Tần số của dao động biến dạng

HOÀNG HẠNH PHƯƠNG Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI TẰN SỐ CỦA DAO ĐỘNG BIEN DẠNG LUẬN VĂN THẠC sĩ KHOA HỌC VẬT CHẮT HOÀNG HẠNH PHƯƠNG TẦN SỐ CỦA DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG Chuyên ngành : Vật lí lí thuyết yật lý toán Mã sổ 60440103 LUẬN VĂN THẠC sĩ KHOA HỌC VẬT CHẤT : Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan quan tâm bảo, tận tình hướng dẫn cô suốt trình học tập đến hoàn thiện đoạn văn Chính quan tâm tận tình bảo cô tạo động lực cho em thêm niềm tin, cố gắng để thực luận văn mong muốn có LỜI CẢM phát triển Em xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa, thầy giáo, cô giáo Khoa Vật Lí - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tận tình giảng dạy, quan tâm bảo em suốt trình học tập hoàn thiện luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp sát cánh bên suốt thời gian học tập nghiên cứu để hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2015 Học viên Hoàng Hạnh Phương Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với trân trọng lòng biết ơn sâu sắc Những vấn đề trình bày luận văn tìm hiểu riêng không LỜI CẢM trùng lặp vói luận văn khác Hà Nội, tháng năm 2015 Học viên Hoàng Hạnh Phương MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Để nghiên cứu hệ vật lý thực người ta thường dùng mô hình lượng tử dao động lượng tử Mô hình xem mô hình gần chuyển động hệ vật lý thực Vài chục năm gần nhiều nhà vật lý nước giới mở rộng hình thức luận dao động tử điều hòa thành hình thức luận dao động tử biến dạng để nghiên cứu hệ vật lý thực vói hy vọng cho kết gần vói thực nghiệm nghiên cứu hệ vật lý hình thức luận dao động tử điều hòa Gần nhiều nhà vật lý quan tâm nghiên cứu nhóm lượng tử, đại số lượng tử [3, 4, 5] dựa hình thức luận dao động tử biến dạng chúng liên quan đến nhiều vấn đề nghiên cứu mô hình vật lý, quang lượng tử, vật chất đông đặc Dao động biến dạng tổng quát dao động chưa biến dạng Dao động chưa biến dạng trường hợp riêng dao động biến dạng thông số biến dạng tiến đến giá trị xác định [6], Dao động tử biến dạng xem dao động phi tuyến vói tần số phụ thuộc vào biên độ Có nhiều kiểu dao động biến dạng, kiểu dao động biến dạng có tần số dao động khác đặc trưng cho kiểu biến dạng Biết tần số dao động biến dạng biết tính chất dao động biến dạng Từ mở đường cho việc nghiên cứu ứng dụng dao động tử biến dạng Trong luận văn nghiên cứu tần số dao động biến dạng tính chất phi tuyến dao động biến dạng Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tần số dao động tử biến dạng Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu tần số dao động tử biến dạng q boson - Nghiên cứu tần số dao động tử biến dạng q Fermion Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu dao động biến dạng q boson, tần số dao động biến dạng q boson - Nghiên cứu dao động biến dạng q Fermion, tần số dao động biến dạng q Fermion Phương pháp nghiên cứu - Dùng phương pháp nghiên cứu vật lý lý thuyết vật lý toán - Dùng phương pháp nghiên cứu nhóm đối xứng lượng tử dao động lượng tử - Dùng phương pháp nghiên cứu vật lý thống kê lượng tử Dự kiến đóng góp đề tài Viết tổng quan dao động lượng tử đưa cách tìm tần số dao động tử, lượng tử làm sở cho việc nghiên cứu ứng dụng dao động tử biến dạng CHƯƠNG TỒNG QUAN VÈ DAO ĐỘNG BIỂN DẠNG Trong chưong trình bày tổng quan dao động tử điều hòa, dao động tử biến dạng.