Mưc ½ch cõa thuªt to¡n l chånbë t¥m cho h» sè nëi suy h m RBF
Ξζ èi vỵi b i to¡n (2.1)-(2.2)
Vỵi méi ζ ∈ Ξint, ta chån tªp Ξζ ⊂ Ξ. °t Ξζ = {ζ, ξ1, . . . , ξk}, trong â c¡c iºm ξ1, ξ2, . . . , ξk ÷đc sp x¸p theo chi·u ng÷đc chi·u kim çng hç èi vỵi ζ. X²t h m chi ph½ sau
µ(ξ1, ξ2, . . . , ξk) :=
k
X
i=1
α2i,
trong â kþ hi»u αi l gâc giúa tia ζξi v tia ζξi+1 theo h÷ỵng ng÷đc chi·u kim çng hç vỵi chu ký ξk+i := ξi. Hìn núa, chĩng ta c¦n t½nh gâc nhä nh§t v gâc lỵn nh§t
α(ζ, ξ2, . . . , ξk) = min{α1, α2. . . , αk}, α(ξ1, ξ2, . . . , ξk) = max{α1, α2. . . , αk}.
V¼ Pk
i=1αi = 2π n¶n biºu thùc Pk
i=1α2i câ thº ¤t ÷đc gi¡ trà cüc tiºu duy nh§t khi α1 = · · · = αk = 2π/k, tùc l , c¡c tia ζξi s³ c¡ch ·u nhau n¸u ξ1, ξ2, . . . , ξk ÷đc chån tü do trong R2. Tuy nhi¶n, c¡c iºm n y bà phư thuëc v o sü ph¥n bè cõa c¡c iºm trong tªp Ξ v v¼ vªy, mưc ½ch thuªt to¡n cõa chĩng tỉi l chån ξ1, ξ2, . . . , ξk ∈ Ξ sao cho
µ(ξ1, ξ2, . . . , ξk) ¤t cüc tiºu, trong khi v¨n giú kho£ng c¡ch kξi−ζk nhä nh§t câ thº. º ¤t ÷đc mưc ½ch c¥n b¬ng giúa µ nhä v kho£ng c¡ch cơng nhä, chĩng tỉi ÷a ra giỵi h¤n l ξi ph£i ÷đc bao quanh bði m
iºm g¦n nh§t vỵi x v thuªt to¡n døng n¸u tªp {ζ, ξ1, ξ2, . . . , ξk} thäa m¢n
α(ξ1, ξ2, . . . , ξk) ≤ u α(ξ1, ξ2, . . . , ξk),
trong â m > k v u > 1.0 l c¡c tham bi¸n ÷đc x¡c ành theo kinh nghi»m.
Thuªt to¡n 1. (Chån bë t¥m cho h» sè nëi suy h m RBF
a) T÷ t÷ðng thuªt to¡n: Vỵi méi ζ ∈ Ξint, chån tªp c¡c t¥m àa ph÷ìng ξi vỵi i = 1,2, . . . , k sao cho thäa m¢n i·u ki»n thù nh§t l c¡c tia li·n k· ζξi v ζξi+1 t¤o th nh c¡c gâc ·u nh§t câ thº v i·u ki»n thù hai l c¡c t¥m ξi vỵi i = 1,2, . . . , k−1 g¦n t¥m ζ nh§t câ thº. b) Nëi dung thuªt to¡n:[2, T hutton1]
Input: Ξ, ζ. Output: Ξζ.
C¡c tham bi¸n: k l sè c¡c iºm ξi c¦n thi¸t trong tªp Ξζ, m > k (sè c¡c c¡c t¥m n¬m trong l¥n cªn cõa ζ) v u > 1 (giỵi h¤n gâc ·u m câ
thº ch§p nhªn ÷đc). C¡c gi¡ trà tham bi¸n ÷đc sû dưng trong c¡c thû nghi»m cõa chĩng tỉi: k = 6, m = 30, u = 3.0.
