Phép biến đổi fourier rời rạc

59 577 1
Phép biến đổi fourier rời rạc

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BÙI THỊ THẢO PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BÙI THỊ THẢO PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC Chuyên ngành : Toán Giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Khải HÀ NỘI, 2015 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Nguyễn Văn Khải Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Khải, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn tốt nghiệp Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 12 năm 2015 Tác giả Bùi Thị Thảo LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Văn Khải, luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Phép biến đổi Fourier rời rạc” tự làm Các kết tài liệu trích dẫn rõ nguồn gốc Trong trình nghiên cứu thực luận văn, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 12 năm 2015 Tác giả Bùi Thị Thảo Mục lục Mở đầu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.2 Một vài khái niệm giải tích 1.1.1 Một số định lý lý thuyết tích phân 1.1.2 Không gian Lp (1 ≤ p ≤ ∞) 1.1.3 Tích chập 1.1.4 Tích phân Dirichlet Chuỗi Fourier tích phân Fourier 10 1.2.1 Chuỗi Fourier 10 1.2.2 Sự hội tụ 10 1.2.3 Tích phân Fourier 12 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER 2.1 2.2 Phép biến đổi Fourier L1 (R) 13 13 2.1.1 Phép biến đổi Fourier 13 2.1.2 Một số dạng biến đổi Fourier khác 16 2.1.3 Các tính chất 18 Phép biến đổi Fourier L1 (Rn ) 22 2.2.1 Định nghĩa 22 2.2.2 Tính chất 23 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC 26 3.1 Chuỗi Fourier rời rạc 26 3.2 Phép biến đổi Fourier rời rạc 27 3.2.1 Định nghĩa 27 3.2.2 Biểu diễn phép biến đổi Fourier rời rạc dạng ma trận 32 3.2.3 3.3 Tính chất phép biến đổi Fourier rời rạc 34 Phép biến đổi Fourier nhanh 41 MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC 46 4.1 Phân tích phổ tín hiệu 46 4.2 Tính tín hiệu hệ thống rời rạc LTI 51 4.3 Bộ lọc hai chiều dùng FFT 52 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 Mở đầu Lí chọn đề tài Lý thuyết chuỗi Fourier đóng vai trò quan trọng giải tích toán học toán học tính toán Có nhiều toán toán học thực tiễn khoa học kỹ thuật dẫn tới việc nghiên cứu phép biến đổi Fourier Trong toán học, phép biến đổi Fourier rời rạc, gọi phép biến đổi Fourier hữu hạn, biến đổi giải tích Fourier cho tín hiệu thời gian rời rạc Đầu vào biến đổi chuỗi hữu hạn số thực số phức, biến đổi công cụ lý tưởng để xử lý thông tin máy tính Đặc biệt, biến đổi sử dụng rộng rãi xử lý tín hiệu ngành liên quan tới tích phân tần số chứa tín hiệu, để giải phương trình đạo hàm riêng để làm phép tích chập Biến đổi tính nhanh thuật toán biến đổi Fourier nhanh Nó áp dụng vào nhiều ứng dụng lọc, nén ảnh, phóng đại ảnh Với mong muốn tìm hiểu phép biến đổi Fourier rời rạc, hướng dẫn thầy giáo TS Nguyễn Văn Khải nghiên cứu đề tài: "Phép biến đổi Fourier rời