Phương trình dao động và các đại lượng đặc trưng của dao động điều hòa

LUYỆN THI THPTQG MƠN VẬT LÝ DAO ĐỘNG ĐIỀU HỊA PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG VÀ CÁC ĐẠI LƯỢNG ĐẶC TRƯNG CỦA DĐĐH (LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ) GV: Phùng Hùng (Trường THPT Liễn Sơn - Vĩnh Phúc) Email: phunghung@toanlyphothong.edu.vn – SĐT: 0983823000 (Tải tài liệu miễn phí http://toanlyphothong.edu.vn) Các khái niệm a) Dao động: Là chuyển động có giới hạn khơng gian xung quanh vị trí cân (VTCB) Ví dụ đung đưa gió, mũi thuyền nhấp nhơ mặt nước, lắc đồng hồ hình ảnh dao động Vị trí cân thường vị trí vật khơng dao động MIỀN DAO ĐỘNG CỦA VẬT VTCB BIÊN BIÊN Các vị trí giới hạn gọi biên, VTCB nằm hai biên Trong trình dao động vật chuyển động miền nằm hai biên Tại biên vật đổi chiều chuyển động b) Dao động tuần hoàn: Là dao động mà vị trí vận tốc (trạng thái dao động) vật lặp lại sau khoảng thời gian Khoảng thời gian ngắn để vị trí vận tốc vật lặp lại cũ gọi chu kì dao động T (đơn vị s) Lúc ta nói vật thực dao động toàn phần (hay dao động) Vậy định nghĩa chu kì T thời gian để vật thực dao động toàn phần Số dao động vật thực giây gọi tần số dao động f (đơn vị Hz) Ta có liên hệ T f: f  1 T T f Chú ý: VTCB chưa dao động VTCB dao động Hãy ln vươn tới bầu trời, khơng chạm tới ngơi bạn tinh tú… LUYỆN THI THPTQG MƠN VẬT LÝ DAO ĐỘNG ĐIỀU HỊA +) Vật thực trọn dao động toàn phần vật trở lại vị trí cũ theo chiều cũ Trong trường hợp vị trí lặp lại chưa thể kết luận vật thực dao động toàn phần + Nếu khoảng thời gian t vật thực N dao động (toàn phần) chu kì dao động vật tính theo công thức: T  t N c) Dao động điều hịa: Là loại dao động tuần hồn mà tọa độ vật hàm cơsin (hay sin) thời gian: x  A cos  t    hay x  A sin  t    Các phương trình x  A cos  t    x  A sin  t    gọi phương trình dao động điều hịa Chú ý: Mặc dù viết dạng hàm cơsin hay hàm sin, phương trình dao động điều hịa dạng chuẩn viết dạng hàm côsin x  A cos  t    Các đại lượng đặc trưng dao động điều hòa Trong biểu thức phương trình dao động điều hịa: x  A cos  t    thì: a) x gọi li độ (đơn vị m cm…): Cho biết độ lệch chiều lệch vật khỏi VTCB chiều dương x=-3 cm BIÊN cm x=3 cm O cm BIÊN O vị trí cân (trùng với gốc tọa độ) Nếu chiều dương chọn từ trái qua phải vật lệch sang phải O li độ vật dương, vật lệch sang trái O lị độ vật âm, O li độ Như giá trị li độ vật dao động điều hịa âm, dương, khơng Giá trị tuyệt đối li độ hay độ lớn li độ x số không âm, cho biết độ lệch vật khỏi VTCB (khoảng cách từ vật tới VTCB) b) A gọi biên độ (A > 0, đơn vị m, cm,…): Cho biết giới hạn dao động vật, độ lệch lớn vật khỏi