I. T¼m m iºm ξ1, ξ2, . . . , ξm g¦n ζ nh§t vỵi i·u ki»n ξ1, ξ2, . . . , ξm
thuëc Ξ \ {ζ}, sp x¸p c¡c iºm ξ1, ξ2. . . , ξm theo chi·u t«ng d¦n theo kho£ng c¡ch ¸n ζ, tªp Ξζ ban ¦u chùa ζ v k iºm ¦u ti¶n,
Ξζ := {ζ, ξ1, ξ2, . . . , ξk}. N¸u α(ξ1, ξ2, . . . , ξk) ≤ u α(ξ1, ξ2, . . . , ξk), th¼ STOP: tr£ v· Ξζ.
II. For i = k+ 1, . . . , m:
1. T½nh c¡c gâc α01, α02, . . . , α0k+1 ÷đc t¤o th nh bði tªp mð rëng
{ξ10, ξ20, . . . , ξk+10 } = {ξ1, ξ2, . . . , ξk, ξi}.
2. N¸u gâc giúa ζξi v gâc giúa hai tia l¥n cªn cõa nâ ·u lỵn hìn gâc nhä nh§t α0 := α(ξ1, ξ2, . . . , ξk, ξi) th¼:
i. T¼m j sao cho α0j = α0. Chån p = j ho°c p= j+ 1 phư thuëc v o α0j−1 < α0j+1 ho°c α0j−1 ≥ α0j+1.
ii. N¸u µ({ξ10, ξ20 . . . , ξk+10 } \ {ξp0}) < µ(ξ1, ξ2. . . , ξk) th¼: a. Cªp nhªt {ξ1, ξ2, . . . , ξk}= {ξ10, ξ20, . . . , x0k+1} \ {ξp0}. b. N¸u α(ξ1, ξ2, . . . , ξk) ≤ u α(ξ1, ξ2, . . . , ξk) th¼ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
STOP: tr£ v· tªp hi»n h nh Ξζ = {ζ, ξ1, ξ2, . . . , ξk}. III. Chĩ þ r¬ng trong tr÷íng hđp thuªt to¡n khỉng k¸t thĩc sỵm v
α(ξ1, ξ2, . . . , ξk) > u α(ξ1, ξ2, . . . , ξk)
thäa m¢n tªp hi»n h nhΞζ = {ζ, ξ1, ξ2, . . . , ξk}. T¼m j sao cho αj =
α(ξ1, ξ2, . . . , ξk). Chån p = j ho°c p = j + 1 phư thuëc v o αj−1 < αj+1 ho°c αj−1 ≥αj+1. STOP: tr£ v· Ξζ = {ζ, ξ1, ξ2, . . . , ξk} \ {ξp}. Nhªn x²t 2.1.
1. N¸u thuªt to¡n k¸t thĩc tr÷ỵc B÷ỵc III th¼ Ξζ chùa k + 1 iºm (bao gçm c£ ζ). Tr¡i l¤i, sè iºm l k.
2. m iºm g¦n nh§t trong B÷ỵc Icâ thº ÷đc t¼m th§y hi»u qu£ theo h÷ỵng khỉng l÷ỵi b¬ng c¡ch sû dưng c§u trĩc dú li»u chu©n space-partitioning nh÷ kd-tree.
3. D¹ d ng th§y r¬ng vi»c chån p trong B÷ỵc II(2)i £m b£o r¬ng
µ {ξ10, . . . , ξk+10 } \ {ξp0} = min n µ {ξ10, . . . , ξk+10 } \ {ξj0} , µ {ξ10, . . . , ξk+10 } \ {ξj+10 }o .
Mët quan s¡t gièng nh÷ ¡p dưng chån p trong B÷ỵc
4. Trong tr÷íng hđp c¡c mi·n phùc t¤p, n¸u ph¦n giúa cõa x v ξi ct mi·n bi¶n th¼ n¶n bä c¡c iºm ξi n y i ngay trong B÷ỵc
c) ¡nh gi¡ ë phùc t¤p cõa thuªt to¡n[2]
M»nh · 2.1. Cho N l sè c¡c t¥m ríi r¤c Ξ, Nint l sè c¡c t¥m thuëc tªpΞint, k l sè t¥m trong bë t¥m cho h» sè nëi suy RBF Ξζ v m(m > k)
