Biểu diễn nhóm hữu hạn và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– TRẦN QUANG BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - Năm 2017 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– TRẦN QUANG BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU Đà Nẵng - Năm 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Trần Quang LỜI CẢM ƠN Đầu tiên xin gửi lời cảm ơn chân thành đến giáo viên hướng dẫn, tất thầy giáo tận tình dạy bảo tơi suốt trình học tập rèn luyện Trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng Đồng thời xin gửi lời cảm ơn đến anh chị, bạn lớp Đại số lý thuyết số K31 nhiệt tình giúp đỡ tơi thời gian học tập vừa qua Trần Quang MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm cấu trúc nhóm 1.1.1 Nhóm, nhóm con, nhóm chuẩn tắc, nhóm thương 1.1.2 Nhóm tâm, nhóm tâm hóa, nhóm giao hốn tử 1.1.3 Nhóm tuyến tính tổng quát 1.1.4 Vành nhóm 1.2 Quan hệ liên hợp 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Lớp liên hợp số nhóm hữu hạn CHƯƠNG CƠ SỞ VỀ BIỂU DIỄN NHÓM 12 2.1 BIỂU DIỄN NHÓM THEO THUẬT NGỮ MÔĐUN 12 2.1.1 Biểu diễn nhóm 12 2.1.2 Biểu diễn quy nhóm 16 2.1.3 Hai biểu diễn tương đương 16 2.1.4 Biểu diễn 17 2.1.5 Biểu diễn bất khả quy 18 2.1.6 Tổng trực tiếp tích tenxơ biểu diễn 18 2.2 ĐẶC TRƯNG CỦA BIỂU DIỄN 19 2.2.1 Đặc trưng biểu diễn tuyến tính 20 2.2.2 Bổ đề Schur 23 2.2.3 Tích vơ hướng đặc trưng 27 2.2.4 Hệ đầy đủ biểu diễn bất khả quy 30 2.2.5 Phép nâng đặc trưng 34 CHƯƠNG BIỂU DIỄN MỘT SỐ NHÓM HỮU HẠN 37 3.1 Biểu diễn nhóm Abel hữu hạn 37 3.2 Biểu diễn nhóm cyclic hữu hạn 39 3.3 Biểu diễn nhóm diheral Dn , n > 40 3.3.1 Biểu diễn nhóm Dn với n chẵn 40 3.3.2 Biểu diễn nhóm Dn với n lẻ 41 3.4 Biểu diễn nhóm quaternion 42 3.5 Biểu diễn nhóm đối xứng, nhóm thay phiên 44 3.5.1 Nhóm đối xứng, nhóm thay phiên 44 3.5.2 Biểu diễn nhóm đối xứng Sn ( n ≤ ) 45 3.5.3 Biểu diễn nhóm thay phiên A4 48 3.6 Biểu diễn nhóm D3 × C2 nhóm A4 × C2 49 3.6.1 Biểu diễn nhóm D3 × C2 49 3.6.2 Biểu diễn nhóm A4 × C2 50 KẾT LUẬN 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO 53 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết biểu diễn nhóm nội dung lý thuyết nhóm, có nguồn gốc từ lý thuyết đặc trưng nhóm abel phát biểu cho nhóm cyclic Gauss, Dirichlet sau mở rộng sang cho nhóm abel hữu hạn Frobenius Stickelberger Lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn hình thành vào cuối kỷ XIX cơng trình Frobenius, Schur Burnside Lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn nghiên cứu cách mà nhóm tác động khơng gian véctơ tự đẳng cấu tuyến tính.[6] Lý thuyết biểu diễn nhóm nội dung lý thuyết nhóm có nhiều ứng dụng, chẳng hạn giúp hiểu rõ cấu trúc nhóm: cụ thể, biểu diễn nhóm hữu hạn thể nhóm hữu hạn có ảnh đồng cấu nhóm nhóm ma trận khả nghịch Nhằm tìm hiểu biểu diễn nhóm hữu hạn ứng dụng nó, tơi chọn đề tài “ Biểu diễn nhóm hữu hạn ứng dụng” cho luận văn thạc sĩ Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn - Biểu diễn số nhóm bậc thấp Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn - Một số nhóm hữu hạn quen biết: nhóm abel, nhóm cyclic, nhóm nhị diện, nhóm quaternion, nhóm đối xứng, nhóm thay phiên Phương pháp nghiên cứu - Thu thập báo khoa học, tài liệu liên quan đến lý thuyết