Thống kê của dao động biến dạng g

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐÀO THỊ GIANG THỐNG KÊ CỦA DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG G LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT HÀ NỘI, 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐÀO THỊ GIANG THỐNG KÊ CỦA DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG G Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết Vật lí toán Mã ngành : 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN THỊ HÀ LOAN HÀ NỘI, 2014 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên xin chân thành cảm ơn: PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan, người hướng dẫn thực luận văn Cô cung cấp tài liệu truyền thụ cho kiến thức mang tính khoa học phương pháp nghiên cứu khoa học Sự quan tâm, bồi dưỡng cô giúp tự tin giúp vượt qua khó khăn q trình hồn thành luận văn trình học tập nghiên cứu Đối với cô gương sáng tinh thần làm việc không mệt mỏi, lòng hăng say với khoa học, lòng nhiệt thành quan tâm bồi dưỡng hệ trẻ Tôi chân thành cảm ơn Ban Chủ Nhiệm Khoa Vật Lý Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội thầy cô giáo tận tình giảng dạy, tạo điều kiện giúp tơi hồn thành khóa học Hà Nội, tháng năm 2014 Học Viên Đào Thị Giang LỜI CAM ĐOAN Trong trình nghiên cứu luận văn đề tài: Thống kê dao động biến dạng g, thực cố gắng tìm hiểu, nghiên cứu đề tài để hồn thành khóa luận Tơi xin cam đoan luận văn hoàn thành nỗ lực cuả thân với hướng dẫn bảo tận tình hiệu PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan Đây đề tài không trùng với đề tài khác kết đạt không trùng với kết cuả tác giả khác Hà Nội, tháng năm 2014 Học Viên Đào Thị Giang MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Chương 1: Thống kê dao động tử 1.1 Dao động tử Boson 1.2 Thống kê dao động tử Boson 1.3 Dao động tử Fermion 1.4 Thống kê dao động tử Fermion 10 1.5 Dao động tử Paraboson 11 1.6 Thống kê dao động tử Paraboson 13 Chương 2: Thống kê dao động biến dạng thông số biến dạng c – số 14 2.1 Dao động tử Boson biến dạng c số 14 2.2 Thống kê dao động tử Boson biến dạng c số 16 2.3 Dao động tử Fermion biến dạng c số 17 2.4 Thống kê dao động tử Fermion biến dạng c số 18 2.5 Dao động tử Paraboson biến dạng c số 19 2.6 Thống kê dao động tử Paraboson biến dạng c số 19 Chương 3: Thống kê dao động biến dạng g 21 3.1 Ưu g biến dạng 21 3.2 Dao động biến dạng thơng số biến dạng tốn tử 23 3.3 Thống kê dao động biến dạng thơng số biến dạng tốn tử 27 3.4 Dao động tử Paraboson biến dạng thơng số biến dạng tốn tử 28 3.5 Thống kê dao động tử Paraboson biến dạng thơng số biến dạng tốn tử 31 KẾT LUẬN 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong vài chục năm gần có nhiều nhà vật lý quan tâm đến đại số lượng tử biểu diễn chúng chúng liên quan đến vấn đề đa dạng vật lí lí thuyết tán xạ ngược lượng tử, mẫu hịa tan xác học thống kê, lý thuyết trường conformal hữu tỉ, lí thuyết trường hai chiều với thống kê phân số… Cấu trúc đại số nhóm lượng tử mơ tả cách hình thức biến dạng phụ thuộc vào hay nhiều thông số đại số Lie cổ điển [3], [6], [10] Trong trường hợp giới hạn đặc biệt thơng số biến dạng đại số lượng tử đưa đại số Lie thông thường Đặc biệt thông số biến dạng trở thành tốn tử[8], [9] lí thuyết biến dạng lượng tử có nhiều ưu so với lí thuyết biến dạng thông số biến dạng c – số, ví dụ có thống cao lí thuyết trường biến dạng thông số biến dạng tốn tử với lí thuyết trường khơng biến dạng điều khơng có lí thuyết trường biến dạng thông số biến dạng c – số Chính ưu đại số biến dạng thơng số biến dạng trở thành tốn tử nên đề tài em chọn nghiên cứu thống kê dao động biến dạng thông số biến dạng trở thành tốn tử Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu thống kê dao động tử biến dạng tổng quát Nghiên cứu thống kê dao động tử biến dạng g Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu dao động tử biến dạng đưa biểu diễn dao động tử biến dạng tính thống kê chúng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tính thống kê dao động tử g – biến dạng Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu nhóm đối xứng lượng tử phương pháp thống kê lượng tử Phương pháp nghiên cứu vật lý lý thuyết vật lý toán Những đóng góp đề tài Nghiên cứu dao động biến dạng tính thống kê dao động biến dạng đặc biệt thông số biến dạng trở thành tốn tử cho kết đảm bảo tính nhân lý thuyết trường lượng tử Cấu trúc luận văn Chương 1: Thống kê dao động tử Nghiên cứu dao động tử tính thống kê chúng Chương 2: Thống kê dao động biến dạng thông số biến dạng c số Nghiên cứu dao động biến dạng c số tính thống kê chúng Chương 3: Thống kê dao động biến dạng thông số biến dạng trở thành toán tử Nghiên cứu dao động biến dạng thông số biến dạng tốn tử tính thống kê chúng CHƯƠNG THỐNG KÊ CỦA DAO ĐỘNG TỬ 1.1.Dao động tử Boson [4] Những hạt có spin nguyên gọi hạt Boson Toán tử sinh a+ toán tử hủy a dao động tử Boson tuân theo hệ thức giao hoán: éa, a+ ù =1 ë û (1.1.1) Gọi N tốn tử số dao động ta định nghĩa tốn tử số dao động N qua toán tử sinh, hủy a+, a sau: N = a+a (1.1.2) Từ định nghĩa toán tử số dao động N toán tử sinh hủy a + , a ta chứng minh hệ thức giao hoán sau: [N , a] = -a éN , a+ ù = a+ ë û (1.1.3) Thật vậy: [ N , a ] = Na - aN = a + aa - aa + a = -a éa, a + ù ë û = -a é N , a + ù = Na + - a + N ë û = a + aa + - a + a + a = a + é a, a + ù ë û = a+ Xét không gian Fock với trạng thái chân không thỏa mãn điều kiện: a = 0 =1 (1.1.4) Trong không gian Hilbert gọi n vectơ riêng toán tử N ứng với trị riêng n, ta có: N n =n n (1.1.5) Để trạng thái n thỏa mãn (1.1.5) n phải có dạng (a + )n n = n! (1.1.6) Sử dụng hệ thức (1.1.1) (1.1.6) ta chứng minh được: a n = n n -1 (1.1.7) a+ n = n + n + Thật vậy: Tác động toán tử a lên trạng thái n ta được: (a ) =a + a n n (1.1.8) n! Từ (1.1.1) ta có: aa + = + a + a ( ) a (a ) a a+ + ( )a = 3( a ) + ( a ) = 2a + a + + 2 + a ( ) a a+ n ( ) = n a+ n -1 ( ) + a+ n a suy ra: a n = = {( n a+ n! ( ) n -1 (a ) n -1 n a+ n! + = n (n - 1)! = n n -1 ) + n -1 ( ) + a+ ( ) a+ n! n n } a a0 và: (a ) + n a+ n = a+ (a ) = n! + n +1 n! (a ) + n +1 = n ( n + 1) ! = n +1 n +1 suy ra: N n = a+ a n = a+ n n -1 = na + n - = n n n =n n Toán tử tọa độ q toán tử xung lượng p biểu diễn qua toán tử sinh hủy a+, a sau: q= h a+ + a 2mw ( ) mhw + p=i a -a ( ) (1.1.9) Khi hệ thức giao hốn tốn tử tọa độ q xung lượng p là: ih ih [ q, p ] = ( a + + a )( a + - a ) - ( a + - a )( a + + a ) 2 ( = ih aa + - a + a ) (1.1.10) = ih é a, a + ù ë û Thế (1.1.1) vào (1.1.10) suy ra: [ q, p ] = i h (1.1.11) 20 N N (c) (c) ü ì1 aa + n = í é1 - ( -1) ù [ n + p ]q + é1 - ( -1) ù [ n + 1]q ý n ë ỷ ỷ ợ2 ỵ N N (c) (c) ü ì1 a a n = í é1 + ( -1) ù [ n ]q + é1 - ( -1) ù [ n + 1]q ý n û û 2ở ợ2 ỵ (2.6.2) + ta thu c kt quả: a+ a = - e- bw ì + q p e- bw + q cp e- bw ü í ý q - q c ỵ1 - q 2e-2 bw - q 2c e-2 bw ỵ (2.6.3) 21 CHƯƠNG THỐNG KÊ CỦA DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG KHI THƠNG SỐ BIẾN DẠNG TRỞ THÀNH TỐN TỬ 3.1 Ưu g – biến dạng [8], [9] Từ lý thuyết biến dạng cho dao động tử boson fermion đơn mode (ta gọi hạt hạt quon) ta mở rộng cho hệ thống hạt quon đa mode xác định hệ thức giao hoán: a + - qa + = d ij j j (3.1.1) Hệ thức (3.1.1) gọi đại số quon Hệ thức xem phép nội suy thống kê Bose – Einstein Fermi – Đirac q chạy từ đến – trục thực Thật vậy: Khi q = (3.1.1) trở thành: a + - a + = d ij j j Khi thống kê biến dạng q trở thống kê Bose – Einstein Ta có thống kê biến dạng q cho công thức: a+ a = e bw a+a = cho q = thì: e bw - - q + q -1 e bw + ( ) e bw -1 trở thống kê Bose – Einstein thông thường Khi q = -1 (3.1.1) trở thành: a + + a + = d ij j j Khi thống kê biến dạng q trở thống kê Fermi – Đirac Ta có thống kê biến dạng q cho công thức: a+ a = e bw e bw - + q + q -1 e bw - ( ) 22 cho q = -1 thì: a+a = e +1 bw Nếu hệ đơn mode phát triển lý thuyết nhóm lượng tử biến dạng SUq(2) đề cập Biedenham Macfarlane Khi nghiên cứu lý thuyết biến dạng q ta thấy có khác biệt hệ hạt quon đơn đa mode Tức thống kê biến dạng q khơng có liên quan toán tử a (a+) mode khác hệ đa mode, tức biểu diễn chúng hệ thức giao hoán kiểu q Thật vậy, giả sử ta có hệ thức giao hoán: ai+ a + - b a + ai+ = j j (3.1.2) b số Khi trạng thái s xác định bởi: ( ) s = ai+ a + - b a + ai+ = j j (3.1.3) = Rõ rằng: aj = Nếu đem tác động lên trạng thái s sử dụng cơng thức (3.1.1) ta có: = s = (ai ai+ a + - b a + ai+ ) j j ( ) ( ) = ( a + qa a a - b qa a a ) = é a + qa ( qa a ) - b qa (1 + qa a ) ù ë û = é + qai+ a + - b qa + ai+ ù j j ë û + j + i i + j + j + i + + j i i + j i + j + i i (3.1.4) = é a + + q ai+ a + - b qa + + b q a + ai+ ù j j j ë j û = é a + + q b a + ai+ - b qa + - q b a + ai+ ù j j j ë j û = é a + - b qa + ù j û ë j = (1 - b q ) a + j suy ra: (1 - b q ) = (3.1.5) 23 Tương tự đem a j tác động lên s ta : = ( q - b ) ai+ (3.1.6) suy ra: (q - b ) = (3.1.7) Các phương trình (3.1.5) (3.1.7) đồng thời thỏa mãn q = tức q = ±1 Như hệ thức giao hoán aj ( ai+ aj+ ) không kiểu q mà giao hốn tử bình thường Để giải khó khăn ta thay c-số q tốn tử g