l sè t¥m g¦n ζ nh§t. Khi â, ë phùc t¤p t½nh to¡n cõa Thuªt To¡n
O(Nint.m.log(N)). Chùng minh
èi vỵi méi ζ ∈ Ξint,
I. T½nh chi ph½ t½nh to¡n èi vỵi b÷ỵc I.
1. Thíi gian t¼mmiºmξ1, ξ2, . . . , ξmg¦nxnh§t l m.O(log(N))
2. Thíi gian sp x¸p m iºm ξi, i = 1,2, . . . , m theo chi·u t«ng d¦n cõa kho£ng c¡ch tø ξi ¸n ζ l O(m2).
3. Thíi gian x¡c ành k iºm ¦u ti¶n l O(k).
V¼ vªy chi ph½ thíi gian º x¡c ành tªp Ξζ ban ¦u tø b÷ỵc I.1. ¸n b÷ỵc I.3. theo quy tc cëng l O(m.log(N)).
II. Chi ph½ t½nh to¡n º lo¤i bä iºm "x§u" v k¸t n¤p iºm "tèt" trong m−k t¥m cán l¤i, theo ngh¾a c¡c tia li·n k· ζξi v ζξi+1
t¤o th nh c¡c gâc ·u nh§t nh÷ câ thº v çng thíi c¡c t¥m ξi
1. Chi ph½ t½nh to¡n èi vỵi b÷ỵc II.1. l O(k+ 1). 2. Chi ph½ t½nh to¡n èi vỵi b÷ỵc II.2.i. l O((k+ 1)2).
Chi ph½ t½nh to¡n èi vỵi b÷ỵc II.2.ii. l O(1).
V¼ vªy chi ph½ t½nh to¡n èi vỵi b÷ỵc II. l O((m −k).log((k+ 1)2)).
III. Chi ph½ t½nh to¡n c¦n thi¸t khi thuªt to¡n khỉng k¸t thĩc sỵm l O(k2).
V¼ vªy, ë phùc t¤p thuªt to¡n cõa o¤n ch÷ìng tr¼nh tø b÷ỵc I. ¸n b÷ỵc III. l theo quy tc cëng. N¶n nâ ch½nh l ë phùc t¤p cõa b÷ỵc I. v nâ l O(m.log(N)). Hìn núa, Nint l sè nĩt trong tªp
Ξint n¶n ë phùc t¤p cõa Thuªt To¡n 1 l O(Nint.m.log(N)). V¼ vªy m»nh ·
Ch֓ng 3
Thû nghi»m sè (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
3.1 Mët sè thû nghi»m vỵi kiºu t¥m ph¥n bè ·u
1) Cho b i to¡n Dirichlet vỵi ph÷ìng tr¼nh Poisson ÷đc x¡c ành trong mi·n h¼nh chú nhªt [0; 1]2
∆u = −2π2sin(πx)sin(πy)
u = sin(πx)sin(πy)
K¸t qu£ thû nghi»m:
H¼nh 3.1.1 Biºu di¹n 729 t¥m trong mi·n. ¥y l s£n ph©m cõa pdetoolbox trong Matlab
H¼nh 3.1.2 Nghi»m gi£i t½ch v nghi»m x§p x¿ tr¶n bë t¥m ÷đc biºu di¹n trong H¼nh
2) Cho b i to¡n Dirichlet vỵi ph÷ìng tr¼nh Poisson ÷đc x¡c ành trong mi·n h¼nh chú nhªt [0; 1]2
∆u = −4sin(2xy).(x2 +y2)
u = sin(2xy)
K¸t qu£ thû nghi»m
H¼nh 3.1.3 Biºu di¹n 729 t¥m trong mi·n. ¥y l s£n ph©m cõa pdetoolbox trong Matlab
H¼nh 3.1.4 Nghi»m gi£i t½ch v nghi»m x§p x¿ tr¶n bë t¥m ÷đc biºu di¹n trong H¼nh 3.1.3
3) Cho b i to¡n Dirichlet vỵi ph÷ìng tr¼nh Poisson ÷đc x¡c ành trong mi·n h¼nh chú nhªt [0; 1]2
∆u = −8π2sin(2π(x−y))
u = sin(2π(x−y))
H¼nh 3.1.5 Biºu di¹n 729 t¥m trong mi·n. ¥y l s£n ph©m cõa pdetoolbox trong Matlab
H¼nh 3.1.6 Nghi»m gi£i t½ch v nghi»m x§p x¿ tr¶n bë t¥m ÷đc biºu di¹n trong H¼nh 3.1.5
4) Cho b i to¡n Dirichlet vỵi ph÷ìng tr¼nh Poisson ÷đc x¡c ành trong mi·n h¼nh L [−1,1]2\[−1,0]2
