Qubit dưới dạng chồng chập của hai trạng thái kết hợp

chứng tỏ rằng bất kỳ trạng thái kết hợp nào điều đó có thể khai triển theo các trạng thái kết hợp khác. Điều đó cho thấy tập hợp tất cả các trạng thái kết hợp lập thành một hệ quả đủ. Cuối cùng chúng ta chú ý rằng trạng thái kết hợp không phải là trạng thái duy nhất có độ bất định nhỏ nhất. Lớp các trạng thái có độ bất định nhỏ nhất là rộng nhất. Ví dụ, các trạng thái nén cũng là các trạng thái có độ bất định nhỏ nhất, trong đó  2 ( x)    hoặc  2 ( p)   có thể nhỏ hơn ¼ nhưng  2 ( p)    hoặc  2 ( x)

   lại lớn hơn 1/4 để không vi phạm hệ thức bất định Heisenberg ( x) 2 ( p) 2 1

16

      . Một số tính chất rất thú vị về các trạng thái nén một mode hoặc nhiều mode, một hướng hay nhiều hướng, …. đã nghiên cứu rất nhiều trong vòng những năm lại đây (xem [63, 64] và các trích dẫn trong đó).

1.2.4. Qubit dưới dạng chồng chập của hai trạng thái kết hợp

Xem hai trạng thái kết hợp | và |. Hai trạng thái này không trực giao với nhau nhưng tích phân xen phủ của chúng |  | |2 e 4| |2lại giảm rất nhanh theo ||. Ví dụ ||=2 thì tích phân xen phủ của chúng đã nhỏ tới cỡ 10-7. Chúng ta đồng nhất hai trạng thái kết hợp này như là hai trạng thái cơ sở của một qubit logic:

L L

| | 0 , | |1  (1.28) Lúc này trạng thái một qubit được biểu diễn như sau

L L

| csq  | 0   |1       | | (1.29) trong đó  và  là các hệ số và thoả mãn điều kiện chuẩn hoá sau

2 2 * *

1 csq | csq  | |  | |       ( ) | . (1.30) Một qubit dưới dạng hai trạng thái kết hợp (1.29) có hai phép đo đáng chú ý. Như chúng ta sẽ thấy, kết quả đọc ra của nó có thể được thực hiện một cách dễ dàng. Thêm vào đó, có thể hiện thực hiện hoá các phép đo Bell chỉ với các thiết bị quang học tuyến tính. Vì một trạng thái kết hợp là một trạng thái cổ điển nên qubit dưới dạng (1.29) được xem như một ví dụ về sự hiện thực hoá con mèo của Schrödinger và nó thường được gọi là”trạng thái con mèo của Schrödinger” hay đơn giản là “trạng thái con mèo” trong trường hợp | | | |   . Thật là thú vị khi xem xét khả năng về xử lý thông tin lượng tử với các trạng thái vĩ mô hay trạng thái mesoscopic. Tuy nhiên, theo lý thuyết phá vỡ kết hợp, các hệ lượng tử vĩ mô phá vỡ kết hợp và mất những đặc tính của nó nhanh hơn các hệ lượng tử vi mô. Như đã được đề cập ở phần 2.1 thì đây là một trong những lý giải tại sao chúng ta không thể tiến hành thí nghiệm để minh hoạ bản chất lượng tử của các hệ vĩ mô giống như những con mèo thật. Chính vì vậy mà biên độ của một qubit trạng thái kết hợp không được quá lớn trong suốt quá trình xử lý thông tin cổ điển. Câu hỏi đặt ra là làm thế nào để tạo ra một qubit dưới dạng chồng chập của hai trạng thái kết hợp? Như chúng ta đã biết, thông tin lượng tử được mã hoá trong trạng thái | csqthông qua  và . Vậy làm thếo nào để tạo ra một trạng thái | csq như mong muốn? Hầu hết các cơ sở đồ đều sử dụng môi trường phi tuyến Kerr [84, 85, 86]. Ở đây chúng ta giới thiệu một sơ đồ xác suất [87] để tạo ra một trạng thái | csq tuỳ ý có dạng:

| csq N( |    | ) (1.31) với| | 2   | |2 1 và 2 2| | * 1 N 1 2e  Re( )     (1.32) mà không cần đến môi trường phi tuyến Kerr. Xét một nguyên tử ba mức bị giam trong một buồng quang học: | g , | e  và | u. Trong đó, hai trạng thái | e và | u có thể chuyển cho nhau khi cộng hưởng với một mode  do một trạng thái kết hợp | đi vào buồng quang học. Nếu nguyên tử được chuẩn bị ở trạng thái | g thì trạng thái đi vào sau khi phản xạ từ gương của buồng quang học sẽ dịch pha i

e  1 bởi vì sự truyền | g | u là không cộng hưởng

| g |    | g | (1.33) Ngược lại, nếu trạng thái ban đầu là | e thì do liên kết mạnh với nguyên tử mà các mode xuất hiện với tần số của mode của buồng quang học đã bị mất điều hưởng từ chùm đưa vào. Chùm đưa vào không thể đi trong buồng nữa dẫn đến kết quả là sự phản xạ của nó giữ cho hình dạng và pha của nó không bị thay đổi