vị trí cân bằng: A  x max Tại hai biên vật có li độ x   A , dấu cộng ứng với biên dương, dấu trừ ứng với biên âm Chiều dương chiều từ biên âm tới biên dương Hãy vươn tới bầu trời, khơng chạm tới ngơi bạn tinh tú… LUYỆN THI THPTQG MÔN VẬT LÝ DAO ĐỘNG ĐIỀU HỊA chiều dương ln chiều từ biên âm tới biên dương biên âm biên dương -A A O chiều dài quỹ đạo L=2A Chú ý: +) Do A  cos  t     A 1  sin  t     nên dù viết dạng ta ln có A  x  A  x  A +) Phân biệt hai khái niệm giá trị độ lớn li độ Giá trị li độ thỏa mãn A  x  A , suy giá trị cực đại li độ xmax  A, giá trị cực tiểu li độ xmin  A Tại VTCB li độ có giá trị Độ lớn li độ (bằng x ) thỏa mãn  x  A , suy độ lớn li độ có giá trị nhỏ 0, lớn A +) Khoảng cách hai biên gọi chiều dài quỹ đạo L có độ dài gấp lần biên độ: L  2A c) ω tần số góc dao động (ω > 0, đơn vị ω rad/s): đại lượng trung gian cho phép xác định chu kì T tần số f dao động: T   2  ;f   , hay:  T 2 2  2f T d) (ωt + φ) pha dao động (đơn vị rad): đại lượng trung gian cho phép xác định trạng thái dao động (gồm li độ vận tốc) vật thời điểm t bất kì: Cho: t  t    x  A cos  t    Cho : t  t    v  A sin  t    (vận tốc dao động điều hòa, học kỹ sau) e) φ pha ban đầu dao động (-π ≤ φ ≤ π, đơn vị rad): pha dao động thời điểm t = 0, đại lượng trung gian cho phép xác định trạng thái (li độ vận tốc) vật thời điểm t = (trạng thái ban đầu): Cho: t   t      x  A cos  Cho: t   t      v0  A sin  Chú ý: +) Biên độ dao động A pha ban đầu φ phụ thuộc vào cách kích thích dao động thời điểm ban đầu cịn tần số góc ω phụ thuộc thân hệ dao động không phụ thuộc yếu tố bên ngồi Hãy ln vươn tới bầu trời, khơng chạm tới ngơi bạn tinh tú… LUYỆN THI THPTQG MÔN VẬT LÝ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA +) Quãng đường vật chu kì ln 4A +) Thời gian vật từ biên tới biên T/2 O -A A S = 4A -A O A T/2 Các ví dụ minh họa Tìm A, ω, φ, T, f dao động điều hịa +) Tìm A: A  chiều dài quỹ đạo quãng đường chu kỳ   2   T  2f  t  +) Tìm ω, T, f: T  N   f  T  Ví dụ 1: Tìm A, ω, φ, T, f a) x  cos  5t    (cm) b) Vật dao động vạch đoạn thẳng dài 20 cm, thời gian phút vật thực 40 dao động c) Sau thời gian phút, vật thực 40 dao động Quãng đường vật (s) 60 cm d) Vật từ biên âm tới biên dương (s) Sau 12 (s) vật quãng đường 144 cm Giải a) A = cm,   5 (rad/s),   b) L  20 (cm)  A  c) T   2 2   0, (s), f   2,5 (Hz) (rad), T  T  5 L t 120 2 2 1  10 (cm) T    (s)  f   (Hz),    (rad/s) N 40 T T 120  (s) t   s   3T  S  3.4A  12A  60 (cm)  A  (cm) 40 Hãy ln vươn tới bầu trời, khơng chạm tới ngơi bạn tinh tú… LUYỆN THI THPTQG MƠN VẬT LÝ d) DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA T  (s)  T  (s)  