∆u = −2π2sin(πx)sin(πy)
u = sin(πx)sin(πy)
K¸t qu£ thû nghi»m:
H¼nh 3.1.7 Biºu di¹n 557 t¥m trong mi·n. ¥y l s£n ph©m cõa pdetoolbox trong Matlab
H¼nh 3.1.8 Nghi»m gi£i t½ch v nghi»m x§p x¿ tr¶n bë t¥m ÷đc biºu di¹n trong H¼nh 3.1.7
5) Cho b i to¡n Dirichlet vỵi ph÷ìng tr¼nh Poisson ÷đc x¡c ành trong mi·n h¼nh L [−1,1]2\[−1,0]2
∆u = −4sin(2xy).(x2 +y2)
u = sin(2xy)
K¸t qu£ thû nghi»m:
H¼nh 3.1.9 Biºu di¹n 557 t¥m trong mi·n. ¥y l s£n ph©m cõa pdetoolbox trong Matlab
H¼nh 3.1.10 Nghi»m gi£i t½ch v nghi»m x§p x¿ tr¶n bë t¥m ÷đc biºu di¹n trong H¼nh 3.1.9 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
6) Cho b i to¡n Dirichlet vỵi ph÷ìng tr¼nh Poisson ÷đc x¡c ành trong mi·n h¼nh L [−1,1]2\[−1,0]2
∆u = −8π2sin(2π(x−y))
u = sin(2π(x−y))
K¸t qu£ thû nghi»m:
H¼nh 3.1.11 Biºu di¹n557 t¥m trong mi·n. ¥y l s£n ph©m cõa pdetoolbox trong Matlab
H¼nh 3.1.12 Nghi»m gi£i t½ch v nghi»m x§p x¿ tr¶n bë t¥m ÷đc biºu di¹n trong H¼nh 3.1.11
7) Cho b i to¡n Dirichlet vỵi ph÷ìng tr¼nh Poisson ÷đc x¡c ành trong mi·n ngơ gi¡c
u = sin(πx)sin(πy)
K¸t qu£ thû nghi»m:
H¼nh 3.1.13 Biºu di¹n315 t¥m trong mi·n. ¥y l s£n ph©m cõa pdetoolbox trong Matlab
H¼nh 3.1.14 Nghi»m gi£i t½ch v nghi»m x§p x¿ tr¶n bë t¥m ÷đc biºu di¹n trong H¼nh 3.1.13
8) Cho b i to¡n Dirichlet vỵi ph÷ìng tr¼nh Poisson ÷đc x¡c ành trong mi·n ngơ gi¡c
∆u = −4sin(2xy).(x2 +y2)
u = sin(2xy)
H¼nh 3.1.15 Biºu di¹n315 t¥m trong mi·n. ¥y l s£n ph©m cõa pdetoolbox trong Matlab
H¼nh 3.1.16 Nghi»m gi£i t½ch v nghi»m x§p x¿ tr¶n bë t¥m ÷đc biºu di¹n trong H¼nh 3.1.15
9) Cho b i to¡n Dirichlet vỵi ph÷ìng tr¼nh Poisson ÷đc x¡c ành trong mi·n ngơ gi¡c
∆u = −8π2sin(2π(x−y))
u = sin(2π(x−y))
K¸t qu£ thû nghi»m:
H¼nh 3.1.17 Biºu di¹n315 t¥m trong mi·n. ¥y l s£n ph©m cõa pdetoolbox trong Matlab
H¼nh 3.1.18 Nghi»m gi£i t½ch v nghi»m x§p x¿ tr¶n bë t¥m ÷đc biºu di¹n trong H¼nh 3.1.17
3.2 Mët sè thû nghi»m vỵi kiºu t¥m th½ch nghi
1) Cho b i to¡n Dirichlet vỵi ph÷ìng tr¼nh Poisson ÷đc x¡c ành trong mi·n h¼nh chú nhªt [0; 1]2
∆u = −2π2sin(πx)sin(πy)
u = sin(πx)sin(πy)
K¸t qu£ thû nghi»m:
H¼nh 3.2.1 Biºu di¹n 755 t¥m trong mi·n. ¥y l s£n ph©m cõa pdetoolbox trong Matlab
H¼nh 3.2.2 Nghi»m gi£i t½ch v nghi»m x§p x¿ tr¶n bë t¥m ÷đc biºu di¹n trong H¼nh 3.2.1
trong mi·n h¼nh chú nhªt [0; 1]2 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
∆u = −4sin(2xy).(x2 +y2)
u = sin(2xy)
K¸t qu£ thû nghi»m:
