Phép biến đổi fourier trên nhóm hữu hạn và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– NGUYỄN TẤN NGUYỆN PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER TRÊN NHÓM HỮU HẠN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2018 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– NGUYỄN TẤN NGUYỆN PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER TRÊN NHÓM HỮU HẠN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Phan Đức Tuấn ĐÀ NẴNG - NĂM 2018 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Nguyễn Tấn Nguyện LỜI CẢM ƠN Lời luận văn tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn, TS Phan Đức Tuấn tận tình hướng dẫn tác giả suốt q trình thực để tác giả hồn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy giáo tận tình dạy bảo tác giả suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến anh chị em lớp Tốn giải tích K32-Đà Nẵng nhiệt tình giúp đỡ tác giả trình học tập lớp Tác giả Nguyễn Tấn Nguyện MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Lý thuyết nhóm hữu hạn 1.2 Không gian Hilbert 1.2.1 Tích vô hướng, không gian Hilbert 11 1.2.2 Sự trực giao 1.2.3 Cơ sở trực chuẩn 12 1.3 Phép biến đổi Fourier R 18 1.3.1 Lớp Schwartz 18 1.3.2 Biến đổi Fourier S(R) 20 CHƯƠNG PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER TRÊN NHÓM HỮU HẠN 22 2.1 Khơng gian Hilbert nhóm G 22 2.1.1 Xây dựng không gian Hilbert L2 (G) 22 2.1.2 Tích phân khơng gian L2 (G) 23 2.1.3 Tích vô hướng L2 (G) 24 2.2 Phép biến đổi Fourier L2 (G) 26 2.2.1 Định nghĩa 26 2.2.2 Tính chất 28 2.3 Biến đổi Fourier L2 (G) 29 2.3.1 Phép tịnh tiến 29 2.3.2 Biến đổi ngược 2.3.3 Tích chập 30 31 CHƯƠNG ỨNG DỤNG 34 3.1 Nguyên lý bất định Heisenberg 34 3.1.1 Nguyên lý bất định R 34 3.1.2 Nguyên lý bất định G 35 3.2 Hàm "Gaussian" 41 3.2.1 Hàm Gaussian R 41 3.2.2 Hàm Gaussian G 44 3.3 Phương trình nhóm Abel hữu hạn 50 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Việc biểu diễn hàm tuần hoàn thành tổng hàm lượng giác Fourier đưa lần dựa theo cơng trình trước Euler, D’Alembert Daniel Bernoulli Về sau gọi chuỗi Fourier xác định sau: a0 +∞ + (an cos nx + bn sin nx), n=1 π f (x) cos(nx)dx, an = π −π n = 0, 1, 2, π bn = f (x) sin(nx)dx, π −π n = 1, 2, 3, Trên sở đó, Fourier đưa khái niệm phép biến đổi Fourier L1 (−π, π) L2 (−π, π) Sau đó, phép biến đổi phát triển nhiều lần nhà toán học Riemann Cantor Lebesgue Vào năm 1807, 1811 Fourier cơng bố cơng trình áp dụng phép biến đổi Fourier để giải phương trình nhiệt Cho đến phép biến đổi Fourier ứng dụng nhiều lĩnh vực khác như: Vật lý, Số học, xử lý tín hiệu, xác suất thống kê, mật mã, âm học, Hải dương học, Quang học, Hình học, tần số sóng Rada, định vị GPS, Trong không gian L2 tổng quát ta xây dựng chuỗi Fourier Do vậy, xây dựng cấu trúc khơng gian L2 nhóm hữu hạn G ta xây dựng chuỗi Fourier nhóm Năm 1989, Arthus tìm thấy số ví dụ chuỗi Fourier nhóm hữu hạn Đây tiền đề quan trọng để nhà toán học sau xây dựng thành công không gian L2 (G) phép biến đổi Fourier nhóm hữu hạn Với nhiều ứng dụng biết phép biến đổi Fourier, nên tơi hi vọng tìm