t  12  s   6T  S  6.4A  24A  144 (cm)  A  (cm) Chuẩn hóa phương trình dao động u cầu:Đưa phương trình dao động có dạng khơng chuẩn dạng chuẩn x  A cos  t    , A  0,   0,       Ta xét trường hợp sau: +) Nếu phương trình có dạng sin, xuất –A, -ω,    , ta sử dụng cơng thức lượng giác sau để chuẩn hóa:      cos a  cos  a    ; cos  a  k2   cos a  sin a  sin  a    ; sin  a  k2   sin a k   k       cosa  sin  a   ; sin a  cos  a   (Ghi nhớ: CSCT) 2 2   cos  a  b   cos  a  b  ;  sin(a  b)  sin(a  b) Ví dụ 2: Chuẩn hóa phương trình sau: a) x  4 cos 10t    (cm) b) x  cos  5t    (cm) c) x  6 cos  5t   3 (cm) d) x   cos  2t   12  (cm) Giải a) x  4 cos 10t     cos 10t       cos 10t  3  (cm) b) x  cos  5t     cos  5t    (cm) c) x  6 cos  5t   3  cos  5t       cos  5t  2 3  cos  5t  2 3 (cm) d) x   cos  2t   12   cos  2t   12     cos  2t  11 12   cos  2t  11 12  (cm) Ví dụ 3: Chuẩn hóa phương trình sau: a) x  4sin 10t    (cm) b) x  5sin  4t    (cm) c) x  3sin  t   8 (cm) d) x   sin  4t  7 12  (cm) Giải a) x  4sin 10t     cos 10t       cos 10t  3  (cm) b) x  5sin  4t     5sin  4t     5sin  4t       5sin  4t  5    5cos  4t  5     5cos  4t    (cm) c) x  3sin  t   8  3sin  t  7 8  3cos  t  3 8 (cm) Hãy ln vươn tới bầu trời, khơng chạm tới ngơi bạn tinh tú… LUYỆN THI THPTQG MƠN VẬT LÝ DAO ĐỘNG ĐIỀU HỊA d) x   sin  4t  7 12   sin  4t  7 12   cos  4t   12  (cm) Ví dụ 4: Tính pha ban đầu dao động sau: a) x  A cos  t  15 3 b) x  A sin  t  41 10  c) x  A cos  t  14 5 d) x  A sin  t  27 10  e) x  A sin  t  33  Giải a) x  A cos  t  5   A cos  t  4     A cos  t        (rad) b) x  A sin  t  41 10   A cos  t  18 5  A cos  t  4  2 5  A cos  t  2 5     2 (rad) c) x  A cos  t  14 5  A cos  t  9 5  A cos  t  2   5  A cos  t   5     (rad) d) x  A sin  t  27 10   A cos  t  6 5  A cos  t  2  4 5  A cos  t  4      4 (rad) e) x  A sin  t  33   A sin  t  33   A cos  t  31   A cos  t  8     A cos  t         (rad) x  a  A cos  t    , ta biến đổi thành +) Nếu phương trình dao động có dạng x  a  A cos  t    Vế trái x – a độ lệch vật khỏi vị trí có tọa độ x = a Vậy vật dao động điều hịa quanh vị trí có tọa độ x = a (vị trí cân bằng) với biên độ A, tần số góc  , pha ban đầu  Một số dạng phương trình dao động đưa dạng là:  x  a  A cos  t    ; x  a  A sin  t     x  A sin  t       A A A 1  cos  2t  2     cos  2t  2    2 A A x  A cos2  t      cos  2t  2  2   a b x  a cos x  bsin x  c  a2  b  cos x  sin x   a2  b cos  x    c   a2  b  a b  Trong cos   a a b 2 ; sin   b a b 2 Hãy vươn tới bầu trời, khơng chạm tới ngơi bạn tinh tú… LUYỆN THI THPTQG MÔN VẬT LÝ DAO ĐỘNG ĐIỀU HỊA Ví dụ 5: Xác định tọa độ VTCB, biên độ, tần