[l] 1.1 Dao động tử điều hòa Toán tử Hamiltonian dao động tử điều hòa có dạng: Để thuận tiện viết công tithức sau này, thay cho toán (1 mdùng dx2 toán tử tọa độ xung lượng tử tọa độ X xung lượng - ihd/dx ta tắc mới: X—» q = y[mx (1.2) Hệ thức giao hoán p q là: — U h = -ih ■Ỉ- (1 yjm Biểu diễn qua p q, Hamiltonian (1.1) có dạng Ta lại đặt: (1 (1.6) (1.7) (1 có +P p)n (1-8) Các toán tử p Ị5 xuất ttên biểu diễn ngược lại qua p q sau: hoán /?= yíĩh = y ) (1.9 p>p Hamiltonian (1.8) trở thành: P=TỈn (L10) Dễ dàng chứng minh H =rằng toán tử hên thỏa mãn hệ thức giao (1.12) Việc nghiên cứu phổ lượng dao động tử điều hòa quy toán tìm véctơ riêng Hamiltonian (1.12), toán tử Ị3 p thoản mãn hệ thức giao hoán (1.11) Đê làm điêu ta định nghĩa toán tử sau: N=pp có hệ thức giao hoán toán tử với toán tử Ị3 p N,p =-P (1.13) Nß = ß [ N - 1) (1.14 N,ß+ hay N ß = ß Ịw + lj (1.15) Thật vậy, theo định nghĩa (1.13) sử dụng hệ thức giao hoán (1.11) N,ß^ = Nß-ßN =ß ßß-ßß ß =-[ßß -ß ß}ß =-ß (1.16 hệ thức (1.14), -ß+N = ß ßß -ß ß ß = ß [ ß ß - ß ß \ ß N,ß + (1.17 = ß hệ thức (1.15) Ký hiệu r ì ỳ véctơ riêng toán tử N ứng với trị riêng n yv|n) = n ị n ) Từ phương trình (1.18) ta suy (1.18 Để tìm phổ lượng dao động tử biến dạng q Boson ta phải giải phưong trình làm riêng, trị riêng sau: V— 24 > ^*À)\n)q=E,\n (2- Sử dụng (2.15), (2.17) ta có kết (2.24) h (2.25) Từ suy ra: E n = h 22 l Phổ lượng dao động biến dạng q boson có dạng (2.25) tức lượng gián đoạn mức không cách 2.2 Tần số dao động biến dạng q Boson Để tìm tần số dao động dao động tử biến dạng q Boson ta xuất phát từ việc viết toán tử lượng dao động tử biến dạng q Boson dạng chuẩn biểu diễn qua toán tử sinh hủy dao động Boson bình thường sau: Toán tử lượng dao động boson bình thường dao động với tần số GO có dạng; H = n^ ^ ^ ¥/}/}*](2.26) Chọn lại gốc tọa độ để H có dạng đơn giản H =n (2.27) Dao động tử biến dạng q Boson xem dao động tử phi tuyến với tính phi tuyến thể chỗ tần số dao động phụ thuộc vào biên độdao động theo hàm số Khi toán tử lượng dao động biến dạng q Boson viết dạng chuẩn H =h (2.28) Toán tử sinh, hủy A+ , A dao động tử biến dạng q Boson biểu diễn qua toán tử sinh, hủy dao động Boson bình thường ß+, ß [4] sau: A+ = Ta tính: N ÕA ÕA+ ÕA ỔA+ õx dp dp dx {^} A= (2.29) VN Từ (2.29) ta thu AA+ =[N + l\ = f ( ß ß (2.30) Tính đạo hàm toán tử sinh A+ , hủy A theo thời gian ÕA + dH ÕA + dH A= = h = n = ti dx dp dp dx r ~/ \ 1A , a + A +A Jp 3A+ d d d í d A V+ A+ d A dA 1^ \jj\f dp dp dx J (2.31) _ a + lf(pp ) ~ d f d dß If (PF) d a + /(/r) f{ßß ) dß ßß dßß /(/r) J Ỡ ß \ß~ - f{ßß~)dßi5\ ßß-’ dßß- Y ßß d (ßß+) : /(/rp < /'(/r) /(/r) Tương tư: ' fịpp") f{pp*)}( PT " ( / r ) j l _a _ d fF+pf\ dx dx f(PF) d ’ If (PF) ’ + + f { ß ß ) f { ß ß ) ßf ~ ~(/r) > ( + ẼI d ß' + p dß* Y öß ß Ô p ß' + d A V Ô ß'-ß dß+ dß ß ÔX Jy dp dp J + d Ô F f dß dß + 7?+/?