Rút gọn từ phân tích thành việc tính toán thời gian

Gỉa sử chúng ta muốn phân tích số N. Một khi chúng ta có thuật toán đưa ra hệ số q của N, chúng ta có thể thực hiện lại thuật toán trên q và N/q; ta có tất cả các nhân tố của N sau khi lặp lại nhiều nhất là log N lần. Gỉa sử N là số lẻ và không chiếm ưu thế (cả hai điều kiện đều có thể được kiểm chứng rõ ràng và hơn thế nữa trong trường hợp này tìm ra hệ số của N không phải là điều khó khăn). Đầu tiên, chúng ta chọn một 1 yN bất kỳ và tính

 , 

GCD y N (có thể thực hiện một cách hiệu quả sử dụng thuật toán Euclidean).

giản N. Nếu không, y sẽ tạo ra một môdun nhóm nhân N. Nhóm này là nhóm phụ của *

N, môdun nhóm nhân N. Thứ tự của nhóm này được quyết định bởi hệ số N (không biết). Số nguyên nhỏ nhất a để ya 1 mod N được biết đến là thứ tự của y, là thời gian hàm số   x

y

f x  y mod N. Hàm số này có thể được coi là một hàm qua .

Bây giờ, chỉ cần có thuật toán tìm thời gian, chúng ta có thể xác định a. Nếu a là số chẵn, N y a21ya21 cũng là số chẵn. Chúng ta biết rằng

( 2

a

là thời gian của fy), vì vậy nếu thì N phải có một hệ số chung với mỗi một 2 1

a y  và chúng ta có thể xác định nó bằng cách tính , 2 1 a GCD N y     . Với xác suất ít nhất bằng 1 2 trên số lựa chọn y, cả hai điều kiện đều được thỏa mãn, có nghĩa cả a chẵn và cũng chẵn. Có thể chứng minh điều này bằng cách sử dụng lý thuyết của các tác giả Trung Quốc ( xem ví dụ [36, 40, 41] ).

Tiếp theo, chúng tôi tập trung vào việc giải bài toán tìm thời gian. Chúng ta đặc biệt sử dụng mạch lượng tử giống như trong thuật toán Simon, hình 6.4, được biết đến là phép lấy mẫu lượng tử Fourier với định nghĩa phù hợp về phép chuyển đổi lượng tử Fourier.

Định nghĩa: Phép chuyển đổi lượng tử Fourier qua M, nhóm lắp lại bao gồm các số mod M, thực hiện việc đồng nhất

. 1 : M x y y QFT x y M     Trong đó 2 i M e 

Chú ý rằng QFT qua 2 chỉ là phép biến đổi Hadamard trên một qubit, nhìn chung phép biến đổi n

H trong thuật toán Deytsch-Josza và thuật toán Simon thực hiện biến đổi QFT qua nhóm n2. Phép biến đổi Fourier trong trường hợp này chỉ là tích tenxơ của đơn vị qubit đơn. Phần sáng tạo của thuật toán Shor là để chỉ ra rằng QFT qua Mcũng được tính toán một cách hiệu quả, có nghĩa là trong thời gian đa thức log M và bởi một mạch lượng tử.