Các thuật toán cơ bản trong thông tin lượng tử

1 LỜI CẢM ƠN Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Trần Thái Hoa, người đã tận tình chỉ dạy, cung cấp cho tôi những kiến thức nền tảng, trực tiếp để tôi hoàn thành bài luận văn này. Thầy cũng là người đã giúp tôi ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng thầy. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô ở phòng Sau Đại Học, trong Khoa Vật Lý Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các Giáo sư, Tiến sĩ đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thức quí báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua. Cuối cùng, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này. Hà Nội, tháng 10 năm 2010 Nguyễn Minh Vương 2 LỜI CAM ĐOAN Tên tôi là : Nguyễn Minh Vương, học viên cao học khóa 2008 – 2010, chuyên nghành Vật lý lý thuyết và vật lý toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Tôi xin cam đoan đề tài: “Các thuật toán cơ bản trong thông tin lượng tử ”, là kết quả nghiên cứu, thu thập của riêng tôi. Các luận cứ, kết quả thu được trong đề tài là trung thực, không trùng với các tác giả khác. Nếu có gì không trung thực trong luận văn tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học. Hà Nội, tháng 10 năm 2010 Tác giả Nguyễn Minh Vương 3 MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn 1 Lời cam đoan 2 Mục lục 3 Mở đầu 5 Nội dung 7 Chương 1: Giới thiệu và các khái niệm cơ bản về thông tin lượng tử 7 1.1. Giới thiệu 7 1.2. Các khái niệm cơ bản 13 1.2.1. Bit lượng tử 13 1.2.2. Rối lượng tử 19 1.2.3 Trạng thái kết hợp 21 1.2.4. Qubit dưới dạng chồng chập của hai trạng thái kết hợp 26 Chương 2. Các thuật toán cơ bản trong thông tin lượng tử 31 2.1. Giới thiệu 31 2.2. Tiền đề 34 2.2.1. Thuật toán Deutsch 34 2.2.2. Thuật toán Deutsch-Josza 36 2.2.3. Thuật toán Simon 39 2.3. Thuật toán phân tích thành thừa số Shor 41 2.3.1. Rút gọn từ phân tích thành việc tính toán thời gian 41 2.3.2. Thực thi QFT 43 2.3.3. Thuật toán Shor cho việc tính toán thời gian 44 2.4. Thuật toán Grover 46 2.5. Những thuật toán khác 48 2.5.1 Vấn đề nhóm phụ ẩn 48 2.5.2 Thuật toán nghiên cứu 50 4 2.5.3 Những thuật toán khác 51 2.6. Những phát triển gần đây 52 2.6.1. Bước lượng tử 52 2.6.2. Thuật toán lượng tử đoạn nhiệt 54 Chương 3. Một số vấn đề và các giải pháp về thuật toán trong thông tin lượng tử 57 3.1. Vấn đề 1 57 3.2. Vấn đề 2 58 3.3. Vấn đề 3 60 3.4. Vấn đề 4 62 3.5. Vấn đề 5 64 3.6. Vấn đề 6 66 Kết luận 69 Tài liệu tham khảo 70 5 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong hơn hai thập kỉ qua, khoa học thông tin lượng tử đã trở thành một trong những lĩnh vực thu hút được nhiều sự quan tâm nhất của các nhà khoa học. Nó được xem là một lĩnh vực mới có khả năng tạo ra sự đột phá mạnh mẽ trong lĩnh vực khoa học và kỹ thuật có liên quan đến sự tính toán, thông tin liên lạc, phép đo chính xác và khoa học lượng tử cơ bản. Lý thuyết thông tin cổ điển do Claude Shanon phát minh ra cách đây hơn 50 năm đã phát triển và trở thành một trong những nhánh sai quả và đẹp nhất của ngành toán học. Hiện nay, nó thật sự là một lý thuyết không thể thiếu trong lĩnh vực công nghệ thông tin, bất cứ ở đâu mà thông tin được lưu trữ và xử lý. Mặc dù đã có những thành công không thể nào phủ nhận được song thông tin cổ điển vẫn còn tồn tại rất nhiều hạn chế do nó chỉ bám rễ trong phạm vi của vật lý cổ điển. Chính vì vậy, việc nghiên cứu và áp dụng lý thuyết lượng tử vào việc xử lý thông tin luôn thôi thúc các nhà khoa học,và gần đây, nó đã mang lại nhiều thành công đáng kinh ngạc. Vì thế, việc tìm hiểu và nghiên cứu về khoa học thông tin lượng tử là một việc làm rất hợp thời đại. Đó cũng là lý do để tôi chọn đề tài “Các thuật toán cơ bản trong thông tin lượng tử”. Nó sẽ giúp bản thân tôi có cái nhìn sâu sắc hơn về thông tin lượng tử. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu về các thuật toán cơ bản trong thông tin lượng tử. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Các khái niệm cơ bản, các thuật toán thông dụng dùng trong thông tin lượng tử. Các vấn đề và giải pháp. 6 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Các thuật toán trong thông tin lượng tử. 5. Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp nghiên cứu của Vật lý lý thuyết và vật lý toán. 6. Cấu trúc luận văn Chương 1. Giới thiệu và các khái niệm cơ bản về thông tin lượng tử Chương 2. Các thuật toán cơ bản trong thông tin lượng tử Chương 3. Một số vấn đề và các giải pháp về thuật toán trong thông tin lượng tử 7 NỘI DUNG CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ THÔNG TIN LƯỢNG TỬ 1.1 Giới thiệu Trong hơn hai thập kỉ qua, khoa học thông tin lượng tử đã trở thành một trong những lĩnh vực thu hút được nhiều sự quan tâm nhất của các nhà khoa học. Nó được xem là một lĩnh vực mới có khả năng tạo ra sự đột phá mạnh mẽ trong lĩnh vực khoa học và kỹ thuật có liên quan đến sự tính toán, thông tin liên lạc, phép đo chính xác và khoa học lượng tử cơ bản. Lĩnh vực này xuất hiện kể từ lúc một số nhà khoa học tiên phong như Charles Bennett, Paul Benioff, Richard Feynman và những người khác bắt đầu nghĩ đến việc áp dụng trực tiếp cơ học lượng tử trong các tính toán và xử lý thông tin. Lý thuyết thông tin cổ điển do Claude Shanon phát minh ra cách đây hơn 50 năm đã phát triển và trở thành một trong những nhánh sai quả và đẹp nhất của ngành toán học. Hiện nay, nó thật sự là một lý thuyết không thể thiếu trong lĩnh vực công nghệ thông tin, bất cứ ở đâu mà thông tin được lưu trữ và xử lý. Mặc dù đã có những thành công không thể nào phủ nhận được song thông tin cổ điển vẫn còn tồn tại rất nhiều hạn chế do nó chỉ bám rễ trong phạm vi của vật lý cổ điển. Chính vì vậy, việc nghiên cứu và áp dụng lý thuyết lượng tử vào việc xử lý thông tin luôn thôi thúc các nhà khoa học,và gần đây, nó đã mang lại nhiều thành công đáng kinh ngạc. Kể từ năm 1990, Khi Max Planck đề xuất giả thuyết về tính gián đoạn của bức xạ điện từ phát ra từ các vật - giả thuyết lượng tử - để giải thích những kết quả thực nghiệm về bức xạ nhiệt của vật đen thì vật lý học lượng tử đã ra đời. Sự xuất hiện của vật lý lượng tử và thuyết tương đối lả cuộc cách mạng của ngành vật lý học vào cuối thế kỷ 19 và đầu thế kỷ 20 và là cơ sở khoa học của nhiều ngành 8 công nghệ cao như công nghệ cao như công nghệ điện tử và vi điện tử, công nghệ viễn thông, công nghệ quang tử, công nghệ tự động hoá, công nghệ thông tin…. Có thể nói rằng, cơ học lượng tử là một trong những lý thuyết thành công nhất của thế kỷ 20. Theo cơ học lượng tử, những hệ vi mô có các tính chất khác hẳn so với các hệ vĩ mô. Ví dụ, các đối tượng lượng tử có thể ở nhiều trạng thái cùng một lúc. Hai đối tượng tách biệt nhau hoàn toàn vẫn có thể bị rối với nhau, có nghĩa là chúng phản ứng đồng thời