Φk(x) = Φ(x−xk) =φ(||x−xk||2), x ∈ Rd (1.51) Nëi suy h m cì sð theo b¡n k½nh câ ngh¾a c¦n t¼m
P f(x) = n X k=1 ckΦk(x) = n X k=1 ckφ(||x−xk||) Nhªn x²t:
1) H m cì sð ph£i gn li·n vỵi èi t÷đng nghi¶n cùu v¼ vªy º gi£i ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng th¼ c¡c h m cì sð theo b¡n k½nh ph£i l c¡c h m kh£ vi li¶n tưc v thªm ch½ l kh£ vi li¶n tưc vỉ h¤n l¦n.
2) º b i to¡n nëi suy câ nghi»m duy nh§t, ta c¦n ph£i chån h m Φ
phị hđp sao cho det A 6= 0.
T¶n h m Vi¸t tt ành ngh¾a Multiquadric MQ φmq(r) =√
1 +r2
Inverse Multiquadric IMQ φimq(r) = 1/√
1 +r2
Gaussian Gauss φg(r) =e−r2
Wendlend'sC6 W33 φ33(r) = (1−r)8
+(32r3+ 25r2+ 8r+ 1)
B£ng 1.2: Mët sè h m nëi suy theo b¡n k½nh dịng trong luªn v«n
trong â r = ||x−xk||2.
N¸u Φk(x) l h m x¡c ành d÷ìng th¼ theo i·u ki»n nëi suy ta câ
P f(xi) =yi, i = 1,1, ..., n. (1.52) Ngh¾a l n X k=1 ckφ(||xi −xk||) =yi, i = 1,2, ..., n.
Suy ra Ac = y (1.53) trong â A= Φ(0) Φ(x1 −x2) · · · Φ(x1 −xn) Φ(x2 −x1) Φ(0) · · · Φ(x2 −xn) · · · · Φ(xn−x1) Φ(xn −x2) · · · Φ(0) , (1.54) c = [c1, ..., cn]T, y = [y1, y2, ..., yn]T.
Theo ành ngh¾a h m x¡c ành d÷ìng th¼ det A 6= 0.
1.5.4 Nëi suy vỵi ë ch½nh x¡c a thùc v h m x¡c ành d÷ìng câ i·u ki»n
Cho bë Φk, k = 1,2, ..., n sao cho
Φk(x) = Φ(x−xk) =φ(||x−xk||2), ∀x ∈ Rd
Nëi suy h m cì sð theo b¡n k½nh vỵi ë ch½nh x¡c a thùc câ ngh¾a l c¦n t¼m P f(x) = n X k=1 ckφ(||x−xk||) + M X l=1 d`p`(x), x ∈ Rd trong â M = dim Πdm−1 = Cmd+m−1−1 = (d+m −1)! (m −1)!d!
v p1, p2, ..., pM l cì sð cõa khỉng gian c¡c a thùc bªc nhä hìn ho°c b¬ng m −1 cõa d bi¸n.