số góc pha ban đầu dao động có phương trình: a) x  3  sin  t    (cm) b) x  sin  2t  3  (cm) c) x   cos2  5t    (cm) d) x  cos  t     sin  t    (cm) Giải a) x  3  sin  t     3  cos  t    (cm)  VTCB có tọa độ x = - cm, A = (cm),    (rad/s),    (rad) b) x  4sin  2t  3    cos  4t  3    cos  4t  (cm)  VTCB x = (cm), A = (cm),   4 (rad/s),   (rad) 2 c) x   cos2  5t       cos  10t       10t  2 3 (cm)  VTCB x = -0,5 (cm), A = 0,5 (cm),   10 (rad/s),    2 (rad) 1 d) x  cos  t     sin  t      cos  t     2   sin  t              cos cos  t     sin sin  t      cos  t     3  cos  t    (cm) 3    VTCB gốc tọa độ, A = (cm),    (rad/s),     (rad) Tính pha li độ vật thời điểm Ví dụ 6: Tính pha li độ vật dao động có phương trình sau: a) x  cos  6t    (cm), thời điểm t = 1/12 (s) b) x  2sin  t  2 3 (cm), thời điểm t = (s) c) x  cos 10t  0,2  (cm), t = 0,2 (s) Giải a) Pha:   6t    2 (rad), li độ x  cos 2  2,5 (cm) Hãy vươn tới bầu trời, khơng chạm tới ngơi bạn tinh tú… LUYỆN THI THPTQG MÔN VẬT LÝ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA  b) Li độ x  2sin    2 3  2sin   (cm) x  2sin  t  2 3  cos  t    (cm)  Pha:   t    5 (rad) c) Pha:   10t  0,2  1,8 (rad), li độ x  cos1,8  0,454 (cm) Ví dụ 7: Tính pha dao động: a) Biên độ A = cm, tính pha dao động vị trí có li độ x = - cm b) Biên độ A = 18 cm, tính pha dao động vị trí có li độ x = (cm) c) Biên độ A = cm, tính pha dao động vị trí có li độ x = cm Giải Gọi   t   pha dao động a) x  A cos   cos   2  cm   cos     cos b) 18 cos    cm   cos   2 2  3    cos     6 9 c) cos    cm   cos       arccos  1,347 (rad) Xác định thời điểm vật qua vị trí có tọa độ x Ví dụ 8: Cho vật dao động điều hịa có phương trình x  10 cos  4t    (cm) a) Xác định thời điểm vật qua vị trí có tọa độ x  5 (cm) b) Xác định thời điểm vật qua vị trí x  lần thứ c) Xác định thời điểm vật cách VTCB đoạn cm Giải a) x  10 cos  4t     5  cm   cos  t       cos 2  4t    2  k2  t   k   4t    2  k2  t   24  k Chú ý t   24  k t0 nên ta kết  k  1,2,3,  b) x  10 cos  4t      cos  4t     t 1 8 k  k  0,1,2,3,    cos Hãy vươn tới bầu trời, khơng chạm tới ngơi bạn tinh tú… LUYỆN THI THPTQG MÔN VẬT LÝ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA  4t      k2  t  48  k   4t      k2  t   48  k Do t  nên: t  48  k  k  0,1,2,3,  t   48  k  k  1,2,3,  Với họ nghiệm đầu tiên, thời điểm vật qua vị trí (cm) ứng với k = 0,1,2 là: 1/48 (s), 25/48 (s), 49/48 (s) Với họ nghiệm thứ hai, thời điểm vật qua vị trí (cm) ứng với k = 1,2 là: 23/48 (s), 43/48 (s) Sắp xếp theo thự tự thời gian ta thời điểm vật qua vị trí (cm) là: 1/48 (s), 23/48 (s), 25/48 (s), 43/48 (s), 49/48 (s) Vậy thời điểm