Cỉng thùc (2.3) chùng tä:
ϕ = ∆hku−∆u = 0(h2 + k2).
â l sü x§p x¿ ∆ bði ∆hk v b i to¡n sai ph¥n (2.4)-(2.5) x§p x¿ b i to¡n vi ph¥n (2.1)-(2.2).
ành lþ 2.1 (Nguy¶n lþ cüc ¤i). X²t to¡n tû sai ph¥n têng qu¡t hìn
∆hk:
Lhkv = − 1
h2(vi−1j−2vij+vi+1j)− 1
k2(vij−1−2vij+vij+1) +dijvij, dij ≥0
Khi dij = 0 t¤i måi (i, j) th¼ Lhk trịng vỵi −∆hk. Nguy¶n lþ cüc ¤i ÷đc ph¡t biºu nh÷ sau:
1) N¸u v 6= const v Lhkv ≥ 0 t¤i c¡c nĩt trong th¼ v khỉng ¤t cüc tiºu ¥m ð mët nĩt trong n o.
2) N¸u v 6= const v Lhkv ≤ 0 t¤i c¡c nĩt trong th¼ v khỉng ¤t cüc ¤i d÷ìng ð mët nĩt trong n o.
Chùng minh. Ta vi¸t Lhkv ð d¤ng
Lhkv = 1
h2[(vij−vi+1j)+(vij−vi−1j)]− 1
k2[(vij−vij+1)+(vij−vij−1)+dijvij
1) Gi£ sû v ¤t cüc tiºu ¥m t¤i nĩt trong, khi â v¼ v 6= const n¶n tçn t¤i nĩt trong (i, j) t¤i â v ¤t cüc tiºu ¥m thüc sü, ngh¾a l bèn hi»u sè:
vij −vi+1j, vij −vi−1j, vij −vij+1, vij −vij−1 (2.6) ·u nhä hìn ho°c b¬ng 0 v trong â câ ½t nh§t mët hi»u sè nhä hìn 0, çng thíi vij < 0. Do â (Lhkv)ij < 0, i·u â m¥u thu¨n vỵi gi£ thi¸t
(Lhkv)ij ≥ 0. Vªy v khỉng ¤t cüc tiºu ¥m ð b§t ký nĩt trong n o. 2) Gi£ sû v ¤t cüc ¤i d÷ìng t¤i nĩt trong, khi â v¼ v 6= const n¶n tçn t¤i nĩt trong (i, j) t¤i â v ¤t cüc ¤i d÷ìng thüc sü, ngh¾a l bèn
hi»u sè (2.6) ·u lỵn hìn ho°c b¬ng 0 v trong â câ ½t nh§t mët hi»u sè lỵn hìn 0, çng thíi vij > 0. Do â (Lhkv)ij > 0, i·u â m¥u thu¨n vỵi gi£ thi¸t (Lhkv)ij ≤ 0. Vªy v khỉng ¤t cüc ¤i d÷ìng ð b§t ký nĩt trong n o.
Mët sè h» qu£
H» qu£ 2.1. i) N¸u Lhkv ≥ 0 t¤i måi (i, j) ∈ Ωhk v v ≥ 0 t¤i måi
(i, j) ∈ ∂Ωhk th¼ v ≥0 t¤i måi (i, j) ∈ Ω¯hk.
ii) N¸u Lhkv ≤ 0 t¤i måi (i, j) ∈ Ωhk v v ≤0 t¤i måi (i, j) ∈ ∂Ωhk th¼
v ≤ 0 t¤i måi (i, j) ∈ Ω¯hk.
H» qu£ 2.2 (ành lþ so s¡nh). X²t hai b i to¡n:
Lhkv = F, (i, j) ∈ Ωhk, v = g, (i, j) ∈ ∂Ωhk
Lhkv¯= ¯F , (i, j) ∈ Ωhk, ¯v = ¯g, (i, j) ∈ ∂Ωhk
N¸u |Fij| ≤ F¯ij, |gij| ≤ ¯gij th¼ v¯ij ≥ 0 v |vij| ≤ v¯ij t¤i måi nĩt (i, j) ∈
¯ Ωhk
H» qu£ 2.3. Nghi»m cõa b i to¡n:
Lhkv = 0, (i, j) ∈ Ωhk, v ∂Ωhk = g, (i, j) ∈ ∂Ωhk (2.7) thäa m¢n max (i,j)∈Ω¯hk {|vij|} ≤ max (i,j)∈∂Ωhk {|vij|} (2.8) H» qu£ 2.4. èi vỵi nghi»m cõa b i to¡n (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Lhkv = F, (i, j) ∈ Ωhk, v|∂Ωhk = 0, (i, j) ∈ ∂Ωhk (2.9) ta câ ÷ỵc l÷đng sau max (i,j)∈Ω¯hk {|vij|} ≤ K max (i,j)∈Ωhk{|Fij|} (2.10) trong â K l mët h¬ng sè.