V¼ i·u ki»n nëi suy n¶n P f(xi) = yi, i = 1,2, ..., n. i·u n y d¨n ¸n h» n ph÷ìng tr¼nh vỵi n+ M ©n ck v d`. V¼ vªy º h» câ nghi»m duy nh§t, ta ph£i th¶m v o
n
X
k=1
Do â ta câ i·u ki»n nëi suy suy rëng n X k=1 ckφ(||xi −xk||) + M X `=1 d`p`(xi) = yi, x∈ Rd, n X k=1 ckp`(xk) = 0, ` = 1,2, ..., M. (1.55) Kþ hi»u A= Φ(0) Φ(x1 −x2) · · · Φ(x1 −xn) Φ(x2 −x1) Φ(0) · · · Φ(x2 −xn) · · · · Φ(xn−x1) Φ(xn −x2) · · · Φ(0) , (1.56) c = [c1, ..., cn]T, y = [y1, y2, ..., yn]T. p = (pi`), pi` = p`(xi), ` = 1,2, ..., M, i= 1,2, ...n. Suy ra " A p pT 0 # " c d # = " y 0 # . (1.57)
ành ngh¾a 1.8 (H m x¡c ành d÷ìng câ i·u ki»n). H m ch®n, li¶n tưc Φ : Rd → R ÷đc gåi l x¡c ành d÷ìng câ i·u ki»n bªc ` n¸u vỵi måi bë t¥m ph¥n bi»t tøng ỉi mët {x1, x2, ..., xn} ∈ Rd, n ∈ N, måi v²c tì c ∈ Rn v måi a thùc p gi¡ trà thüc bªc nhä hìn `, thäa m¢n
n X j=1 cjp(xj) = 0 (1.58) th¼ d¤ng to n ph÷ìng n X j=1 n X k=1 cjckΦ(xj −xk) > 0. (1.59) (1.59) l ¯ng thùc khi v ch¿ khi c l v²c tì khỉng. Nhªn x²t
gian Rd th¼ hìn núa nâ s³ l x¡c ành d÷ìng câ i·u ki»n vỵi måi bªc lỵn hìn `. Cư thº l n¸u mët h m l x¡c ành d÷ìng (` = 0) th¼ s³ l x¡c ành d÷ìng vỵi måi bªc `∈ N. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2) Ma trªn A vỵi c¡c ph¦n tû Aj,k = Φ(xj −xk) t÷ìng ùng vỵi h m ch®n, li¶n tưc v x¡c ành d÷ìng câ i·u ki»n bªc `, câ thº ÷đc s¡ng tä nh÷ l h m x¡c ành d÷ìng tr¶n khỉng gian v²c tì c sao cho
n
X
j=1
cjp(xj) = 0,
trong â p l a thùc bªc nhä hìn `.
Thªt vªy, vỵi c¡ch n y, ma trªn A l x¡c ành d÷ìng tr¶n khỉng gian v²c tì trüc giao c èi vỵi a thùc bªc nhä hìn b¬ng `−1.
1.5.5 Sai sè, ên ành v hëi tư
∗ ×ỵc l÷đng sai sè cõa h m nëi suy theo b¡n k½nh:
Cho h m f : Ω ⊆ Rd → R v ta kþ hi»u NΦ(Ω) l khỉng gian ÷đc sinh ra bði Φ, â l khỉng gian Hilbert m c¡c ph¦n tû cõa nâ câ d¤ng
nΦ
X
j=1
cjΦ(.−xj), xj ∈ Ω,
trong â cho ph²p nΦ = ∞ v t½ch vỉ h÷ỵng cõa nâ ÷đc cho bði D nΦ X j=1 cjΦ(.−xj), nΦ X i=1 diΦ(.−zi) E = nΦ X j=1 nΦ X i=1 cjdiΦ(xj.−zi).
Kþ hi»u: X = {x1, x2, ..., xn} l c¡c và tr½ dú li»u. Khi â
hX,Ω = sup
x∈Ω
min
xj∈X||x−xj||2
÷đc gåi l kho£ng c¡ch l§p ¦y (fill distance). Cho β = β1, β2, ..., βn ∈ Nd 0 l multi-index vỵi |β| = d P i−1 βi, ta ành ngh¾a to¡n tû vi ph¥n Dβ nh÷ sau Dβ = ∂ |β| (∂x1)β1...(∂xd)βd.
Khi â, vỵi h m trìn v kh£ vi vỉ h¤n l¦n nh÷ h m Gauss v h m Multiquadrics th¼ ta s³ câ ë hëi tư cao b§t ký. Ngh¾a l , vỵi måi ` ∈ N
v |α| ≤ ` chĩng ta câ
|Dαf(x)−DαP f(x)| ≤C`h`X,Ω−|α||f|NΦ(Ω), (1.60) trong â f ∈ NΦ(Ω).
