤ 0}. Ta cần chứng minh
\
x∈K
T(x) 6= ∅.
Giả sử A là một tập hữu hạn thuộc K. Khi ấy do B lồi compắc ta luôn cóD = co(A∪B) là tập lồi compắc.
Xét ánh xạ S : D −→2D được xác định bởi
S(x) = {y ∈ D : ψ(x, y) ≤ 0}, x ∈ D.
Ta có S là ánh xạ KKM, nghĩa là với {z1, z2, ..., zm} là tập con hữu hạn của D, ta có co{z1, z2, ..., zm} ⊂ m [ i=1 S(zi).
Thật vậy, nếu trái lại thì có một y ∈ co{z1, z2, ..., zm} sao cho
min
i=1,...,mψ(zi, y) > 0.
Điều này mâu thuẫn với giả thiết 3). Vậy S là một ánh xạ KKM, do đó
S : D −→2D với S(x) =S(x) cũng là ánh xạ KKM.
Ta lại có x ∈ S(x), ∀x ∈ D theo 3). Như vậy S(x) là tập khác rỗng và đóng thuộc tập compắcD. Vậy theo Bổ đề Ky Fan ta có
\
x∈D
S(x) 6= ∅.
Từ giả thiết 1) và 2) suy ra
S0 = T
x∈DS(x) ⊂ T
x∈D {y ∈ D : ϕ(x, y) ≤ 0}
= T
x∈D{y ∈ D : ϕ(x, y) ≤ 0} (2.4) Hơn nữa do điều kiện bức ta có S0 ⊂ B. Thật vậy, lấy y ∈ S0, nếu 4i) thỏa mãn vày ∈ K \B thì tồn tạix ∈ B sao choϕ(x, y) > 0. Điều này mâu thuẫn với (2.4), vậyy ∈ B.
Còn nếu 4ii) thỏa mãn thì khi ấy ta có S(x0) ⊂ B mà B đóng nên
S(xo) ⊂ B. Suy ray ∈ B.
Như vậy với mỗi tập con hữu hạn A của K ta có
\
x∈A
T(x) = \
x∈A
{y ∈ B : ϕ(x, y) ≤ 0} 6= ∅.
Do giả thiết 2) ta có T(x) là tập compắc với mỗi x ∈ K, vì B là tập compắc. Vậy họ {T(x) : x ∈ K} có T(x) đóng nằm trong tập compắc B và có tính chất giao hữu hạn nên
\
x∈K
Suy ra tồn tại y ∈ B sao cho ϕ(x, y) ≤0 với mọi x ∈ K.
Do điều kiện bức và giả thiết 2) nên tập nghiệm là một tập đóng trong tập compắcB, do đó compắc. Định lý được chứng minh.
Định lí 2.4 bao hàm nhiều kết quả quen biết như các trường hợp riêng. Để thấy rõ điều này ta xét hệ quả dưới đây. Lưu ý là giả thiết 3) thoả mãn trong trường hợp bổ đề sau.
Bổ đề 2.5
Nếu với mỗi x ∈ K, ψ(x, x) ≤ 0và với mỗiy ∈ K tập hợp xác định như sau {x ∈ K : ψ(x, y) > 0} là lồi thì giả thiết 3) của Định lí 2.4 thoả mãn.
Chứng minh
Giả sử 3) không thoả mãn. Khi ấy tồn tại x1, ..., xn ∈ K, λi ≥ 0 và
i = 1, ..., n,Pn
i=1λi = 1 sao cho ψ(xi,Pn
i=1λixi) > 0,∀i = 1, ..., n. Nhưng vì tập {x ∈ K : ψ(x, y) > 0} là lồi (giả thiết) nên với y = Pn
i=1λixi ta có
ψ(y, y) > 0 điều này mâu thuẫn với giả thiết.
Hệ quả 2.3
Cho K là một tập lồi đóng trong một không gian vectơ tôpô Hausdorff và các hàm h, g : K ìK −→ R thỏa mãn các điều kiện sau:
1) g là hàm đơn điệu cực đại và −g là đơn điệu; 2) Với mỗi x ∈ K, h(x, x) = g(x, x) = 0;
3) Với mỗi x ∈ K, các hàm h(x, .), g(x, .) lồi;
4) Với mỗi x ∈ K, hàm g(x, .) là nửa liên tục dưới; với mỗi y ∈ K
hàm h(., y) là nửa liên tục trên;
mãn
a)∀y ∈ K \B ∃x ∈ B :h(y, x)−g(x, y) < 0; b)∃x0 ∈ B :h(y, x0) + g(y, x0) < 0 ∀y ∈ K \B.
Khi đó, tồn tại x ∈ B sao cho h(x, y) + g(x, y) ≥ 0 với mọi y ∈ K.
Chứng minh
Đặt ϕ(x, y) = g(x, y)−h(y, x);ψ(x, y) = −g(y, x)−h(y, x). Do −g
đơn điệu nên
ϕ(x, y) = g(x, y)−h(y, x)
= g(x, y) +g(y, x)−g(y, x)−h(y, x) ≤ ψ(x, y).
Vậy giả thiết 1) của Định lý 2.4 được thỏa mãn.
Các giả thiết 2), 4) của Định lý 2.4 lần lượt được suy ra từ 4), 5) của Hệ quả 2.3.
Giả thiết 3) của Định lý 2.4 được suy ra từ giả thiết 2), 3) của Hệ quả 2.3 và Bổ đề 2.4.
Vậy theo Định lý 2.4 tồn tại x ∈ B với ϕ(y, x) =g(y, x)−h(x, y) ≤ 0
với mọiy ∈ K.
Hàm θ(y) =h(x, y) là lồi và θ(x) = 0. Do g là đơn điệu cực đại nên
0≤ g(x, y) + θ(y) = g(x, y) +h(x, y) ∀y ∈ K.
Trong trường hợp điều kiện bức 5a) thỏa mãn, Hệ quả này chính là Định lý 2.3 (kết quả trong Blum-Oettli[3]).
Chương 3
Mở rộng vectơ định lí điểm cân bằng blum-oettli
Sau khi được công bố (1993), kết quả của Blum-Oettli[3] đã thu hút sự quan tâm của nhiều nghiên cứu trong lĩnh vực giải tích phi tuyến và lí thuyết tối ưu. Bên cạnh một số nghiên cứu mở rộng vô hướng kết quả này (như kết quả của Chadli-Chbani-Riahi[7](2000) được trình bày ở Chương 2) là các nghiên cứu mở rộng ra bài toán cân bằng vectơ, đơn trị và đa trị, như kết quả của Tấn-Tĩnh[13](1998), kết quả của Bianchi-Hadjisavvas-Schaible[2](1997) cho bài toán vectơ đơn trị và kết quả của Tấn-Minh[14](2006) cho bài toán vectơ đa trị.
Chương này trình bày một số kết quả nghiên cứu về sự mở rộng kết quả của Blum-Oettli[3] ra bài toán cân bằng vectơ đơn trị (Mục 3.2) và bài toán cân bằng vectơ đa trị (Mục 3.3). Các kết quả nghiên cứu trình bày ở đây chủ yếu được tập hợp từ các tài liệu [2,13,14]. Để tiện cho việc trình bày bài toán vectơ, trước hết chúng tôi đưa vào một số kiến thức chuẩn bị về quan hệ thứ tự trong không gian vectơ tôpô (Mục 3.1)