| e |    | e | (1.34) Để tạo ra trạng thái (1.31) chúng ta cần chuẩn bị trạng thái ban đầu của nguyên tử là | e  | g và sau đó cho trạng thái |phản xạ lên buồng quang học. Từ (1.33) và (1.34) chúng ta có | e | | g |        (1.35) hay ' ' 1 1 | N( | ) | N ( | | ) 2N       2N       (1.36)

với | (| g| e ) / 2 và N' (1 2e  2| |2Re( * ))1/2. Bây giờ nếu chúng ta đo nguyên tử trong hệ cơ sở {|, |} và tìm được trạng thái | với xác suất 1/2N2 thì trạng thái của chùm phản xạ sẽ xẹp xuống trạng thái (1.31) với các giá trị mong muốn của  và . Ngoài ra chúng ta có thể xây dựng một hệ cơ sở qubit trực giao {| e ,| d } từ hai trạng thái kết hợp| và | như sau:

L

| e M (|   | ) | 0  (1.37)

L

| d M (|   | ) |1  (1.38) trong đó M là các hệ số chuẩn hoá

2 1 M 2(1 exp[ 2 | | ])      (1.39) Có thể thấy rằng | evà | d lập nên một hệ cơ sở trực chuẩn

d| e e | d 0, e| e d | d 1

            (1.40)

Chúng ta có thể định nghĩa một không gian Hilbert hai chiều được khai trỉên theo | evà | d. Trạng thái con mèo chẵn | echỉ chứa một số chẵn photon trong khi đó trạng thái con mèo lẻ | dchứa một số lẻ photon

2 | | 2n 2 n o | e 2M e | 2n (2n)!           (1.41) 2 | | 2n 1 2 n o | e 2M e | 2n 1 (2n 1)!              (1.42)

có nghĩa là hai trạng thái này có thể phân biệt nhau bởi một phép đo chẵn lẻ số photon n o O (| 2n 2n | | 2n 1 2n 1|)           (1.43) Số photon trung bình đối với các trạng thái | evà | dlà

 2 2 2| | 2 2| | 1 e e | n | e | | 1 e           (1.44)  2 2 2| | 2 2| | 1 e d | n | d | | 1 e           (1.45) trong đó n a a

 là toán tử số hạt. Khi  tiến tới không thì trạng thái conmèo lẻ | d tiến tới trạng thái một photon đơn |1trong khi đó trạng thái con mèo chẵn | e tiến tới trạng thái | 0. Dù  có nhỏ như thế nào đi nữa thì xác suất tìm thấy số photon của trạng thái | dvẫn luôn luôn khác không tại một điểm máy đếm photon lý tưởng.

CHƯƠNG 2. CÁC THUẬT TOÁN CƠ BẢN TRONG THÔNG TIN LƯỢNG TỬ

2.1 Giới thiệu

Ý tưởng sử dụng cơ học lượng tử cho các nhiệm vụ thuật toán có thể được khởi nguồn bởi Feynman [28, 29]. Ứng dụng mà ông nghĩ tới đó là mô phỏng hệ thống cơ học lượng tử qua một hệ thống lượng tử phổ quát, máy tính lượng tử. Feynman lập luận rằng các hệ thống lượng tử phổ quát được trang bị đầy đủ để mô phỏng các hệ thống cơ học lượng tử khác; do đó một chiếc máy cơ học phổ quát rất có thể thực hiện hiệu quả các mô phỏng đó. Một phương pháp tiếp cận khác đối với vấn đê này được đưa ra bởi nhà khoa học Deutsch, ông đã cố gắng để hòa hợp cơ học lượng tử và nguyên lý Church- Turing – nói một cách nôm na là bất cứ hàm tính được nào cũng có thể được tính toán bởi cái được gọi là Máy Turing phổ quát. Deutsch đặt khái niệm về chiếc máy phổ quát vào cơ sở vật lý và hỏi liệu nguyên lý này có cần thay đổi gì không nếu chiếc máy đó là máy cơ học lượng tử, từ đó tạo nên khái niệm được biết đến như là Nguyên lý Church-Turing-Deutsch. Trong công trình nghiên cứu của mình, Deutsch cũng là người đầu tiên nói về một nhiệm vụ tính toán cụ thể, tuy không thể giải quyết trên một máy tính cổ điển nhưng cũng đem lại một giải pháp cơ học lượng tử dễ dàng thực hiện đó là Thuật toán Deutsch ( xem phần 2.2). Điều thú vị của thuật toán này là nó không chỉ là thuật toán nhỏ nhất, chỉ bao gồm 2 bit lượng tử mà còn mang thành phần chính của các thuật toán lượng tử sau này và là một mô hình thí điểm thú vị để hiểu được tại sao và bằng cách nào các thuật toán lượng tử hoạt động.

Một bước tiến quan trọng trong thuật toán lượng tử được tạo ra bởi Peter Shor – người đã tìm ra thuật toán phân tích thành thừa số lượng tử hiệu quả. Phân tích thành thừa số các số thành số nguyên tố là một bài toán quan

trọng, và chưa từng có một thuật toán nào giải được. Trên thực tế rất nhiều hệ mật mã phụ thuộc vào giả định rằng phân tích thành thừa số và các bài toán liên quan như logarit rời rạc là những bài toán khó. Thuật toán của Shor đã tạo ra một đe dọa đối về tính bảo mật của rất nhiều các giao dịch hàng ngày của chúng ta- nếu máy tính lượng tử ra đời, hầu hết các hệ thống mật mã hiện thời sẽ bị phá vỡ ngay lập tức.

Cách mà Feynman đặt ra nó,máy tính lượng tử là một chiếc máy tuân theo các quy luật cơ học lượng tử thay vì vật lý học Newton cổ điển. Về mặt tính toán, điều này mang lại hai hệ quả quan trọng, xác định hai dạng trong đó cho thấy sự khác biệt của máy tính lượng tử và máy tính cổ điển. Thứ nhất, trạng thái mô tả chiếc máy đúng lúc là các hàm sóng cơ học lượng tử. Mỗi đơn vị cơ bản của tính toán- bit lượng tử- có thể được xem như là một vectơ phức hai chiều chuẩn trong không gian Hilbert. Gốc hai chiều đối với một bit lượng tử như vậy thường được kí hiệu là 0 và 1 , trong đó các trạng thái cơ sở tương ứng với bit cổ điển (có giá trị là 0 và 1). Thứ hai, động lực học chi phối sự phát triển trạng thái đúng thời điểm là đồng nhất, nghĩa là được mô tả bởi một ma trận đồng nhất chuyển trạng thái tại một thời điểm nào đó sang trạng thái tại một thời điểm sau đó. Thành phần động lực thứ hai là phép đo. Trong cơ học lượng tử việc quan sát hệ thống sẽ làm thay đổi nó. Trong phạm vi hạn chế hơn của thuật toán lượng tử, một phép đo có thể được xem như là hình chiếu trên trạng thái cơ bản. Trạng thái cơ bản đặc biệt sẽ được đo với xác suất được tính bởi bình phương biên độ trong trạng thái đang được đo.

Thực tế khi đưa ra mô hình này, người ta cũng không biết rõ được liệu một cái máy tính lượng tử như thế có thể thực hiện các tính toán cổ điển hay không. Xét cho cùng thì một ma trận đồng nhất thì khả nghịch và vì vậy việc tính toán lượng tử có thể khả nghịch được. Tính toán cổ điển đưa ra bởi một mạch nào nó với các cổng thành tố như là cổng NOT, cổng AND là không

khả nghịch, đơn cử là bởi vì một cổng như cổng AND có hai đầu vào và chỉ duy nhất một đầu ra. Tuy nhiên, câu hỏi về tính khả nghịch của tính toán cổ điển đã được nghiên cứu trong bối cảnh tiêu năng ( tiêu tán năng lượng) bởi Bennett vào những năm 70 cuả thế kỉ trước [8]; Bennet là người đã tạo ra phương pháp tính toán cổ điển có khả năng khả nghịch với chỉ một bit trên đầu đa thức trong tổng số bit và cổng đã sử dụng. Tính toán khả nghịch cổ điển do đó chỉ là một phép hoán vị trên dải bit của đầu vào và chỉ trong một đơn nguyên đơn vị.

Câu hỏi quan trọng tiếp theo đó là liệu có thể chế tạo ra một chiếc máy lượng tử phổ quát/ vạn năng ( thay vì các máy tính với mục đích cụ thể hiện thời)? Nói cách khác, có hay không một số ít các phép toán thực hiện phép biến đổi đơn nguyên? Như người ta vẫn biết cho tới nay bất cứ hàm Boolean nào có thể tính toán bằng một tập nhỏ các cổng như là AND và NOT. Và cũng rất may mắn rằng phát biểu tương tự cũng đúng với thế giới lượng tử. [19, 20] cho thấy có một tập nhỏ các cổng lượng tử trên hầu hết 2 bit lượng

tử. Một tập cổng như thế được gọi là {X, PI/8, H, CNOT} trong đó X thực

hiện đảo bit lượng tử đơn lẻ, PI/8 là cổng nhân trạng thái cơ sở 1 với 4

i e  , cổng Hadamard H đặt ra 0 1 0 1  2   và 1 1 0 1  2   và cổng NOT

được điều khiển, một phép toán 2 bit lượng tử, nhảy sang bit thứ hai nếu bit thứ nhất là 1 .

Điều này làm nền móng cho việc thiết kế thuật toán lượng tử chung. Trong chương này chúng tôi sẽ theo dấu lịch sử thuật toán lượng tử với tập trung là các mốc – thuật toán của Shor và của Grover để nghiên cứu không cấu trúc – và hoàn thành một bài tổng kết tóm tắt các phát triển gần đây. Trong quá trình đó chúng tôi sẽ trích ra ngày càng nhiều các chi tiết để cố

gắng truyền tải trực giác chung ẩn sau các ý tưởng chính trong lĩnh vực thú vị này.