∗ Sü ên ành v sè i·u ki»n cõa ma trªn nëi suy h m cì sð theo b¡n k½nh:
B i to¡n nëi suy (1.53) khi t½nh to¡n s³ g°p sai sè m¡y t½nh v d¨n ¸n
A(c+ ∆c) = y + ∆y. (1.61) Suy ra, ta câ sai sè tuy»t èi
A∆c = ∆y. (1.62) V¼ ¥y l ph÷ìng ph¡p x§p x¿ trong ph÷ìng ph¡p sè n¶n ta ch¿ ÷đc ph²p b n ¸n sai sè t÷ìng èi. Tø (1.53) suy ra ||A|| ||c|| ≥ ||y|| ⇒ 1 ||c|| ≤ ||A|| ||y|| (1.63) Tø (1.52) suy ra ∆c = A−1∆y ⇒ ||∆c|| ≤ ||A−1||.||y|| (1.64) Tø (1.63) v (1.64) suy ra ||∆c|| ||c|| ≤ ∆y ||y||.||A||2.||A −1||2, (1.65) trong â cond(A) = ||A||2||A−1||2 l sè i·u ki»n cõa ma trªn A.
èi vỵi ma trªn x¡c ành d÷ìng th¼ cond(A) = λmax
λmin, trong â λmax l gi¡ trà ri¶ng lỵn nh§t, cán λmin l gi¡ trà ri¶ng nhä nh§t. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Quan s¡t ma trªn A trong cỉng thùc (1.54) ta th§y
• λmax ≤ n.Φ(0).
• Trong tr÷íng hđp Φ = e−2||x||2 (h m Gauss), ta câ
λmin ≥ Cd(√
trong â Cd l h¬ng sè v qχ = 1
2mini6=j ||xi − xj||2 l kho£ng c¡ch t¡ch bi»t (separation distance).
Quan s¡t hìn núa, ta th§y r¬ng:
1) N¸u cè ành v cho qχ → 0 th¼ cond(A) → ∞.
2) T÷ìng tü, n¸u cè ành qχ v cho →0 th¼ cond(A) → ∞.
Do â, n¸u chån nhi·u iºm ho°c chån qu¡ nhä cơng ·u d¨n ¸n câ thº câ k¸t qu£ t½nh to¡n khỉng ên ành. V¼ vªy mët c¥u häi °t ra ð ¥y l chån sè iºm nëi suy b¬ng bao nhi¶u l õ v gi¡ trà b¬ng bao nhi¶u l tèi ÷u?
∗ Sü hëi tư cõa nëi suy h m cì sð theo b¡n k½nh:
èi vỵi h m Gauss v lỵp h m Mutliquadric, n«m 1991 Mandych ¢ chùng minh r¬ng n¸u f ∈ NΦ(Ω) th¼ ð â tçn t¤i λ ∈ (0,1) sao cho
|f(x)−P f(x)| ≤Cλ1/(hX,Ω) (1.66) câ ngh¾a l h m nëi suy P f s³ hëi tư ¸n h m f ∈ NΨ(Ω)vỵi tèc ë mơ khi →0 ho°c hX,Ω →0.
Ch֓ng 2
Gi£i b i to¡n Dirichlet vỵi ph÷ìng tr¼nh Poisson düa v o RBF
2.1 Ph÷ìng ph¡p sai ph¥n húu h¤n tr¶n mi·n h¼nh chú nhªt X²t b i to¡n Drichlet vỵi ph÷ìng tr¼nh Poisson trong mi·n giỵi nëi
Ω ⊂ Rd. B i to¡n ÷đc ph¡t biºu nh÷ sau: cho f : Ω −→ Rv g : ∂Ω −→
R l c¡c h m li¶n tưc. T¼m h m u ∈ C2( ¯Ω) sao cho :
∆u = f trong Ω (2.1)
vỵi i·u ki»n bi¶n
u
∂Ω = g (2.2)
X²t b i to¡n Dirichlet vỵi ph÷ìng tr¼nh Poisson (2.1)−(2.2) trong mi·n h¼nh chú nhªt Ω = {(x;y)| : a < x < b; c < y < d}. ÷íng bi¶n cõa Ω
k½ hi»u l ∂Ω, â l c¡c o¤n th¯ng
(a, y) : c ≤ y ≤ d, (b, y) : c ≤ y ≤ d,
(x, c) : a ≤ x ≤ b, (x, d) : a ≤ x ≤b.