lần thứ là: 49/48 (s) c) Vật cách VTCB đoạn (cm)  x  5 (cm) TH1: x  10 cos  4t     (cm)  cos  4t       cos  4t      k2  t  k  k  0,1,2,3,    4t      k2  t   12  k  k  1,2,3,   TH2: x  10 cos  4t     5 (cm)  cos  4t      5  cos  4t    5  k2  t   k  k  0,1,2,3,    4t    5  k2  t    k  k  1,2,3,   Ví dụ 9: Cho vật dao động điều hòa theo phương trình x  4sin  t    (cm) a) Xác định thời điểm vật qua vị trí cân lần thứ nhất, lần thứ 10 b) Xác định thời điểm vật qua biên âm? Giải a) Khi vật qua vị trí cân bằng: x  4sin  t      t    k  t   k  k  0,1,2,3,  Lần thứ ứng với k =  t 1  0,25 (s) Lần thứ 10 ứng với k =  t 10  9,25 (s) b) Vật qua biên âm thì: x  4sin  t     4 (cm)  t     2k  1   t   2k  k  0,1,2,3,  Hãy vươn tới bầu trời, khơng chạm tới ngơi bạn tinh tú… LUYỆN THI THPTQG MÔN VẬT LÝ DAO ĐỘNG ĐIỀU HỊA Tính số lần vật qua vị trí khoảng thời gian Δt Ví dụ 10: Cho vật dao động điều hịa theo phương trình x  cos  5t    (cm) Xác định số lần a) vật qua vị trí x = -2,5 (cm) khoảng thời gian (s) kể từ t = b) vật qua vị trí x  2.5 (cm) khoảng thời gian (s) kể từ t = c) vật qua vị trí x  2,5 (cm) khoảng thời gian từ t1 = (s) đến t2 = (s) Giải a) x  5cos  5t     2,5 (cm)  cos  5t       cos 2  t   2k  k  0,1,2,3,  5t    2  k2   5t    2  k2  t   10  2k  k  1,2,3,   Trong (s) đầu kể từ t = t   s  +) Họ nghiệm thứ cho k  4,58  k = 0,1,2,3,4 +) Họ nghiệm thứ hai cho k  5,25  k  1,2,3,4,5  Vật qua 10 lần! 5t      k2 b) x  5cos  5t     2,5 (cm)   5t       k2  t  15  2k  k  0,1,2,3,    t  2k  k  0,1,2,3,   Trong (s) đầu t   s  : +) Họ nghiệm cho k  2,33  k  0,1,2 +) Họ nghiệm cho k  2,5  k  0,1,2  Vật qua lần 5t      k2 c) x  cos  5t     2,5 (cm)   5t      k2  t  12  2k  k  0,1,2,3,    t   60  2k  k  1,2,3,   Ta có:  s   t   s  : Hãy ln vươn tới bầu trời, khơng chạm tới ngơi bạn tinh tú… 10 LUYỆN THI THPTQG MƠN VẬT LÝ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA +) Họ nghiệm thứ cho: 2,29  k  7,29  k  3,4,5,6,7 +) Họ nghiệm thứ hai cho: 2,54  k  7,54  k  3,4,5,6,7  Vật qua 10 lần Hãy ln vươn tới bầu trời, khơng chạm tới ngơi bạn tinh tú… 11 ... hịa dạng chuẩn viết dạng hàm côsin x  A cos  t    Các đại lượng đặc trưng dao động điều hòa Trong biểu thức phương trình dao động điều hịa: x  A cos  t    thì: a) x gọi li độ (đơn... sin  t    Các phương trình x  A cos  t    x  A sin  t    gọi phương trình dao động điều hịa Chú ý: Mặc dù viết dạng hàm cơsin hay hàm sin, phương trình dao động điều hịa dạng... THPTQG MƠN VẬT LÝ d) DAO ĐỘNG ĐIỀU HỊA T  (s)  T  (s)  t  12  s   6T  S  6.4A  24A  144 (cm)  A  (cm) Chuẩn hóa phương trình dao động u cầu:Đưa phương trình dao động có dạng khơng