biểu diễn nhóm ứng dụng - Tổng hợp, phân tích, giải vấn đề thuộc nội dung luận văn - Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn chia thành chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại kiến thức lý thuyết nhóm đại số tuyến tính để làm sở cho chương sau Chương 2: Cơ sở biểu diễn nhóm Chương trình bày sơ lược lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn kết liên quan Chương 3: Biểu diễn số nhóm hữu hạn Chương trình bày biểu diễn số nhóm bậc thấp, nhóm hữu hạn quen biết như: nhóm abel, nhóm cyclic, nhóm dihedral, nhóm quaternion, nhóm đối xứng, nhóm thay phiên CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương nhắc lại kiến thức lý thuyết nhóm đại số tuyến tính để làm sở cho chương sau Các chi tiết liên quan xem tài liệu [3], [4], [5], [10] 1.1 Một số khái niệm cấu trúc nhóm 1.1.1 Nhóm, nhóm con, nhóm chuẩn tắc, nhóm thương Định nghĩa 1.1.1.1 [5] Cho tập hợp G khác rỗng với phép tốn hai ngơi G G×G→G (a, b) → a ∗ b Cặp (G, ∗) gọi nhóm i ∀a, b, c ∈ G, (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c), ii Có phần tử e ∈ G, gọi phần tử trung lập, có tính chất a ∗ e = e ∗ a = a, ∀a ∈ G iii Với a ∈ G, có phần tử a−1 ∈ G, gọi nghịch đảo a, cho a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e Nếu ∀a, b ∈ G, a ∗ b = b ∗ a (G, ∗) gọi nhóm giao hốn Để đơn giản ta nói G nhóm thay cho nhóm (G, ∗) Nếu phép tốn ∗ ký hiệu + G gọi nhóm cộng, cịn phép tốn ∗ ký hiệu •, lúc G gọi nhóm nhân Một nhóm G gọi nhóm hữu hạn hay vơ hạn tùy theo tập hợp G hữu hạn hay vơ hạn Nếu G tập hữu hạn số phần tử tập hợp G gọi cấp nhóm G ký hiệu |G| Nếu nhóm G vơ hạn ta nói G nhóm (có cấp) vơ hạn Định nghĩa 1.1.1.2 [5] Một tập H nhóm G gọi ổn định tích hai phần tử x, y H lại thuộc H Nếu H tập ổn định nhóm G, H cảm sinh phép toán từ phép toán nhóm G Định nghĩa 1.1.1.3 [5] Một tập ổn định H nhóm G gọi nhóm G, H với phép tốn cảm sinh lập thành nhóm, kí hiệu H G Định nghĩa 1.1.1.4 [4] Nhóm G gọi nhóm cyclic G chứa phần tử a cho phần tử G lũy thừa nguyên a Phần tử a có tính chất gọi phần tử sinh nhóm cyclic G, kí hiệu G = a Nhóm cyclic cấp n kí hiệu Cn Ta có: Cn = a = a/an = = 1, a1 , a2 , , an−1 Định nghĩa 1.1.1.5 [4] Giả sử G nhóm với phần tử đơn vị a ∈ G Nếu am = với m > 0, ta nói a có cấp vơ hạn Nếu m số nguyên dương nhỏ cho am = m gọi cấp a Cấp phần tử a kí hiệu ord(a) Từ định nghĩa ta có ord(a) = | a | ord(a) = ⇔ a = Định nghĩa 1.1.1.6 [4] Giả sử N nhóm nhóm G Với a ∈ G, tập hợp aN = {an|n ∈ N } N a = {na|n ∈ N } gọi tương ứng lớp kề trái lớp kề phải N a Mệnh đề 1.1.1.7 [4] Hai lớp kề trái N trùng 3.3 Biểu diễn nhóm diheral Dn , n > Biểu diễn Dn phụ thuộc vào tính chẵn lẻ n.[10] 3.3.1 Biểu diễn nhóm Dn với n chẵn Theo Mệnh đề 1.2.2.2, nhóm Dihedrah Dn có n2 + lớp liên hợp: n n {e} , an/2 , ar , a−r ≤ r ≤ − , a2j b, ≤ j ≤ , 2 a2j+1 b, ≤ j ≤ n2 Do Dn có n + đặc trưng bất khả quy Xét K =< a2 > nhóm chuẩn tắc Dn Ta có Dn /K ∼ = C2 × C2 [Dn , Dn ] =< a2 > có n phần tử Suy số biểu diễn bất khả quy cấp Dn (n chẵn) [Dn : [Dn , Dn ]] = Bốn đặc trưng bất khả quy cấp χ1 , χ2 , χ3 , χ4 Dn thu cách đặt tương ứng ±1 với a b Các đặc trưng tương ứng mô tả bảng sau: am bam χ1 1 χ2 -1 χ3 (−1)m (−1)m χ4 (−1)m (−1)m+1 Tiếp theo, ta xét biểu diễn cấp nhóm Dn Đặt w = e2πi/n k định nghĩa biểu diễn  ρ Dn  công thức:   km −km w 0 w  , ρk (bam ) =   ρk (am ) =  −km km w w Bằng tính tốn trực tiếp, ta kiểm tra lại thực 40 biểu diễn, với k Đặc trưng biểu diễn hàm χk sau đây: 2πkm χk (am ) = wkm + w−km = cos ; χk (bam ) = n Từ đó, ta có ρk ∼ = ρk+n , ρk = ρn−k Vì vậy, ta cần xét k khoảng ≤ k ≤ n/2 Nhận xét rằng: χ0 = χ1 + χ2 , χ n2 = χ3 + χ4 Với < k < n/2, dễ kiểm tra lại < χk , χk >= 1, χk đặc trưng bất khả quy Các đặc trưng χ1 , χ2 , χ3 , χ4 , χ1 , χ2 , , χ n −1 hệ đầy đủ đặc trưng bất khả quy đôi khác Dn tổng bình phương cấp chúng 4.1 + ( n2 − 1).4 = 2n cấp Dn Từ kết trên, ta có bảng đặc trưng nhóm Dn , với n chẵn sau: với ≤ r ≤ e an/2 ar b ab χ1 1 1 χ2 1 -1 -1 χ3 (−1)n/2 (−1)r -1 χ4 (−1)n/2 (−1)r -1 χk 2(−1)k 2cos 2πkr n 0 n − 1, ≤ k ≤ n −1 3.3.2 Biểu diễn nhóm Dn với n lẻ Theo Mệnh đề 1.2.2.2, nhóm Dn ứng với n lẻ có n+3 lớp liên hợp là: {e} , ar , a−r (1 ≤ r ≤ n−1 ), {as b, ≤ s ≤ n − 1} Do đó, theo Định lý 2.2.4.9, nhóm Dn có 41 n+3 đặc trưng bất khả quy Đồng thời ta có [Dn , Dn ] =< a >∼ = C2 Vì Cn Dn Dn /Cn ∼ = C2 , nên ta theo Định lý 3.1.1, Dn có hai biểu diễn bất khả quy cấp Do Dn có hai đặc trưng cấp χ1 , χ2 xác định bởi: χ1 (am ) = χ1 (bam ) = χ2 (am ) = 1, χ2 (bam ) = −1 Các biểu diễn cấp hai ρk (0 < k < n2 ) định nghĩa công thức n chẵn Các đặc trưng χ1 , χ2 , , χ n−1 ρ1 , , ρ n−1 với χ1 , χ2 lập thành hệ đầy đủ đặc trưng bất khả quy đôi không đẳng cấu với Dn , n−1 = 2n = |Dn | Ta có bảng đặc trưng Dn ứng với n lẻ sau: 2.1 + với ≤ r ≤ n−1 , e ar b χ1 1 χ2 1 -1 χk 2cos 2πkr n 1≤k≤ n−1 3.4 Biểu diễn nhóm quaternion Xét nhóm quaternion Q8 Q8 = a, b|a4 = e, a2 = b2 , aba = b Theo Mệnh đề 1.2.2.4, nhóm Q8 có lớp liên hợp đại diện phần tử e, a2 , a, b, ab, nên có biểu diễn bất khả quy đôi không đẳng cấu với Mặt khác, [Q8 , Q8 ] =< a2 > nhóm cyclic cấp nên [Q8 : [Q8 , Q8 ]] = |Q8 /[Q8 , Q8 ]| = 42 Theo Định lí 3.1.3, Q8 có biểu diễn bất khả quy cấp đôi không đẳng cấu với nhau, số [Q8 : [Q8 , Q8 ]] = Theo Hệ 2.2.4.3, biểu diễn bất khả quy thứ Q8 có cấp √ 8−4=2 Ta lại có biểu diễn , cho tương  √cấp Q8  ứng −1 0    a→ b → √ − −1 Ta có đặc trưng χ5 biểu diễn có tính chất: χ5 (e) = 2, χ5 (a2 ) = −2, χ5 (a) = χ5 (b) = χ5 (ab) = Từ suy < χ5 , χ5 >= Vậy χ5 đặc trưng bất khả quy Bốn đặc trưng bất khả quy cấp lại Q8 tìm theo phương pháp Định lí 3.1.1 Chúng phần tử nhóm giao hoán tử [Q8 , Q8 ] = e, a2 Hơn nữa, a2 = b2 nên bốn đặc trưng tương ứng với cách ánh xạ a, b vào ±1, bậc hai Cuối cùng, giá trị đặc trưng ab tích hai giá trị a b Tất đặc trưng bất khả quy đôi không đẳng cấu G cho bảng sau, số dịng số phần tử lớp liên hợp đại diện phần tử tương ứng dòng 43 1 2 e a2 a b ab χ1 1 1 χ2 1 -1 -1 χ3 1 -1 -1 χ4 1 -1 -1 χ5 -2 0 3.5 Biểu diễn nhóm đối xứng, nhóm thay phiên 3.5.1 Nhóm đối xứng, nhóm thay phiên Cho T tập hợp Khi đó, tập S(T) gồm tất song ánh T với phép hợp thành ánh xạ lập nên nhóm Phần tử đơn vị S(T) ánh xạ đồng idT T Phần tử nghịch đảo phần tử α ∈ S(T ) ánh xạ ngược α−1 Định nghĩa 3.5.1.1 [4] Nhóm S(T) gọi nhóm đối xứng tập hợp T Mỗi nhóm S(T) gọi nhóm phép T Đặc biệt, T = {1, 2, , n} S(T) kí hiệu đơn giản Sn gọi nhóm đối xứng n phần tử Mệnh đề 3.5.1.2 [4] Sn nhóm hữu hạn |Sn | = n! Với n ≥ 2, ta đặt (j − i) ∈ Z ∆n = 1≤i