Gi£ sû r¬ng b i to¡n tr¶n câ nghi»m duy nh§t õ trìn trongΩ = Ω¯ ∪∂Ω.
2.1.1 L÷ỵi sai ph¥n v h m l÷ỵi
Chia Ω th nh c¡c ỉ nhä. Chån tr÷ỵc hai sè nguy¶n N > 1, M > 1, °t h = b−a (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
N gåi l b÷ỵc i theo x v k = d−c
°t
xi =a+ih, i = 0,1,· · · , N yj =c+jk, j = 0,1,· · · , M.
Méi iºm (xi, yj) gåi l mët nĩt l÷ỵi, cán ÷đc k½ hi»u l (i, j). Tªp t§t c£ c¡c nĩt trong k½ hi»u l Ωhk, nĩt ð tr¶n bi¶n ∂Ω gåi l nĩt bi¶n; tªp t§t c£ c¡c nĩt ð bi¶n k½ hi»u l ∂Ωhk; tªp Ω¯hk = Ωhk ∪ ∂Ωhk gåi l mët l÷ỵi sai ph¥n. Méi h m sè x¡c ành t¤i c¡c nĩt l÷ỵi gåi l mët h m l÷ỵi. Gi¡ trà cõa h m l÷ỵi v t¤i nĩt (xi, yj) vi¸t l vij.
Méi h m u(x;y) x¡c ành t¤i måi (x;y) ∈ Ω¯ t¤o ra h m l÷ỵi u x¡c ành bði uij = u(xi, yj). Ta s³ t½nh g¦n ĩng gi¡ trà cõa nghi»m u(x, y)
t¤i c¡c nĩt (xi, yj) v kþ hi»u gi trà g¦n ĩng â l vij:
vij ≈u(xi, yj).
2.1.2 L÷đc ç sai ph¥n
Vỵi méi (i, j) ∈ Ωhk, ta chån mët cỉng thùc vi ph¥n tuy¸n t½nh èi vỵi to¡n tû Laplace ∆. Gåi v l mët h m l÷ỵi n o â x¡c ành t¤i måi nĩt cõa l÷ỵi Ω¯hk. Ta °t: ∆hkv ≈ 1 h2 (vi−1j −2vij + vi+1j) + 1 k2 (vij−1 −2vij +vij+1) Khi â ta ÷đc ∆hku = ∆u+ 0(h2 +k2) (2.3) Sè h¤ng 0(h2 +k2) l mët vỉ cịng b². Ta nâi to¡n tû ∆hk x§p x¿ to¡n tû ∆. Ta câ vectì trång sè l
ω = −2/h2 −2/k2,1/h2,1/k2,1/h2,1/k2
Thay vectì trång sè n y v o b i to¡n (2.1)−(2.2) ta thu ÷đc ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n
∆hkv = fij, fij = f(xi, yj), (xi, yj) ∈ Ωhk (2.4)
2.1.3 X§p x¿ cõa l÷đc ç sai ph¥nCỉng thùc (2.3) chùng tä: Cỉng thùc (2.3) chùng tä:
ϕ = ∆hku−∆u = 0(h2 + k2).
â l sü x§p x¿ ∆ bði ∆hk v b i to¡n sai ph¥n (2.4)-(2.5) x§p x¿ b i to¡n vi ph¥n (2.1)-(2.2).
ành lþ 2.1 (Nguy¶n lþ cüc ¤i). X²t to¡n tû sai ph¥n têng qu¡t hìn
∆hk:
Lhkv = − 1
h2(vi−1j−2vij+vi+1j)− 1
k2(vij−1−2vij+vij+1) +dijvij, dij ≥0
Khi dij = 0 t¤i måi (i, j) th¼ Lhk trịng vỵi −∆hk. Nguy¶n lþ cüc ¤i ÷đc ph¡t biºu nh÷ sau:
1) N¸u v 6= const v Lhkv ≥ 0 t¤i c¡c nĩt trong th¼ v khỉng ¤t cüc tiºu ¥m ð mët nĩt trong n o.