với các thí nghiệm riêng biệt dù chúng có ở xa nhau thế nào đi nữa. Ngoài ra, cơ học lượng tử cũng đã được xác minh bằng thực nghiệm: những tiên đoán của nó chưa bao giờ sai dù nó có kỳ lạ như thế nào đi chăng nữa. Thật ra, trong thời kỳ đầu đã có rất nhiều nhà tiên phong của cơ học lượng tử cho rằng nó là một lý thuyết không đầy đủ. Đại diện cho số đó chính là Albert Einstein, người đã không đồng ý về tính xác suất trong cơ học lượng với câu nói: “Chúa không chơi xúc xắc”. Đặc biệt, năm 1935 Einstein, Podolsky và Rosen đã nêu ra nghịch lý EPR [22], cho rằng cơ học lượng tử là không đầy đủ. Phải đợi tới 30 năm sau, năm 1964, Bell mới đưa ra được một bất đẳng thức (sau này gọi là bất đẳng thức Bell) cho phép kiểm tra bằng thực nghiệm nghịch lý này [13]. Những nghiên cứu mới về cơ học lượng tử trong thời gian gần đây đã và đang hướng đến một lĩnh vực mới. Khoa học thông tin lượng tử. Việc áp dụng vật lý lượng tử và công nghệ thông tin có thể làm thay đổi hẳn cách chúng ta giao tiếp và xử lý thông tin. Điều mấu chốt khi tìm hiểu lĩnh vực này là sự tách biệt rõ ràng giữa dấu hiệu hàng ngày của thông tin cổ điển và bản đối ứng lượng tử kém trực giác của nó. Thông tin cổ điển có thể bị đọc và sao chép lại y nguyên mà không hề để lại một dấu vết nào về sự đọc trộm và sao chép đó. Trong khi đó, thông tin lượng tử không thể nào sao chép được nguyên vẹn và bất cứ một sự đọc trộm nào đều có thể bị phát hiện. Đây là một đặc điểm rất quan trọng của cơ học lượng tử mà có thể được tận dụng để trao 9 đổi thông tin một cách hoàn toàn tuyệt mật. Các trạng thái rối lượng tử còn có thể tạo ra một mức độ song song trong tính toán cao hơn hẳn một máy tính có kích thước bằng cả vũ trụ. Đó là các tính toán được thực hiện một cách hoàn toàn mới, gọi là tính toán lượng tử. Trong lý thuyết thông tin cổ điển, đại lượng cơ bản của thông tin là bit, còn trong thông tin lượng tử thì đại lượng cơ bản của nó là bit lượng tử, còn được gọi qubit, thuật ngữ này đã được Ben Schuhmacher đưa ra năm 1995. Nói chung, thông tin lượng tử được xem như là sự tổng quát hoá hay sự mở rộng của thông tin cổ điển. Bất kỳ một hệ lượng tử nào cũng có thể được xem như là một qubit nếu nó được xác định bởi hai trạng thái độc lập tuyến tính với nhau. Các photon phân cực, các hạt có spin 1/2, các nguyên tử hai mức, các cấu trúc chấm lượng tử kép,…đều có thể sử dụng như các qubit. Ngoài ra còn có thể sử dụng cả các đặc trưng ngoại như hai hướng truyền khác nhau của một hạt như là các qubit. Năm 1985 David Deutsch đã giới thiệu về máy tính lượng tử và cho thấy rằng lý thuyết lượng tử có thể giúp các máy tính thực hiện công việc nhanh hơn rất nhiều. Trong khi các máy tính số ngày nay xử lý thông tin cổ điển được mã hoá theo các bit thì máy tính lượng tử lại xử lý thông tin lượng tử theo các qubit. Máy tính lượng tử có thể được sử dụng để thực thi những nhiệm vụ rất khó thực hiện đối với máy tính số thông thường. Ví dụ, các siêu máy tính số ngày nay phải mất một thời gian dài hơn cả tuổi thọ của vũ trụ để có thể tìm ra được các thừa số nguyên tố của một số nguyên lớn có khoảng vài trăm chữ số, trong khí đó các máy tính lượng tử có thể thực hiện nhiệm vụ này trong khoảng chưa đầy một giây. Những phát triển gần đây của lý thuyết thông tin lượng tử đã đem lại rất nhiều sự tiến bộ trong sự hiểu biết cơ học lượng tử và khả năng ứng dụng rộng rãi vào công nghệ tương lai. Những hứa hẹn về các ngành công nghệ 10 mới như: Tính toán lượng tử [27,41,31], Viễn chuyển lượng tử [13], Mật mã lượng tử [40], Hội thoại lượng tử [37], Kiểm tra lượng tử [38], Viễn tác các toán tử [39],….