Dao động tử Para Boson

MỞ ĐÀU l. Lý do chọn đề tài: Đối xứng là đặc tính phố biến trong nhiều hệ vật lí. Việc tìm kiếm nhũng đối xứng và sự vi phạm nó một cách tuần tự kiếm soát được, cũng như việc tìm kiếm những đại lượng bất biến trong vật lí là phương pháp chỉ đường phố biến trong công cuộc khám phá các định luật vật lí. Ngôn ngữ toán học của lý thuyết đối xứng là lý thuyết nhóm. Lý thuyết đối xứng lượng tử lấy nhóm lượng tủ' làm cơ sở là một hướng nghiên cứu thu hút sự quan tâm của nhiều nhà vật lý trong thời gian gần đây. Nhóm lượng tử là các kiểu biến dạng của đại so Lie thông thường mà sẽ thu lại được khi tham số biến dạng có giá trị bằng đơn vị [1,2]. ứng dụng của nhóm lượng tử trong vật lý trở nên phổ biến với việc đưa vào hình thức luận dao động tử điều hòa biến dạng [3,4], chẳng hạn như đã tìm được biểu diễn boson của đại số lượng tử su q (2) và ứng dụng để giải phương trình Yang - Baxter [5]. Đại số lượng tử còn có nhiêu ứng dụng trõiĩg các ngành vật lý khác, như nghiên cứu vê chuôi spin, các anyoins, quang lượng tử, sự quay và dao động của hạt nhân nguyên tử và ứng dụng trong lý thuyết trường conformai. Từ đó chúng ta nhận thấy rằng, đại số lượng tử có lớp đối xứng rộng hơn lớp đối xứng Lie và bao gồm đối xứng Lie như trường hợp đặc biệt. Nhóm lượng tử và đại số biến dạngđược khảo sát thuận lợi trong hình thức luận dao động tủ’ điều hòa, trong những năm gần đây việc nghiên cứu nhóm 1- ợng tử và đại số biến dạng đ- ợc kích thích thêm bởi sự quan tâm ngày càng nhiều đến các hạt tuân theo các thống kê khác với thống kê Bose - Einstein và thống kê Fermi - Dirac nh- thống kê para Bose, para - Fermi, thống kê vô hạn, các thống kê biến dạng , với t- cách là các thống kê mở rộng. Cho đến nay cách mở rộng đáng chú ý nhất là trong khuôn khổ của đại số biến dạng. Nhóm 1- ợng tử và đại số 1- ợng tử đã đ- a đến một phát triển mới trong lí thuyết hạt cơ bản. 1 Nghiên cún về dao động tử para boson nằm trong hướng nghiên cún trên, đã thu hút được sự quan tâm nghiêncứu của nhiều nhà khoa học và đã đạt được nhiều kết quả có ý nghĩa trong vật lý hạt nhân nguyên tử, trong vật lý hạt cơ bản Vì vậy đề tài có ý nghĩa khoa học; đó là lý do tôi chọn đề tài “Dao động tử para boson” làm luận văn thạc sĩ của mình. 2. Mục đích nghiên cứu: - Nghiên cứu về dao động tử para boson 3. Nhiệmvụ nghiên cứu: Đe đạt được mục đích nghiên cún đề ra cần thực hiện các nhiệm vụ sau: - Nghiên cứu và viết tổng quan về hình thức luận dao động tử điều hòa tuyến tĩnh. - Nghiên cứu các dao động tử boson và các dao động tử fermion = Nghiên cứu các dao động tử para boson 4. Phương pháp nghiên cún: - Phương pháp lý thuyết trường lượng tử - Phương pháp lý thuyết nhóm 5. Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài - Khảo sát hệ các dao động tử para boson Chương 1 BIỂU DIỄN SỐ HẠT CỦA DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA 1.1. Dao động điều hòa Xét chuyến động một chiều theo trục Ox của một hạt có khối lượng m chịu tác dụng của lực chuẩn đàn hồi F = —kx (k là hệ số chuẩn đàn hồi ). Trong cơ học cổ điển, chuyển động của hạt được diễn tả bằng phương trình 2 định luật II Newton <=>- kx = mx " c=>x"+—x = 0 m , . 