Khi hệ thức (3.1.2) cho ta: g2 =1 (3.1.8) điều không yêu cầu g = ±1 3.2 Dao động biến dạng thơng số biến dạng tốn tử [8], [9] Đại số Heisenberg biến dạng g sinh toán tử dao động a+, a thỏa mãn hệ thức giao hoán sau: aa + - ga + a = (3.2.1) Thông số biến dạng g toán tử thỏa mãn điều kiện: g = g+ (3.2.2) g2 =1 Toán tử số dao động N định nghĩa qua toán tử sinh a+ toán tử hủy a sau: [ N ]g = a + a Ở ta sử dụng kí hiệu: (3.2.3) 1- g x 1- g (3.2.4) [ x ]g = Từ định nghĩa toán tử số dao động N toán tử sinh, hủy a+ , a ta chứng minh hệ thức: 24 [ N , a ] = -a (3.2.5) é N , a+ ù = a+ ë û Thật vậy: [ N , a ] = Na - aN = a + aa - aa + a = -a éa, a + ù ë û = -a é N , a + ù = Na + - a + N ë û = a + aa + - a + a + a = a + é a, a + ù ë û = a+ Gọi n vector riêng toán tử số N ứng với tri riêng n, ta có: N n Để trạng thái n g g =n n thỏa mãn (3.3.6) n (a ) + n đó: (3.2.6) g g = g phải có dạng: n [ n]g ! (3.2.7) [ n]g ! = [ n]g [ n - 1]g [ n - 2]g [1]g Xét không gian Fock với trạng thái chân không thỏa mãn điều kiện: a =0 (3.2.8) | =1 Sử dụng (3.3.1) (3.3.7) ta tính được: a n g a+ n = g = [ n ]g n -1 g [ n + 1]g n + (3.2.9) g Chứng minh: Tác động toán tử a lên trạng thái n ta có: 25 (a ) =a + a n Tính a ( a + ) g n [ n ]g ! n Từ (3.2.1) ta có: aa + = + ga + a ( ) = ( aa ) a = (1 + ga a ) a a a+ + + + + = a + + ga + aa + ( ) (a ) = a + + ga + + ga + a = (1 + g ) a + + g ( ) a a+ ( ) = a a+ { + 2 a+ ( ) = (1 + g ) a + + g a + ( = 1+ g + g2 a )( a ) + 2 } a a+ ( ) + g a+ a ( ) = (1 + g + g a a+ n )( ) + + g n -1 a + n -1 ( ) + g n a+ n a vậy: {(1 + g + g + + g [ n] ! a n = g ( = + g + g + + g (a ) + n -1 =n [ n]g [ n - 1]! = = và: [ n ]g [ n ]g (a ) + n -1 [ n - 1]! n -1 0 n -1 ) (a ) + n -1 [ n]g ! n -1 )( a ) + n -1 ( ) + g n a+ n } a 26 (a ) + n a+ n = a+ (a ) = [ n ]g ! + n +1 [ n]g ! = (a ) [ n + 1] = [ n + 1]g + g n +1 [ n + 1]g ! n +1 suy ra: N n = a+a n g [ n]g = a+ n -1 [ n]g [ n]g = [ n]g n g = n Ta có tốn tử tọa độ x toán tử xung lượng p biểu diễn qua toán tử sinh hủy a+, a sau: x= h a+ + a 2mw ( ) mhw + p=i a -a ( ) (3.2.10) Khi hệ thức giao hoán toán tử tọa độ x xung lượng p là: ih ih [ p, x ] = ( a + - a )( a + + a ) - ( a + + a )( a + - a ) 2 ih 2a + a - 2aa + = ih a + a - aa + = ( ( { ) ) ( = ih a + a - + ga + a (3.2.11) )} 27 Đối với hệ dao động tử tốn tử lượng tổng toán tử động cộng với toán tử Vậy toán tử Hamiltonian dao động tử biến dạng g có dạng: p mw x H= + 2m (3.2.12) Thay x , p vào (3.2.12) ta được: H =- hw + hw + a - a a+ - a + a + a a+ + a 4 ( )( hw + = a a + aa + ( ) ( )( ) (3.2.13) ) Phổ lượng dao động biến dạng g xác định phương trình: H n = En n g g Ta có : H n g = hw + a a + aa + n ( ) g hw + a a n g + aa + n g hw + = a [ n ] g n - + a [ n + 1] g n + hw = [ n]g [ n]g n + [ n + 1]g [ n + 1]g n hw = [ n]g + [ n + 1]g n = { } { { } { suy ra: En = } } hw [ n]g + [ n + 1]g { } (3.2.14) 3.3 Thống kê dao động biến dạng thông số biến dạng toán tử [1], [2] Thống kê dao động biến dạng thông số biến dang toán tử thống kê a + a 