đã thu hút được rất nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học. Những nhà phát minh ra cơ học lượng tử chắc không thể ngờ rằng các trạng thái rối lượng tử lại có thể có những công dụng to lớn đến như thế. Vậy mục đích quan trọng trong lý thuyết thông tin lượng tử là làm thế nào để tạo ra, định lượng và sử dụng rối lượng tử, đó không chỉ là bản chất của cơ học lượng tử mà còn là nguồn tài nguyên không thể thay thế được cho việc xử lý thông tin lượng tử. Những công nghệ thông tin lượng tử được mong đợi là có thể khắc phục được những hạn chế còn tồn tại của công nghệ thông tin cổ điển. Những ý tưởng tính toán lượng tử xuất phát từ việc cho rằng các máy tính thực chất là các hệ vật lý và các quá trình tính toán là các quá trình vật lý. Việc tăng gấp đôi lượng tranzito trên một mạch tích hợp cứ sau mỗi 18 tháng trong suốt 30 năm qua đã khẳng định dự đoán của Moore [44]. Đến một thời điểm nào đó thì việc áp dụng các quy luật cơ học lượng tử để xử lý thông tin trong tính toán là không thể tránh khỏi. Năm 1980, lần đầu tiên Feynman nhận thấy rằng các hiệu ứng cơ học lượng tử bất kỳ không thể nào mô phỏng được một cách hiệu quả bởi một máy tính cổ điển [27]. Năm 1990, người ta thấy rằng sự song song lượng tử dựa trên đặc trưng của quá trình tiến hoá Unita (quá trình U) có thể làm tăng tốc độ tính toán một cách đáng kể trong các bài toán như phân tích một số nguyên lớn ra thừa số nguyên tố [41] hay dò tìm dữ liệu [31],… Các công nghệ thông tin liên lạc và mật mã cũng đã được khám phá dựa trên cơ học lượng tử. Sự phân bố khoá lượng tử cho phép sự liên lạc tuyệt mật mà điều này không bao giờ có thể thực hiện được theo các giao thức cổ điển như hiện nay. Tính chất không định xứ của cơ học lượng tử dẫn đến một hiện tượng vô cùng kỳ lạ đó là “Viễn thông lượng tử”. Bằng viễn chuyển [...]... 2 CÁC THUẬT TOÁN CƠ BẢN TRONG THÔNG TIN LƯỢNG TỬ 2.1 Giới thiệu Ý tưởng sử dụng cơ học lượng tử cho các nhiệm vụ thuật toán có thể được khởi nguồn bởi Feynman [28, 29] Ứng dụng mà ông nghĩ tới đó là mô phỏng hệ thống cơ học lượng tử qua một hệ thống lượng tử phổ quát, máy tính lượng tử Feynman lập luận rằng các hệ thống lượng tử phổ quát được trang bị đầy đủ để mô phỏng các hệ thống cơ học lượng tử. .. chỉ là thuật toán nhỏ nhất, chỉ bao gồm 2 bit lượng tử mà còn mang thành phần chính của các thuật toán lượng tử sau này và là một mô hình thí điểm thú vị để hiểu được tại sao và bằng cách nào các thuật toán lượng tử hoạt động Một bước tiến quan trọng trong thuật toán lượng tử được tạo ra bởi Peter Shor – người đã tìm ra thuật toán phân tích thành thừa số lượng tử hiệu quả Phân tích thành thừa số các số... mã lượng tử thương mại trên thị trường trong thời gian không xa nữa Xử lý thông tin lượng tử là một lĩnh vực mới, rộng lớn và có tính bao quát Trong luận văn này chúng tôi sẽ nghiên cứu một khía cạnh của nó là Các thuật toán cơ bản trong thông tin lương tử Như chúng ta đã biết, thông tin lượng tử được mã hoá trong các photon đơn có thể truyền đi rất nhanh do các photon chuyển động với tốc độ rất cao... hệ rất quan trọng đối với các giao thức lượng tử đa nhân trong một mạng lưới lượng tử Các trạng thái rối cực