/r) ÔA dH ÔA dH ôx dp dp dx r~- 3A+ ÕAÕA+N y KJJ\ dp dp dx J = coh r^A / / ■ > = coh A + +a wyv U£S dA + d d A J ÕA*t t + ô A A+A V d I A,A+}=-ih Ta có kết quả: A = Y d c Rß+ _q-ßß + ^ + Ẩ = -ih V9-9 í Rß + = ih J -ßß + I— (2.37) V -9 ' Tương tự ta có: A = -ih í _q-ßß + \ Ẩ+ = ih = — A = -ih (2.39) V9-9 (2.40) ( \ _ n~ßß Từ (2.39), (2.40) từ (2.37), (2.38) ta tính tần số dao động tử biến = —ih ——ln q1 (2.38) dạng q boson J V9-9 BB+ , -BB+ +q ^ Dao động tử biến dạng q Boson dao động phi tuyến với tần số w W=0 ln 9ta- có 1thể viết: RR+ + Ở ß, ß+ tương ứng vói số mức kích thích số hạt Từ kết tính toán chứng tỏ dao động tử biến dạng q Boson dao động tử phi tuyến mà tần số dao động phụ thuộc vào lượng Kết luân: Trong chưong trình bày cách hệ thống dao động tử biến dạng q Boson tính tần số dao động tử biến dạng q boson tần số phụ thuộc vào lượng dao động tử biến dạng q boson Những kết sở để áp dụng hình thức luận dao động tử biến dạng q Boson để tính thông số vật lý hệ hạt có spin nguyên CHƯƠNG TẦN SỐ CỦA DAO ĐỘNG BIỂN DẠNG q fermion Trong chưong nghiên cứu viết tổng quan dao động biến dạng q fermion, dao động biến dạng q fermion xem dao động phi tuyến với tần số dao động biến dạng phụ thuộc vào biên độ theo hàm cosinehyperbolic chương tính tần số dao động biến dạng q fermion 3.1 3.1.1 Dao động biến dạng q fermion Dao động tử biến dạng q fermion đơn mode Các toán tử sinh, hủy dao động tử biến dạng q fermion ký hiệu b+, b thỏa mãn hệ thức giao hoán bb+ - qb+b = qN, [N, b] = -b, (3 [N, b+J = b+ Trong N toán tử số dao động q fermion biến dạng Mà: [N]q = b+b [N + l]q = bb+ Trạng thái riêng chuẩn hóa toán tử số dao động q fermion biến dạng xác định theo công thức: z>|0} = (3.2) sử dụng ký hiệu: gM-ựy q + q-' [nf! = [n]\[n-l]\ [lf (3 (3.4) Biểu diễn ttên vô hạn chiều Đối vói giá trị đặc biệt q không gian Fock bị chia thành không gian không liên kết với Mỗi không gian thực biểu diễn hữu hạn chiều đại số (3.1) Nếu xét riêng q = ein/m với e N, m ^ ta có: Khi lẻ [2ra]b = Khi = 4k + [ra]b = Khi = 4k + (k > 1) = Số chiều không gian không liên kết số nguyên n nhỏ thỏa mã [n]b = (Trường hợp q = érK đặc biệt với ví dụ ịỉif -:—>i ^n+l^n\ trường họp cho ta biểu diễn vô hạn chiều) Với q = không gian Fock phân thành không gian hai chiều nguyên lý loại trừ Pauli suy ra: Từ b2 = Và (b+f = Bây biến đổi toán tử (với q thực) F = qN/2b, F+ = b+qN/2, ta thu hệ thức giao hoán FF* + q2F+F = (3.6) Như biểu diễn không gian Fock vói toán tử3mói xác định: (F+Ỵ n) = -^J=|0), sử dụng ký hiệu: F|0) = 0, N n) =(3 nnj, ?2+l Ký hiệu [n]b cỏ thể dẫn từ [n]1 2n r -iB qR — M = J-p TB (3 iỳhT-1 (Ỉ'ỢF)2-I HIM: tức dẫn (3.8) Một điều đáng lưu ý dao động tử q fermion biến dạng định nghĩa thông qua (3.1) không tìm phép biến đổi để xác định mối liên hệ toán tử sinh hủy dao động tử q fermion biến dạng dao động tử fermion thông thường (không biến dạng) Tuy Chaichian Kulish [3] đưa định nghĩa khác cho dao động tử biến dạng q fermion thay cho (3.1) sau: cc+ + qc+c = qM, [M, c] = - c, [M, c+] = c+ r Trong trường họp nêu đưa vào toán tử c = q c, /n _ + -M/2 (3 (3.10 dẫn đến hệ thức giao hoán Fermi thông thường: + ơc = 1, (3.11 Điều có nghĩa dao động tử q - fermion xác định đại số (3.9) không gian biểu diễn Fock (không biến dạng) tầm thường dao động tử fermion thông thường 3.1.2 Dao động t q - biến dạng đa mode Trong mục xem xét hệ biến dạng đa mode Đối với dao động tử q - biến dạng boson fermion với định nghĩa (3.1), (3.6) tương ứng, việc mở rộng cho hệ đa mode hoàn toàn đơn giản Đối với hệ dao động tử boson q biến dạng đa