2 ^ 1 1 \ Ầ Ẩ r với CO = — hay ũ) =, co là tan sô góc. m Hạt thực hiện dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng của nó x= A.sin(ú)t + ệ), F = ma 3 = —mA 2 cy 2 sin 2 (cơt+Ф ). Năng lượng toàn phần E của hạt: E = T + V = — mA 2 a> 2 COS 2 (ũ)t+ệ) + — mA 2 co 2 sin 2 (a>t + ậ) = —mũ) 2 A 2 . 2 Vậy ứng với mỗi giá trị của Cữ , năng lượng có thể có những giá trị liên tục, tỉ lệ thuận với biên độ A. Vận tốc của hạt như một hàm của tọa độ dx V = —- = Aú) sin (cot + Ф) dy = A o r*- 2 7Ĩ Gọi ĩ = — là chu kì dao động. Xác suât mà hạt vĩ mô năm trong khoảng từ ú) ' X—» x+ dx với dx = vdt bằng dw CD ịx)=— = 1.2. Biểu diễn tọa độ của dao động điều hòa Hệ đang xét được gọi là dao động tử điều hòa. Thế năng của hạt là: Thế năng V : v=-j % Fdx - —kx 2 2 CD 4 dt dx 2*AJl-ị 4 V(x) = -kx 2 = -nuo 2 x 1 . 2 2 Toán tử Hamiltonian có dạng H = T + ứ = —fcc 2 2 m 2 _ ù- h 2 d 2 1 I 2 => H = - 0 +-kx . 2m dx 2 Trạng thái lượng tử của hạt với năng lượng E được diễn tả bằng hàm sóng y/(x) thỏa mãn phương trình Schrodinger (phương trình chuyển động của hạt vi mô) Hự/(x) = Ey/(x) [ - T—TT + T V (*)] = Eụ/ (JC). (1.1) Đặt p v r V h -ĨỀ ỊẼ-ĨỄL h V k hú) Dùng biến không thứ nguyên: ệ = Ị5x Thay vào phương trình (1.1) ta được: /1 n _ r d co m 2l . . 2mE . . [^-<r 2 +£]y/(§)=0 p h 2 d 2 1 — T-+ — 2 m dx 2 (*) 5 =>[-è-# 2 +s]^(#)=a. (1.2) dệ £ với ịị/(ệ) = *//(—) hữu hạn tại ệ = 0 và giới nội khi ặ —> ±00. Dáng điệu của ỹ(ặ) ở lân cận QO là: ỹ(ễ): exp(-^) Nghiệm (1.2) có dạng: y/(ỹ)=v(#)exp(-^) (1.3) với v(ệ) là hàm cần xác định. Thay (1.3) vào (1.2) ta được [^r-í 2 +ff]v(#)exp(-ệ) = 0 dệ 2 »^r[v'(#)exp(-^)- v(ệ)ệ exp(-^)]+ (fi -<f 2 )v(#)exp(-^) = 0 «■ [v"(£)- v(£) + v(£)£ 2 - 2v\ệ)ệ + sK^)-í 2 v(í)]exp(-^) = 0 => v"(£) - 2v\ệ)ệ + (e- ì)v(ệ) = 0, (1.4) trong đó: ,« >,ẺS1 dệ v"(ệ)= Ể^ễl . ệ dệ 2 Ta tìm hàm v(ệ) dưới dạng chuỗi /1=0 Từ (1.7) ta có hệ thức truy toán _ 2n 4-1 - £ а "* 1 ~ (n + 2){n+\) a "' Trên đây là biểu thức về phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến 6 tính, với các đặc điếm sau: + Đặc điểm 1 : Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính chỉ có thể nhận các giá trị gián đoạn. + Đặc điểm 2: Các mức năng lượng cách đều nhau, hiệu giữa các mức năng lượng liền kề nhau là hang so АE = \\CỚ . + Đặc điểm 3: Năng lượng thấp nhất của dao động tử điều hòa tuyến tính ứng với n=0, được gọi là năng lượng “không”. Mức “không” của năng c _hco lượng là - — > u . Năng lượng không tương ứng với dao động “không” mà ta không thế trừ bỏ được bằng cách hạ nhiệt độ chắng hạn. Nói khác đi, do có xuất hiện năng lượng “không” nên dao động tử lượng tử không thể ở trong trạng thái nghỉ, ở nhiệt độ không tuyệt đối phần lớn các hệ nằm ở mức năng lượng thấp nhất(mức cơ bản), nhưng khi đó các nguyên tủ’ vẫn thực hiện dao động. Nănglượng “không” của dao động đã quan sát được khi cho ánh sáng tán xạ trên tinh thể nằm ở nhiệt độ gần độ không tuyệt đối. + Đặc điểm 4: Các mức năng lượng của dao động tủ' điều hòa tuyến tính không suy biến, hay bậc suy biến của các mức năng lượng g=l. Năng lượng thấp nhất của dao động tủ’ điều hòa ứng với 71 = 0 là: E 0 = —hú) được gọi là năng lượng không. Sự tồn tại của năng lượng thấp tthât E ữ chỉ có thê giải