rạc" Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Fourier rời rạc vài ứng dụng Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phép biến đổi Fourier rời rạc, nêu số ứng dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Chuỗi Fourier, tích phân Fourier - Phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Fourier rời rạc - Ứng dụng Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích tổng hợp tài liệu có từ hệ thống lại vấn đề liên quan tới đề tài Dự kiến đóng góp Hệ thống lại vấn đề phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Fourier rời rạc nêu số ứng dụng phép biến đổi Fourier rời rạc Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một vài khái niệm giải tích 1.1.1 Một số định lý lý thuyết tích phân Mục nhắc lại số kết lý thuyết tích phân, trích dẫn chủ yếu từ tài liệu [1] Định lý 1.1.1 Cho (fn ) dãy tăng hàm khả tích Lesbesgue tập Ω ⊂ RN cho sup n Ω fn < ∞ Khi đó, (fn ) hội tụ hầu khắp nơi Ω hàm f khả tích Ω fn − f ≡ Ω |fn (x) − f (x)| dx → n → ∞ Định lý 1.1.2 (Định lý hội tụ bị chặn Lesbesgue) Cho (fn ) dãy hàm (thực phức) khả tích Ω ⊂ RN thoả mãn: (i) fn bị chặn hàm không âm khả tích Ω, |fn (t)| g (t) , ∀n ≥ 1, ∀t ∈ Ω (ii) Dãy {fn } hội tụ hầu khắp nơi tới f Ω Khi f khả tích fn − f |fn (t) − f (t)| dt = = lim n→∞ Ω Định lý 1.1.3 (Định lý Fubini) Cho F khả tích Ω1 × Ω2 Khi với hầu hết x ∈ Ω1 ta có F (x, ) :→ F (x, y) khả tích Ω2 x→ F (x, y) dy khả tích Ω1 Ω2 Kết luận tương tự đổi vai trò x cho y, Ω1 cho Ω2 Hơn ta có: dx Ω1 F (x, y) dy = Ω2 dy Ω2 F (x, y) dx = F (x, y) dxdy Ω1 ×Ω2 Ω1 Không gian Lp (1 ≤ p ≤ ∞) 1.1.2 Định nghĩa 1.1.1 Cho p ∈ R, ≤ p ≤ ∞, ta định nghĩa: Lp (Ω) = f : Ω → R C ; f đo |f |p khả tích , L∞ (Ω) = {f : Ω → R C ; f đo ∃C ≥ 0, |f (x)| ≤ C h.k.n} ký hiệu: f f ∞ |f (x)|p dx p = p Ω = inf C; |f (x)| ≤ C hầu khắp nơi Nhận xét 1.1.1 Nếu f ∈ L∞ (Ω) |f (x)| ≤ f với hầu hết x ∈ Ω 1 Ta kí hiệu q số liên hợp p, tức p, q > + = p q ∞ Định lý 1.1.4 (Bất đẳng thức Holder) Cho f ∈ Lp g ∈ Lq với ≤ p ≤ ∞ Khi f.g ∈ L1 và: |f.g| ≤ f p g q Trong trường hợp p = q = ta có bất đẳng thức sau: Bất đẳng thức Schwarz: Nếu f, g ∈ L2 f.g ∈ L1 f g ≤ f Do đó: ∞ |f (x) g (x)| dx −∞ ∞ ∞ |f (x)| dx ≤ −∞ −∞ |g (x)|2 dx g = N N −1 N −1 X1∗ (n) X2 (m) W −km n=0 m=0 N N −1 W in W −im i=0 Cho n = m ta có N −1 i=0 x1 (i) x2 (k + i) = N N −1 X1∗ (n) X2 (n) W −nk n=0 Tính chất 3.2.12 (Đẳng thức Parseval) N −1 N −1 x (k) = N k=0 |X (n)|2 n=0 Đặt y (k) = x (k) x (k) Biến đổi Fourier rời rạc y (k) cho định lý tích chập vòng N −1 x (k) W kn k=0 = N N −1 X (i) X (n − i) i=0 Cho n = công thức trở thành N −1 x (k) = N k=0 N −1 3.3 i=0 X (i) X (−i) = N N −1 |X (i)|2 i=0 Phép biến đổi Fourier nhanh Phép biến đổi Fourier nhanh thường dùng với tên gọi Thuật toán FFT Giả sử có biến đổi Fourier rời rạc N −1 x (n) W kn , k = 0, 1, , N − X (k) = n=0 Với N = (3.14) viết sau: X (0) = x (0) W + x (1) W + x (2) W + x (3) W X (1) = x (0) W + x (1) W + x (2) W + x (3) W X (2) = x (0) W + x (1) W + x (2) W + x (3) W X (3) = x (0) W + x (1) W + x (2) W + x (3) W 41 (3.14) Các phương trình viết    W W0 X(0) X(1) W W X(2) = W W X(3) W0 W3 dạng ma trận   W W x(0) W W  x(1) W W  x(2) W W x(3) (3.15) Thuật toán FFT áp dụng cho trường hợp N = 2r , r ∈ N Ta viết lại (3.15) sau      1 1 X(0) x(0) X(1) 1 W W W  x(1) X(2) = 1 W W W  x(2) X(3) W W W x(3) (3.16) Phương trình ma trận (3.16) nhận từ (3.15) W nk = W nkmod(N ) Do N = 4, n = k = W = W Từ W nk = W = exp Từ (3.16)ta có    W0 X(0) X(2) 1 W X(1) = 0 X(3) 0 − i2π  0 0  0 W  1 W3 = exp [−i3π] (3.17)   W0 x(0) W  x(1) W  x(2) W x(3) (3.18) Đặt   X(0) X(2) X (k) = X(1) X(3) Giả sử (3.18) đúng, đặt    X1 (0) X1 (1) 0 X (2) = 1 X1 (3)   W0 x(0) W  x(1) W  x(2) W x(3) Từ (3.20) ta có: X1 (0) = x(0) + W x(2) 42 (3.19) (3.20) X1 (2) = x(0) + W x(2) Vì W = −W nên X1 (2) = x(0) − W x(2) Từ (3.18) ta có      W0 X(0) X2 (0) X(2) X2 (1) 1 W X(1) = X (2) = 0 X(3) X2 (3) 0 (3.21)   0 X1 (0) 0  X1 (1) W  X1 (2) W X1 (3) (3.22) ⇒ X2 (0) = X1 (0) + W X1 (1) X2 (1) = X1 (0) + W X1 (1) X2 (3) = X1 (2) + W X1 (3) Mà W = −W nên X2 (1) = X1 (0) − W X1 (1) Theo phương trình (3.18) số phép tính X(k) tổng phép nhân phức phép cộng phức Số phép tính X(k) theo (3.15) tổng 16 phép nhân phức 12 phép cộng phức Từ ta thấy tính hiệu thuật toán FFT Thuật toán FFT Ta dùng tính chất sau W W k(N −n) = W kn ∗ , (3.23) W kn = W k(n+N ) = W (k+N )n (3.24) Trong đó, ký hiệu (*) ký hiệu liên hợp phức Các tính chất suy trực tiếp từ định nghĩa W Vì N chẵn nên tổng (3.4) tách thành hai tổng N −1 x (n) W kn = X (k) = n=0 x (n) W kn + n chẵn n lẻ N/2−1 = x (n) W kn N/2−1 x (2m) W km +W k m=0 x (2m + 1) W m=0 43 km (3.25) Ta có W = e−2i2π/N = e−i2π/(N/2) (3.26) Do đặt Xe (k) X0 (k) số hạng thứ thứ hai vế phải (3.25) ta thấy chúng biến đổi Fourier rời rạc hai dãy điểm {x (2m) |m = 0, , N/2 − 1} {x (2m + 1) |m = 0, , N/2 − 1} Vậy X (k) = Xe (k) + X0 (k) (3.27) Ngoài ra, tính tuần hoàn chu kỳ N/2, cần tính Xe (k) X0 (k) với N/2 ≤ k ≤ N − 1, (hoặc với ≤ k ≤ N/2 − 1) Lặp lại việc tách tổng trên, ta có N/2−1 x (2m) W Xe (k) = km m=0 N/4−1 = N/4−1 x (4p) W kp +W 2k p=0 x (4p + 2) W kp , p=0 N/2−1 x (2m + 1) W X0 (k) = km m=0 N/4−1 = N/4−1 x (4p + 1) W kp x (4p + 3) W + W 2k p=0 kp p=0 có nghĩa Xe X0 phân tích thành tổng hai phép biến đổi Fourier rời rạc N/4 điểm Tiếp tục việc phân tích ta biến đổi Fourier rời rạc điểm Khi ta có W = 1, W N/2 = W = −1 44 Vậy thuật toán FFT chia làm log2 N tầng Do ta cần tổng cộng N log2 N phép nhân phức thay N phép nhân phức N log2 N phép cộng phức thay N (N − 1) Ví dụ với N = 26 = 64, ta có: N log2 N = 192, N = 4096, N log2 N = 384, N (N − 1) = 4032 Như vậy, số phép nhân phức giảm khoảng 20 lần số phép cộng phức giảm khoảng 10 lần Ngoài ra, phép nhân phức tương đương với phép nhân số thực, phép cộng phức tương đương với hai phép cộng số thực Trong máy tính thời gian làm phép nhân lớn nhiều so với thời gian làm phép cộng Như thuật toán FFT tiết kiệm nhiều thời gian 45 Chương MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC 4.1 Phân tích phổ tín hiệu Trong miền tần số, tín hiệu có đặc điểm riêng Ví dụ như, tín hiệu sin có tần số đơn, nhiễu trắng chứa tất thành phần tần số Sự biến thiên chậm tín hiệu tần số thấp, biến thiên nhanh sườn nhọn tần số cao Phổ tín hiệu mô tả chi tiết thành phần tần số chứa bên tín hiệu Ví dụ như, thành phần tần số mẩu nhạc cho ta biết đặc trưng loa, để từ sản xuất lại ta cải tiến cho hay Một ví dụ khác, micro hệ thống nhận dạng tiếng nói phải có dải tần đủ rộng để bắt tất tần số quan trọng tiếng nói đầu vào Để dự đoán ảnh hưởng lọc tín hiệu, cần phải biết không chất lọc mà phải biết phổ tín hiệu Phổ có ý nghĩa quan trọng việc phân tích tín hiệu, từ phổ tín hiệu ta biết số thông tin cần thiết 46 Để tìm phổ tín hiệu (cả liên tục rời rạc), ta cần phải biết giá trị tín hiệu tất thời điểm Tuy nhiên thực tế, ta quan sát tín hiệu khoảng thời gian hữu hạn nên phổ tính xấp xỉ phổ xác DFT ứng dụng hiệu việc tính toán phổ xấp xỉ Trong thực tế, tín hiệu cần phân tích tín hiệu liên tục, trước hết ta cho tín hiệu qua lọc chống chồng phổ lấy mẫu với tần số Fs ≥ 2B , với B băng thông tín hiệu sau lọc Như vậy, tần số cao chứa tín hiệu rời rạc F s/2 Sau đó, ta phải giới hạn chiều dài tín hiệu khoảng thời gian T0 = LT , với L số mẫu T khoảng cách hai mẫu Cuối cùng, ta tính DFT tín hiệu rời rạc L mẫu Như trình bày trên, muốn tăng độ phân giải phổ rời rạc, ta tăng chiều dài DFT cách bù thêm số vào cuối tín hiệu rời rạc trước tính DFT Ví dụ sau minh hoạ ứng dụng DFT việc phân tích phổ tín hiệu điện tâm đồ(ECG): Hình a Hình vẽ (a) đồ thị 11 nhịp tim bệnh nhân 11 nhịp tim 47 xuất khoảng thời gian giây, tương đương với 11 = 1.22 nhịp giây, hay 73 nhịp phút Hình b Hình (b) chi tiết nửa đầu nhịp tim thứ tư Hình c Hình (c) đoạn phổ biên độ DFT có sau lấy mẫu đoạn 11 nhịp tim (a) với tần số lấy mẫu 8kHz Nhìn (c) ta thấy có hai điểm biên độ cao xuất tần số 88Hz 235Hz 48 Hình d Để tìm hiểu phổ kỹ hơn, ta tính DFT tín hiệu hình (b) - phổ thể hình (d), ta thấy rõ hai điểm biên độ cao tần số 88Hz 235Hz bên nhịp tim Tuy nhiên, ta không thấy tần số lặp lại nhịp tim 1.22Hz DFT hình (c) Hình e Hình (e) giải thích rõ điều Nó phiên mở rộng đỉnh nhọn dải tần từ 60Hz đến 100Hz Trong tần số 1.22Hz 49 nhỏ nên không thấy rõ hình (c) hình (e) này, ta thấy rõ hài tần số 1.22Hz thấy rõ khoảng cách hai đỉnh nhọn 1.22Hz Một vài ví dụ khác cho phân tích phổ tín hiệu dùng DFT Ví dụ 4.1.1 Cho tín hiệu x (t) = sin2πt+sin3πt+sin5πt+sin5.5πt, (t : ms).Tín hiệu lấy mẫu tốc độ fs = 10Khz Để việc phân tích phổ dùng DFT cho đỉnh tách biệt thời gian lấy mẫu T0 bao lâu? Lời giải Các thành phần tần số f1 = 1Khz ; f2 = 1, 5Khz ; f3 = 2, 5Khz ; f4 = 2, 75Khz Khoảng cách tần số nhỏ cần phân biệt ∆f = 2, 75 − 2, = 0, 25Khz Số mẫu tối thiểu cần phải lấy N≥ 10Khz fs = = 40 ∆f 0, 25Khz Thời gian lấy mẫu T0 = N × Ts = N 40 = = 4(ms) fs 10000 Ví dụ 4.1.2 Cho tín hiệu x (t) = sin2πt + sin4πt + sin2πf3 t, 1Khz ≤ f3 ≤ 3Hkz , (t : ms) Tín hiệu lấy mẫu tốc độ fs = 10Khz khoảng thời gian 20ms Tín hiệu sau phân tích phổ dùng DFT Xác định tầm giá trị f3 để kết cho đỉnh tách biệt? Lời giải Các thành phần tần số: f1 = 1Khz ; f2 = 2Khz ; f3 Khz Số mẫu liệu thu N = fs × T0 = 10 × 103 × 20 × 10−3 = 200 50 Khoảng cách tần số nhỏ phân biệt fs 10Khz ∆f = = = 0, 05Khz N 200 Tầm giá trị f3 f3 ∈ [f1 + ∆f ; f2 − ∆f ] = [1 + 0, 05; − 0, 05] = [1, 05Khz; 1, 95Khz] 4.2 Tính tín hiệu hệ thống rời rạc LTI Tín hiệu hệ thống rời rạc LTI tính cách nhập tín hiệu vào với đáp ứng xung hệ thống: y [n] = x [n] ∗ h [n] Ta có hai cách để tính tổng chập này, tính trực tiếp, hai tính thông qua tổng chập vòng Cách tính qua tổng chập vòng có lợi mặt thời gian Lý tổng chập vòng tính thông qua DFT, mà DFT tính nhanh nhờ thuất toán tính nhanh FFT Để tính y [n], ta thực theo bước sau đây: Kéo dài x [n] đến độ dài N = Nx + Nh − Kéo dài h [n] đến độ dài N = Nx + Nh − Tính DFT x [n] N mẫu, ta X [k] Tính DFT h [n] N mẫu, ta H [k] Nhân X [k] với H [k], ta H [k] Y [k] = X [k] H [k] Tính DFT ngược Y [k], ta y [n] Việc tính DFT DFT ngược thực nhờ thuật toán tính nhanh DFT, gọi FFT (Fast Fourier Transform) 51 4.3 Bộ lọc hai chiều dùng FFT Nếu dùng tích chập để chuyển hàng loạt phần tử từ miền không gian sang miền tần số ta nên áp dụng FFT Phép biến đổi yêu cầu N /2 log2 N phép nhân phức 2.N log2 N phép cộng phức để thu 2−D FFT, N phép nhân phức miền tần số FFT điểm ảnh đáp ứng tần số lọc, N /2 log2 N phép nhân phức cho IFFT Mặt khác, lọc 2−D FID có kích thước (2m + 1)×(2m + 1) đòi hỏi (2m + 1)2 N phép nhân để thu ảnh trực tiếp miền không gian Xem xét ảnh có kích thước 512 × 5112 điểm FFT yêu cầu: 4 N /2 log2 N + 4N = × 5122 × (2 × + 1) ≈ 20 triệu phép nhân Để đưa tính toán coi phép nhân phức phép nhân thông thường lọc có pha zero Phương pháp không gian áp dụng cho lọc có kích thước × yêu cầu × × 5122 ≈ 13 triệu phép nhân Nếu kích thước lọc tăng lên phương pháp phân chia miền tần số áp dụng Một lọc có kích thước 11 × 11 yêu cầu khoảng 30 triệu phép nhân cần khoảng 19 triệu phép nhân áp dụng phương pháp phân chia miền tần số Hai phương pháp có số phép nhân 4N (2log2 N + 1) = (2m + 1)2 N Cho ảnh có kích thước 512 × 512 (2m + 1) ≈ 9, dễ chứng minh kích thước lọc nhỏ ta dùng phương pháp phân chia không gian Tuy nhiên, cần ý phương pháp phân chia tần số yêu cầu thời gian xử lý số lần truy nhập đĩa giảm xuống Ưu điểm 52 tăng lên kích thước lọc lớn × Ưu điểm không xét đến lỗi wraparound Để tránh lỗi ta phải tăng gấp bốn lần kích thước ảnh Cho ảnh có kích thước 512 × 512 ta cần phải tăng lên 1024 × 1024 Để tránh phép tính toán lớn ý h (n1 , n2 ) lọc rút IFFT tăng lên nhanh n1 , n2 tăng lên Tính chất bật mở rộng Fourier chèn c Cần nhắc lại giá trị zero vào giá trị cuối lọc từ n21 + n22 đáp ứng tần số đáp ứng xung xem xét làm việc với DFT Thuộc tính h (n1 , n2 ) tăng lên cách nhanh chóng xem xét lựa chọn phương án lọc Không phụ thuộc vào kích thước ảnh, đưa phép nhân đáp ứng tần số ảnh đáp ứng tần số lọc ý lỗi wraparound xuất miền nhỏ nằm đường bao ảnh phần lớn trường hợp lỗi bỏ qua 53 Kết luận Nội dung luận văn nghiên cứu phép biến đổi Fourier rời rạc nêu vài ứng dụng Luận văn trình bày số kết sau: Trình bày cách hệ thống kiến thức chuỗi Fourier, phép biến đổi Fourier Trình bày phép biến đổi Fourier rời rạc tính chất Nêu vài ứng dụng phép biến đổi Fourier rời rạc Phần đóng góp luận văn hệ thống hoá, chi tiết hoá trình bày thêm số ví dụ cho phép biến đổi Fourier rời rạc Do điều kiện thời gian trình độ nghiên cứu hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, kính mong quý thầy cô bạn bè đóng góp ý kiến bổ sung để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn 54 Tài liệu tham khảo [1] Đặng Đình Áng, Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Lân, Nguyễn Văn Nhân, Phạm Hoàng Quân (2007), Biến đổi tích phân, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường (2000), Giải tích số, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Mạnh Hùng (2006), Phương trình đạo hàm riêng, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội [4] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, Bùi Đắc Tắc, Đỗ Đức Thái (2001), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, NXB Giáo dục [5] Nguyễn Quốc Trung (2006), Xử lý tín hiệu lọc số, tập I, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội [6] Richard R Goldberg (1965), Fourier Transform, Cambridge at the University Press [7] S Bochner and K Chandrasekharan (1949), Fourier Transform, Princeton University Press, London: Geoffrey Cumberlege Oxford Uiversity Press 55 [...]... sin(πkL/N ) −iπk(L−1)/N e sin(πk/N ) Phép biến đổi Fourier rời rạc Định nghĩa Phép biến đổi Fourier rời rạc của x là hàm X xác định trên {0, 1, , N − 1} xác định bởi: N −1 x (n) W kn , k = 0, 1, , N − 1 X (k) = n=0 27 (3.4) Như vậy phép biến đổi Fourier rời rạc của x là một chu kỳ của chuỗi Fourier rời rạc Định lý 3.2.1 Ta có công thức nghịch đảo của biến đổi Fourier rời rạc như sau 1 x (n) = N N −1 X (k)... cosλx + bλ sinλx) dλ 0 12 , Chương 2 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER 2.1 2.1.1 Phép biến đổi Fourier trong L1 (R) Phép biến đổi Fourier Định nghĩa 2.1.1 Cho f ∈ L1 (R), hàm f xác định bởi 1 f (λ) = √ 2π ∞ f (t) e−iλt dt (2.1) −∞ được gọi là phép biến đổi Fourier của f Ví dụ 2.1.1 Cho f (x) = e−α|x| , α > 0 Tìm biến đổi Fourier f của f (x) Lời giải Áp dụng công thức biến đổi Fourier ta có: ∞ ∞ 1 1 −α|x| −iλt e... vô cực (ii) g (x) = f (x) hầu hết trên R 2.1.2 Một số dạng biến đổi Fourier khác Định nghĩa 2.1.2 (Biến đổi Fourier ngược) Nếu f ∈ L1 (R) và f ∈ L1 (R) là biến đổi Fourier của f thì ta có 1 f (t) = √ 2π ∞ f (λ) eiλx dλ, −∞ được gọi là biến đổi Fourier ngược của f 16 Chú ý 2.1.1 Đối với hàm chỉ xác định với x > 0, ta có công thức biến đổi Fourier dạng sin và dạng cosin Chẳng hạn với hàm f (x) xác định... g (x) dx = (2π)n