mode có hệ thức giao hoán.: (3.12 v Còn hệ dao động tử q fermion biến dạng đa mode hệ thức giao hoán trở thành: bp]-[{q-ì)S,+ĩ\bp]=S^, [w,A]=-3& [#„*;]=4# (3.14) = (3.15) Hiện hệ thức giao hoán biến dạng khác gọi đại số quon nghiên cứu Đại số xác định hệ thức: a.a+ - qa+.a = Ổ- (3.16) hệ thức xem phép nội suy Bose Fermi q chạy từ +1 đến -1 trục thực Tần số dao động q - fermion Toán tử lượng dao động tử Fermion bình thường dao động với tần số Cữ có dạng [2] 9Í ±.n v\mcũ2x2 (3.17) Toán tử xung lượng p toán tử tọa độ X biểu diễn qua toán tử sinh (>^+ ), toán tử hủy dao động Fermion sau: I -4- Thay (3.18) vào (3.17) ta có: Chọn lại gốc tọa độ để 9Í có dạng đơn giản sau: X (3.19n Dao động tử Fermion biến dạng dao động tử phi tuyến với tính phi tuyến thể chỗ tần số dao động phụ thuộc vào biên độ dao động theo hàm số mà ta cần tìm Toán tử lượng dao động tử Fermion biến dạng viết sau: H=h (3.20 Toán tử sinh b+, hủy b dao động tử Fermion biến dạng biểu diễn thông qua toán tử sinh, hủy dao động Fermon bình thường + p > p [5] sau: b ' Từ (3.21) ta thu được: (3.21) bb+ = [N + 1] =m+) (3.22 Ta tính đạo hàm toán tử sinh b+, hủy b theo thời gian: ;+ õb+ ÕH õb+ ÕH b = õx ÕP ÕP õx = ih iß*) _ , ~ - i —Inợ • + Sử dụng hệ thức (3.8) kí hiệu (3.1) tính được: b =< ỉ -ßß+q + Tính tương tự ta có: (3.23) b = {b,H} ôb+ ÔH ôb+ ÔH X Dao động tử biến dạng dao động phi tuyến ôx vớiÔP tầnÔP số ôxw= — ta viết: ih r) b = +iWtf -ßß+ -(-1 f\ßß\ b=\— \~ —ln q (3.26) q+ Từ (3.23) (3.25) từ (3.24) (3.26) ta tìm tần số dao động b = -iWb biến dạng: w= -BB ‘-\\ßß „PP fl —— -ln > (3.25) > (3.24) pp+ tương ứng với số mức kích thích số hạt Đặt Ỵ = ln q ta có: Kết luân: 'co pp+ chẵn Từ kết tính toán chứng tỏ hdao động íbiến y\ dạng dạng dao động phi tuyến mà tần số dao động phụ vào lượng Sự phụ X thuộc + ^(~ep ) sinehyperbolic Từ (3.27 thuộc mô tả hàm cosinehyperbolic hàm ' Cữ kết áp dụng dao động biến dạng/?/riàlẻ q vào vật chất h đậm đặc, vào vật lý quang lượng tử KÉT LUẬN • Kết luận văn tóm tắt sau: Luận văn viết tổng quan dao động điều hòa biến dạng q boson q femion đơn đa mode Luận văn nghiên cứu tính toán tần số dao động dao động tử boson dao động tử femion dao động biến dạng xem dao động với tần số phi tuyến phụ thuộc vào biên độ dao động theo hàm cosine hyperbonic Với việc tính phi tuyến dao động biến dạng đặt móng cho việc áp dụng hình thức luận dao động biến dạng vào nghiên cứu hệ vật lý thực [...]... tổng quan về dao động biến dạng q fermion, chỉ ra dao động biến dạng q fermion được xem như một dao động phi tuyến với tần số của dao động biến dạng phụ thuộc vào biên độ theo hàm cosinehyperbolic và trong chương này tôi cũng tính tần số dao động của biến dạng q fermion 3.1 3.1.1 Dao động biến dạng q fermion Dao động tử biến dạng q fermion đơn mode Các toán tử sinh, hủy của dao động tử biến dạng q fermion... lượng của dao động biến dạng q boson có dạng như (2.25) tức là năng lượng gián đoạn và các mức không cách đều nhau 2.2 Tần số của dao động biến dạng q Boson Để tìm tần số dao động của dao động tử biến dạng q Boson ta sẽ xuất phát từ việc viết toán tử năng lượng của dao động tử biến dạng q Boson về dạng chuẩn rồi biểu diễn qua các toán tử sinh hủy dao động Boson bình thường như sau: Toán tử năng lượng của. .. trình bày