2) N¸u v 6= const v Lhkv ≤ 0 t¤i c¡c nĩt trong th¼ v khỉng ¤t cüc ¤i d÷ìng ð mët nĩt trong n o.
Chùng minh. Ta vi¸t Lhkv ð d¤ng
Lhkv = 1
h2[(vij−vi+1j)+(vij−vi−1j)]− 1
k2[(vij−vij+1)+(vij−vij−1)+dijvij
1) Gi£ sû v ¤t cüc tiºu ¥m t¤i nĩt trong, khi â v¼ v 6= const n¶n tçn t¤i nĩt trong (i, j) t¤i â v ¤t cüc tiºu ¥m thüc sü, ngh¾a l bèn hi»u sè:
vij −vi+1j, vij −vi−1j, vij −vij+1, vij −vij−1 (2.6) ·u nhä hìn ho°c b¬ng 0 v trong â câ ½t nh§t mët hi»u sè nhä hìn 0, çng thíi vij < 0. Do â (Lhkv)ij < 0, i·u â m¥u thu¨n vỵi gi£ thi¸t
(Lhkv)ij ≥ 0. Vªy v khỉng ¤t cüc tiºu ¥m ð b§t ký nĩt trong n o. 2) Gi£ sû v ¤t cüc ¤i d÷ìng t¤i nĩt trong, khi â v¼ v 6= const n¶n tçn t¤i nĩt trong (i, j) t¤i â v ¤t cüc ¤i d÷ìng thüc sü, ngh¾a l bèn (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
hi»u sè (2.6) ·u lỵn hìn ho°c b¬ng 0 v trong â câ ½t nh§t mët hi»u sè lỵn hìn 0, çng thíi vij > 0. Do â (Lhkv)ij > 0, i·u â m¥u thu¨n vỵi gi£ thi¸t (Lhkv)ij ≤ 0. Vªy v khỉng ¤t cüc ¤i d÷ìng ð b§t ký nĩt trong n o.
Mët sè h» qu£
H» qu£ 2.1. i) N¸u Lhkv ≥ 0 t¤i måi (i, j) ∈ Ωhk v v ≥ 0 t¤i måi
(i, j) ∈ ∂Ωhk th¼ v ≥0 t¤i måi (i, j) ∈ Ω¯hk.
ii) N¸u Lhkv ≤ 0 t¤i måi (i, j) ∈ Ωhk v v ≤0 t¤i måi (i, j) ∈ ∂Ωhk th¼
v ≤ 0 t¤i måi (i, j) ∈ Ω¯hk.
H» qu£ 2.2 (ành lþ so s¡nh). X²t hai b i to¡n:
Lhkv = F, (i, j) ∈ Ωhk, v = g, (i, j) ∈ ∂Ωhk
Lhkv¯= ¯F , (i, j) ∈ Ωhk, ¯v = ¯g, (i, j) ∈ ∂Ωhk
N¸u |Fij| ≤ F¯ij, |gij| ≤ ¯gij th¼ v¯ij ≥ 0 v |vij| ≤ v¯ij t¤i måi nĩt (i, j) ∈
¯ Ωhk
H» qu£ 2.3. Nghi»m cõa b i to¡n:
Lhkv = 0, (i, j) ∈ Ωhk, v ∂Ωhk = g, (i, j) ∈ ∂Ωhk (2.7) thäa m¢n max (i,j)∈Ω¯hk {|vij|} ≤ max (i,j)∈∂Ωhk {|vij|} (2.8) H» qu£ 2.4. èi vỵi nghi»m cõa b i to¡n
Lhkv = F, (i, j) ∈ Ωhk, v|∂Ωhk = 0, (i, j) ∈ ∂Ωhk (2.9) ta câ ÷ỵc l÷đng sau max (i,j)∈Ω¯hk {|vij|} ≤ K max (i,j)∈Ωhk{|Fij|} (2.10) trong â K l mët h¬ng sè.