thích được trêii cơ sở lý thuyêt lượng tử. Thật vậy, nếu gọi độ bất định của năng lượng, xung lượng và tọa độ là AE,Ap,Ax. Sự tồn tại năng lượng E ữ > 0 gắn liền với hệ thức bất định giữa tọa độ và xung lượng của hạt 7 Vì 8 Quy ước chọn gốc tính năng lượng trùng với năng lượng không E 0 . Khi đó năng lượng của dao động tử điều hòa chỉ có thể có năng lượng là bội của năng lượng hũ) E = nhcờ. Đó chính là giả thuyết Planck: năng lượng của một dao động tử điều hòa bằng một bội nguyên của lượng tử năng lượng hcủ. Đe xác định dạng tường minh của hàm sóng ụ/(x) ta lưu ý rằng với s = 2n + \ phương trình (1.4) trở thành v\ệ)-2ệv\ệ)+2nv(ệ). Mặt khác đa thức Hermite lại thỏa mãn phương trình H, "(<?) - 2ệH n \ặ) + 2nH n (£) = 0, so sánh hai phương trình trên ta có v(ỉ)^v„(ỉ)=N, l H„(ỉ), với N n là hệ số chuẩn hóa và do đó W(x)-*-y/ n {x)=N n H n (l3x)ex^{-ẽ-Y-). Sử dụng điều kiện chuẩn hóa đối với hàm y/ n (x) => 7|y/„M| 2 dx = №. 7Hl(ệ)e~ 4l dệ = 1, (**) -00 r*—00 trong đó đa thức Hermite có dạng tường minh //„(#) = H)V' 2 |^- f2 .2 «(«- , «(»-l)(»-2)(n-3).„,,^4 = (2ệf - '~(2ệr 4 + +00 I = j Hl(ệ)e e dệ -00 Đặt: 9 Tính tích phân +CC +00 J fị ỉ=\Hl{ệ)e- e dệ = (-\Ỵ ịH n (ệ)j—e- e dẸ, -cc —co ^ +°° ltĩ-\ trong đó / = (- 1)" I H n . -00 Đặt u = //„(#); dv = d du = ^H„(ệ)dệ dg Suy ra ^ 1 T n-1 d<Ẹ"- ] +oc J J n-1 = rị±H.( i, Tích phân từng phần tích phân trên n lần ta thu được =>/ = (-l)"(-l)" Ợ-**) -oc T? -ỉ-H n (ệ) = n(n-\){n-2) 1.2" = 2».«! dệ Áp dụng tích phân Poisson +00 / 2( ,= JVv“<£t = -00 -l-QO ta có I e~^dệ = 4ĨĨ• -00 Thay các kết quả vào (***) ta được i = T.n\.4ĩt. Thay / vào (**) ta có: 1 - 7+ —kx 2 . í 11I-1 'N d 1 0 [...]... Young Khi bc ca thng kờ para p > 1 thỡ thng kờ para tr v thng kờ BoseEinstein hoc thng kờ Fermi-Dirac, tng ng Trong gii hn ca lun vn, chng ny chỳng tụi nghiờn cu v dao ng t para- boson 3.1 Dao ng t para- boson Cỏc h thc (2.3), (2.4) trờn i vi cỏc dao ng t boson n mode cú th vit tng ng di dng sau 2 vi p l nhng s nguyờn dng, v tha món cỏc h thc giao hoỏn ~N,õ] = -õ [N,õ'] = õ\ Cỏc dao ng t tuõn theo cỏc... h dao ng iu hũa tuyn tớnh c bit l a ra cỏc toỏn t sinh, hy v toỏn t s dao ng t, tỡm cỏc h thc giao hoỏn ca cỏc toỏn t ú v tỏc dng ca chỳng lờn cỏc vecto c s ca khụng gian Fock Cỏc vn ó c trỡnh by chng mt, l c s khoa hc chỳng tụi nghiờn cu v dao ng t boson v dao ng t fermion chng hai m chỳng tụi s trỡnh by sau õy Chng2 DAO NG T BOSON V DAO NG T FERMION 2.1 Cỏc h thc giao hoỏn ca toỏn t sinh, hy dao. .. hp boson v fermion + Xut phỏt t biu thc trung bỡnh thng kờ theo tp hp chớnh tc ln ca mt i lng vt lý F c biu hin bi toỏn t da vo cỏc h thc toỏn t ó thu c trờn chỳng tụi xõy dng c phõn b thng kờ Bose- Einstein v phõn b thng kờ Fermi-Dirac theo phng phỏp khỏc vi phng phỏp Cỏc ụ Boltzmann, v phng phỏp Gibbs quen thuc Vic nghiờn cỳn v dao ng t' boson v dao ng t fermion l cn thit dn n dao ng t para boson. .. cỏc h thc giao hoỏn ~N,õ] = -õ [N,õ'] = õ\ Cỏc dao ng t tuõn theo cỏc h thc (3.3),(3.4) gi l cỏc dao ng t para boson, tuõn theo thng kờ para bose, vúi p l s nguyờn dng, gi l bc ca thng kờ para bose Chỳng ta bit rng, h N cỏc ht ng nht boson cú spin nguyờn, nm trong trng thỏi i xng, trong khi ú i vi h N