Rn f (y) e−ixy dy g (x) dx Rn 1 = (2π)n = Rn g (x) e−ixy dx dy f (y) Rn f (x) gˆ (x) dx Rn 25 Rn Chương 3 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC 3.1 Chuỗi Fourier rời rạc Định nghĩa 3.1.1 Cho hàm số x (n) xác định với n ∈ {0, 1, , N − 1} Ta định nghĩa chuỗi Fourier rời rạc x (n) như sau N −1 ˜ (k) = X x (n) e−i2πkn/N , k ∈ Z (3.1) n=0 Đặt W = e−i2π/N (3.2) Vì W mN = 1 nên W k+mN = W k , suy... Chú ý 2.1.2 Nếu ta bắt đầu với hàm f được xây dựng bằng hàm lẻ, tức là f (−x) = −f (x) và thực hiện các bước biến đổi như trên ta cũng có công thức biến đổi Fourier dạng sin của hàm f (x) Định nghĩa 2.1.4 (Biến đổi Fourier - sin) Cho hàm f ∈ L1 (R+ ) và f là hàm lẻ ta định nghĩa phép biến đổi Fourier - sin của hàm f là hàm φ (λ) = 2 π ∞ f (x) sinλxdx 0 Nếu f thoả mãn điều kiện Dirichlet trên mọi khoảng... phải của (3.5), dùng (3.6) để biến đổi như sau 1 N N −1 X (k) W k=0 −kn 1 = N = 1 N N −1 N −1 x (r) W kr W −kn k=0 N −1 r=0 N −1 W k(r−n) x (r) r=0 k=0 N −1 1 = x (n) W k(n−n) N k=0 = x (n) 28 (3.6) Ví dụ 3.2.1 Tìm biến đổi Fourier rời rạc của các dãy: a) x1 (n) = δ (n) b) x2 (n) = 1 c) x3 (n) = δ (n − n0 ) , 0 ≤ n0 ≤ N Lời giải Từ định nghĩa của biến đổi Fourier rời rạc, ta có: a) N −1 δ (n) e−i(2π/N... có biến đổi Fourier rời rạc của x như sau N −1 X (k) = N −1 x (n) W kn W (k−p)n , k = 1, 2, , N − 1 =C n=0 n=0 Với k = p, W (k−p)n = W 0 = 1 nên X (k) = CN Vậy X (k) = 0 CN ,1 ≤ k ≤ N − 1, k = p ,k=p (3.8) Ví dụ 3.2.4 Tìm biến đổi Fourier rời rạc X (k) của dãy tuần hoàn chu kỳ 4 sau  1    2 x (n)4 = 4    3 ,n = 0 ,n = 1 ,n = 2 , n = 4 Lời giải Đây là dãy tuần hoàn chu kỳ N = 4 Dựa vào biến đổi. .. thức biến đổi Fourier rời rạc N −1 x (n) e−i2πkn/N X (k) = n=0 Ta có: 2π 2π π π e−i N kn = e−i 4 kn = e−i 2 kn = e−i 2 kn = (−i)kn N −1 x (n) (−i)kn ⇒ X (k) = n=0 31 Vậy: 3 x (n) (−i)0.n = 10 X (0) = n=0 3 x (n) (−i)1.n = 2 − 2i X (1) = n=0 3 x (n) (−i)2.n = 2 X (2) = n=0 3 x (n) (−i)3.n = 6 + 2i X (3) = n=0 Vậy X (k) = {10; 2 − 2i; 2; 6 + 2i} 3.2.2 Biểu diễn phép biến đổi Fourier rời rạc dưới... 2.2.1 Phép biến đổi Fourier trong L1 (Rn) Định nghĩa Định nghĩa 2.2.1 Giả sử hàm f ∈ L1 (Rn ) không gian các hàm khả tích trên Rn , hàm fˆ được định nghĩa như sau fˆ (λ) = 1 (2π)n Rn f (x) e−iλx dx, λ ∈ Rn được gọi là biến đổi Fourier của hàm f trong Rn , ký hiệu là fˆ hay F [f ] Định nghĩa 2.2.2 Cho f ∈ L1 (Rn ) và fˆ ∈ L1 (Rn ) Hàm số f (x) = 1 (2π)n Rn fˆ (λ) e−iλx dλ, λ ∈ Rn được gọi là biến đổi Fourier. .. √ 2π −∞ 0 iλx ∞ f (x) eiλx dλ −∞ ∞ f (x) eiλx dλ 0 f (x) cos (λx) dλ 0 1 iλx e + e−iλx Đặt F (λ) = f (λ) khi đó ta có biến đổi 2 Fourier dạng cosin của hàm f với cosλx = Định nghĩa 2.1.3 (Biến đổi Fourier - cosin) Cho hàm f ∈ L1 (R+ ) và f là hàm chẵn ta định nghĩa phép biến đổi Fourier - cosin của hàm f là hàm F (λ) = 2 π ∞ f (x) cosλxdx 0 17 Nếu f thoả mãn điều kiện Dirichlet trên mọi khoảng hữu

Ngày đăng: 20/06/2016, 14:26

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan