HÀM RBF
Với mỗi int, ta chọn tập . Đặt , ,...,1 k trong đó các điểm 1, 2,..., k đƣợc sắp xếp theo chiều ngƣợc chiều kim đồng hồ đối với Xét hàm chi phí sau 2 1 2 1 , ,..., : k k i i
trong đó ký hiệu ilà góc giữa tia ivà tia i 1 theo hƣớng ngƣợc chiều kim đồng hồ với chu kỳ k i : i. Hơn nữa, chúng ta cần tính góc nhỏ nhất và góc lớn nhất 1, 2,..., k min 1, 2,..., k , 1, 2,..., k max 1, 2,..., k . Vì 1 2 k i i nên biểu thức 2 1 k i i
có thể đạt đƣợc giá trị cực tiểu duy nhất khi
1 ... k 2 /k, tức là, các tia i sẽ cách đều nhau nếu 1, 2,..., k đƣợc chọn tùy ý trong R2. Tuy nhiên, các điểm này bị phụ thuộc vào sự phân bố của các điểm trong tập và vì vậy, mục đích thuật toán của ta là chọn
1, 2,..., k sao cho 1, 2,..., k đạt cực tiểu, trong khi vẫn giữ khoảng cách i nhỏ nhất có thể. Để đạt đƣợc mục đích cân bằng giữa nhỏ và khoảng cách cũng nhỏ, ta đƣa ra giới hạn là i phải đƣợc bao quanh bởi m
điểm gần nhất với và thuật toán dừng nếu tập , ,1 2..., k thỏa mãn
1, 2,..., k u 1, 2,..., k
trong đó m k và u 1.0 là các tham biến đƣợc xác định theo kinh nghiệm. Thuật toán Chọn bộ tâm cho hệ số nội suy hàm RBF
a. Ý tƣởng thuật toán: Với mỗi int, chọn tập các tâm địa phƣơng i với
i = 1, 2,…, k sao cho thỏa mãn điều kiện thứ nhất là các tia liền kề i và 1
i tạo thành các góc đều nhất tó thể và điều kiện thứ hai là các tâm ivới
i = 1, 2,…, k - 1 gần tâm nhất có thể.
b. Nội dung thuật toán:
Input: ,
Output:
Các tham biến: k là số các điểm icần thiết trong tập ,m k (số các các tâm nằm trong lân cận của ) và u > 1 (giới hạn góc đều mà có thể chấp nhận đƣợc). Các giá trị tham biến đƣợc sử dụng trong các thử nghiệm của chúng tôi:
k = 6, m = 30, u = 3.0.
I. Tìm m điểm 1, 2,..., m gần nhất với điều kiện 1, 2,..., m thuộc \ ,sắp xếp các điểm 1, 2,..., mtheo chiều tăng dần theo khoảng cách đến , tập ban đầu chứa và k điểm đầu tiên,
1 2
, , ..., k .
Nếu 1, 2,..., k u 1, 2,..., k thì STOP: trả về . II. For i = k +1, …,m :
1. Tính các góc 1, 2,... k 1 đƣợc tạo thành bởi tập mở rộng
1, 2,..., k 1, 2,..., k, i
2. Nếu góc giữa i và góc giữa hai tia lân cận của nó đều lớn hơn góc nhỏ nhất 1, 2,..., k, i thì:
Tìm j sao cho j Chọn p = j hoặc p = j + 1 phụ thuộc vào
1 1 j j hoặc j 1 j 1 Nếu 1, 2,..., k 1 \ p 1, 2,..., k thì: Cập nhật 1, 2,..., k 1, 2,..., k 1 \ p . Nếu 1, 2,..., k u 1, 2,..., k thì STOP: trả về tập hiện hành , ,1 2..., k .
III. Chú ý rằng trong trƣờng hợp thuật toán không két thúc sớm và
1, 2,..., k u 1, 2,..., k
thỏa mãn tập hiện hành , ,1 2..., k . Tìm j sao cho j 1, 2,..., k Chọn p = j hoặc p = j + 1 phụ thuộc vào j 1 j 1hoặc j 1 j 1. STOP: trả về , ,1 2..., k \ p .
Nhận xét 0.1.
1. Nếu thuật toán kết thúc trước Bước III thì chứa k + 1 điểm (bao gồm cả ,Trái lại số điểm là k. Chúng tôi chọn k = 6 để đảm, bảo rằng độ
thưa của ma trận
, \
,
w của hệ phương trình tuyến tính (1.38)-(1.39) mà là kết quả từ rời rạc RBF, hoàn toàn giống độ thưa của ma trận cứng của FEM 2. m điểm gần nhất trong Bước I có thể được tìm thấy hiệu quả theo hướng không lưới bằng cách sử dụng cấu trúc dữ liệu chuẩn như kd-tree.
1,..., k 1 \ p min 1,..., k 1 \ j , 1,..., k 1 \ j 1 ,
Một quan sát giống như áp dụng chọn p trong Bước III
4- Trong trường hợp các miền phức tạp, nếu phần giữa của và i cắt miền biên thì nên bỏ các điểm i này đi ngay trong bước I
c. Đánh giá độ phức tạp của thuật toán
Mệnh đề 2.1. Cho N là số các tâm, rời rạc , Nintlà số các tâm thuộc tập int,
klà số tâm trong bộ tâm cho hệ số nội suy RBF vàm (m > k)là số tâm gần nhất. Khi đó, độ phức tạp tính toán của Thuật Toán 1 là O(Nint.m.log(N)). Đối với mỗi int
I. Tính chi phí tính toán đối với bƣớc I.
1. Thời gian tìm m điểm 1, 2,..., m gần nhất là m.O(log(N)) 2. Thời gian sắp xếp m điểm , i = l, 2,... ,m theo chiều tăng dần của
khoảng cách từ i đến là O(m2).
3. Thời gian xác định k điểm đầu tiên là O(k).
Vì vậy chi phí thời gian để xác định tập ban đầu từ bƣớc 1.1. đến bƣớc 1.3. theo quy tắc cộng là O(m.log(N)).
II. Chi phí tính toán để loại bỏ điểm ―xấu ― và kết nạp điểm ―tốt‖ trong
m-k tâm còn lại , theo nghĩa các tia liền kề i và i 1 tạo thành các góc đều nhất nhƣ có thể và đồng thời các tâm i với i = 1, 2,... ,k -1
gần tâm nhất nhƣ có thể
1. Chi phí tính toán đối với bƣớc II. 1. là O(k + l). 2. Chi phí tính toán đối với bƣớc II.2.i. là O(k + l)2).
Chi phí tính toán đối với bƣớc II.2.ii. là O(l).
III. Chi phí tính toán cần thiết khi thuật toán không kết thúc sớm là O(k2
).
Vì vậy, độ phức tạp thuật toán của đoạn chƣơng trình từ bƣớc I. đến bƣớc III là theo quy tắc cộng. Nên nó chính là độ phức tạp của bƣớc I. và nó là O(m.log(N)). Hơn nữa, Nint là số nút trong tập intnên độ phức tạp của Thuật Toán 1 là O(Nint.m.log(N)). Vì vậy mệnh đề 2.1 đƣợc chứng minh.