H¼nh 3.2.3 Biºu di¹n 731 t¥m trong mi·n. ¥y l s£n ph©m cõa pdetoolbox trong Matlab
H¼nh 3.2.4 Nghi»m gi£i t½ch v nghi»m x§p x¿ tr¶n bë t¥m ÷đc biºu di¹n trong H¼nh 3.2.3
3) Cho b i to¡n Dirichlet vỵi ph÷ìng tr¼nh Poisson ÷đc x¡c ành trong mi·n h¼nh chú nhªt [0; 1]2
∆u = −8π2sin(2π(x−y))
u = sin(2π(x−y))
H¼nh 3.2.5 Biºu di¹n 822 t¥m trong mi·n. ¥y l s£n ph©m cõa pdetoolbox trong Matlab
H¼nh 3.2.6 Nghi»m gi£i t½ch v nghi»m x§p x¿ tr¶n bë t¥m ÷đc biºu di¹n trong H¼nh 3.2.5
4) Cho b i to¡n Dirichlet vỵi ph÷ìng tr¼nh Poisson ÷đc x¡c ành trong mi·n h¼nh L [−1,1]2\[−1,0]2
∆u = −2π2sin(πx)sin(πy)
u = sin(πx)sin(πy)
Ta ÷đc k¸t qu£ thû nghi»m:
H¼nh 3.2.7 Biºu di¹n1044 t¥m trong mi·n. ¥y l s£n ph©m cõa pdetoolbox trong Matlab
H¼nh 3.2.8 Nghi»m gi£i t½ch v nghi»m x§p x¿ tr¶n bë t¥m ÷đc biºu di¹n trong H¼nh 3.2.7
5) Cho b i to¡n Dirichlet vỵi ph÷ìng tr¼nh Poisson ÷đc x¡c ành trong mi·n h¼nh L [−1,1]2\[−1,0]2
∆u = −4sin(2xy).(x2 +y2)
u = sin(2xy)
K¸t qu£ thû nghi»m:
H¼nh 3.2.9 Biºu di¹n 879 t¥m trong mi·n. ¥y l s£n ph©m cõa pdetoolbox trong Matlab
H¼nh 3.2.10 Nghi»m gi£i t½ch v nghi»m x§p x¿ tr¶n bë t¥m ÷đc biºu di¹n trong H¼nh 3.2.9
trong mi·n h¼nh L [−1,1]2\[−1,0]2
∆u = −8π2sin(2π(x−y))
u = sin(2π(x−y))
K¸t qu£ thû nghi»m:
H¼nh 3.2.11 Biºu di¹n625 t¥m trong mi·n. ¥y l s£n ph©m cõa pdetoolbox trong Matlab
H¼nh 3.2.12 Nghi»m gi£i t½ch v nghi»m x§p x¿ tr¶n bë t¥m ÷đc biºu di¹n trong H¼nh 3.2.11
7) Cho b i to¡n Dirichlet vỵi ph÷ìng tr¼nh Poisson ÷đc x¡c ành trong mi·n h¼nh ngơ gi¡c
∆u = −2π2sin(πx)sin(πy) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
K¸t qu£ thû nghi»m:
H¼nh 3.2.13 Biºu di¹n 1026t¥m trong mi·n. ¥y l s£n ph©m cõa pdetoolbox trong Matlab
H¼nh 3.2.14 Nghi»m gi£i t½ch v nghi»m x§p x¿ tr¶n bë t¥m ÷đc biºu di¹n trong H¼nh 3.2.13
8) Cho b i to¡n Dirichlet vỵi ph÷ìng tr¼nh Poisson ÷đc x¡c ành trong mi·n h¼nh ngơ gi¡c
∆u = −4sin(2xy).(x2 +y2)
u = sin(2xy)
H¼nh 3.2.15 Biºu di¹n936 t¥m trong mi·n. ¥y l s£n ph©m cõa pdetoolbox trong Matlab
H¼nh 3.2.16 Nghi»m gi£i t½ch v nghi»m x§p x¿ tr¶n bë t¥m ÷đc biºu di¹n trong H¼nh 3.2.15
9) Cho b i to¡n Dirichlet vỵi ph÷ìng tr¼nh Poisson ÷đc x¡c ành trong mi·n h¼nh ngơ gi¡c
∆u = −8π2sin(2π(x−y))
u = sin(2π(x−y))
H¼nh 3.2.17 Biºu di¹n980 t¥m trong mi·n. ¥y l s£n ph©m cõa pdetoolbox trong Matlab
H¼nh 3.2.18 Nghi»m gi£i t½ch v nghi»m x§p x¿ tr¶n bë t¥m ÷đc biºu di¹n trong H¼nh 3.2.17