28 a+ a = = = = = Z Z ¥ å ( Tr e - bw N a + a Z n e - bwn a + a n n =0 ¥ å n =0 n e - bwn [ N ]g n ¥ Z å e bw [ n] Z å e bw [ n] = Z ) - n n =0 ¥ - åe - bw n n =0 n n n =0 ¥ g g 1- gn 1- g = ì ¥ - bwn ¥ - bw n ü - å (e g ) ý íå e Z (1 - g ) ợ n =0 n =0 ỵ = ổ 1 ỗ - bw - bw ÷ Z (1 - g ) è - e - ge ø = - e- bw (1 - g ) ổ ỗ - bw - bw ÷ - ge ø è 1- e (3.3.1) = e- bw Kết luận: Khi thông số biến dạng trở thành toán tử chứng tỏ ưu điểm dao động biến dạng thông số biến dạng toán tử so với dao động biến dạng thông số biến dạng c số Trong lý thuyết biến dạng c số tính nhân có thơng số biến dạng q = lý thuyết biến dạng g tính nhân vi mơ ln thỏa mãn có thống lý thuyết trường biến dạng g lý thuyết không biến dạng 3.4.Dao động tử Paraboson biến dạng thơng số biến dạng tốn tử [6], [7] Dao động tử Paraboson đơn mode đặc trưng hệ thức giao hoán: [b, N ] = b éb+ , N ù = -b+ ë û tốn tử số N xác định cơng thức: (3.4.1) 29 N= ( ) p bb + + b + b 2 (3.4.2) với p bậc thống kê paraboson Khi p = 1, toán tử N trở thống kê Boson thông thường: N= ( ) 1 bb + + b+ b 2 ( ) éb, b + ù + 2b+ b - û ë = b +b = Ta lại có: b +b = f ( N ) bb + = f ( N + 1) với: f ( n ) = n + { n - ( -1) } ( p - 1) (3.4.3) (3.4.4) Vậy từ (3.4.3)và (3.4.4) ta thu được: éb, b + ù = g ( N ) ë û (3.4.5) với: g ( N ) = f ( N + 1) - f ( N ) = + ( -1) N ( p - 1) (3.4.6) Xét toán tử B + có dạng: B + = b+ N +1 f ( N + 1) (3.4.7) Khi ta thu hệ thức: é N +1 ù é b, B + ù = ê b , b + ú ë û f ( N + 1) ú ê ë û N +1 N = bb + - b+b f ( N + 1) f (N) = f ( N + 1) =1 N +1 N - f (N) f ( N + 1) f (N) (3.4.8) 30 N +1 é B+ , N ù = b+ N - NB + ë û f ( N + 1) N +1 - NB + f ( N + 1) = ( N - 1) b + (3.4.9) = -B+ Toán tử số N biểu diễn thơng qua tốn tử B + N = f (N) N f (N) = bb + = b+ N f (N) (3.4.10) N +1 b f ( N + 1) = B +b Như toán tử b, B+, N tương ứng với toán tử hủy, sinh, toán tử số thống kê Bose thơng thường Ta có dao động tử paraboson biến dạng g thỏa mãn hệ thức giao hoán: + + aAg - gAg a = (3.4.11) Trong tốn tử Ag+ tốn tử N xác định + Ag = a N +1 f ( N + 1) (3.4.12) + g N=A a Sử dụng (3.4.12) ta thu được: + a + a = Ag = N +1 a f ( N + 1) N + Ag a f (N) = F (N) + aa + = aAg (3.4.13) N +1 f ( N + 1) = ( gN + 1) N N +1 f ( N + 1) 31 Từ hệ thức (3.4.13) ta có: $ N + f ( N + 1) é a, a + ù = f ( N + 1) - f ( N ) + ë û N +1 $ = g -1 Trong đó: (3.4.14) (3.4.15) Vậy (3.4.14) hệ thức giao hoán cho dao động tử Paraboson biến dạng g 3.5 Thống kê dao động tử Paraboson biến dạng thông số biến dạng toán tử [6], [7] Thống kê dao động tử Paraboson biến dạng g thống kê a+a: a+ a = ( Tr e- bw N a + a Z ) (3.5.1) Từ hệ thức (3.4.4) (3.4.13) ta tính được: a+ a = ( Tr e- bw N a + a Z ) ( ¥ N é Tr e - bw N a + a = å n e - bw N ê N + - ( -1) ë n =0 ¥ ¥ n = å e - bw n + ( p - 1) å e - bw n - ( -1) n=0 n=0 ( ) ( = e - bw (1 - e ) - bw + ( p - 1) ) ) ( p - 1)ùúû n (3.5.2) e - bw - e -2 bw Thay (3.5.2) Z vào (3.5.1) ta được: + a a ( pe = bw e - p+2 bw ) -1 (3.5.3) Ta thấy thống kê dao động tử paraboson biến dạng g thống kê dao