một cách hệ thống về dao động tử biến dạng q Boson tính tần số của dao động tử biến dạng q boson và chỉ ra rằng tần số này phụ thuộc vào năng lượng của dao động tử biến dạng q boson Những kết quả này là cơ sở để có thể áp dụng hình thức luận dao động tử biến dạng q Boson để tính các thông số vật lý của các hệ hạt có spin nguyên CHƯƠNG 3 TẦN SỐ CỦA DAO ĐỘNG BIỂN DẠNG q fermion 3 Trong chưong... động tử biến dạng: 1 H = ^— + U 2m (1.44) Trong đó p là toán tử xung lượng , u là toán tử thế năng của dao động tử biến dạng Nếu chọn hệ tọa độ suy rộng thích họp thì hoán tử Harailtionian của dao động có dạng: (1.45) + CƠ Trong đó X là tọa độ suy rộng, G) là tần số góc của dao động biến dạng Xung lượng và tọa độ suy rộng của dao động biến dạng có thể biến đổi qua toán tử sinh hủy dao động biến dạng a+... của dao động boson bình thường dao động với tần số GO sẽ có dạng; H = n^ ^ ^ ¥/}/}*](2.26) Chọn lại gốc tọa độ để H có dạng đơn giản H =n (2.27) Dao động tử biến dạng q Boson có thể xem như là một dao động tử phi tuyến với tính phi tuyến thể hiện ở chỗ tần số dao động phụ thuộc vào biên đ dao động theo một hàm số nào đó Khi đó toán tử năng lượng của dao động biến dạng q Boson có thể được viết ở dạng. .. (2.38) ta tính được tần số của dao động tử biến = —ih ——ln q1 (2.38) dạng q boson J V9-9 BB+ , -BB+ +q ^ Dao động tử biến dạng q Boson chính là dao động phi tuyến với tần số w thì W=0 ln 9ta- có 9 1thể viết: RR+ + Ở đây ß, ß+ tương ứng vói số mức kích thích hoặc số hạt Từ kết quả tính toán đã chứng tỏ rằng dao động tử biến dạng q Boson là một dao động tử phi tuyến mà tần số dao động phụ thuộc vào... chưong này chúng tôi trình bày cụ thể về các hệ dao động tử biến dạng cho hệ các hạt có spin nguyên đó là các hạt boson Tìm tần số của dao động biến dạng này 2.1 Dao động tử biến dạng q Boson Toán tử sinh A+, toán tử hủy A dao động biến dạng thỏa mãn các hệ thức giao hoán AA+ - qA+A =(2.q'N Trong đó q là thông số biến dạng, N là toán tử số dao động thỏa mãn các hệ thức giao hoán [N,A] = - A [N,A+] = A+... động tử Fermion biến dạng là một dao động tử phi tuyến với tính phi tuyến thể hiện ở chỗ tần số dao động phụ thuộc vào biên độ dao động theo một hàm số nào đó mà ta cần tìm Toán tử năng lượng của dao động tử Fermion biến dạng có thể viết như sau: H=h (3.20 Toán tử sinh b+, hủy b của dao động tử Fermion biến dạng có thể được biểu diễn thông qua các toán tử sinh, hủy của dao động Fermon bình thường + p >... thực Tần số của dao động q - fermion Toán tử năng lượng của dao động tử Fermion bình thường dao động với tần số Cữ có dạng [2] 9Í ±.n v\mcũ2x2 2 (3.17) Toán tử xung lượng p và toán tử tọa độ X có thể biểu diễn qua các toán tử sinh (>^+ ), toán tử hủy dao động Fermion như sau: I -4- Thay (3.18) vào (3.17) ta có: 3 Chọn lại gốc tọa độ để 9Í có dạng đơn giản sau: X (3.19n Dao động tử Fermion biến dạng. .. n~Hamiltonian của dao động tử chúng tôi đã biểu diễn được toán tử Hamiltonian qua các toán tử 2 U" sinh hủy dao động, đưa ra véctơ trạng thái là véctơ riêng của toán tử số dao động, giải phương trình hàm riêng trị riêng của toán tử năng lượng để tìm phổ năng lượng của dao động tử Phổ năng lượng của các dao động tử đều nhận các giá trị gián đoạn Đối vói dao động tử điều hòa phổ năng lượng có dạng ở công