đại là những kênh lượng tử rất tốt trong xử lý thông tin lượng tử Ví dụ, trong viễn chuyển nếu một kênh lượng tử sử dụng không phải là rối cực đại thì xác suất thành công sẽ luôn bé hơn xác suất thành công của việc sử dụng rối cực đại Để tạo được một trạng thái lượng tử rối cực đại là một việc... tức Cách mà Feynman đặt ra nó,máy tính lượng tử là một chiếc máy tuân theo các quy luật cơ học lượng tử thay vì vật lý học Newton cổ điển Về mặt tính toán, điều này mang lại hai hệ quả quan trọng, xác định hai dạng trong đó cho thấy sự khác biệt của máy tính lượng tử và máy tính cổ điển Thứ nhất, trạng thái mô tả chiếc máy đúng lúc là các hàm sóng cơ học lượng tử Mỗi đơn vị cơ bản của tính toán- bit lượng. .. “không nhân bản được tìm ra năm 1982 [52] và là một định lý đóng vai trò quan trọng trong xử lý thông tin lượng tử Đã có một số đề xuất hiện thực hoá các qubit đối với quá trình xử lý thông tin lượng tử trong các hệ vật lý như nguyên tử, các hệ vật chất ngưng tụ và quang học Theo nguyên tắc, bất kỳ một hệ lượng tử hai chiều nào đều có thể được xem như là một hệ qubit Một hạt Spin -1/2, một nguyên tử hai... tương tác giữa các hệ lượng tử, ví dụ như khi hai hạt được tạo ra một cách đồng thời với một số yêu cầu là spin hay xung lượng phải được bảo toàn Tuy nhiên, một trạng thái rối có thể mất rối do tương tác với môi trường Rối đóng vai trò không thể thay thế như là nguồn tài nguyên trong các quá tình xử lý thông tin lượng tử bao gồm viễn chuyển lượng tử, mật mã lượng tử và tính toán lượng tử Giả sử một... về chiết rối lượng tử tạo rối đối xứng từ xa, tính toán lượng tử, sửa lỗi lượng tử, kiểm tra tính lượng xứ lượng tử, …Enk và Hirota là những người đầu tiên đề xuất ra sơ đồ để viễn chuyển một qubit logic có dạng (1.1) với các hệ số x,y bất kỳ chưa biết bằng cách sử dụng các thiết bị quang học tuyến tính như các bộ tách chùm, các bộ dịch pha, các máy đếm photon chính xác Gần đây cũng đã có các sơ đồ khác... Deutsch đó là ông sử dụng giao thoa của các biên độ của trạng thái lượng tử như vậy chỉ cần hỏi hộp đen một lần là đủ Mạch sau đây trên hai bit lượng tử cho ta một thuật toán lượng tử Hình 2.2 Mạch Deutsch 1 Bit lượng tử được bắt đầu từ 0 1 , ket đầu tiên chỉ bit lượng tử 1, ket thứ 2 chỉ bit lượng tử 2 2 Sau khi áp dụng biến đổi Hadamard cho từng bit lượng tử, trạng thái được xác định là 3 1 0 2 1... lý thông tin lượng tử lại là một chuyện khác, hệ qubit đó phải có thể nhập vào, kiểm soát, đo đạt và có thể 19 đọc được trước khi nó bị phá vỡ bởi tương tác với môi trường xung quanh Có hai loại qubit đó là: qubit quang học (không có khối lượng) rất tốt cho truyền tin và qubit vật thật (có khối lượng) rất tốt cho tính toán lượng tử Việc chuyển hoá thông tin lượng tử từ các qubit quang học sang các . về thông tin lượng tử. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu về các thuật toán cơ bản trong thông tin lượng tử. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Các khái niệm cơ bản, các thuật toán thông dụng dùng trong. lý toán. 6. Cấu trúc luận văn Chương 1. Giới thiệu và các khái niệm cơ bản về thông tin lượng tử Chương 2. Các thuật toán cơ bản trong thông tin lượng tử Chương 3. Một số vấn đề và các. tính toán được thực hiện một cách hoàn toàn mới, gọi là tính toán lượng tử. Trong lý thuyết thông tin cổ điển, đại lượng cơ bản của thông tin là bit, còn trong thông tin lượng tử thì đại lượng