ứng dụng tương tự cho phép biến đổi Fourier nhóm hữu hạn Để làm điều cần phải hiểu rõ ràng phép biến đổi Fourier nhóm hữu hạn nên chọn đề tài: “PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER TRÊN NHÓM HỮU HẠN VÀ ỨNG DỤNG” làm đề tài luận văn thạc sĩ Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu, tìm hiểu trình bày cách có hệ thống kết phép biến đổi Fourier nhóm hữu hạn Ứng dụng kết vào giải phương trình nhóm Abel hữu hạn Vật lý Đối tượng nghiên cứu Phép biến đổi Fourier nhóm hữu hạn, số vấn đề Vật lý Giải tích liên quan đến phép biến đổi Fourier nhóm hữu hạn Phạm vi nghiên cứu Định nghĩa, số tính chất phép biến đổi Fourier nhóm hữu hạn, phép biến đổi ngược tích chập Ứng dụng vào ngun lý bất định Heisenberg, hàm "Gaussians" giải phương trình nhóm Abel Phương pháp nghiên cứu Dựa vào kết biết phép biến đổi Fourier cổ điển để nghiên cứu kết tương tự cho phép biến đổi Fourier nhóm hữu hạn Ý nghĩa khoa học thực tiễn Đề tài có giá trị mặt lý thuyết, sử dụng luận văn làm tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành Toán Luận văn tài liệu tham khảo tốt cho người nghiên cứu Vật lý Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn trình bày theo ba chương Ngồi ra, luận văn có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận Tài liệu tham khảo 50 tính chất: biến thiên, phép tịnh tiến, tích vơ hướng khác không hàm tựa 1H , với H nhóm G G nhóm cyclic 3.3 Phương trình nhóm Abel hữu hạn Cho G nhóm Abel hữu hạn Gọi A1 , A2 , , Ak tập G a phần tử cố định G Ta xác định số nghiệm phương trình: x1 + x2 + + xk = a, (xi ∈ Ai , i = 1, 2, , k) (3.18) Đặt |Ai | = mi Giả sử tập Ai không đổi a ∈ G phần tử ngẫu nhiên Ta dự đoán số nghiệm toán là: m1 mk (3.19) n tử số dãy số gồm k số hạng chứa A1 × × Ak có từ n k xi với a ngẫu nhiên G xi ∈ G không đổi i=1 Điều đáng ý trường hợp tổng quát, m1 mk /n gần với số nghiệm a ∈ G Trước hết ta thấy số nghiệm phương trình 3.18 khơng thay đổi ta thay Ak Ak − a = {u − a|u ∈ Ak } Do đó, số nghiệm phương trình 3.18 số nghiệm phương trình: x1 + x2 + + xk = 0, (xi ∈ Ai , i = 1, 2, , k) (3.20) Với giả thiết vậy, Định lý sau lời giải tốn nêu Định lí 3.3.1 Số nghiệm phương trình 3.20 là: m1 mk N= +R n mi = |Ai | k R= f“A (χ) n χ∈G“ i=1 i (3.21) (3.22) χ=χ0 Chứng minh Gọi δ hàm xác định cơng thức ví dụ (2.3.6), 51 với δ = χ χ(x1 + + xn ) = χ(x1 ) χ(xn ) Điều suy n χ∈G“ số nghiệm phương trình 3.20 là: N= δ(x1 + + xn ) = χ(x1 + + xk ) n (x1 , ,xk ) “ (x1 , ,xk ) χ∈G xi ∈Ai = n k Ñ é χ(xi ) = “ i=1 χ∈G χ=χ0 xi ∈Ai n Ta tách phần tử tương ứng χ0 1 k “ fAi (χ0 ) + N= n i=1 n xi ∈Ai k f“Ai (χ) “ i=1 χ∈G k f“Ai (χ) “ i=1 χ∈G χ=χ0 k “ fA (χ0 ) + R = n i=1 i mi + R Ta có f“Ai (χ0 ) = mi Do N = n Định lý chứng minh Giá trị công thức phụ thuộc vào khả ước lượng sai số R Để kết luận phương trình 3.20 có nghiệm, cần chứng minh |R| < (m1 mk )/n Định lí 3.3.2 Cho A1 , A2 , A3 tập G a ∈ G Gọi N số nghiệm phương trình x1 + x2 + x3 = a, (xi ∈ Ai , i = 1, 2, 3) Khi N− |A1 ||A2 ||A3 | < Φ(A3 ) |A1 ||A2 | n Chứng minh Áp dụng Định lý (3.3.1) cho trường hợp k = Ta có |A1 ||A2 ||A3 | + R, N= n với R = f“A1 (χ)f“A2 (χ)f“A3 (χ) n χ∈G“ χ=χ0 52 Ta có |R| ≤ ≤ n |f“A1 (χ)| · |f“A2 (χ)| · |f“A3 (χ)| “ χ∈G χ=χ0 Φ(A3 ) |f“A1 (χ)| · |f“A2 (χ)| n “ χ∈G (3.23) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy−Schwarz ta có: ƯƯ |f“A1 (χ)| · |f“A2 (χ)| |f“A1 (χ)|2 ≤ “ χ∈G èè èÖ “ χ∈G |f“A2 (χ)|2 (3.24) “ χ∈G Bằng Định nghĩa (2.1.9) Hệ (2.1.10) ta có: ƯƯ èè èƯ |f“A1 (χ)|2 “ χ∈G |f“A2 (χ)|2 Å = n f“A1 n f“A2 ã1 “ χ∈G = n2 fA1 · fA1 = n |A1 ||A2 |, Thế vào phương trình 3.23 ta |R| ≤ Φ(A3 ) |A1 ||A2 | Từ ta suy N− |A1 ||A2 ||A3 | < Φ(A3 ) |A1 ||A2 | n » |A1 ||A2 | Φ(A3 ) Hệ 3.3.3 Nếu < phương trình |A3 | n x1 + x2 + x3 = a, (xi ∈ Ai , i = 1, 2, 3) (3.25) có nghiệm Chứng minh Theo cách chứng minh Định lý (3.3.2), ta có |R| ≤ Φ(A3 ) |A1 ||A2 | Do theo giả thiết ta suy |A1 ||A2 ||A3 | R> n m1 mk + R, nên suy N > Ngoài theo Định lý (3.3.1), ta có N = n Hay phương trình 3.25 có nghiệm 53 KẾT LUẬN Sau thời gian tìm hiểu nghiên cứu, học hỏi từ tài liệu Thầy TS Phan Đức Tuấn cung cấp, em hồn thành luận văn Những kết trình bày luận văn gồm: Trong chương 1: Trình bày cách đầy đủ chi tiết khái niệm quan trọng nhóm hữu hạn Khơng gian Hilbert, giới thiệu biến đổi Fourier R Trong chương 2: Tìm hiểu Định nghĩa, Định lý tính chất quan trọng phép biến đổi Fourier L2 (G) L2 (G) Trong chương 3: Đưa ba ứng dụng cụ thể phép biến đổi Fourier nhóm hữu hạn Nguyên lý bất định Heisenberg, hàm "Gaussians" Phương trình nhóm Abel hữu hạn Tuy nhiên với lượng kiến thức cần tìm hiểu lớn chuyên sâu, khn khổ thời gian có hạn trình độ thân cịn hạn chế nên luận văn cịn khiếm khuyết khó tránh khỏi Trong thời gian tới, hi vọng phát triển sâu theo hướng gợi mở để luận văn hoàn thiện Rất mong nhận quan tâm, góp ý xây dựng từ thầy giáo 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Viết Đông Trần Ngọc Hội (2005), Đại số đại cương, Nhà xuất Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh [2] Nguyễn Hoàng Lê Văn Hạp (2014), Giáo trình Giải tích hàm, Đại học Sư phạm Huế Tiếng Anh [3] Audrey Terras (1999), Fourier Analysis on Finite Groups and Applications, University of California, San Diego [4] Bao Luong (2009), Fourier Analysis on Finite Abelian Groups, Birkhauser, Boston-Basel-Berlin [5] Cameron LaVigne (2013), Fourier Analysis on Finite Abelian Groups With an Emphasis on Uncertainty Principles, Department of Computer Science University of Chicago [6] László Babai (1989), The Fourier Transform and Equations over Finite Abelian Groups ... không gian L2 (G) phép biến đổi Fourier nhóm hữu hạn Với nhiều ứng dụng biết phép biến đổi Fourier, nên tơi hi vọng tìm ứng dụng tương tự cho phép biến đổi Fourier nhóm hữu hạn Để làm điều cần... bày cách có hệ thống kết phép biến đổi Fourier nhóm hữu hạn Ứng dụng kết vào giải phương trình nhóm Abel hữu hạn Vật lý Đối tượng nghiên cứu Phép biến đổi Fourier nhóm hữu hạn, số vấn đề Vật lý... tích liên quan đến phép biến đổi Fourier nhóm hữu hạn Phạm vi nghiên cứu Định nghĩa, số tính chất phép biến đổi Fourier nhóm hữu hạn, phép biến đổi ngược tích chập Ứng dụng vào nguyên lý bất định