Định nghĩa 9: Môđun M đợc gọi là rời rạc nếu nó thoả mãn các điều kiện (D1) và (D2).
Mệnh đề 24: Một môđun tựa xạ ảnh M là rời rạc nếu và chỉ nếu mọi môđun con của nó có phần phụ.
Chứng minh: Nếu M là môđun rời rạc ⇒ M có tính chất (D1) nên từ mệnh đề 21 ta có điều phải chứng minh.
Đảo lại, Giả sử mọi môđun con của M đều có phần phụ (chú ý rằng, nói chung nếu mọi môđun con của N có phần phụ thì N không nhất thiết là phần phụ).
Giả sử M = A + B. Ta chỉ ra rằng B chứa phần phụ của A.
Theo giả thiết, A có phần phụ P, thế thì M = A + P và A ∩ P ⊂0 P. Gọi v, π lần lợt là các đồng cấu tự nhiên: M → M/A và B → M/A.
Vì M là B - xạ ảnh, nên tồn tại f: M → B sao cho πf = v. Đặt à = v|P và g = f|P. Thế thì πg(P) = à(P) = M/A và do đó
M = A + g(P).
⇒ A ∩ g(P) = g(ker(à)).
Từ ker(à) = A ∩ P ⊂0 P', g(ker(à)) ⊂0 g(P) ( Theo tính chất môđun con bé). Do đó A ∩ g(P) ⊂0 P và do vậy g(P) là phần phụ trong B. P M v B M/A
Tiếp theo, chúng ta chứng minh rằng mỗi môđun con phụ của M là hạng tử trực tiếp.
Thật vậy, theo mệnh đề 21, M có tính chất (D1). Giả sử A là một môđun con phụ của M và B là phần phụ của A.
Theo biểu đồ trên, từ πf(A) = v(A) = 0 ⇒ f(A) ⊆ A.
Do vậy, M = f(M) + A = f(A + B) + A = f(A) + f(B) + A = f(B) + A. Theo tính chất nhỏ nhất của B và f(B) = B cho nên M = B + Ker(f). Từ ker(f) ⊆ A và tính chất nhỏ nhất của A cùng với ker(f) = A ta có:
ker(f) = A = ker(v) = ker(πf)
Nh vậy, f là toàn cấu, tức là f(M) = B. Cuối cùng A ∩ B = 0 và do đó M = A ⊕ B. Từ tính chất (D2) của M ta kết luận M là rời rạc.