cỏc ht para bose cú th cú nhiu nht p ht trong trng thỏi phn i xng Trong khụng gian Fock tn ti mt trng... kờ para Bose nh sau: 2+p e" -1 Trng hp c bit p = 1, chỳng ta thu li c phõn b thng kờ Bose- Einstein (3.19) 3.3 Trng thỏi kt hp ca cỏc dao ng t para- boson Trng thỏi kt hp l mt phn quan trng trong lý thuyt lng t, v cú nhiu ng dng quan trng trong quang hc, trong vt lý cht rn v vt lý ht c bn Chỳng tụi cp n mt cỏch cú h thng nhng khỏi nim v cỏc trng thỏi kt hp ca dao ng t bin dng: dao ng t cú thng kờ para- ... thu c phõn b thng kờ Fermi-Dirac : ge 8-Ll I (2.27) f8= exp kT J 2.5 + 1 Kt lun chng 2: Trong chng 2, tụi ó nghiờn cu v dao ng t boson v dao ng t fermion Gm cỏc ni dung chớnh nh sau: + Chng minh c rng: Cỏc toỏn t sinh ht boson v hy ht boson tuõn theo h thc giao hoỏn Cũn cỏc i vi dao ng t fermion do phi tuõn theo nguyờn lý cm Pauli, nờn toỏn t sinh ht fermion v hy ht fermion tuõn theo h thc phn giao... toỏn t sinh, hy boson Trờn c s cỏc h thc giao hoỏn ca toỏn t sinh, hy dao ng t, bõy gi chỳng ta s xem xột l i vi cỏc ht boson cú spin nguyờn thỡ toỏn t sinh v hy boson tuõn theo cỏc h thc giao hoỏn nh th no? e tr li cõu hi ny ta xõy dng vộc t trng thỏi ca h hai boson hai trng thỏi khỏc nhau V v ]Li: |vn} = ọọ;,|0) H = õ,;õ;|o), trong ú |o) l trng thỏi chõn khụng khụng cha ht no i vi h cỏc boson ng nht... hp mụ t thng kờ para Cỏc ht tuõn theo thng kờ ny c gi l cỏc ht para T cụng vic ca H S Green nm 1953 [6], chỳng ta bit c rng thng kờ ca cỏc ht ng nhtcú th bao gm c thng kờ para Bose v thng kờ para Fermi vi bc nguyờn dng p i vi trng hp thng kờ para Bừsờ bc p, cú thờ cú nhiờu nhõt P ht trừng trng thỏi phn ụi xng Trờn bng Young chỳng c biu din vi nhiu nht l p hng Cũn i vi trng hp thng kờ para Fermi bc p,... trong biu din s ht, cỏc dao ng t boson c c trng bi cỏc toỏn t sinh, hy ht boson tuõn theo cỏc h thc giao hoỏn õ,õ+ = 1 [õ,,õ;] = s, (2.3) [õ,,õ] = [õ,,õớ] = 0 Toỏn t s ht biu din theo cỏc toỏn t sinh, hy boson I v tuõn theo cỏc h thc giao hoỏn: ff = I I, -1 = lớ, (2.4) [;1] = -1,;] = i s (1.21) c thc hin trong khụng gian Fock cú cỏc vộct c s l vộct trng thỏi riờng ca toỏn t s dao ng t N, tha món phng... n + p n n+1 n l n n+p-1 õõ |n) = |n). õ n cú th vit li h thc (3.8) di dng chn chn (3.13) n l Nh vy h õ|n) = |n).< thc (3.13) cú th c biu din di dng sau I 3.2 Thng kờ para Bose Cng nh nhng phn trờn, hm phõn b thng kờ ca h dao ng t para boson c xõy dng da trờn nh ngha trung bỡnh thng kờ ca toỏn t F l: = z:Tr z trong ú p = , l th hoỏ hoc, if l Hamiltonian Thụng thng khi chon kT gc nng lng giỏ tr Eo . tuyến tĩnh. - Nghiên cứu các dao động tử boson và các dao động tử fermion = Nghiên cứu các dao động tử para boson 4. Phương pháp nghiên cún: - Phương pháp lý thuyết trường lượng tử - Phương pháp lý thuyết. học, thực tiễn của đề tài - Khảo sát hệ các dao động tử para boson Chương 1 BIỂU DIỄN SỐ HẠT CỦA DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA 1.1. Dao động điều hòa Xét chuyến động một chiều theo trục Ox của một hạt có. nguyên tử, trong vật lý hạt cơ bản Vì vậy đề tài có ý nghĩa khoa học; đó là lý do tôi chọn đề tài Dao động tử para boson làm luận văn thạc sĩ của mình. 2. Mục đích nghiên cứu: - Nghiên cứu về dao