2.1.4 Sü ên ành cõa l÷đc ç sai ph¥nành lþ 2.2. B i to¡n ành lþ 2.2. B i to¡n
∆hkv = f, (i;j) ∈ Ωhk, v
∂Ωhk = g, (i;j) ∈ ∂Ωhk (2.11) l ên ành, ngh¾a l nâ câ nghi»m duy nh§t vỵi b§t k¼ f, g v tçn t¤i h¬ng sè K º câ max ¯ Ωhk ≤Kmax Ωhk |Fij|+ max ∂Ωhk |Gij| (2.12) Chùng minh. X²t b i to¡n:
∆hkv = 0, (i, j) ∈ Ωhk, v
∂Ωhk = 0
theo h¶ qu£ (2.3), h» n y ch¿ câ nghi»m t¦m th÷íng. Vªy b i to¡n (2.11) câ nghi»m duy nh§t vỵi b§t ký F, G.
B¥y gií °t
v = U +W (2.13)
trong â
∆hkU = 0, (i, j) ∈ Ωhk, U|∂Ωhk = G, (i, j) ∈ Ωhk (2.14)
∆hkW = F, (i, j) ∈ Ωhk, W|∂Ωhk = 0 (2.15) th¼ v thäa m¢n b i to¡n (2.11).
H» qu£ (2.3) ¡p dưng v o b i to¡n (2.14) cho:
max ¯ Ωhk {|Uij|} ≤ max ∂Ωhk {|Uij|} ≤ max ¯ Ωhk {|Gij|} (2.16) H» qu£ (2.4) ¡p dưng v o b i to¡n (2.15) cho ta
max ¯ Ωhk {|Wij|} ≤ Kmax Ωhk {|Fij|} (2.17) Tø (2.13) ta câ: |vij| ≤ |Uij|+|Wij| (2.18) Vªy, k¸t hđp (2.16)-(2.17) ta thu ÷đc (2.12).
2.1.5 B i to¡n sai ph¥n èi vỵi sai sè
Gåi u l nghi»m cõa b i to¡n vi ph¥n (2.1)-(2.2) v v l nghi»m cõa b i to¡n sai ph¥n (2.4)-(2.5). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
°t z = v−u th¼ z l sai sè cõa ph÷ìng ph¡p.
Theo ¯ng thùc x§p x¿ (2.3) v ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n (2.4) th¼ ta câ
∆hkz = ∆hkv −∆hku = fij −[∆u+ 0(h2 +k2)] = fij −f(xi, yj) + 0(h2 +k2) = 0(h2 +k2).
M°t kh¡c theo i·u ki»n bi¶n (2.5) cõa v v (2.2) cõa u ta câ:
z|∂Ωhk = v|∂Ωhk −u|∂Ωhk = g −g = 0
Vªy z thäa m¢n:
−∆hkz = ϕ, ϕ = 0(h2 +k2), (i, j) ∈ Ωhk, z|∂Ωhk = 0 (2.19)
2.1.6 Sü hëi tư cõa l÷đc ç sai ph¥n
Vỵi måi h m l÷ỵi w x¡c ành tr¶n Ω¯hk ta câ chu©n:
||w||∞ = max
(i,j)∈Ω¯hk
{|wij|}
p dưng ành lþ (2.2) hay h» qu£ (2.4) v o b i to¡n (2.19) ta suy ra
||z||∞ = ||v −u||∞ = O(h2 +k2)
â l sü hëi tư cõa nghi»m x§p x¿ v v· nghi»m ĩng u cõa b i to¡n
(2.1)−(2.2). â cơng l ¡nh gi¡ cõa sai sè ph÷ìng ph¡p.
2.2 Ph÷ìng ph¡p düa v o h m nëi suy cì sð theo b¡n k½nhtr¶n mi·n câ h¼nh håc b§t ký tr¶n mi·n câ h¼nh håc b§t ký
2.2.1 Ríi r¤c b i to¡n Dirichlet vỵi ph÷ìng tr¼nh Poisson tr¶nc¡c t¥m ph¥n bè khỉng ·u c¡c t¥m ph¥n bè khỉng ·u
X²t b i to¡n (2.1)-(2.2) ÷đc ríi r¤c vỵi sü trđ giĩp cõa cỉng thùc
Cho bë t¥m ríi r¤c Ξ ∈ Ω¯. Ta k½ hi»u ∂Ξ := Ξ∩∂Ω l bë t¥m n¬m tr¶n bi¶n v Ξint := Ξ\∂Ξ l bë t¥m n¬m trong mi·n.