K¸t luªn
Luªn v«n "H m cì sð theo b¡n k½nh v ùng dưng gi£i b i to¡n Dirichlet vỵi ph÷ìng tr¼nh Poisson" nh¬m t¼m hiºu nhúng i·u ki»n vªt l½ d¨n ¸n ph÷ìng tr¼nh Poisson, t¼m hiºu mët sè ph÷ìng ph¡p nëi suy cê iºn v ph÷ìng ph¡p nëi suy mỵi nh§t â l nëi suy bði h m RBF, gi£i b i to¡n Dirichlet vỵi ph÷ìng tr¼nh Poisson düa v o h m RBF, c i °t ch÷ìng tr¼nh thû nghi»m Matlab.
Qua qu¡ tr¼nh l m luªn v«n tỉi ¢ thu ÷đc c¡c ki¸n thùc cì b£n v· ph÷ìng ph¡p sè v h» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè tuy¸n t½nh. Hiºu bi¸t v· mët sè ph÷ìng ph¡p nëi suy, sû dưng h m RBF º gi£i ph÷ìng tr¼nh Poisson vỵi i·u ki»n bi¶n Dirichlet v thû nghi»m b¬ng Matlab.
Do thíi gian v ki¸n thùc cán nhi·u h¤n ch¸ n¶n · t i khỉng thº tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât, em r§t mong nhªn ÷đc sü gâp þ cõa quþ th¦y cỉ º · t i ho n thi»n.
Em xin ch¥n th nh c£m ìn!
Th¡i Nguy¶n, ng y 10 th¡ng 08 n«m 2013. Ng÷íi thüc hi»n
T i li»u tham kh£o
[1] I. Babuska and T. Strouboulis. The Finite Element Method and its Reliability. Oxford University Press, London, 2001.
[2] O. Davydov and D. T. Oanh. Adaptive meshless centres and RBF stencils for Poisson equation. Journal of Computational Physis, 230:287304, 2011.
[3] O. Davydov and D. T. Oanh. On the optimal shape parameter for Gaussian radial basis func- tion finite difference approximation of the Poisson equation. Computers and Mathematics with Applications, 62:21432161, 2011.
[4] O. Davydov, A. Sestini, and R. Morandi. Local RBF approximation for scattered data fitting with bivariate splines. In M. G. de Bruin, D. H. Mache, and J.Szabados, editors, Trends and Applications in Constructive Approximation. ISNM Vol.151, pages 91102. Birkher, 2005. [5] T. Liszka and J. Orkisz. The finite difference method at arbitrary irregular grids and its application
in applied mechanics. Comput. Struct., 11:8395, 1980.
[6] G. Pelosi. The finite-element method, Part I: R. L. Courant: Historical Corner. Antennas and Propagation Magazine, IEEE, 49:180182, 2007.
[7] A. I. Tolstykh and D. A. Shirobokov. On using radial basis functions in a `finite difference mode' with applications to elasticity problems. Computational Mechanics, 33(1):6879, 2003.
[8] G. B. Wright and B. Fornberg. Scattered node compact finite difference-type formulas generated from radial basis functions. J. Comput. Phys., 212(1):99123, 2006.