động tử paraboson thơng thường 32 KẾT LUẬN Luận văn viết tổng quan dao động tử, trình bày hệ thức giao hoán toán tử sinh, huỷ dao động, vector riêng tốn tử số dao động khơng gian Fock tính thống kê cho dao động tử Luận văn tổng quát hoá triển khai tính tốn mở rộng hệ thức giao hốn toán tử sinh, huỷ dao động, vecto riêng tốn tử số dao động N khơng gian Fock tính thống kê dao động cho trường hợp biến dạng c – số cho trường hợp biến dạng thông số biến dạng trở thành tốn tử Khi thơng số biến dạng tiến đến giá trị định tất kết tính tốn trở kết trường hợp chưa biến dạng tương ứng Luận văn trình bày lí thuyết biến dạng g tổng qt lí thuyết chưa biến dạng chứa lí thuyết biến dạng trường hợp riêng 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thị Hà Loan, Thống kê dao động biến dạng – g, tạp chí khoa học trường ĐHSPHN2, số 21/2012 [2] Nguyễn Thị Hà Loan, Phổ lượng dao động mạng tinh thể biến dạng g cho chuỗi nguyên tử loại, tạp chí khoa học trường ĐHSPHN2, số 25/2013 [3] C.T.V.Ba and H.H.Bang (2000), “Quantum group and the standard model”, Tuyển tập báo cáo hội nghị VLLT lần thứ 25 (Toàn quốc), pp 11 - 15 [4] Đào Vọng Đức, Phù Chí Hịa (2007), Nhập mơn Lý thuyết trường lượng tử, Viện khoa học kỹ thuật [5] H.H.Bang (1995), “ Some physical consequences of the general deformations” , Mod Phys Lett A10 (36), pp 1293 – 1298 [6] H.H.Bang (1994), “ On connection of q – deformed para oscillators with para oscillators”, Trieste preprint IC / 94 / 89 [7] H.H.Bang (1995), “ Generlized deformed para – bose oscillator and nonlinear algebras”, Mod Phys Lett A10 (8), pp 2739 – 2748 [8] H.H.Bang, C.T.V.Ba and D.V.Soa (2002) , g – field thery , comm In phys 12(2), pp.76-80 [9] H.H.Bang, C.T.V.Ba (2002 ), “ The g – deformed N=2 supersymmetric algebra”, Comm in Phys 12(3) , pp 143-146 [10] Bonasos D and Daskaloyanmis C (1993) “ Equivalence of deformed fermionic algebras”, J phys A26(7) , pp 1589 - 1600 [11] Chaichian M, Gonzaler F.R and Montonen C (1993) , statistics of q – oscillator, quons and relation to fractional statistics” , J Phys A26(16) , pp 4017 – 4034 34 [12] Chakrabarti R and Jagannathan R (1992) , “ on the number operators of single – mode q – oscillator”, J Phys A25(23), pp 6393 – 6398 [13] D.V.Duc (1998), “ Statistics of generalized q – deformed quantum oscillators”, Frontiers in quantum physics, springer 1998, pp 272 – 276 ... trường lượng tử Cấu trúc luận văn Chương 1: Thống kê dao động tử Nghiên cứu dao động tử tính thống kê chúng Chương 2: Thống kê dao động biến dạng thông số biến dạng c số Nghiên cứu dao động biến dạng. .. cứu Nghiên cứu thống kê dao động tử biến dạng tổng quát Nghiên cứu thống kê dao động tử biến dạng g 2 Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu dao động tử biến dạng đưa biểu diễn dao động tử biến dạng tính... 3.3 Thống kê dao động biến dạng thông số biến dạng toán tử 27 3.4 Dao động tử Paraboson biến dạng thơng số biến dạng tốn tử 28 3.5 Thống kê dao động tử Paraboson biến dạng thơng số biến dạng