Vỵi méi ζ ∈ Ξint, ta chån mët tªp gi¡ cõa vectì trång sè Ξζ. Khi â, ríi r¤c cõa b i to¡n (2.1)−(2.2) ÷đc cho bði h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh vỵi vectì nghi»m x§p x¿ uˆ = (ˆuξ)ξ∈Ξ
X
ξ∈Ξξ
ωζ,ξuˆξ = Xf(ξ) , ζ ∈ Ξint; (2.20)
ˆ
uξ = g(ξ), ξ ∈ ∂Ξ (2.21) N¸u h» ph÷ìng tr¼nh (2.20) −(2.21) khỉng suy bi¸n, th¼ vectì nghi»m x§p x¿ uˆ : Ξ −→ R cõa h» ph÷ìng tr¼nh n y câ thº so s¡nh ÷đc vỵi vectì u|Ξ l nghi»m ch½nh x¡c cõa h» ph÷ìng tr¼nh (2.1)−(2.2).
Hi»n nay câ nhi·u ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n Dirichlet düa tr¶n gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh trong d¤ng (2.20)−(2.21), v½ dư nh÷ ph÷ìng ph¡p sai ph¥n suy rëng ho°c ph÷ìng ph¡p ph¦n tû húu h¤n.
2.2.2 V²c tì trång sè düa v o h m nëi suy cì sð theo b¡n k½nha) Nëi suy khỉng th nh ph¦n a thùc([2]) a) Nëi suy khỉng th nh ph¦n a thùc([2])
Cho φ : [0;∞) −→ R l h m x¡c ành d÷ìng, Φ : Rd −→ R l h m b¡n k½nh thäa m¢n Φ(x) := φ(||x||2),||x||2 l chu©n Euclide cõa x. X =
{x1, x2, ..., xn} ⊂ Rd l bë t¥m ph¥n bi»t tøng ỉi mët, u : Rd −→ R l h m li¶n tưc. Khi â, s l h m nëi suy cì sð theo b¡n k½nh cõa h m u (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
÷đc vi¸t d÷ỵi d¤ng: s(x) = n X j=1 ajΦ(x−xj) (2.22) s(xi) =u(xi), i = 1,2,· · · , n. (2.23)
aj ph£i chån sao cho thäa m¢n i·u ki»n (2.23) ngh¾a l
s(xi) =
n
X
j=1
K½ hi»u
Φ|X = [Φ(xi−xj)]i,jn,n=1, u|X = [u(x1), u(x2),· · · , u(xn)]T, a= [a1, a2,· · · , an]T
Khi â (2.24) ÷đc vi¸t d÷ỵi d¤ng ma trªn nh÷ sau
Φ Xa = u X V¼ φ l h m x¡c ành d÷ìng n¶n ma trªn Φ X l x¡c ành d÷ìng vỵi bë t¥m ph¥n bi»t tøng ỉi mët cõa X. Tø t½nh ch§t cõa ma trªn x¡c ành d÷ìng l khỉng suy bi¸n n¶n ta câ vectì h» sè a ÷đc x¡c ành duy nh§t bði a = h Φ X i−1 u X. (2.25)
H m nëi suy cì sð theo b¡n k½nh s l mët x§p x¿ cõa h m u n¸u u õ trìn v tªp c¡c iºm x1, x2,· · · , xn ∈ Rd õ ¦y trong l¥n cªn cõa x. çng thíi, ¤o h m cõa h m s cơng l mët x§p x¿ vỵi ¤o h m cõa h m
u n¸u φ õ trìn. V¼ vªy, mët x§p x¿ cõa Du(x), trong â D l mët to¡n